Файл: Методическое пособие для учителя Л. О. Рослова, Е. Е. Алексеева, Е. В. Буцко под ред. Л. О. Рословой. М. Фгбну Институт стратегии развития образования рао.pdf

105
2.3. Особенности изучения темы «Обыкновенные дроби» в 5-м классе
2.3.1. Изучение дробей в 5–6-х классах
Одна из основных линий содержания курса математики 5–6-х классов – арифметическая, включающая в себя крупный блок «Обыкновенные дроби».
Главная особенность заключается в том, что изучение этого блока делится на два этапа (см. таблицу 9).
Таблица 9
Распределение содержания темы по годам обучения
5-й класс: этап 1
6-й класс: этап 2
Представление о дроби как способе записи части величины.
Обыкновенные дроби. Правильные и неправильные дроби. Смешанная дробь; представление смешанной дроби в виде неправильной дроби и выделение целой части числа из неправильной дроби.
Изображение дробей точками на числовой прямой.
Основное свойство дроби.
Сокращение дробей. Приведение дроби к новому знаменателю.
Сравнение дробей.
Сложение и вычитание дробей.
Умножение и деление дробей; взаимно обратные дроби.
Нахождение части целого и целого по его части
Обыкновенная дробь, основное свойство дроби, сокращение дробей.
Сравнение и упорядочивание дробей. Решение задач на нахождение части от целого и целого по его части.
Дробное число как результат деления. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и возможность представления обыкновенной дроби в виде десятичной

106
На первом этапе происходит знакомство с основными идеями и понятиями, способами выполнения арифметических действий с обыкновенными дробями. При этом на данном этапе рассматриваются простейшие случаи арифметических действий с обыкновенными дробями без использования правил нахождения наименьшего общего знаменателя с помощью наименьшего общего кратного. Изучение понятий наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя отнесены программой к курсу математики 6-го класса.
На втором этапе происходит совершенствование навыков сравнения и преобразования дробей, идет освоение новых правил выполнения арифметических действий с дробями, формирование навыков выполнения действий с выражениями, содержащими обыкновенные дроби, расширение приемов решения задач на дроби.
Основным требованием к построению содержания, связанного с изучением дробей, является структурирование и развитие идей, реализованных ранее. Переход к изучению десятичных дробей целесообразен после комплексного и законченного во всех основных моментах изучения обыкновенных дробей, в этом случае обоснование правил действий с десятичными дробями строится на понимании правил действий с обыкновенными дробями.
Учитывая эти положения, давайте обратим наше внимание на особенности в изучении темы «Обыкновенные дроби».
2.3.2. Введение понятия дроби
Формирование представления о дроби начинается с введения понятия
«доли». Это понятие не является для учащихся новым, оно вводится в курсе математики начальной школы, учащиеся уже имеют некоторый опыт применения долей в жизненных ситуациях. Несмотря на это, на уроках нужно включать практические задания на нахождение доли целого и целого по его

107 доли, использовать при этом разнообразные предметы, допускающие деление на части.
Способом получения дробных чисел является также процесс измерения длины, так как он является историческим и в нем закладываются основы для восприятия расширения понятия числа в курсе алгебры. Чтобы учащиеся могли эффективно использовать этот способ в дальнейшем, полезно провести практическую работу «Измерение длины предмета». Этапы этой работы состоят в следующем:
1) Учащимся дается задание измерить длину некоторого предмета с заданной единицей измерения – метр. В качестве предмета можно выбрать, например, стол, книжную полку и т. п.
2) В ходе измерений у учащихся получается остаток, в котором принятая единица измерения не укладывается полностью.
3) Для измерения остатка данную единицу измерения делят на несколько равных долей и одну из них принимают за новую единицу измерения.
4) Если необходимо, повторяют этот процесс, откладывая новую единицу измерения на остатке.
В качестве результата проведенных измерений учащиеся получают дробное число.
Целесообразно использование отрезка, разделенного на равные части, в качестве простейшей модели дроби. От этой модели позже можно будет перейти к изображению дробей точками координатной прямой.
Задание.
Какую часть отрезка ОМ составляет отрезок ОА? Отрезок ОВ? Отрезок
ОС?

108
Ученик определяет, что за единицу принят отрезок ОМ, который поделен на 11 частей, значит, знаменателем дроби будет число 11. Находит, что отрезок ОА составляет две части – два одиннадцатых отрезка ОМ, отрезок
ОВ – четыре части, т. е. четыре одиннадцатых, отрезок ОС – семь частей, т. е. семь одиннадцатых, и записывает получившиеся дроби, фиксируя числитель каждой дроби:
2 11
,
4 11
,
7 11
. Таким образом, он работает со словом – названием дроби, с моделью – образом дроби, с изображением – записью дроби.
Полезно изменить число частей, на которые поделен отрезок, и предложить выполнить задание еще раз, обращая внимание на то, что изменилось, а что осталось неизменным. а) б)
Рис. 11
Можно предложить учащимся самостоятельно отметить точку, назвать и записать соответствующую дробь.
Далее важно предложить учащимся проделать «обратный путь»: начертить отрезок, который соответствовал бы названной учителем дроби, и записать эту дробь.
Не следует забывать и о величинах. При этом полезно образовывать дроби не только от величин длины, но и от величин массы (одна вторая, одна десятая, три четверти, две пятых килограмма), времени (одна вторая, одна десятая, три четверти, две пятых часа), стоимости (одна десятая, пять сотых рубля).
Таким образом, постепенно от деления предметов на равные части и долей в начальной школе через деление отрезков и величин учащиеся постепенно подходят к пониманию дроби как числа. Важно помнить, что многим учащимся требуется время, чтобы осознать появление нового для них вида чисел и привыкнуть к новой – «двухэтажной» – записи.

109
2.3.3. Изображение дробей точками на координатной прямой
Одним из важных моментов на пути освоения пятиклассниками понятия
«дроби» является изображение дробей точками на координатной прямой
(луче). К моменту начала изучения данной темы учащиеся уже умеют изображать натуральные числа точками на координатной прямой, поэтому это не должно вызывать у них особых затруднений.
Для успешного овладения приемом изображения дроби точкой на координатной прямой полезно выполнить с учащимися задания на нахождение координат точек с натуральными значениями в случаях, когда единичный отрезок на координатной прямой не указан. Например:
Задание.
Найдите координаты точек A, B, C на рисунке.
A
B
C
0 32
Решение. Отрезок от числа 0 до числа 32 разделен на 8 равных частей, значит, один такой отрезок составляет одну восьмую часть всего отрезка, значит, одному делению соответствует число 32 : 8 = 4, двум – число 8
(точка А), трем – 12, четырем – 16 (точка В), пяти – 20, шести – 24, семи – 28
(точка С). Следовательно, точки имеют координаты: А(8), В(16), С(28).
Способ изображения дроби точкой на координатной прямой следует рассматривать на примере конкретной дроби. Его обоснование формирует понятие дроби: знаменатель показывает, на сколько равных частей нужно разделить единичный отрезок, а числитель – сколько таких частей надо взять.
Необходимо на разных примерах показать, что выбор единичного отрезка зависит от знаменателей данных дробей, например разобрать следующее задание:
Задание.
Отметьте на координатной прямой точки:
1 2
,
3 4
,
5 8
,
7 8

110
В этом случае единичный отрезок удобнее принять равным 8 клеткам или 8 см, число 8 – наибольшее общее кратное знаменателей.
2.3.4. Классификация дробей
Классификация дробей, изучаемых в курсе математики 5-го класса, представлена следующими типами: правильная и неправильная дроби, смешанная дробь, что позволяет обобщить и систематизировать полученные знания о дробях. Но их изучение может осуществляться не в одной теме по причине того, что смысл записи смешанной дроби объясняется как сумма целой части и дробной части. Следовательно, это понятие можно ввести после изучения правила сложения дробей. В начале темы и так очень много новых для учащихся понятий.
Рассмотрим это на примере следующей задачи:
Задание.
8 яблок надо разделить поровну между тремя братьями. Сколько яблок достанется каждому брату?
Решение. Разделить яблоки между тремя братьями можно, например, так: разрезать каждое яблоко на три равные части и от каждого яблока дать братьям по одной такой части. Тогда каждый получит
8 3
яблока.
Можно поступить иначе: дать каждому брату по 2 целых яблока и еще по
1 3 от каждого из оставшихся яблок. Тогда каждому достанется
2 2
3
 яблока.
Для такого «комбинированного» числа, которое складывается из натурального числа и правильной дроби, есть специальное обозначение:
2 2
3
. Числа 2 и
2 3
просто записывают рядом без знака «плюс». Такую запись

111 называют смешанной дробью. При этом натуральное число 2 называют целой частью смешанной дроби, а правильную дробь
2 3
– ее дробной частью.
С введением понятия неправильной дроби у учащихся меняется уже, возможно, сложившийся стереотип, что дробь меньше целого. В этой же связи полезно обсудить с пятиклассниками, где по отношению к 1 на координатной прямой располагаются правильные дроби, а где – неправильные дроби.
0
Правильная дробь Неправильная дробь
1 1
4 5
8 11 8
7 4
Рис. 12
Все эти понятия для пятиклассников являются новыми, поэтому при организации образовательного процесса нужно использовать большое количество дидактического материала.
2.3.5. Основное свойство дроби. Сокращение дробей.
Приведение дроби к новому знаменателю
Изучение основного свойства дроби предполагает организацию работы с геометрическими моделями и/или реальными объектами. После проведения такой работы учащиеся должны самостоятельно сделать вывод о том, что одно и то же число можно выразить разными дробями с соответственно разными числителями и знаменателями. Важно, чтобы у учащихся сформировалось понимание того, что с помощью основного свойства дроби дробь можно заменить на равную ей дробь со знаменателем, кратным ее знаменателю.
Упражнения должны содержать две взаимно обратные операции, следующие из основного свойства дроби: приведение дроби к новому знаменателю и сокращение дроби. Полученные при этом умения будут развиваться при изучении алгебраических дробей.

112
Рис. 13
Математический аппарат, сформированный у учащихся к настоящему моменту, позволяет применять два способа сокращения дроби:
1) последовательное деление числителя и знаменателя дроби на их общие делители:
36 : 2 18 : 3 6
66 : 2 33 : 3 11


,
2) разложение числителя и знаменателя на множители и сокращение дроби на общие делители:
Примы нахождения общего знаменателя двух дробей лучше рассмотреть на конкретных примерах и разобрать три случая:
1) знаменатель одной дроби является делителем знаменателя другой дроби;
2) знаменатели двух дробей взаимно простые числа;
3) знаменатели двух дробей не являются делителями друг друга и не являются взаимно простыми.
Нужно учитывать, что дидактический материал должен содержать задания, в которых значения знаменателя не являются большими, то есть не требуют громоздких вычислений. Например:
Операции, следующие
из основного свойства дроби
Приведение дроби
к новому знаменателю
Сокращение
дроби

113 1) Знаменатель одной дроби является делителем знаменателя другой дроби.
Приведите дроби
5 7
и
3 14
к общему знаменателю.
2) Знаменатели двух дробей взаимно простые числа.
Приведите дроби
1 4
и
2 3
к общему знаменателю.
3) Знаменатели двух дробей не являются делителями друг друга и не являются взаимно простыми.
Приведите дроби
3 6
и
5 12
к общему знаменателю.
Более «громоздкие» случаи могут быть рассмотрены в курсе математики
6-го класса.
В результате изучения первых двух случаев учащиеся должны прийти к выводам о том, что дроби можно привести к любому общему знаменателю и в качестве общего знаменателя всегда можно взять произведение знаменателей данных дробей.
Третий случай показывает, что, чтобы вычисления были проще, надо постараться подобрать наименьший общий знаменатель. Используя третий случай, приходим к алгоритму нахождения наименьшего общего знаменателя:
1) проверяем, делится ли больший знаменатель на меньший;
2) если делится, то он и является общим знаменателем;
3) если не делится, то будем последовательно перебирать числа, кратные большему знаменателю, и проверять, делятся ли они на меньший знаменатель.
Главное, что должны понимать пятиклассники, – это что есть общий способ, а есть частные приемы, которые также полезно знать, так как их использование помогает нам в отдельных случаях.

114
2.3.6. Сравнение дробей
При изучении сравнения дробей также полезно рассмотреть различные случаи, идя от частных случаев к общему способу:
1) Сравнение дробей с равными знаменателями.
2) Сравнение дробей с равными числителями.
3) Сравнение дробей с разными знаменателями и числителями.
Рис. 14
Приемы сравнения дробей с равными знаменателями и с равными числителями можно проиллюстрировать учащимся на практических примерах. А сравнение дробей с разными знаменателями предусматривает проведение теоретических обоснований, использующих дополнительно применение алгоритмов сокращения дробей и приведения дробей к общему числителю или к общему знаменателю.
В результате изучения всех случаев сравнения дробей необходимо снова акцентировать внимание учащихся на том, что есть общий, универсальный способ – приведение к общему знаменателю, а есть рациональные приемы для частных случаев. В последнем случае важен анализ типа сравниваемых
СРАВНЕНИЕ ДРОБЕЙ
с равными
знаменателями
с равными
числителями
с разными
знаменателями и
числителями
Футбольная команда
«Вымпел» выиграла
11 38
матчей турнира, а команда
«Смелый» –
17 38
матчей турнира. Какая из команд выиграла меньше матчей в турнире?
Россия занимает 1/8 всей суши земного шара, а
Антарктида – 1/10. Россия или Антарктида занимает большую часть суши земного шара?
Урок длится 2/3 ч, а перемена – 1/4 ч. Сравните продолжительность урока и продолжительность перемены.