Файл: Методическое пособие для учителя Л. О. Рослова, Е. Е. Алексеева, Е. В. Буцко под ред. Л. О. Рословой. М. Фгбну Институт стратегии развития образования рао.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.12.2023
Просмотров: 691
Скачиваний: 13
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Делим
на 10
Делим
на 100
Делим
на 10
136 организует их корректировку с помощью вопросов или предлагает учащимся скорректировать самостоятельно, используя, например, материалы учебника.
Этот этап открытия понятия завершается обобщением результатов всех групп и оцениванием выполненной деятельности.
Класс тысяч Класс единиц
Разрядные
слагаемые
сот. дес. ед. сот. дес. ед.
десятые
сотые
тысячные
3 300000 3
30000 3
3000 3
300 3
30 3
3 3
3 10 3
3 100 3
3 1000
При таком подходе к открытию понятия «десятичная дробь» формируется понимание, что десятичная дробь – это не новый тип числа, а новый способ записи числа: форма записи числа, в которой значимость каждой цифры зависит от ее позиции в записи.
Учащиеся заносят результат деятельности в личное портфолио, фиксируя результат деятельности в специальных тетрадях «Основные результаты учебной деятельности» при изучении математики, или конструируют карточку-памятку.
Памятка. Понятие «десятичная дробь»
Десятичная дробь – это не новый тип числа, а новый способ записи числа: форма записи числа, в которой значимость каждой цифры зависит от её позиции в записи числа.
Делим
на 1000
Делим
на 10
Обыкновенная дробь
Смешанная дробь
Десятичная дробь
????????
????????
= ????
????
????????
= ????, ????
137
2.4.3. Организация процесса открытия пятиклассниками правил
сложения и вычитания десятичных дробей
Опираясь на понимание факта, что десятичная дробь – это новый способ записи числа, и базируясь на сформированности умений выполнения действий с натуральными числами, обыкновенными дробями, учитель организует деятельность учащихся в направлении самостоятельного открытия учащимися правил выполнения арифметических действий с десятичными дробями. Такой подход позволит учащимся не формально запомнить правила выполнения действий, а осмыслить их и затем осознанно применять.
Правила сложения и вычитания десятичных дробей
Проиллюстрируем поэтапное открытие правил сложения и вычитания десятичных дробей.
На первом этапе учитель создает проблемную ситуацию. Он предлагает учащимся проанализировать записи выполнения сложения и вычитания двух чисел, записанные в столбик, в которых по две записи – верные, а другие составлены на основе типичных ошибок, которые допускают школьники.
Отметим, что в зависимости от уровня математической подготовки класса, отдельных учащихся учитель может ограничиться лишь случаями сложения чисел, а также подобрать более простые случаи, чем предложены ниже, например, не более двух знаков до и после запятой, не увлекаться нулями и девятками, переходами через десяток. Предложенный ниже вариант можно отнести к наиболее сложным.
В рассматриваемом примере в таблице ячейки с верными записями для наглядности выделены цветом, а в ячейках с неверными записями запись выделена красным цветом. На практике учитель предлагает учащимся записи выполнения сложения, не отражая верные и неверные.
138
????, ???????????? + ????????, ???? =?
????, ???? + ????????????, ???????????? = ?
????????, ???????????? − ????, ???? =?
????????, ????– ????, ???????????? =?
+
7, 2 3 8
2 1, 4
2 8, 6 3 8
+
5,
3
2 3 4,
0 5 9
2 3 9,
3 5 9
–
7 8, 5 2 9
4, 2
7 4, 3 2 9
–
9 8, 3
5, 7 2 4
9 2, 5 7 6
+
7, 2 3 8 2
1, 4 9, 3 7 8
+
5, 3 2
3 4, 0 5 9 7, 6 4 0 5 9
–
7 8, 5 2 9 4, 2 3, 6 5 2 9
–
9 8, 3 5, 7 2 4 4, 1 1 4
+
7, 2 3
8 2
1, 4 7, 4 5
2
+
5, 3 2
3 4, 0 5 9
2 3 4, 1 1 2
–
7 8, 5 2 9
4, 2 7 8, 4 8 7
–
9, 8 3 5, 7 2 4 5, 2 5 9
В результате анализа учащиеся выявляют, что:
– в первом случае десятичные дроби записаны так, что целые и дробные части чисел записаны друг под другом;
+
7, 2 3 8
2 1, 4
2 8, 6 3 8
+
5,
3
2 3 4,
0 5 9
2 3 9,
3 5 9
–
7 8, 5 2 9
4, 2
7 4, 3 2 9
–
9 8, 3
5, 7 2 4
9 2, 5 7 6
– во втором случае десятичные дроби записаны так, что первые цифры в записи дробей находятся друг под другом;
+
7, 2 3 8 2
1, 4 9, 3 7 8
+
5, 3 2
3 4, 0 5 9 7, 6 4 0 5 9
–
7 8, 5 2 9 4, 2 3, 6 3 2 9
–
9 8, 3 5, 7 2 4 4, 1 1 4
– в третьем случае десятичные дроби записаны так, что последние цифры в записи дробей находятся друг под другом.
+
7, 2 3
8 2
1, 4 7, 4 5
2
+
5, 3 2
3 4, 0 5 9
2 3 4, 1 1 2
–
7 8, 5 2 9
4, 2 7 8, 4 8 7
–
9, 8 3 5, 7 2 4 5, 2 5 9
139
При этом во всех трех случаях результаты действия сложения
(вычитания) отличаются друг от друга. Таким образом, перед учащимися появилась проблема, в рамках которой сформулированы вопросы:
– Как выполнить сложение и вычитание десятичных дробей?
– Можно ли выполнить сложение и вычитание, записав десятичные дроби при выполнении действий в столбик?
– Если можно выполнить эти действия в столбик, то как записать десятичные дроби при выполнении сложения и вычитания в столбик?
На последующих этапах учитель организует деятельность учащихся, непосредственно направленную на открытие правил выполнения действий сложения и вычитания, формирование понимания этих правил. На всех этапах учитель руководит деятельностью учащихся. При этом степень руководства зависит от уровня изучения темы, активности учащихся. Поэтому учитель предлагает учащимся, например, выполнить какие-то действия, формулируя их в общем виде, или оказывает консультационную помощь, или задает вопросы, которые подсказывают учащимся, какие действия надо выполнить.
На втором этапе учащиеся вспоминают, что они знают правила сложения и вычитания обыкновенных и смешанных дробей. Учащиеся выдвигают гипотезу, что выполнить сложение или вычитание десятичных дробей можно, записав числа в виде обыкновенных или смешанных дробей.
На этом этапе учитель руководит деятельностью учащихся, при необходимости, задавая наводящие вопросы, например:
– Какие формы записи чисел нам известны?
– Какие правила сложения чисел в другой форме мы изучили?
– Можем ли десятичные дроби представить в другой форме записи так, чтобы выполнить действия, используя уже известные правила сложения и вычитания чисел?
Или в явном виде предлагает выполнить дополнительные действия: записать десятичные дроби в форме смешанных или обыкновенных дробей,
140 выполнить сложение и вычитание чисел, полученных при переходе к другой форме записи.
Учащиеся записывают результаты своих действий.
7,238 + 21,4 =
7238 1000
+
214 10
=
7238 1000
+
21400 1000
=
28638 1000
= 28,638 5,3 + 234,059 =
53 10
+
234059 1000
=
5300 1000
+
234059 1000
=
239359 1000
= 239,359 7,238 + 21,4 = 7 238 1000
+ 21 4
10
= 7 238 1000
+ 21 400 1000
= 28 638 1000
= 28,638 5,3 + 234,059 = 5 3
10
+ 234 59 1000
= 5 300 1000
+ 234 59 1000
= 239 359 1000
= 239,359 78,529 − 4,2 =
78529 1000
−
42 10
=
78529 1000
−
4200 1000
=
74329 1000
= 74,329 98,3 − 5,724 =
983 10
−
5724 1000
=
98300 1000
−
5724 1000
=
92576 1000
= 92,576 78,529 − 4,2 = 78 529 1000
− 4 2
10
= 78 529 1000
− 4 200 1000
= 74 329 1000
= 74,329 98,3 − 5,724 = 98 3
10
− 5 724 1000
= 98 300 1000
− 5 724 1000
= 97 1300 1000
− 5 724 1000
= 92 576 1000
= 92,576
Затем учитель предлагает учащимся сравнить результаты сложения
(вычитания) всех вариантов и сформулировать вывод.
Учащиеся сравнивают значения выражений при переходе к записи десятичных дробей в форме обыкновенных дробей, выявляют их равенство и самостоятельно формулируют выводы о выполнении сложения и вычитания десятичных дробей. Результатом сравнения и анализа является вывод
о выполнении сложения и вычитания десятичных дробей поразрядно.
Приведем примеры рассуждений учащихся и формулировок выводов.
141
Рассуждения учащихся
7,238 + 21,4 =
7238 1000
+
214 10
=
7238 1000
+
21400 1000
=
28638 1000
= 28,638 7,238 + 21,4 = 7 238 1000
+ 21 4
10
= 7 238 1000
+ 21 400 1000
= 28 638 1000
= 28,638 5,3 + 234,059 =
53 10
+
234059 1000
=
5300 1000
+
234059 1000
=
239359 1000
= 239,359 5,3 + 234,059 = 5 3
10
+ 234 59 1000
= 5 300 1000
+ 234 59 1000
= 239 359 1000
= 239,359 78,529 − 4,2 =
78529 1000
−
42 10
=
78529 1000
−
4200 1000
=
74329 1000
= 74,329 78,529 − 4,2 = 78 529 1000
− 4 2
10
= 78 529 1000
− 4 200 1000
= 74 329 1000
= 74,329 98,3 − 5,724 =
983 10
−
5724 1000
=
98300 1000
−
5724 1000
=
92576 1000
= 92,576 98,3 − 5,724 = 98 3
10
− 5 724 1000
= 98 300 1000
− 5 724 1000
= 97 1300 1000
− 5 724 1000
= 92 576 1000
= 92,576 1) Так как при сложении (вычитании) двух десятичных дробей при переходе к их записи в форме обыкновенных и смешанных дробей получились равные результаты, то можно выполнять сложение (вычитание) десятичных дробей, осуществляя переход к другой форме записи десятичных дробей.
2) Так как сложение (вычитание) десятичных дробей при переходе к записи в виде обыкновенных и смешанных дробей связано с разрядами, то сложение (вычитание) десятичных дробей можно выполнять поразрядно.
Вывод: сложение и вычитание десятичных дробей, так же как и сложение и вычитание натуральных чисел, выполняется поразрядно.
После формулирования вывода учитель обращает внимание учащихся на то, что опыт, приобретенный ими ранее при изучении тем «Натуральные числа» и
«Обыкновенные дроби», в частности использование сформированных умений представления чисел в разных формах записи, выполнения действий сложения и вычитания обыкновенных и смешанных дробей, помог им найти один из путей решения проблемы. Тем самым учитель показывает пятиклассникам взаимосвязь разных тем математики и необходимость изучения учебного материала на достаточно высоком уровне.
142
На третьем этапе учащиеся сравнивают и анализируют результаты сложения (вычитания) десятичных дробей в виде смешанных дробей с результатами записей сложения (вычитания) в столбик, учитывая результаты предыдущего сравнения. Результатом этой деятельности является сформулированный учащимися вывод о правильной записи десятичных
дробей при выполнении действий сложения и вычитания в столбик.
Рассуждения учащихся
7,238 + 21,4 = 7 238 1000
+ 21 4
10
= 7 238 1000
+ 21 400 1000
= 28 638 1000
= 28,638 5,3 + 234,059 = 5 3
10
+ 234 59 1000
= 5 300 1000
+ 234 59 1000
= 239 359 1000
= 239,359
+
7, 2 3 8
2 1, 4 0 0
2 8, 6 3 8
+
5,
3 0 0
2 3 4,
0 5 9
2 3 9,
3 5 9
78,529 − 4,2 = 78 529 1000
− 4 2
10
= 78 529 1000
− 4 200 1000
= 74 329 1000
= 74,329 98,3 − 5,724 = 98 3
10
− 5 724 1000
= 98 300 1000
− 5 724 1000
= 97 1300 1000
− 5 724 1000
= 92 576 1000
= 92,576
–
7 8, 5 2 9
4, 2 0 0
7 4, 3 2 9
–
9 8, 3 0 0
5, 7 2 4
9 2, 5 7 6
3) Так как результаты сложения (вычитания) двух десятичных дробей при переходе к их записи в форме смешанных дробей совпадает с результатом сложения (вычитания) в столбик при записи целой и дробных частей друг под другом, то такой вид записи сложения (вычитания) в столбик является верным.
Вывод: при сложении и вычитании десятичных дробей десятичные дроби записывают в столбик таким образом, чтобы цифры, стоящие в одноименных разрядах, были расположены друг под другом.
На четвертом этапе учитель организует деятельность учащихся в направлении выявления учащимися наиболее рационального способа выполнения сложения и вычитания десятичных дробей. В процессе этой
143 деятельности учащиеся анализируют, сравнивают и оценивают действия, выполненные в процессе сложения (вычитания) десятичных дробей при их записи в форме обыкновенной и смешанной дроби и в столбик. Результатом деятельности учащихся является самостоятельно сформулированный ими
вывод о наиболее рациональном способе выполнения сложения и
вычитания десятичных дробей.
Рассуждения учащихся
7,238 + 21,4 =
7238 1000
+
214 10
=
7238 1000
+
21400 1000
=
28638 1000
= 28,638 7,238 + 21,4 = 7 238 1000
+ 21 4
10
= 7 238 1000
+ 21 400 1000
= 28 638 1000
= 28,638 5,3 + 234,059 =
53 10
+
234059 1000
=
5300 1000
+
234059 1000
=
239359 1000
= 239,359 5,3 + 234,059 = 5 3
10
+ 234 59 1000
= 5 300 1000
+ 234 59 1000
= 239 359 1000
= 239,359
+
7, 2 3 8
2 1, 4 0 0
2 8, 6 3 8
+
5,
3 0 0
2 3 4,
0 5 9
2 3 9,
3 5 9
78,529 − 4,2 =
78529 1000
−
42 10
=
78529 1000
−
4200 1000
=
74329 1000
= 74,329 78,529 − 4,2 = 78 529 1000
− 4 2
10
= 78 529 1000
− 4 200 1000
= 74 329 1000
= 74,329 98,3 − 5,724 =
983 10
−
5724 1000
=
98300 1000
−
5724 1000
=
92576 1000
= 92,576 98,3 − 5,724 = 98 3
10
− 5 724 1000
= 98 300 1000
− 5 724 1000
= 97 1300 1000
− 5 724 1000
= 92 576 1000
= 92,576
–
7 8, 5 2 9
4, 2 0 0
7 4, 3 2 9
–
9 8, 3 0 0
5, 7 2 4
9 2, 5 7 6
4) Так как выполнено меньшее количество действий в процессе сложения и вычитания десятичных дробей в столбик, то сократилась запись выполнения вычислений, и сам процесс вычисления значений упростился.
Вывод: наиболее рациональным способом выполнения сложения и вычитания десятичных дробей является выполнение этих действий в столбик.
144
На последнем этапе открытия правил сложения и вычитания десятичных дробей учителя под руководством учащиеся обобщают выполненную деятельность. Целесообразно организовать составление предписания для выполнения этих арифметических действий с десятичными дробями.
Предписание «Сложение и вычитание десятичных дробей»
1) Записать десятичные дроби в столбик, разместив одноимённые разряды друг под другом, запятую под запятой;
2) уравнять у дробей количество знаков после запятой, если это необходимо;
3) выполнить сложение (вычитание), не обращая внимание на запятую;
4) скорректировать значение суммы (разности), поставив в найденном числе запятую под запятой в данных дробях.
Затем учитель организует процесс самооценивания учащимися выполненной деятельности. В качестве домашнего задания учитель предлагает учащимся сконструировать карточки-памятки, эталоны, отражающие правильную запись при выполнении сложения и вычитания десятичных дробей в столбик, предписания и добавить их в портфолио, которое учащиеся могут использовать при возникновении затруднений при решении задач, повторении темы при подготовке к зачету или контрольной работе по теме.
Памятка. Сложение и вычитание десятичных дробей
При сложении и вычитании десятичных дробей в столбик дроби записывают таким образом, чтобы цифры, стоящие в одноимённых разрядах, были расположены друг под другом.
+
7, 2 3 8
2 1, 4 0 0
2 8, 6 3 8
–
9 8, 3 0 0
5, 7 2 4
9 2, 5 7 6
145
2.4.4. Основные подходы к организации открытия учащимися правил
умножения десятичных дробей
Открытие учащимися правил умножения десятичных дробей базируется на деятельностном подходе с использованием знаний и умений, в частности, анализа и сравнения математических объектов, поиска аналогии и переноса действий на другие объекты при открытии понятия «десятичная дробь» и умений выполнения действий сложения и вычитания десятичных дробей.
Рассмотрим основные подходы к организации открытия учащимися правил умножения десятичных дробей.
Умножение десятичных дробей на 10, 100, 1000 и т. д.
Открытие правила умножения десятичных дробей на 10, 100, 1000 и т. д. базируется на понимании умножения натурального числа на эти числа, а именно, что число увеличивается в соответствующее количество раз, и на понимании значимости каждой цифры числа в зависимости от ее позиции в записи десятичной дроби.
На первом этапе учитель организует групповую работу и предлагает учащимся проанализировать десятичные дроби с целью выявления изменений, происходящих с разрядными слагаемыми при переходе от разрядного слагаемого более низкого разряда к предыдущему разряду.
По аналогии с процессом открытия понятия «десятичная дробь» учитель предлагает сначала провести анализ чисел, записанных с помощью одной цифры. У групп учащихся числа, записанные с помощью разных цифр, например 7.
Класс единиц
Разрядные слагаемые
сот. дес. ед.
десятые
сотые
тысячные
7 700 7
70 7
7 7
7 10 7
7 100 7
7 1000
Умножаем
на 1000
Умножаем
на 10
Умножаем
на 100
на 10
Делим
на 100
Делим
на 10
136 организует их корректировку с помощью вопросов или предлагает учащимся скорректировать самостоятельно, используя, например, материалы учебника.
Этот этап открытия понятия завершается обобщением результатов всех групп и оцениванием выполненной деятельности.
Класс тысяч Класс единиц
Разрядные
слагаемые
сот. дес. ед. сот. дес. ед.
десятые
сотые
тысячные
3 300000 3
30000 3
3000 3
300 3
30 3
3 3
3 10 3
3 100 3
3 1000
При таком подходе к открытию понятия «десятичная дробь» формируется понимание, что десятичная дробь – это не новый тип числа, а новый способ записи числа: форма записи числа, в которой значимость каждой цифры зависит от ее позиции в записи.
Учащиеся заносят результат деятельности в личное портфолио, фиксируя результат деятельности в специальных тетрадях «Основные результаты учебной деятельности» при изучении математики, или конструируют карточку-памятку.
Памятка. Понятие «десятичная дробь»
Десятичная дробь – это не новый тип числа, а новый способ записи числа: форма записи числа, в которой значимость каждой цифры зависит от её позиции в записи числа.
Делим
на 1000
Делим
на 10
Обыкновенная дробь
Смешанная дробь
Десятичная дробь
????????
????????
= ????
????
????????
= ????, ????
137
2.4.3. Организация процесса открытия пятиклассниками правил
сложения и вычитания десятичных дробей
Опираясь на понимание факта, что десятичная дробь – это новый способ записи числа, и базируясь на сформированности умений выполнения действий с натуральными числами, обыкновенными дробями, учитель организует деятельность учащихся в направлении самостоятельного открытия учащимися правил выполнения арифметических действий с десятичными дробями. Такой подход позволит учащимся не формально запомнить правила выполнения действий, а осмыслить их и затем осознанно применять.
Правила сложения и вычитания десятичных дробей
Проиллюстрируем поэтапное открытие правил сложения и вычитания десятичных дробей.
На первом этапе учитель создает проблемную ситуацию. Он предлагает учащимся проанализировать записи выполнения сложения и вычитания двух чисел, записанные в столбик, в которых по две записи – верные, а другие составлены на основе типичных ошибок, которые допускают школьники.
Отметим, что в зависимости от уровня математической подготовки класса, отдельных учащихся учитель может ограничиться лишь случаями сложения чисел, а также подобрать более простые случаи, чем предложены ниже, например, не более двух знаков до и после запятой, не увлекаться нулями и девятками, переходами через десяток. Предложенный ниже вариант можно отнести к наиболее сложным.
В рассматриваемом примере в таблице ячейки с верными записями для наглядности выделены цветом, а в ячейках с неверными записями запись выделена красным цветом. На практике учитель предлагает учащимся записи выполнения сложения, не отражая верные и неверные.
138
????, ???????????? + ????????, ???? =?
????, ???? + ????????????, ???????????? = ?
????????, ???????????? − ????, ???? =?
????????, ????– ????, ???????????? =?
+
7, 2 3 8
2 1, 4
2 8, 6 3 8
+
5,
3
2 3 4,
0 5 9
2 3 9,
3 5 9
–
7 8, 5 2 9
4, 2
7 4, 3 2 9
–
9 8, 3
5, 7 2 4
9 2, 5 7 6
+
7, 2 3 8 2
1, 4 9, 3 7 8
+
5, 3 2
3 4, 0 5 9 7, 6 4 0 5 9
–
7 8, 5 2 9 4, 2 3, 6 5 2 9
–
9 8, 3 5, 7 2 4 4, 1 1 4
+
7, 2 3
8 2
1, 4 7, 4 5
2
+
5, 3 2
3 4, 0 5 9
2 3 4, 1 1 2
–
7 8, 5 2 9
4, 2 7 8, 4 8 7
–
9, 8 3 5, 7 2 4 5, 2 5 9
В результате анализа учащиеся выявляют, что:
– в первом случае десятичные дроби записаны так, что целые и дробные части чисел записаны друг под другом;
+
7, 2 3 8
2 1, 4
2 8, 6 3 8
+
5,
3
2 3 4,
0 5 9
2 3 9,
3 5 9
–
7 8, 5 2 9
4, 2
7 4, 3 2 9
–
9 8, 3
5, 7 2 4
9 2, 5 7 6
– во втором случае десятичные дроби записаны так, что первые цифры в записи дробей находятся друг под другом;
+
7, 2 3 8 2
1, 4 9, 3 7 8
+
5, 3 2
3 4, 0 5 9 7, 6 4 0 5 9
–
7 8, 5 2 9 4, 2 3, 6 3 2 9
–
9 8, 3 5, 7 2 4 4, 1 1 4
– в третьем случае десятичные дроби записаны так, что последние цифры в записи дробей находятся друг под другом.
+
7, 2 3
8 2
1, 4 7, 4 5
2
+
5, 3 2
3 4, 0 5 9
2 3 4, 1 1 2
–
7 8, 5 2 9
4, 2 7 8, 4 8 7
–
9, 8 3 5, 7 2 4 5, 2 5 9
139
При этом во всех трех случаях результаты действия сложения
(вычитания) отличаются друг от друга. Таким образом, перед учащимися появилась проблема, в рамках которой сформулированы вопросы:
– Как выполнить сложение и вычитание десятичных дробей?
– Можно ли выполнить сложение и вычитание, записав десятичные дроби при выполнении действий в столбик?
– Если можно выполнить эти действия в столбик, то как записать десятичные дроби при выполнении сложения и вычитания в столбик?
На последующих этапах учитель организует деятельность учащихся, непосредственно направленную на открытие правил выполнения действий сложения и вычитания, формирование понимания этих правил. На всех этапах учитель руководит деятельностью учащихся. При этом степень руководства зависит от уровня изучения темы, активности учащихся. Поэтому учитель предлагает учащимся, например, выполнить какие-то действия, формулируя их в общем виде, или оказывает консультационную помощь, или задает вопросы, которые подсказывают учащимся, какие действия надо выполнить.
На втором этапе учащиеся вспоминают, что они знают правила сложения и вычитания обыкновенных и смешанных дробей. Учащиеся выдвигают гипотезу, что выполнить сложение или вычитание десятичных дробей можно, записав числа в виде обыкновенных или смешанных дробей.
На этом этапе учитель руководит деятельностью учащихся, при необходимости, задавая наводящие вопросы, например:
– Какие формы записи чисел нам известны?
– Какие правила сложения чисел в другой форме мы изучили?
– Можем ли десятичные дроби представить в другой форме записи так, чтобы выполнить действия, используя уже известные правила сложения и вычитания чисел?
Или в явном виде предлагает выполнить дополнительные действия: записать десятичные дроби в форме смешанных или обыкновенных дробей,
140 выполнить сложение и вычитание чисел, полученных при переходе к другой форме записи.
Учащиеся записывают результаты своих действий.
7,238 + 21,4 =
7238 1000
+
214 10
=
7238 1000
+
21400 1000
=
28638 1000
= 28,638 5,3 + 234,059 =
53 10
+
234059 1000
=
5300 1000
+
234059 1000
=
239359 1000
= 239,359 7,238 + 21,4 = 7 238 1000
+ 21 4
10
= 7 238 1000
+ 21 400 1000
= 28 638 1000
= 28,638 5,3 + 234,059 = 5 3
10
+ 234 59 1000
= 5 300 1000
+ 234 59 1000
= 239 359 1000
= 239,359 78,529 − 4,2 =
78529 1000
−
42 10
=
78529 1000
−
4200 1000
=
74329 1000
= 74,329 98,3 − 5,724 =
983 10
−
5724 1000
=
98300 1000
−
5724 1000
=
92576 1000
= 92,576 78,529 − 4,2 = 78 529 1000
− 4 2
10
= 78 529 1000
− 4 200 1000
= 74 329 1000
= 74,329 98,3 − 5,724 = 98 3
10
− 5 724 1000
= 98 300 1000
− 5 724 1000
= 97 1300 1000
− 5 724 1000
= 92 576 1000
= 92,576
Затем учитель предлагает учащимся сравнить результаты сложения
(вычитания) всех вариантов и сформулировать вывод.
Учащиеся сравнивают значения выражений при переходе к записи десятичных дробей в форме обыкновенных дробей, выявляют их равенство и самостоятельно формулируют выводы о выполнении сложения и вычитания десятичных дробей. Результатом сравнения и анализа является вывод
о выполнении сложения и вычитания десятичных дробей поразрядно.
Приведем примеры рассуждений учащихся и формулировок выводов.
141
Рассуждения учащихся
7,238 + 21,4 =
7238 1000
+
214 10
=
7238 1000
+
21400 1000
=
28638 1000
= 28,638 7,238 + 21,4 = 7 238 1000
+ 21 4
10
= 7 238 1000
+ 21 400 1000
= 28 638 1000
= 28,638 5,3 + 234,059 =
53 10
+
234059 1000
=
5300 1000
+
234059 1000
=
239359 1000
= 239,359 5,3 + 234,059 = 5 3
10
+ 234 59 1000
= 5 300 1000
+ 234 59 1000
= 239 359 1000
= 239,359 78,529 − 4,2 =
78529 1000
−
42 10
=
78529 1000
−
4200 1000
=
74329 1000
= 74,329 78,529 − 4,2 = 78 529 1000
− 4 2
10
= 78 529 1000
− 4 200 1000
= 74 329 1000
= 74,329 98,3 − 5,724 =
983 10
−
5724 1000
=
98300 1000
−
5724 1000
=
92576 1000
= 92,576 98,3 − 5,724 = 98 3
10
− 5 724 1000
= 98 300 1000
− 5 724 1000
= 97 1300 1000
− 5 724 1000
= 92 576 1000
= 92,576 1) Так как при сложении (вычитании) двух десятичных дробей при переходе к их записи в форме обыкновенных и смешанных дробей получились равные результаты, то можно выполнять сложение (вычитание) десятичных дробей, осуществляя переход к другой форме записи десятичных дробей.
2) Так как сложение (вычитание) десятичных дробей при переходе к записи в виде обыкновенных и смешанных дробей связано с разрядами, то сложение (вычитание) десятичных дробей можно выполнять поразрядно.
Вывод: сложение и вычитание десятичных дробей, так же как и сложение и вычитание натуральных чисел, выполняется поразрядно.
После формулирования вывода учитель обращает внимание учащихся на то, что опыт, приобретенный ими ранее при изучении тем «Натуральные числа» и
«Обыкновенные дроби», в частности использование сформированных умений представления чисел в разных формах записи, выполнения действий сложения и вычитания обыкновенных и смешанных дробей, помог им найти один из путей решения проблемы. Тем самым учитель показывает пятиклассникам взаимосвязь разных тем математики и необходимость изучения учебного материала на достаточно высоком уровне.
142
На третьем этапе учащиеся сравнивают и анализируют результаты сложения (вычитания) десятичных дробей в виде смешанных дробей с результатами записей сложения (вычитания) в столбик, учитывая результаты предыдущего сравнения. Результатом этой деятельности является сформулированный учащимися вывод о правильной записи десятичных
дробей при выполнении действий сложения и вычитания в столбик.
Рассуждения учащихся
7,238 + 21,4 = 7 238 1000
+ 21 4
10
= 7 238 1000
+ 21 400 1000
= 28 638 1000
= 28,638 5,3 + 234,059 = 5 3
10
+ 234 59 1000
= 5 300 1000
+ 234 59 1000
= 239 359 1000
= 239,359
+
7, 2 3 8
2 1, 4 0 0
2 8, 6 3 8
+
5,
3 0 0
2 3 4,
0 5 9
2 3 9,
3 5 9
78,529 − 4,2 = 78 529 1000
− 4 2
10
= 78 529 1000
− 4 200 1000
= 74 329 1000
= 74,329 98,3 − 5,724 = 98 3
10
− 5 724 1000
= 98 300 1000
− 5 724 1000
= 97 1300 1000
− 5 724 1000
= 92 576 1000
= 92,576
–
7 8, 5 2 9
4, 2 0 0
7 4, 3 2 9
–
9 8, 3 0 0
5, 7 2 4
9 2, 5 7 6
3) Так как результаты сложения (вычитания) двух десятичных дробей при переходе к их записи в форме смешанных дробей совпадает с результатом сложения (вычитания) в столбик при записи целой и дробных частей друг под другом, то такой вид записи сложения (вычитания) в столбик является верным.
Вывод: при сложении и вычитании десятичных дробей десятичные дроби записывают в столбик таким образом, чтобы цифры, стоящие в одноименных разрядах, были расположены друг под другом.
На четвертом этапе учитель организует деятельность учащихся в направлении выявления учащимися наиболее рационального способа выполнения сложения и вычитания десятичных дробей. В процессе этой
143 деятельности учащиеся анализируют, сравнивают и оценивают действия, выполненные в процессе сложения (вычитания) десятичных дробей при их записи в форме обыкновенной и смешанной дроби и в столбик. Результатом деятельности учащихся является самостоятельно сформулированный ими
вывод о наиболее рациональном способе выполнения сложения и
вычитания десятичных дробей.
Рассуждения учащихся
7,238 + 21,4 =
7238 1000
+
214 10
=
7238 1000
+
21400 1000
=
28638 1000
= 28,638 7,238 + 21,4 = 7 238 1000
+ 21 4
10
= 7 238 1000
+ 21 400 1000
= 28 638 1000
= 28,638 5,3 + 234,059 =
53 10
+
234059 1000
=
5300 1000
+
234059 1000
=
239359 1000
= 239,359 5,3 + 234,059 = 5 3
10
+ 234 59 1000
= 5 300 1000
+ 234 59 1000
= 239 359 1000
= 239,359
+
7, 2 3 8
2 1, 4 0 0
2 8, 6 3 8
+
5,
3 0 0
2 3 4,
0 5 9
2 3 9,
3 5 9
78,529 − 4,2 =
78529 1000
−
42 10
=
78529 1000
−
4200 1000
=
74329 1000
= 74,329 78,529 − 4,2 = 78 529 1000
− 4 2
10
= 78 529 1000
− 4 200 1000
= 74 329 1000
= 74,329 98,3 − 5,724 =
983 10
−
5724 1000
=
98300 1000
−
5724 1000
=
92576 1000
= 92,576 98,3 − 5,724 = 98 3
10
− 5 724 1000
= 98 300 1000
− 5 724 1000
= 97 1300 1000
− 5 724 1000
= 92 576 1000
= 92,576
–
7 8, 5 2 9
4, 2 0 0
7 4, 3 2 9
–
9 8, 3 0 0
5, 7 2 4
9 2, 5 7 6
4) Так как выполнено меньшее количество действий в процессе сложения и вычитания десятичных дробей в столбик, то сократилась запись выполнения вычислений, и сам процесс вычисления значений упростился.
Вывод: наиболее рациональным способом выполнения сложения и вычитания десятичных дробей является выполнение этих действий в столбик.
144
На последнем этапе открытия правил сложения и вычитания десятичных дробей учителя под руководством учащиеся обобщают выполненную деятельность. Целесообразно организовать составление предписания для выполнения этих арифметических действий с десятичными дробями.
Предписание «Сложение и вычитание десятичных дробей»
1) Записать десятичные дроби в столбик, разместив одноимённые разряды друг под другом, запятую под запятой;
2) уравнять у дробей количество знаков после запятой, если это необходимо;
3) выполнить сложение (вычитание), не обращая внимание на запятую;
4) скорректировать значение суммы (разности), поставив в найденном числе запятую под запятой в данных дробях.
Затем учитель организует процесс самооценивания учащимися выполненной деятельности. В качестве домашнего задания учитель предлагает учащимся сконструировать карточки-памятки, эталоны, отражающие правильную запись при выполнении сложения и вычитания десятичных дробей в столбик, предписания и добавить их в портфолио, которое учащиеся могут использовать при возникновении затруднений при решении задач, повторении темы при подготовке к зачету или контрольной работе по теме.
Памятка. Сложение и вычитание десятичных дробей
При сложении и вычитании десятичных дробей в столбик дроби записывают таким образом, чтобы цифры, стоящие в одноимённых разрядах, были расположены друг под другом.
+
7, 2 3 8
2 1, 4 0 0
2 8, 6 3 8
–
9 8, 3 0 0
5, 7 2 4
9 2, 5 7 6
145
2.4.4. Основные подходы к организации открытия учащимися правил
умножения десятичных дробей
Открытие учащимися правил умножения десятичных дробей базируется на деятельностном подходе с использованием знаний и умений, в частности, анализа и сравнения математических объектов, поиска аналогии и переноса действий на другие объекты при открытии понятия «десятичная дробь» и умений выполнения действий сложения и вычитания десятичных дробей.
Рассмотрим основные подходы к организации открытия учащимися правил умножения десятичных дробей.
Умножение десятичных дробей на 10, 100, 1000 и т. д.
Открытие правила умножения десятичных дробей на 10, 100, 1000 и т. д. базируется на понимании умножения натурального числа на эти числа, а именно, что число увеличивается в соответствующее количество раз, и на понимании значимости каждой цифры числа в зависимости от ее позиции в записи десятичной дроби.
На первом этапе учитель организует групповую работу и предлагает учащимся проанализировать десятичные дроби с целью выявления изменений, происходящих с разрядными слагаемыми при переходе от разрядного слагаемого более низкого разряда к предыдущему разряду.
По аналогии с процессом открытия понятия «десятичная дробь» учитель предлагает сначала провести анализ чисел, записанных с помощью одной цифры. У групп учащихся числа, записанные с помощью разных цифр, например 7.
Класс единиц
Разрядные слагаемые
сот. дес. ед.
десятые
сотые
тысячные
7 700 7
70 7
7 7
7 10 7
7 100 7
7 1000
Умножаем
на 1000
Умножаем
на 10
Умножаем
на 100