Файл: Методическое пособие для учителя Л. О. Рослова, Е. Е. Алексеева, Е. В. Буцко под ред. Л. О. Рословой. М. Фгбну Институт стратегии развития образования рао.pdf

115 дробей, чтобы выбрать верный прием для сравнения дробей в конкретном случае.
Задание.
Сравните
4 11
и
4 9
Универсальный способ
4 36 11 99

;
4 44 9
99

;
36 44 99 99

;
4 11
<
4 9
Рациональный прием
Из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой знаменатель больше:
11 > 9, следовательно,
4 11
<
4 9
В последнем случае важен анализ типа сравниваемых дробей, чтобы выбрать верный прием для сравнения дробей в конкретном случае.
Приведем пример, при выполнении которого полезно использовать различные приемы сравнения.
Задание.
Расположите числа
4 9
,
9 4
,
1 12
,
5 8
,
1 9
в порядке возрастания.
Первое, что надо подметить, что среди данных чисел есть числа с равными числителями – 1/12 и 1/9 и равными знаменателями – 1/9 и 4/9.
После выделения и сравнения дробей с равными числителями, равными знаменателями и распознавания неправильной дроби 9/4 остается лишь «найти место» в этом ряду дроби 5/8. Но и здесь помогут эти же способы:
5/8 > 4/8 > 4/9.
Итак, пошагово алгоритм выглядит следующим образом:
1. Сравнить дроби с равными числителями
1 12
и
1 9
2. Сравнить дроби с равными знаменателями
4 9
и
1 9

116 3. Распознать неправильную дробь
9 4
4. Определить место дроби
5 8
:
4 4
5 9
8 8
  или сравнить с
1 2
, если заметить, что
4 1
9 2
 , а
5 1
8 2
 .
Упражнения по данной теме позволяют учителю акцентировать внимание учащихся на математических задачах, имеющих множество решений. Например:
Задание.
Найдите какое-либо число, расположенное между числами:
1 8
и
1 9
Для успешного решения таких задач от учащихся требуется сообразительность, воображение, умение рассуждать, делать простейшие умозаключения. Поэтому они полезны для всех учащихся, но чрезвычайно важны для успешных учащихся, имеющих повышенный уровень математической подготовки.
Если числа расположены «близко друг к другу», придется рассматривать их через «увеличительное стекло»: увеличим знаменатель и приведем обе дроби к общему знаменателю 72, получим дроби
8 72
и
9 72
Способ 1
1 8
9 72

;
1 9
8 72

.
И снова увеличим знаменатель, умножив и числитель, и знаменатель на 2, получим
16 144
и
18 144
; вот и появился
«промежуток», в котором можно «рассмотреть» дробь
17 144 1
8 2 16 9
72 2 144




;
1 9 2 18 8
72 2 144




.
17 144 16 18 144 144


.
Но есть и другой путь, он короче.

117
У данных дробей общий числитель – 1; можно привести их к новому общему числителю – 2. Число
2 17
расположено между ними.
Способ 2
1 2
8 16

;
1 2
9 18

2 17 2
2 18 16


2.3.7. Действия с дробями
Сложение и вычитание дробей
Изучение сложения и вычитания обыкновенных дробей целесообразно осуществлять по схеме, аналогичной той, по которой шло изучение сравнения дробей. Здесь можно выделить и рассмотреть такие же случаи:
1) Сложение и вычитание дробей с равными знаменателями.
2) Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями.
3) Основные свойства или законы сложения и вычитания.
4) Сложение и вычитание смешанных дробей.
Мотивацией изучения действий над обыкновенными дробями могут служить простые задачи с сюжетными фабулами. Например:
Задание.
На тренировке по теннису
2 15
ч Дима и Максим разминались, а оставшиеся
8 15
ч времени тренировки выполняли отработку техники ударов.
Сколько времени длилась тренировка Димы и Максима? Выразите ответ сначала в часах, а затем в минутах.
Теоретический материал этой темы учащиеся воспринимают достаточно легко, но при этом рекомендуется использовать наглядные материалы: рисунки, модели, набор «Доли и дроби», чертежи, схемы.

118
При работе с упражнениями по теме «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями» также следует распределять их на группы:
• наибольший знаменатель одной из дробей является наименьшим общим знаменателем двух дробей;
• знаменатели дробей являются взаимно простыми числами;
• результатом сложения или вычитания является сократимая дробь.
Самым сложным этапом изучения является этап «Сложение и вычитание смешанных дробей», так как он содержит большее количество групп заданий.
При сложении:
• слагаемые – натуральное число и правильная дробь;
• слагаемые – натуральное число и смешанная дробь;
• слагаемые – смешанная дробь и правильная дробь;
• результат сложения – неправильная дробь;
• оба слагаемых – смешанные дроби.
При вычитании:
• вычитание натурального числа из смешанной дроби;
• вычитание правильной дроби из натурального числа;
• вычитание смешанной дроби из натурального числа;
• вычитание правильной дроби из смешанной дроби;
• вычитание двух смешанных дробей.
Поэтому данные группы заданий необходимо распределить по урокам так, чтобы изучение было постепенным, шло расширение охватываемых случаев, дозированно нарастала сложность заданий.
Умножение и деление дробей
Существует множество подходов к объяснению умножения дробей.
Каждый из них имеет свои достоинства. У учителя всегда есть возможность продемонстрировать учащимся несколько способов, реализовать внутренние межпредметные связи арифметики и геометрии.

119
По аналогии со сложением и вычитанием дробей выделяются группы заданий на умножение и деление дробей.
Особенностью при выполнении умножения и деления дробей, отличающей их от действий сложения и вычитания, является возможность сокращение дробей в процессе промежуточных вычислений, а не только после получения результата. Это момент, на который полезно обратить внимание пятиклассников.
Как и для других арифметических действий, большое значение для умножения дробей имеет прикидка и оценка результата вычислений. В данном случае необходимо проиллюстрировать учащимся на конкретных примерах, что:
• при умножении натурального числа на правильную дробь произведение меньше данного натурального числа, например:
3 9
8 2
2 1
1 4
2
  
,
1 4
2 12
 ;
• при умножении натурального числа на неправильную дробь произведение больше данного натурального числа, например:
12 3
8 3
2
 
,
32 12
 .
2.3.8. Нахождение части целого и целого по его части
Одна из важнейших целей изучаемой темы – овладение учащимися способами решения задач на нахождение части целого и целого по его части.
При решении таких задач применяются два способа решения: с помощью понятия дроби (развернутые действия) и с помощью умножения или деления на дробь (свернутые действия).
Задание.
На ремонт участка дороги длиной 5 км отведено 3 дня. В первый день было отремонтировано
2 5
длины этого участка. Сколько километров дороги отремонтировали в первый день?

120
Решение:
Способ 1: 5: 5 ∙ 2 = 2 (км). Ответ: 2 км.
Способ 2: 5 ∙
2 5
= 2 (км). Ответ: 2 км.
Задание.
В первый день было отремонтировано
3 5
длины дороги, что составило
6 км. Какова общая длина дороги?
Решение:
Способ 1: 6: 3 ∙ 5 = 10 (км). Ответ: 10 км.
Способ 2: 6:
3 5
= 10 (км). Ответ: 10 км.
Выбор способа – за учеником, поскольку это зависит от его индивидуального уровня сформированности понятия дроби и действий с дробями, ученик должен «дозреть» до понимания смысла данного действия, формальное запоминание правила без понимания не даст продолжительного положительного результата. Возможно, это произойдет уже в 5-м классе, но при изучении десятичных дробей, или в 6-м классе, в любом случае в 5-м классе это не является планируемым результатом.
И здесь же снова полезно вернуться к наглядным моделям, объясняющим действия. Надо добиваться от пятиклассника понимания совершаемых действий, их осмысленности, а не бездумного заучивания алгоритмов.
Тема «Дроби» важна не только сама по себе, но и как основа для продолжения знакомства с дробями – изучения десятичных дробей. Если создана прочная ориентировочная база выполнения различных действий с обыкновенными дробями, то и изучение десятичных дробей не вызовет у учащихся серьезных проблем.

121
Подведем итоги
1. Формирование понятия дроби в курсе 5-го класса включает следующие важные этапы и составляющие:
• введение понятия дроби;
• изображение дробей точками на координатной прямой;
• знакомство с видами обыкновенных дробей;
• освоение основного свойства дроби, применение свойства для сокращения дробей и приведения дроби к новому знаменателю;
• сравнение дробей;
• действия с дробями;
• нахождение части целого и целого по его части.
Каждый из этих этапов базируется на предыдущих, на каждом этапе необходимо добиваться от учащихся осознанности выполняемых ими действий. Таким образом ученик будет постепенно переходить от оперирования отдельными понятиями, связанными с обыкновенной дробью, к все более осознанному и свободному оперированию понятием дроби.
2. На каждом этапе формирования понятия дроби целесообразно обращаться к моделям, одной из которых является координатная прямая.
3. При изучении различных способов сравнения и выполнения арифметических действий необходимо акцентировать внимание учащихся на том, что есть общий, универсальный способ, а есть рациональные приемы для частных случаев.
4.
Полезно всякий раз, где это возможно и с учетом индивидуальных возможностей учащихся и класса, обосновывать, доказывать используемые свойства, приучая учащихся к мысли, что в математике ничего не принимается на веру, а все, что используется, обязательно должно быть доказано. Это особенно важно для развития учащихся, способных достичь повышенных уровней математической подготовки.

122
2.4. Тема «Десятичные дроби»: акценты при формировании понятия и
умений оперировать с ним в 5-м классе
2.4.1. Планируемые результаты обучения теме «Десятичные дроби»
В соответствии с Примерной рабочей программой по математике основного общего образования базового уровня (ПРП ООО), разработанной с целью выполнения требований ФГОС ООО, в 5-м классе увеличивается количество понятий, связанных с числовой линией. Наряду с такими понятиями, как «натуральное число» и «обыкновенная дробь» вводится понятие «десятичная дробь». Тематическим планированием ПРП ООО по математике на изучение темы «Десятичные дроби» отводится 38 часов.
Планируемые результаты освоения темы, представленные в программе, включают метапредметные результаты, в т. ч. УУД, предметные, которые отражены в основном содержании темы (см. таблицу 10) и достижение цели формирования функциональной математической грамотности на уровне темы.
Таблица 10

123
У учащихся уже сформированы соответствующие понятия и умения выполнения арифметических действий с натуральными числами, обыкновенными и смешанными дробями, имеются знания свойств арифметических действий. Поэтому при изучении темы «Десятичные дроби», с одной стороны, осуществляется формирование понятия «десятичная дробь» и начинается формирование умений выполнения действий с десятичными дробями, а с другой – обобщение знаний и умений выполнения действий с натуральными числами и обыкновенными дробями на действия.
Числовая линия – одна из основных содержательных составляющих школьного курса математики и связана со всеми другими содержательными линиями. Поэтому результаты изучения темы «Десятичные дроби» являются одной из основ фундамента для успешного изучения всех тем.
Взаимосвязь числовой содержательной линии
с содержательными линиями школьного курса математики
Рис. 16
.
Кроме того, высокий уровень сформированности умения оперировать понятием «десятичная дробь» в 5-м классе является своеобразным мостиком к углубленному изучению математики, в том числе в 7–9-х классах, а также одной из ступенек лестницы успеха в реальной жизни.
Важно отметить, что в 5-м классе изучение десятичных дробей только начинается, это первичное знакомство, оно будет продолжено в 6-м классе.
Числовая
линия,
в том числе десятичные дроби
Уравнения и неравенства
Функциональная линия
Геометрия
Теория вероятностей и статистика
Тождественные преобразования

124
Поэтому в предметных результатах на конец 5-го класса нет требований, связанных с действиями с десятичными числами, с процентами. Учащиеся должны получить представление об арифметических действиях с десятичными дробями, которые, однако, не являются здесь итоговым результатом, выполнение действий на контроль не выносится, при этом простейшие ситуации могут войти в промежуточный контроль.
Таким образом, при изучении темы «Десятичные дроби» необходимо организовать деятельность пятиклассников, направленную на формирование:
– понятия «десятичная дробь» и восприятие этого понятия как формы записи чисел;
– умения распознавать проявления понятия «десятичная дробь» в реальных жизненных ситуациях;
– умения сравнивать, округлять десятичные дроби;
– умения выполнять арифметические действия с десятичными дробями;
– умения изображать десятичные дроби точками на координатной прямой;
– готовности решать различные математические, учебно-познавательные и контекстные задачи, оперируя понятием «десятичная дробь»;
– умения создавать простейшие математические модели, применяя освоенный математический аппарат при изучении темы «Десятичные дроби» для решения практико-ориентированных задач, интерпретировать и оценивать полученные результаты;
– понимания значимости темы «Десятичные дроби» для дальнейшего успешного изучения школьного курса математики.
Аналогично процессу изучения темы «Натуральные числа» выделим три основных этапа изучения десятичных дробей:
1) приобретение предметных знаний соответствующих теме;
2) применение предметных знаний при выполнении заданий;
3) контроль результатов обучения теме.
Ориентируясь на выделенные этапы, выявим основные виды деятельности учащихся (см. таблицу 11).