Файл: Численное моделирование процессов энергоразделения в потоках сжимаемого газа.pdf

56 5
10 15 20 25
????
˚
1
,°
C
а)
0 20 40 60 80 100 ????{????
ℎ0
´0.75
´0.50
´0.25 0.00
????
????
1
,кВт/м
2
б)
????
1
{????
2 0.001 0.003 0.010 0.020 0.050
Рисунок 2.13 — К вопросу о минимуме охлаждения при противоточной схеме течения. M
2
.????????
“ 1.8; ????
˚
0
“ 13.90
атм; ????
˚
0
“ 25
°C. (a) — Распределение температур. Штриховая линия — температура адиабатной поверхности со стороны сверхзвукового потока, сплошные линии — температуры торможения дозвукового потока при различных соотношениях расходов ????
1
{????
2
(б) — Распределение тепловых потоков в стенку со стороны дозвукового потока при различных соотношениях расходов
Таким образом, предложенные в п.
2.2
математические модели адекват­
но описывают физические процессы, происходящие внутри устройства и могут быть использованы для дальнейших исследований.

57
´0.04
´0.02 0.00
Δ????{R
20 22 24
????
, °C
????
˚
0
????
1
????????
????
˚
????
????
1
????????????
а)
0 1
2
Δ????{R
´150
´100
´50 0
50
????
, °C
????
˚
0
????
2
????????
????
˚
ℎ
????
2
????????????
б)
Рисунок 2.14 — ???? -???? диаграммы для дозвукового (а) и сверхзвукового (б)
потоков. M
2
.????????
“ 1.8; ????
˚
0
“ 13.90
атм; ????
˚
0
“ 25
˝
C; ????
1
{????
2
“ 1 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
????
1
{????
2 0.96 0.98 1.00
????
˚
1
{????
˚
0 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20
????
˚
2
{????
˚
0
Поток дозвуковой сверхзвуковой
Рисунок 2.15 — Потери давления торможения для дозвукового и сверхзвукового каналов в зависимости от соотношения расходов.
M
2
.????????
“ 1.8; ????
˚
0
“ 13.90
атм; ????
˚
0
“ 25
˝
C

58 2.4 Параметрические исследования
Используя разработанные в п.
2.2
математические модели рассмотрим вли­
яние основных параметров на величину энергоразделения.
2.4.1 Влияние начальной температуры
На рис.
2.16
показано влияние начальной температуры торможения на на­
грев и охлаждение потоков в устройстве газодинамического энергоразделения.
Как и ожидалось, увеличение ????
˚
0
приводит к росту абсолютных величин Δ????
˚
ℎ
и Δ????
˚
????
. При этом рост охлаждения Δ????
˚
????
оказывается больше, чем рост нагре­
ва Δ????
˚
ℎ
. Особенно это проявляется при уменьшении расхода через дозвуковой канал ????
1 2.4.2 Влияние вида рабочего тела
Как уже отмечалось, температура теплоизолированной стенки зависит от коэффициента восстановления температуры, который, в свою очередь, являет­
ся функцией молекулярного числа Прандтля (см. рис.
1.7
). Как известно (см.,
например, [
71
;
72
]), бинарные смеси инертных газов обладают малым числом
Прандтля (см. приложение
В
). На рис.
2.17
показано изменение величин на­
грева/охлаждения потоков в устройстве газодинамического энергоразделения в зависимости от применяемой смеси инертных газов. Как видно из рисун­
ка, переход с Pr “ 0.71 на Pr “ 0.18 увеличивает максимальное охлаждение дозвукового потока почти в два раза. Кроме того, на рис.
1.7
показаны резуль­
тирующие значения коэффициента восстановления температуры.

59 0.00 0.05
´25
´20
´15
´10
´5 0
5
Δ????
˚
, °C
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
????
1
{????
2
Δ????
˚
ℎ
“ ????
˚
ℎ
´ ????
˚
0
Δ????
˚
????
“ ????
˚
????
´ ????
˚
0
пере ло м
масштаб а
????
˚
0
, °C
25 50 100
Рисунок 2.16 — Влияние начальной температуры на величину температурного разделения. M
2
.????????
“ 1.8; ????
˚
0
“ 13.90
атм
0.00 0.05
´40
´30
´20
´10 0
10
Δ????
˚
, °C
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
????
1
{????
2
Δ????
˚
ℎ
“ ????
˚
ℎ
´ ????
˚
0
Δ????
˚
????
“ ????
˚
????
´ ????
˚
0
пере ло м
масштаб а
Pr
0
.71
(Воздух)
0
.57
(Ar-Xe)
0
.18
(H
2
-Xe)
Рисунок 2.17 — Влияние вида рабочего тела на величину температурного разделения. M
2
.????????
“ 1.8; ????
˚
0
“ 13.90
атм; ????
˚
0
“ 25
˝
C

60 2.4.3 Влияние схемы течения
В работе [
11
] отмечено, что в диапазоне исследованных параметров схема организации течения (прямоточная или противоточная) не оказывает заметного влияния на эффект энергоразделения. Напомним, что в работе [
11
] исследова­
лись течения при ????
1
{????
2
ą 0.1
. На рис.
2.18
показаны результаты расчётов температурного разделения в диапазоне 0 ă ????
1
{????
2
ď 1.0
. Как видно из ри­
сунка при ????
1
{????
2
ă 0.2
влияние схемы течения становится существенным и прямоточная схема при условии разгона потока в сверхзвуковом канале являет­
ся предпочтительной (при рассматриваемых условиях), так как она позволяет получить максимальное охлаждение дозвукового потока.
0.00 0.05
´25
´20
´15
´10
´5 0
5 10
Δ????
˚
, °C
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
????
1
{????
2
Δ????
˚
ℎ
“ ????
˚
ℎ
´ ????
˚
0
Δ????
˚
????
“ ????
˚
????
´ ????
˚
0
пере ло м
масштаб а
Схема течения противоточная. Ô
прямоточная. Ñ
Рисунок 2.18 — Влияние схемы течения на величину температурного разделения. M
2
.????????
“ 1.8; ????
˚
0
“ 13.90
атм; ????
˚
0
“ 25
˝
C

61 2.4.4 Оптимизация профиля сверхзвукового канала
Одним из способов повышения величины температурного разделения яв­
ляется оптимизация профиля сверхзвукового канала [
73
]. С одной стороны,
эффект будет тем выше, чем выше число Маха в сверхзвуковом канале, т.к.
согласно (
1.7
) температура адиабатной стенки будет принимать всё меньшие значения по мере роста числа M. Однако, при непрерывном росте числа M
потока коэффициент теплоотдачи будет падать за счёт эффекта сжимаемости.
Таким образом, вероятно, оптимальным будет профиль, обеспечивающий посто­
янное число Маха на протяжении всего канала. Такой же вывод был получен в работе [
30
].
Таким образом, целесообразно рассмотреть три случая (см. рис.
2.19
):
1. исходный канал с изменяющимся (возрастающим) числом Маха
M
2
“ ????????????
;
2. канал с постоянным числом Маха, равным начальному числу Маха для исходного канала M
2
“ ????????????????????
0
;
3. канал с постоянным числом Маха, равным конечному числу Маха для исходного канала M
2
“ ????????????????????
1
При этом начальные давление ????
˚
0
и температура ????
˚
0
торможения, а также массовый расход ????
2
фиксируются для всех трёх случаев.
Для определения последних двух профилей проинтегрируем уравне­
ние (
2.15
), но при условии ????M
2
{???????? “ 0
. Искомой переменной в этом случае будет закон изменения площади ????
2
“ ????
2
p????q
Длину канала определим из условия физической реализации течения.
Принимая во внимание тот факт, что сверхзвуковое истечение будет происхо­
дить в атмосферу, будем предполагать, что в выходном диффузоре реализуется прямой скачок уплотнения, после которого давление достигает уровня атмо­
сферного, т.е. длина канала ???? будет определяться из следующего условия:
????
2
|
????“????
“
????
????????????
2
????
????`1
M
2
´
????´1
????`1
(2.31)
В этом случае профили сверхзвукового канала получаются близкими к ли­
нейным (см. рис.
2.19
а), но строго не являются таковым. Как видно из рисунка в случае M
2
“ ????????????????????
0
длина канала превышает длину исходного канала ????
0
почти

62
вдвое. В случае же M
2
“ ????????????????????
1
длина канала сопоставима с исходной. Исходя из условия равенства массового расхода (????
2
“ ????????????????????
) для всех трёх случаев,
начальное сечение канала в третьем случае (M
2
“ ????????????????????
1
) было увеличено.
На рис.
2.20
показано сравнение интегрального эффекта энергоразделе­
ния для всех трёх сверхзвуковых каналов. Как видно, случаи M
2
“
????????????????????
демонстрирую равные величины нагрева и охлаждения при ????
1
{????
2
ą 0.5
. Т.е.
уменьшение адиабатной температуры стенки при M
2
“
????????????????????
1
(см. (
1.7
))
компенсируется увеличением площади поверхности теплообмена за счёт уве­
личения длины ????
0
(см. рис.
2.19
) при M
2
“ ????????????????????
0
. В случае малых расходов через дозвуковой канал ????
1
{????
2
ă 0.5
преимущество в охлаждении демонстри­
рует канал с M
2
“
????????????????????
1
В сравнении с исходным каналом (M
2
“
????????????
), каналы, реализующие постоянное число Маха показывают преимущество в охлаждении и нагреве,
например, при ????
1
{????
2
“ 1.0
величина охлаждения для M
2
“ ????????????
составляет
Δ????
˚
????
“ ´4.8
°C, а для M
2
“ ????????????????????
1
— Δ????
˚
????
“ ´6.8
°C.

63 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
????
2
{
????
ℎ
0
а)
0 25 50 75 100 125 150 175 200
????{????
ℎ0 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6
M
2
б)
M
2
“ ????????????
M
2
“ ????????????????????
0
M
2
“ ????????????????????
1
Рисунок 2.19 — Изменения диаметра (а) и числа Маха (б) по длине сверхзвукового канала при различных законах изменения площади.
????
˚
0
“ 13.90
атм; ????
˚
0
“ 25
˝
C; ????
2
“ 0.0647
кг/с
0.00 0.05
´25
´20
´15
´10
´5 0
5 10
Δ????
˚
, °C
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
????
1
{????
2
Δ????
˚
ℎ
“ ????
˚
ℎ
´ ????
˚
0
Δ????
˚
????
“ ????
˚
????
´ ????
˚
0
пере ло м
масштаб а
Схема течения
M
2
“ ????????????
. Ô
M
2
“ ????????????????????
0
. Ô
M
2
“ ????????????????????
1
. Ô
Рисунок 2.20 — Влияние схемы течения и профиля сверхзвукового канала на величину температурного разделения. M
2
.????????
“ 1.8; ????
˚
0
“ 13.90
атм; ????
˚
0
“ 25
˝
C.

64 2.5 Эффективность устройства газодинамического энергоразделения
Как уже отмечалось, ближайшим аналогом рассматриваемого устройства газодинамического энергоразделения является вихревая труба Ранка-Хилша.
В работе [
19
] Хилш предложил оценивать эффективность вихревой трубы ко­
эффициентом температурной эффективности η
????
, который представляет собой отношение степени охлаждения Δ????
˚
????
, полученной в устройстве, к степени охла­
ждения при изоэнтропийном расширении газа Δ????
˚
????????
с исходными параметрами газа ????
˚
0
и ????
˚
0
до давления охлаждённого потока ????
˚
????
η
????
“
Δ????
˚
????
Δ????
˚
????????
“
????
˚
????
´ ????
˚
0
????
˚
0
„
1 ´
´
????
˚
????
????
˚
0
¯
????´1
????
ȷ .
(2.32)
Наряду с этим параметром эффективность устройств температурного раз­
деления оценивается также с помощью адиабатного КПД η, характеризующего отношение фактической холодопроизводительности устройства к максимально возможному значению, достигаемому при идеальном расширении с потерей ра­
боты:
η “ µ
????
Δ????
˚
????
Δ????
˚
????????
“
µ
????
p????
˚
????
´ ????
˚
0
q
????
˚
0
„
1 ´
´
????
˚
????
????
˚
0
¯
????´1
????
ȷ ,
µ
????
“
????
1
????
1
` ????
2
(2.33)
Однако выражения (
2.32
) и (
2.33
) не подходят для оценки эффективности процесса в рассматриваемом устройстве, поскольку потери давления в охла­
ждённом дозвуковом потоке значительно меньше, чем в горячем сверхзвуковом потоке, и при малых ????
1
{????
2
значение η
????
может быть больше единицы. В связи с этим в [
31
] было предложено определять Δ????
˚
????????
по перепаду давлений ????
˚
0
{????
˚
ℎ
,
реализуемом в сверхзвуковом потоке. В этом случае модифицированные вы­
ражения для коэффициента температурной эффективности и адиабатического коэффициента полезного действия принимают вид:

65
η
????
“
Δ????
˚
????
Δ????
˚
????????
“
????
˚
????
´ ????
˚
0
????
˚
0
„
1 ´
´
????
˚
ℎ
????
˚
0
¯
????´1
????
ȷ ,
(2.34)
η “ µ
????
Δ????
˚
????
Δ????
˚
????????
“
µ
????
p????
˚
????
´ ????
˚
0
q
????
˚
0
„
1 ´
´
????
˚
ℎ
????
˚
0
¯
????´1
????
ȷ .
(2.35)
На рис.
2.21
показано изменение коэффициента температурной эффек­
тивности η
????
(
2.34
) и адиабатного КПД η (
2.35
) в зависимости от соотношения расходов через до- и сверхзвуковой каналы, а так же для двух различных мо­
лекулярных чисел Прандтля.
Стоит отметить, что для лучших вихревых труб, согласно данным [
74
],
η
????
« 0.7
и η « 0.32. Однако следует также отметить, что эти КПД не учитыва­
ют важную особенность исследуемого устройства, отличающую его от вихревых труб, а именно значительно меньшие потери давления торможения охлажда­
емого потока.
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
µ
????
0.0 0.1 0.2
η
,
η
????
η
????
η
η
????
η
Pr
0.71
(Воздух)
0.18
(H
2
-Xe)
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
????
1
{????
2
Рисунок 2.21 — Эффективность устройства газодинамического энергоразделения в зависимости от соотношения расходов и для различных молекулярных чисел Прандтля. ????
˚
0
“ 13.90
атм; ????
˚
0
“ 25
˝
C

66 2.6 Повышение давления торможения в сверхзвуковом канале
Как было отмечено выше, одним из достоинств устройства газодинами­
ческого энергоразделения являются малые потери давления торможения в дозвуковом канале. Однако для сверхзвукового потока величина потерь дав­
ления торможения оказывается весьма существенной (см. рис.
2.15
). Ниже рассматриваются возможности по снижению этих потерь.
2.6.1 Термодинамический анализ пределов сохранения давления торможения при отводе тепла
По аналогии с работой [
75
] рассмотрим одномерное течение совершенного газа с постоянными теплофизическими свойствами в канале постоянного сече­
ния при наличии только теплового воздействия (трением пренебрегаем). Иными словами, рассмотрим изменение параметров на линии Релея [
76
]. Будем пола­
гать, что в начальном сечении все параметры известны.
Закон сохранения количества движения в направлении движения потока можно записать как
????
2
` ρ
2
????
2 2
“ ????
1
` ρ
1
????
2 1
(2.36)
С учётом уравнения состояния совершенного газа и используя число Маха,
уравнение (
2.36
) перепишем в виде
????
2
`1 ` ????M
2 2
˘
“ ????
1
`1 ` ????M
2 1
˘ .
В итоге для изменения статического давления имеем
σ “
????
2
????
1
“
1 ` ????M
2 1
1 ` ????M
2 2
(2.37)
Переходя к параметрам торможения, получим
σ
˚
“
????
˚
2
????
˚
1
“
????
2
????
1
π pM
1
q
π pM
2
q
“
1 ` ????M
2 1
1 ` ????M
2 2
˜
1 `
????´1 2
M
2 2
1 `
????´1 2
M
2 1
¸
????
????´1
(2.38)

67
Из отношения квадратов чисел M для движения в канале постоянного сечения
M
2 2
M
2 1
“
????
2 2
????
2 1
????
1
????
2
ρ
2
ρ
1
“
????
2
????
1
????
1
????
2
“
????
1
????
2
ρ
1
ρ
2
,
получим соотношения для скорости движения
????
2
????
1
“
M
2 2
M
2 1
1 ` ????M
2 1
1 ` ????M
2 2
,
(2.39)
и для плотности газа
ρ
2
ρ
1
“
M
2 1
M
2 2
1 ` ????M
2 2
1 ` ????M
2 1
(2.40)
Закон изменения температуры получим из уравнения состояния
????
2
????
1
“
????
2
????
1
ρ
1
ρ
2
,
и соотношений (
2.37
) и (
2.40
)
θ “
????
2
????
1
“
M
2 2
M
2 1
ˆ 1 ` ????M
2 1
1 ` ????M
2 2
˙
2
(2.41)
Для температуры торможения имеем
θ
˚
“
????
˚
2
????
˚
1
“
????
2
????
1
τ pM
1
q
τ pM
2
q
“
M
2 2
M
2 1
ˆ 1 ` ????M
2 1
1 ` ????M
2 2
˙
2 1 `
????´1 2
M
2 2
1 `
????´1 2
M
2 1
(2.42)
В итоге имеем шесть уравнений для расчёта соответствующих парамет­
ров течения в произвольном сечении канала при тепловом воздействии. Все уравнения имеют в качестве аргументов только число Маха в начальном «1»
и конечном сечениях «2».
Результаты расчётов с использованием зависимостей (
2.37
)–(
2.42
) показа­
ны на рис.
2.22
. Все кривые построены для случая M
1
“ 1.0
и нормированы на значения соответствующих параметров торможения в начальном сечении.
Из графиков видно, что отвод тепла, т. е. ????
˚
2
ă ????
˚
1
соответствует снижению числа Маха в дозвуковой области и росту в сверхзвуковой. Кроме того, давле­
ние торможения возрастает как в случае дозвукового, так и сверхзвукового течений. Однако, стоит отметить, что поведение статического давления разли­
чается для двух режимов течения. В дозвуковом случае статическое давление,
как и следовало ожидать, растёт, тогда как в сверхзвуковом — уменьшается.

68 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
M
2 0
1 2
3 4
????
????
˚
1
,
????
˚
????
˚
1
????
˚
????
˚
1
????
????
˚
1 1
?
????
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
????
????
˚
1
,
????
˚
????
˚
1
????
????
˚
1
????
˚
????
˚
1
???? “ 1.4 0
5 10 15 20
ρ
ρ
˚
1
ρ
ρ
˚
1
Рисунок 2.22 — Изменение основных параметров потока при тепловом воздействии. M
1
“ 1
Кроме того, в дозвуковой области на участке
1
{
?
????
ď M ď 1
наблюдает­
ся рост термодинамической температуры при отводе тепла. Это объясняется сравнительно более быстрым падением кинетической энергии, превышающим отвод тепла [
75
].
На рис.
2.23
показано влияние начального числа Маха M
1
на процесс по­
вышения давления торможения. Как видно из рисунка максимальная степень повышения давления торможения наблюдается в случае, когда значение числа
Маха удаляется от своего критического значения M “ 1.0 в случае дозвукового течения стремясь к нулю, в сверхзвуковом случае — к бесконечности. Кроме того, на график нанесена сетка линий