Файл: Численное моделирование процессов энергоразделения в потоках сжимаемого газа.pdf
Добавлен: 12.12.2023
Просмотров: 186
Скачиваний: 3
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
????
{
????
????
“ const
, которая показывает, что при равном количестве отведённого тепла степень повышения давления тор
можения растёт с увеличением начального числа Маха M
1
как в дозвуковой,
так и в сверхзвуковой областях, т.е. тепло выгоднее отводить от потока с вы
соким начальным числом Маха.
Стоит отметить, что в дозвуковом случае имеем конечный предел повы
шения давления торможения (причём для каждого M
1
этот предел свой), тогда как в области сверхзвуковых течений такого предела нет.
69 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
M
2 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30
σ
˚
????????????
0.1 0.3 0.5 0.7
????
????
????
“ 0.9 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
σ
˚
????????????
???? “ 1.4 0.1 0.4 0.6 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8
M
1
“ 1.0
Рисунок 2.23 — Влияние начального числа Маха на величину повышения давления торможения при тепловом воздействии
Проведём оценки максимальной степени повышения давления торможе
ния в этих двух случаях.
1. Для M
1
ď 1
, M
2
“ 0.0
pσ
˚
max q
????????????
“
`1 ` ????M
2 1
˘
ˆ
1 `
???? ´ 1 2
M
2 1
˙
´
????
????´1
;
(2.43)
2. Для M
1
ě 1
, M
2
“ 8
pσ
˚
max q
????????????
“ 8.
Таким образом, σ
˚
max для дозвукового течения зависит от начального числа M
1
и показателя адиабаты ????, т.е. от вида рабочего тела.
Влияние вида рабочего тела на величину повышения давления тормо
жения при отводе тепла от потока показано на рис.
2.24
. Что характерно,
в дозвуковом потоке при переходе на газы с б´ольшим показателем адиабаты степень повышения давления увеличивается, тогда как в сверхзвуковом потоке наблюдаем обратную картину.
В таблице
3
приведены результаты расчётов по формуле (
2.43
) для раз
личных газов. Как видно из таблицы при изменении показателя адиабаты ????
70 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
M
2 1.0 1.1 1.2 1.3
σ
˚
????????????
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
σ
˚
????????????
???? “ 1.33 1.40 1.67
Рисунок 2.24 — Влияние вида рабочего тела на процесс повышения давления торможения при тепловом воздействии. M
1
“ 1.0
Таблица 3 — Зависимость максимальной степени повышения давления торможения в дозвуковом течении от вида рабочего тела
Газ
????
pσ
˚
max q
????????????
Одноатомный
5
{
3
“ 1.67 1.30
Двухатомный или линейный многоатомный
7
{
5
“ 1.40 1.27
Многоатомный нелинейный
1
{
3
“ 1.33 1.26
максимальная степень повышения давления торможения в дозвуковом потоке pσ
˚
max q
????????????
изменяется незначительно.
Также стоит отметить, что при одном и том же количестве отведённого тепла, при прочих равных условиях, повышение давления торможения всегда будет больше в сверхзвуковом потоке. Это легко показать, если принять, что изменение энтропии есть мера изменения давления торможения при тепловом воздействии [
77
]. Действительно, согласно второму началу термодинамики
Δ????
1
–2
“
2
ż
1
????????
????
(2.44)
Из уравнения (
2.44
) следует, что изменение энтропии тем больше, чем ниже средне интегральная температура процесса. Таким образом, при равных
71
начальных температурах и одном и том же количестве отведённого тепла изме
нение энтропии всегда больше в сверхзвуковом потоке, т. к. средне интегральная температура ниже.
Всё вышесказанное иллюстрирует рис.
2.25
, на котором изображена ???? -????
диаграмма процесса течения газа в канале постоянного сечения при наличии только теплового воздействия при M
1
“ 1
. Другими словами на рисунке изоб
ражена линия Релея. Помимо традиционной зависимости термодинамической температуры от изменения энтропии ???? “ ???? pΔ????q на рисунке так же приведено изменение температуры торможения ????
˚
“ ????
˚
pΔ????q
Кроме того, интегрируя уравнение (
2.44
) с использованием первого закона термодинамики и переходя к параметрам торможения, получим
Δ????
1
–2
“
???? R
???? ´ 1
ln
????
˚
2
????
˚
1
´ R ln
????
˚
2
????
˚
1
(2.45)
После потенциирования уравнения (
2.45
), имеем
σ
˚
“
????
˚
2
????
˚
1
“ exp
ˆ
????
???? ´ 1
ln
????
˚
2
????
˚
1
´
Δ????
1
–2
R
˙
(2.46)
Из уравнения (
2.46
) следуют два важных вывода:
1. Изменение давления торможения происходит только под действием из
менения температуры торможения и энтропии.
2. При отводе тепла от потока рост давления торможения сопровождается уменьшением энтропии.
1
Таким образом, по результатам проведённого анализа можно сделать сле
дующие выводы:
1. Увеличение давления торможения при отводе тепла от движущегося потока возможно как в дозвуковом, так и в сверхзвуковом потоках.
2. В дозвуковом потоке имеем конечный предел повышения давления тор
можения.
3. Влияние вида рабочего тела существенно сказывается лишь в сверхзву
ковом потоке. При переходе на газы с низким показателем адиабаты степень повышения давления торможения возрастает.
4. В сверхзвуковом потоке давление торможения при отводе тепла растёт быстрее, чем в сверхзвуковом.
1
Данный пункт ни в коем случае не вступает в противоречие со вторым началом термодинамики,
т. к. речь идёт о закрытой термодинамической системе, т. е. системе допускающей обмен энергией с внешней средой
72
´1.4
´1.2
´1.0
´0.8
´0.6
´0.4
´0.2 0.0
Δ????{????
????
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
????
????
˚
1
,
????
˚
????
˚
1
????
????
˚
1
????
????
˚
1
????
˚
????
˚
1
????
˚
????
˚
1
???? “ 1.4
???????? ă 0
M ă 1
M ą 1
Рисунок 2.25 — ???? -???? диаграмма процесса повышения давления торможения при тепловом воздействии на поток. M
1
“ 1 2.6.2 Обзор методов охлаждения потока
Существует достаточно большое количество способов охлаждения газо
вого потока. Ниже рассмотрены основные из них с точки зрения реализации эффекта повышения давления торможения.
Теплоотвод от стенок канала
Наиболее простым и очевидным способом отвода тепла от движущегося потока газа является теплоотвод через стенки канала. Уравнение, описываю
щие изменение давления торможения при одномерном рассмотрении течения в канале при наличии трения и теплообмена выглядит следующим образом [
56
]:
????????
˚
????
˚
“ ´
????M
2 2
ˆ ????????
˚
????
˚
` 4????
????
????????
????
ℎ
˙
(2.47)
73
Как известно, коэффициенты трения и теплообмена связаны между собой аналогией Рейнольдса:
St “ ????
????
????
????
2
,
(2.48)
где ????
????
— коэффициент аналогии Рейнольдса.
С учётом последнего выражения уравнение (
2.47
) после некоторых преоб
разований можно переписать в виде
????????
˚
????
˚
“ ´????M
2
????
????
????
????
????
ℎ
˜
2
????
????
`
????
????
????
˚
´
1 ` ????
????´1 2
M
2 1 `
????´1 2
M
2
¸
????????,
(2.49)
где ???? — коэффициент восстановления температуры.
Из уравнения (
2.49
) легко сформулировать условия роста давления тор
можения потока при отводе тепла через стенки канала:
????
????
ą 2
˜
1 ` ????
????´1 2
M
2 1 `
????´1 2
M
2
´
????
????
????
˚
¸
´1
(2.50)
На рис.
2.26
показаны результаты расчёта правой части неравенства (
2.50
)
для ламинарного и турбулентного пограничных слоёв в зависимости от числа
Маха при различных значениях температурного фактора ????
????
{????
˚
. По смыслу эти кривые являются линиями сохранения давления торможения в канале при на
личии теплоотвода от стенок. Т.е. превышение этих значений приводит к росту давления торможения. Как видно из рисунка при росте числа Маха предельное
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
M
2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5
????
????
Pr “ 0.7
????
????
????
˚
“ 0.50 0.40 0.25
Пограничный слой ламинарный турбулентный
Рисунок 2.26 — Линии сохранения давления торможения
74
значение коэффициента аналогии увеличивается. Кроме того, с ростом числа
Маха разница между ламинарным и турбулентным течением в пограничном слое становится всё заметнее, это объясняется возрастающим влиянием коэффи
циента восстановления (для расчёта использовались соотношения (
1.9
) и (
1.11
)).
Таким образом, определены предельные значения коэффициента аналогии
Рейнольдса, превышение которых ведёт к росту давления торможения потока при отводе тепла от стенок канала. Рассмотрим изменение значений ????
????
при различных условиях.
Коэффициент аналогии Рейнольдса
Аналогия между механизмами переноса количества движения и тепла в турбулентном потоке была впервые предложена О. Рейнольдсом в 1874 году.
Высказанная Рейнольдсом гипотеза приводит к следующему соотношению
St “
1 2
????
????
,
т.е. ????
????
“ 1
В работах [
78
;
79
] приведён обзор работ по исследованию аналогии Рей
нольдса при «стандартных» условиях, т.е. при обтекании потоком несжимаемой жидкости полубесконечной плоской пластины. Сводка формул для расчёта
????
????
приведена в табл.
4
. Анализ данных показывает, что в широком диапа
зоне изменения режимных параметров (Re, M, ????
????
{????
˚
) значения коэффициента аналогии Рейнольдса ????
????
для газов лежат в диапазоне 0.96–1.44. Согласно неравенству (
2.50
) таких значений явно недостаточно для роста давления тор
можения.
Рассмотрим влияние различных возмущающих факторов на значения ко
эффициента аналогии Рейнольдса.
Влияние уровня турбулентности потока. Изучению влияния высокого уровня турбулентности потока
???? “
b
????
1 2
????
8
75
Таблица 4 — Уравнения для расчёта коэффициента аналогии Рейнольдса при
«стандартных» условиях
№
Уравнение для ????
????
Автор
Год
1 1
О. Рейнольдс
1874 2
”
1 ´
????
????
????
1
p1 ´ Prq
ı
´1
Л. Прандтль, Г. Тейлор 1910, 1916 3
Pr
´
2
{
3
А. Колбурн
1933 4
!
1 ` 5
b
????
????
2
“
pPr ´ 1q ` ln
5Pr`1 6
‰
)
´1
Т. Карман
1939 5 0.695Re p0.09´0.01 log Re
????,????
q
????,????
Pr
´0.57
????
´
????
˚
????
????
????
¯
´0.09
Л. Козлов
1964 6
1.16
Д. Сполдинг и С. Чи
1966
на коэффициент аналогии Рейнольдса посвящено достаточно мало исследо
ваний [
80
]. Приведённые в литературе немногочисленные экспериментальные данные крайне противоречивы. Так, если в работах [
81
;
82
] влияния ???? на вели
чину ????
????
замечено не было, то из работ [
83
–
86
] следует, что с ростом степени турбулентности коэффициент аналогии значительно возрастает (рис.
2.27
).
Существенную ясность в вопрос о влиянии ???? на коэффициент аналогии
????
????
вносят экспериментальные исследования, проведённые в ЦАГИ [
87
]. По мне
нию авторов [
87
], расхождения в результатах являются в основном следствием
0 2
4 6
8 10
????
, %
1.0 1.1 1.2 1.3
????
????
{p????
????
q
0 1
2 4
5 3
Рисунок 2.27 — Сравнение опытных зависимостей коэффициента аналогии
Рейнольдса от степени турбулентности ???? набегающего потока. 1 — данные работы [
84
], 2 — [
81
], 3 — [
86
], 4 — [
85
], 5 — [
83
]. Индекс 0 — при ???? « 0 %
76
не учёта влияния масштаба турбулентности набегающего потока и числа Рей
нольдса пограничного слоя Re
˚˚
На рис.
2.28
приведены экспериментальные данные, позволяющие сделать вывод о независимости коэффициента аналогии Рейнольдса от эквивалентной турбулентности ????
????????
, учитывающей совместное влияние интенсивности турбу
лентности ???? набегающего потока, масштаба турбулентности и числа Рейнольдса пограничного слоя Re
˚˚
, рассчитанного по толщине потери импульса.
Как результат работы [
87
] можно отметить, что осреднённое значение ко
эффициента аналогии Рейнольдса, полученное при ???? ą 0, равно:
????
????
“ 1.179 ˘ 0.024.
(2.51)
2.5 3.0 3.5
log Re
˚˚
1.00 1.25
p????
????
q
0
???? « 0 0
2 4
6
????
????????
, %
1.00 1.25
????
????
???? ą 0
Рисунок 2.28 — Зависимость коэффициента аналогии Рейнольдса от числа
Рейнольдса и степени турбулентности набегающего потока. По данным работы [
87
]
Влияние продольного градиента давления. Продольный градиент дав
ления оказывает существенное влияние на процессы трения и теплообмена [
80
;
88
]. На рис.
2.29
показаны результаты работы [
80
]. Как видно из графика, по
ложительный градиент давления приводит к росту коэффициента аналогии
Рейнольдса.
Чтобы оценить пределы повышения ????
????
рассмотрим последовательно течения в ламинарном и турбулентном пограничных слоях при наличии про
дольного градиента давления.
Ламинарный пограничный слой. В общем случае течение в ламинарном пограничном слое при наличии трения и теплообмена описывается нелиней
ными дифференциальными уравнениями в частных производных. Однако при выполнении определённых условий существуют автомодельные решения [
25
],
описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями.
77
????
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10 11 12 13 14
номер сечения
´300
´200
´100 0
100 200 300
????????
????????
, Н/м
3
????????
????????
????
????
????
0.8 1.0 1.2
????
, м/с
1.0 1.5 2.0
????
????
Рисунок 2.29 — Влияние продольного градиента давления на коэффициент аналогии Рейнольдса. По данным работы [
80
]
Приведём эти условия:
– Линейная зависимость вязкости от температуры.
– Число Прандтля равно единице Pr “ 1.0.
– Температура стенки произвольна, но постоянна по всей поверхности
????
????
“ const
Используя преобразование Иллингворта – Стюартсона
ξ “
????
ż
0
????
????
????
????
????
????
˚
????
????
˚
????
????????,
η “
????
????
????
˚
????
????
ż
0
ρ
ρ
˚
????
????????
и, принимая, что скорость на внешней границе пограничного слоя изменяет
ся по закону
˜
????
????
“ ????ξ
????
,
(2.52)
систему уравнений сжимаемого ламинарного пограничного слоя можно перепи
сать следующим образом
78
????
3
` ???? ????
2
“ β
´
????
1 2
´ 1 ´ ????
¯
;
(2.53)
????
2
` ???? ????
1
“ 0,
(2.54)
где ????
1
“
????
????
????
, ???? “
????
˚
????
˚
????
´ 1
, β “
2
????
????`1
Граничными условиями для этой системы являются
???? p0q “ ????
1
p0q “ 0,
????p0q “ ????
????
,
????
1
p8q “ 1,
????p8q “ 0.
(2.55)
При принятых обозначениях, коэффициент аналогии Рейнольдса можно выразить следующим образом:
????
????
“
´????
1
????
{????
????
????
2
????
(2.56)
Результаты численного интегрирования системы (
2.53
)–(
2.54
) с граничны
ми условиями (
2.55
) показаны на рис.
2.30
Из рисунка видно, что в области положительных градиентов давления коэффициент аналогии возрастает.
Турбулентный пограничный слой. Для оценки влияния продольного градиента давления на коэффициент аналогии Рейнольдса в турбулентном пограничном слое воспользуемся теорией предельных относительных законов трения и теплообмена Кутателадзе–Леонтьева [
58
].
Согласно [
58
] зависимость коэффициента трения от параметров продоль
ного градиента
Ψ “
ˆ ????
????
????
???? 0
˙
Re
˚˚
“
ˆ ln ξ
1
????
1
˙
2
,
????
1
“
1
ż
ξ
1
ˆ
1 `
Λξ
1 ` 2ξ
˙
1{2
????ξ
ξ
,
(2.57)
где Λ “ ´
2
????
????
δ
????
????
????????
????
????????
— форм-параметр; ξ
1
— относительная толщина вязкого под
слоя.
Для коэффициента теплоотдачи имеем
Ψ
????
“
ˆ St
St
0
˙
Re
˚˚
“
ln
2
ξ
1
????
1
????
2
,
????
2
“
1
ż
ξ
1
ˆ
1 `
Λξ
1 ` 2ξ
˙
´1{2
????ξ
ξ
,
(2.58)
79
´0.3
´0.2
´0.1 0.0 0.1 0.2 0.3
β
2 4
6 8
10
????
????
???????? ą 0
???????? ă 0
???? “
β
2 ´
β
????
????
{????
˚
????
0.2 0.4 0.6 0.8
-0.13
-0.09
-0.05 0.00 0.05 0.11 0.18
Рисунок 2.30 — Изменение коэффициента аналогии Рейнольдса для ламинарного пограничного слоя при наличии продольного градиента давления
Тогда выражение для коэффициента аналогии Рейнольдса принимает сле
дующий вид:
????
????
“
Ψ
????
Ψ
????
????0
“
????
1
????
2
,
(2.59)
где ????
????0
— коэффициент аналогии при «стандартных» условиях.
На рис.
2.31
показано изменение коэффициента аналогии Рейнольдса в турбулентном пограничном слое при положительном градиенте давления. Как видно из рисунка коэффициент может достигать существенных значений, но при параметрах градиента давления близких к отрывным.
В целом можно заключить, что продольный положительный градиент дав
ления может существенным образом нарушить аналогию Рейнольдса в сторону увеличения коэффициента аналогии. Однако это может происходить в состо
яниях близких к предотрывным. Численный анализ таких течений связан со значительными трудностями и требует дальнейших детальных исследований.
Кроме того, как видно из проведённого анализа, коэффициент аналогии увели
чивается при положительном градиенте давления, т.е. при торможении потока.
Однако, как известно [
54
], торможение сверхзвукового потока приводит к воз
никновению скачков уплотнения, что, в свою очередь, ведёт к дополнительным
{
????
????
“ const
, которая показывает, что при равном количестве отведённого тепла степень повышения давления тор
можения растёт с увеличением начального числа Маха M
1
как в дозвуковой,
так и в сверхзвуковой областях, т.е. тепло выгоднее отводить от потока с вы
соким начальным числом Маха.
Стоит отметить, что в дозвуковом случае имеем конечный предел повы
шения давления торможения (причём для каждого M
1
этот предел свой), тогда как в области сверхзвуковых течений такого предела нет.
69 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
M
2 1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30
σ
˚
????????????
0.1 0.3 0.5 0.7
????
????
????
“ 0.9 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
σ
˚
????????????
???? “ 1.4 0.1 0.4 0.6 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8
M
1
“ 1.0
Рисунок 2.23 — Влияние начального числа Маха на величину повышения давления торможения при тепловом воздействии
Проведём оценки максимальной степени повышения давления торможе
ния в этих двух случаях.
1. Для M
1
ď 1
, M
2
“ 0.0
pσ
˚
max q
????????????
“
`1 ` ????M
2 1
˘
ˆ
1 `
???? ´ 1 2
M
2 1
˙
´
????
????´1
;
(2.43)
2. Для M
1
ě 1
, M
2
“ 8
pσ
˚
max q
????????????
“ 8.
Таким образом, σ
˚
max для дозвукового течения зависит от начального числа M
1
и показателя адиабаты ????, т.е. от вида рабочего тела.
Влияние вида рабочего тела на величину повышения давления тормо
жения при отводе тепла от потока показано на рис.
2.24
. Что характерно,
в дозвуковом потоке при переходе на газы с б´ольшим показателем адиабаты степень повышения давления увеличивается, тогда как в сверхзвуковом потоке наблюдаем обратную картину.
В таблице
3
приведены результаты расчётов по формуле (
2.43
) для раз
личных газов. Как видно из таблицы при изменении показателя адиабаты ????
70 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
M
2 1.0 1.1 1.2 1.3
σ
˚
????????????
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
σ
˚
????????????
???? “ 1.33 1.40 1.67
Рисунок 2.24 — Влияние вида рабочего тела на процесс повышения давления торможения при тепловом воздействии. M
1
“ 1.0
Таблица 3 — Зависимость максимальной степени повышения давления торможения в дозвуковом течении от вида рабочего тела
Газ
????
pσ
˚
max q
????????????
Одноатомный
5
{
3
“ 1.67 1.30
Двухатомный или линейный многоатомный
7
{
5
“ 1.40 1.27
Многоатомный нелинейный
1
{
3
“ 1.33 1.26
максимальная степень повышения давления торможения в дозвуковом потоке pσ
˚
max q
????????????
изменяется незначительно.
Также стоит отметить, что при одном и том же количестве отведённого тепла, при прочих равных условиях, повышение давления торможения всегда будет больше в сверхзвуковом потоке. Это легко показать, если принять, что изменение энтропии есть мера изменения давления торможения при тепловом воздействии [
77
]. Действительно, согласно второму началу термодинамики
Δ????
1
–2
“
2
ż
1
????????
????
(2.44)
Из уравнения (
2.44
) следует, что изменение энтропии тем больше, чем ниже средне интегральная температура процесса. Таким образом, при равных
71
начальных температурах и одном и том же количестве отведённого тепла изме
нение энтропии всегда больше в сверхзвуковом потоке, т. к. средне интегральная температура ниже.
Всё вышесказанное иллюстрирует рис.
2.25
, на котором изображена ???? -????
диаграмма процесса течения газа в канале постоянного сечения при наличии только теплового воздействия при M
1
“ 1
. Другими словами на рисунке изоб
ражена линия Релея. Помимо традиционной зависимости термодинамической температуры от изменения энтропии ???? “ ???? pΔ????q на рисунке так же приведено изменение температуры торможения ????
˚
“ ????
˚
pΔ????q
Кроме того, интегрируя уравнение (
2.44
) с использованием первого закона термодинамики и переходя к параметрам торможения, получим
Δ????
1
–2
“
???? R
???? ´ 1
ln
????
˚
2
????
˚
1
´ R ln
????
˚
2
????
˚
1
(2.45)
После потенциирования уравнения (
2.45
), имеем
σ
˚
“
????
˚
2
????
˚
1
“ exp
ˆ
????
???? ´ 1
ln
????
˚
2
????
˚
1
´
Δ????
1
–2
R
˙
(2.46)
Из уравнения (
2.46
) следуют два важных вывода:
1. Изменение давления торможения происходит только под действием из
менения температуры торможения и энтропии.
2. При отводе тепла от потока рост давления торможения сопровождается уменьшением энтропии.
1
Таким образом, по результатам проведённого анализа можно сделать сле
дующие выводы:
1. Увеличение давления торможения при отводе тепла от движущегося потока возможно как в дозвуковом, так и в сверхзвуковом потоках.
2. В дозвуковом потоке имеем конечный предел повышения давления тор
можения.
3. Влияние вида рабочего тела существенно сказывается лишь в сверхзву
ковом потоке. При переходе на газы с низким показателем адиабаты степень повышения давления торможения возрастает.
4. В сверхзвуковом потоке давление торможения при отводе тепла растёт быстрее, чем в сверхзвуковом.
1
Данный пункт ни в коем случае не вступает в противоречие со вторым началом термодинамики,
т. к. речь идёт о закрытой термодинамической системе, т. е. системе допускающей обмен энергией с внешней средой
72
´1.4
´1.2
´1.0
´0.8
´0.6
´0.4
´0.2 0.0
Δ????{????
????
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
????
????
˚
1
,
????
˚
????
˚
1
????
????
˚
1
????
????
˚
1
????
˚
????
˚
1
????
˚
????
˚
1
???? “ 1.4
???????? ă 0
M ă 1
M ą 1
Рисунок 2.25 — ???? -???? диаграмма процесса повышения давления торможения при тепловом воздействии на поток. M
1
“ 1 2.6.2 Обзор методов охлаждения потока
Существует достаточно большое количество способов охлаждения газо
вого потока. Ниже рассмотрены основные из них с точки зрения реализации эффекта повышения давления торможения.
Теплоотвод от стенок канала
Наиболее простым и очевидным способом отвода тепла от движущегося потока газа является теплоотвод через стенки канала. Уравнение, описываю
щие изменение давления торможения при одномерном рассмотрении течения в канале при наличии трения и теплообмена выглядит следующим образом [
56
]:
????????
˚
????
˚
“ ´
????M
2 2
ˆ ????????
˚
????
˚
` 4????
????
????????
????
ℎ
˙
(2.47)
73
Как известно, коэффициенты трения и теплообмена связаны между собой аналогией Рейнольдса:
St “ ????
????
????
????
2
,
(2.48)
где ????
????
— коэффициент аналогии Рейнольдса.
С учётом последнего выражения уравнение (
2.47
) после некоторых преоб
разований можно переписать в виде
????????
˚
????
˚
“ ´????M
2
????
????
????
????
????
ℎ
˜
2
????
????
`
????
????
????
˚
´
1 ` ????
????´1 2
M
2 1 `
????´1 2
M
2
¸
????????,
(2.49)
где ???? — коэффициент восстановления температуры.
Из уравнения (
2.49
) легко сформулировать условия роста давления тор
можения потока при отводе тепла через стенки канала:
????
????
ą 2
˜
1 ` ????
????´1 2
M
2 1 `
????´1 2
M
2
´
????
????
????
˚
¸
´1
(2.50)
На рис.
2.26
показаны результаты расчёта правой части неравенства (
2.50
)
для ламинарного и турбулентного пограничных слоёв в зависимости от числа
Маха при различных значениях температурного фактора ????
????
{????
˚
. По смыслу эти кривые являются линиями сохранения давления торможения в канале при на
личии теплоотвода от стенок. Т.е. превышение этих значений приводит к росту давления торможения. Как видно из рисунка при росте числа Маха предельное
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
M
2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5
????
????
Pr “ 0.7
????
????
????
˚
“ 0.50 0.40 0.25
Пограничный слой ламинарный турбулентный
Рисунок 2.26 — Линии сохранения давления торможения
74
значение коэффициента аналогии увеличивается. Кроме того, с ростом числа
Маха разница между ламинарным и турбулентным течением в пограничном слое становится всё заметнее, это объясняется возрастающим влиянием коэффи
циента восстановления (для расчёта использовались соотношения (
1.9
) и (
1.11
)).
Таким образом, определены предельные значения коэффициента аналогии
Рейнольдса, превышение которых ведёт к росту давления торможения потока при отводе тепла от стенок канала. Рассмотрим изменение значений ????
????
при различных условиях.
Коэффициент аналогии Рейнольдса
Аналогия между механизмами переноса количества движения и тепла в турбулентном потоке была впервые предложена О. Рейнольдсом в 1874 году.
Высказанная Рейнольдсом гипотеза приводит к следующему соотношению
St “
1 2
????
????
,
т.е. ????
????
“ 1
В работах [
78
;
79
] приведён обзор работ по исследованию аналогии Рей
нольдса при «стандартных» условиях, т.е. при обтекании потоком несжимаемой жидкости полубесконечной плоской пластины. Сводка формул для расчёта
????
????
приведена в табл.
4
. Анализ данных показывает, что в широком диапа
зоне изменения режимных параметров (Re, M, ????
????
{????
˚
) значения коэффициента аналогии Рейнольдса ????
????
для газов лежат в диапазоне 0.96–1.44. Согласно неравенству (
2.50
) таких значений явно недостаточно для роста давления тор
можения.
Рассмотрим влияние различных возмущающих факторов на значения ко
эффициента аналогии Рейнольдса.
Влияние уровня турбулентности потока. Изучению влияния высокого уровня турбулентности потока
???? “
b
????
1 2
????
8
75
Таблица 4 — Уравнения для расчёта коэффициента аналогии Рейнольдса при
«стандартных» условиях
№
Уравнение для ????
????
Автор
Год
1 1
О. Рейнольдс
1874 2
”
1 ´
????
????
????
1
p1 ´ Prq
ı
´1
Л. Прандтль, Г. Тейлор 1910, 1916 3
Pr
´
2
{
3
А. Колбурн
1933 4
!
1 ` 5
b
????
????
2
“
pPr ´ 1q ` ln
5Pr`1 6
‰
)
´1
Т. Карман
1939 5 0.695Re p0.09´0.01 log Re
????,????
q
????,????
Pr
´0.57
????
´
????
˚
????
????
????
¯
´0.09
Л. Козлов
1964 6
1.16
Д. Сполдинг и С. Чи
1966
на коэффициент аналогии Рейнольдса посвящено достаточно мало исследо
ваний [
80
]. Приведённые в литературе немногочисленные экспериментальные данные крайне противоречивы. Так, если в работах [
81
;
82
] влияния ???? на вели
чину ????
????
замечено не было, то из работ [
83
–
86
] следует, что с ростом степени турбулентности коэффициент аналогии значительно возрастает (рис.
2.27
).
Существенную ясность в вопрос о влиянии ???? на коэффициент аналогии
????
????
вносят экспериментальные исследования, проведённые в ЦАГИ [
87
]. По мне
нию авторов [
87
], расхождения в результатах являются в основном следствием
0 2
4 6
8 10
????
, %
1.0 1.1 1.2 1.3
????
????
{p????
????
q
0 1
2 4
5 3
Рисунок 2.27 — Сравнение опытных зависимостей коэффициента аналогии
Рейнольдса от степени турбулентности ???? набегающего потока. 1 — данные работы [
84
], 2 — [
81
], 3 — [
86
], 4 — [
85
], 5 — [
83
]. Индекс 0 — при ???? « 0 %
76
не учёта влияния масштаба турбулентности набегающего потока и числа Рей
нольдса пограничного слоя Re
˚˚
На рис.
2.28
приведены экспериментальные данные, позволяющие сделать вывод о независимости коэффициента аналогии Рейнольдса от эквивалентной турбулентности ????
????????
, учитывающей совместное влияние интенсивности турбу
лентности ???? набегающего потока, масштаба турбулентности и числа Рейнольдса пограничного слоя Re
˚˚
, рассчитанного по толщине потери импульса.
Как результат работы [
87
] можно отметить, что осреднённое значение ко
эффициента аналогии Рейнольдса, полученное при ???? ą 0, равно:
????
????
“ 1.179 ˘ 0.024.
(2.51)
2.5 3.0 3.5
log Re
˚˚
1.00 1.25
p????
????
q
0
???? « 0 0
2 4
6
????
????????
, %
1.00 1.25
????
????
???? ą 0
Рисунок 2.28 — Зависимость коэффициента аналогии Рейнольдса от числа
Рейнольдса и степени турбулентности набегающего потока. По данным работы [
87
]
Влияние продольного градиента давления. Продольный градиент дав
ления оказывает существенное влияние на процессы трения и теплообмена [
80
;
88
]. На рис.
2.29
показаны результаты работы [
80
]. Как видно из графика, по
ложительный градиент давления приводит к росту коэффициента аналогии
Рейнольдса.
Чтобы оценить пределы повышения ????
????
рассмотрим последовательно течения в ламинарном и турбулентном пограничных слоях при наличии про
дольного градиента давления.
Ламинарный пограничный слой. В общем случае течение в ламинарном пограничном слое при наличии трения и теплообмена описывается нелиней
ными дифференциальными уравнениями в частных производных. Однако при выполнении определённых условий существуют автомодельные решения [
25
],
описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями.
77
????
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10 11 12 13 14
номер сечения
´300
´200
´100 0
100 200 300
????????
????????
, Н/м
3
????????
????????
????
????
????
0.8 1.0 1.2
????
, м/с
1.0 1.5 2.0
????
????
Рисунок 2.29 — Влияние продольного градиента давления на коэффициент аналогии Рейнольдса. По данным работы [
80
]
Приведём эти условия:
– Линейная зависимость вязкости от температуры.
– Число Прандтля равно единице Pr “ 1.0.
– Температура стенки произвольна, но постоянна по всей поверхности
????
????
“ const
Используя преобразование Иллингворта – Стюартсона
ξ “
????
ż
0
????
????
????
????
????
????
˚
????
????
˚
????
????????,
η “
????
????
????
˚
????
????
ż
0
ρ
ρ
˚
????
????????
и, принимая, что скорость на внешней границе пограничного слоя изменяет
ся по закону
˜
????
????
“ ????ξ
????
,
(2.52)
систему уравнений сжимаемого ламинарного пограничного слоя можно перепи
сать следующим образом
78
????
3
` ???? ????
2
“ β
´
????
1 2
´ 1 ´ ????
¯
;
(2.53)
????
2
` ???? ????
1
“ 0,
(2.54)
где ????
1
“
????
????
????
, ???? “
????
˚
????
˚
????
´ 1
, β “
2
????
????`1
Граничными условиями для этой системы являются
???? p0q “ ????
1
p0q “ 0,
????p0q “ ????
????
,
????
1
p8q “ 1,
????p8q “ 0.
(2.55)
При принятых обозначениях, коэффициент аналогии Рейнольдса можно выразить следующим образом:
????
????
“
´????
1
????
{????
????
????
2
????
(2.56)
Результаты численного интегрирования системы (
2.53
)–(
2.54
) с граничны
ми условиями (
2.55
) показаны на рис.
2.30
Из рисунка видно, что в области положительных градиентов давления коэффициент аналогии возрастает.
Турбулентный пограничный слой. Для оценки влияния продольного градиента давления на коэффициент аналогии Рейнольдса в турбулентном пограничном слое воспользуемся теорией предельных относительных законов трения и теплообмена Кутателадзе–Леонтьева [
58
].
Согласно [
58
] зависимость коэффициента трения от параметров продоль
ного градиента
Ψ “
ˆ ????
????
????
???? 0
˙
Re
˚˚
“
ˆ ln ξ
1
????
1
˙
2
,
????
1
“
1
ż
ξ
1
ˆ
1 `
Λξ
1 ` 2ξ
˙
1{2
????ξ
ξ
,
(2.57)
где Λ “ ´
2
????
????
δ
????
????
????????
????
????????
— форм-параметр; ξ
1
— относительная толщина вязкого под
слоя.
Для коэффициента теплоотдачи имеем
Ψ
????
“
ˆ St
St
0
˙
Re
˚˚
“
ln
2
ξ
1
????
1
????
2
,
????
2
“
1
ż
ξ
1
ˆ
1 `
Λξ
1 ` 2ξ
˙
´1{2
????ξ
ξ
,
(2.58)
79
´0.3
´0.2
´0.1 0.0 0.1 0.2 0.3
β
2 4
6 8
10
????
????
???????? ą 0
???????? ă 0
???? “
β
2 ´
β
????
????
{????
˚
????
0.2 0.4 0.6 0.8
-0.13
-0.09
-0.05 0.00 0.05 0.11 0.18
Рисунок 2.30 — Изменение коэффициента аналогии Рейнольдса для ламинарного пограничного слоя при наличии продольного градиента давления
Тогда выражение для коэффициента аналогии Рейнольдса принимает сле
дующий вид:
????
????
“
Ψ
????
Ψ
????
????0
“
????
1
????
2
,
(2.59)
где ????
????0
— коэффициент аналогии при «стандартных» условиях.
На рис.
2.31
показано изменение коэффициента аналогии Рейнольдса в турбулентном пограничном слое при положительном градиенте давления. Как видно из рисунка коэффициент может достигать существенных значений, но при параметрах градиента давления близких к отрывным.
В целом можно заключить, что продольный положительный градиент дав
ления может существенным образом нарушить аналогию Рейнольдса в сторону увеличения коэффициента аналогии. Однако это может происходить в состо
яниях близких к предотрывным. Численный анализ таких течений связан со значительными трудностями и требует дальнейших детальных исследований.
Кроме того, как видно из проведённого анализа, коэффициент аналогии увели
чивается при положительном градиенте давления, т.е. при торможении потока.
Однако, как известно [
54
], торможение сверхзвукового потока приводит к воз
никновению скачков уплотнения, что, в свою очередь, ведёт к дополнительным