Файл: Методическое пособие для учителя Л. О. Рослова, Е. Е. Алексеева, Е. В. Буцко под ред. Л. О. Рословой. М. Фгбну Институт стратегии развития образования рао.pdf

146
Так как учащимся уже знакома такая деятельность, то они самостоятельно анализируют изменения, происходящие с разрядными слагаемыми при переходе от слагаемого более низкого разряда к предыдущему разряду, к слагаемому более высокого разряда.
Рассуждения учащихся:
– если осуществить переход от слагаемого более низкого разряда к предыдущему разряду, то происходит увеличение разрядного слагаемого в 10 раз, так как во всех случаях умножаем на 10;
– если сделать переход через одно разрядное слагаемое, то слагаемое увеличивается в сто раз, так как умножаем на сто;
– если сделать переход через два разрядных слагаемых, то слагаемое увеличивается в тысячу раз, так как умножаем на тысячу.

147
– так как при переходе от числа, записанного в первой строчке, к числу, записанному в третьей строчке (т. е. через строчку), наблюдается переход разрядного слагаемого от более низкого к более высокому разряду через разряд, то умножаем на 100.
После этого учитель организует деятельность учащихся в направлении формулирования правила умножения десятичной дроби на 10 и 100, переноса действий на умножение десятичной дроби на 1000, 10000 и т. д.
Действия учащихся. Читают и записывают числа, представленные в таблицах, в форме десятичных дробей. Выявляют на основе аналогии и обобщения действий с разрядными слагаемыми действия с десятичными дробями и заполняют пропуски в выражениях, указывая вместо кружочка арифметическое действие, вместо квадратика – число, чтобы получилось верное равенство.
Число
Действия с разрядными слагаемыми
5,916
5,916
59,16
5,916 ⊙⊡= 59,16
591,6
5,916 ⊙⊡= 591,6
Затем учащиеся формулируют правило умножения десятичных дробей на 10 и 100, расширяя его на умножение на 1000 и т. д.
Рассуждения учащихся:
– так как при переходе от разрядного слагаемого более низкого разряда к последующему разряду умножаем слагаемое на 10, то для получения числа, записанного в следующей строчке, должны число, записанное в предыдущей строчке, умножить на 10:
5,916 • 10 = 59,16;
– так как при переходе от разрядного слагаемого более низкого разряда к слагаемому через разряд умножаем слагаемое на 100, то для получения числа, записанного в последней строчке, должны число, записанное в первой строчке, умножить на 100:
5,916 • 100 = 591,6;
–
5,916 • 1000 = 5916;5,916 • 10000 = 59160; 5,916 • 100000 = 591600.
Умножаем
на 100
Умножаем
на 10

148
Вывод: чтобы число умножить на 10, 100, 1000 и т. д., надо запятую перенести на 1, 2, 3 и т. д. цифры вправо, а если цифр не хватает, то приписать справа нули.
После этого учитель организует проверку сформулированного правила.
Учащиеся проверяют сформулированное правило с использованием записи десятичных дробей в форме обыкновенных дробей, выполняя аналогию с процессом открытия правила сложения и вычитания десятичных дробей.
5,916 ⊙⊡= 59,16 5,916 • 10 =
5916 1000
• 10 =
5916 100
= 59,16 5,916 ⊙⊡= 591,6 5,916 • 100 =
5916 1000
• 100 =
5916 10
= 591,6
Далее учащиеся работают с учебником – сверяют свою формулировку с формулировкой, данной в учебнике, и при необходимости корректируют самостоятельно сформулированное правило.
Аналогично примеру организации открытия учащимися правила умножения десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д. учитель организует деятельность учащихся в направлении открытия правила деления десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д.
При оценивании и обобщении результатов деятельности учащиеся составляют памятки, отражающие правила умножения и деления десятичных дробей на 10, 100, 1000 и т.д.
Памятка. Умножение десятичных дробей на 10, 100, 100 и т. д.
При умножении десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д надо запятую перенести на столько знаков вправо, сколько нулей в множителе, а если цифр не хватает, то приписать справа нули.
5,916 • 1
????
= 59,6;5,916 • 1
????????
= 591,6;5,916 • 1
????????????
= 5916;
5,916 • 1
????????????????
= 59160;5,916 • 1
????????????????????
= 591600.

149
Умножение десятичных дробей
Процесс формирования у учащихся умений умножения десятичных дробей базируется на сформированности у них понимания действий умножения натуральных чисел и действий умножения и деления десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д.
Учитель организует деятельность учащихся в направлении самостоятельного открытия правила умножения десятичных дробей, используя задачи, связанные с реальными или вымышленными объектами, математические задачи. В направлении достижения дидактической цели задачи конструируются учителем или подбираются таким образом, что условие содержит известные числовые величины – натуральные числа и десятичные дроби, а требование направлено на выполнение их умножения.
Например, первая задача связана с вымышленным объектом, а вторая задача сконструирована на основе истории Большого театра в Москве, а именно: условие содержит размеры зала и сцены театра.
Задача 1. Поле подсолнухов
За дедушкиной деревней начинается поле подсолнухов, длина которого 298 м, а ширина –
31 м. Поле имеет форму прямоугольника, длина которого, кажется, протянулась до самого горизонта. Вычислите площадь подсолнухового поля.
Задача 2. Путешествуем по столице. Большой театр
В 1924–1959 годах Большой театр имел две сцены – основную и филиал. Длина основного зала с учётом оркестровой раковины – 29,8 м, ширина – 31 м, высота – 19,6 м. Глубина сцены –
22,8 м, ширина – 39,3 м, размер портала сцены –
21,5×17,2 м.
Большой театр, 1956 г.

150 1) Найдите площадь основного зала Большого театра.
2) Вычислите площадь сцены и портала сцены.
Учитель организует анализ задач.
Действия учащихся. Учащиеся выделяют условие и требование задач, выявляют, что моделью реальных объектов – поля, театрального зала, сцены и портала сцены является прямоугольник. Из темы «Наглядная геометрия» учащимся уже известно, как найти площадь прямоугольника, поэтому они записывают действия, которые направлены на нахождение ответа на поставленные в задачах вопросы. На этом этапе учащиеся находят ответ только на вопрос первой задачи, при решении которой выполняют умножение натуральных чисел, т. е. действия, правила выполнения которых им известны.
Решение задач учащимися
Задача 1
Задача 2
первый вопрос
второй вопрос
298 • 31 = 9238 (м
2
) – площадь подсолнухового поля.
Ответ: 9238 м
2 29,8 • 31 =
?
(м
2
) – площадь зала
Большого театра.
Ответ:
?
м
2
а) 22,8 • 39,3 =
?
(м
2
) – площадь сцены б) 21,5 • 17,2 =
?
(м
2
)
– площадь портала сцены.
Ответ:
?
м
2
,
?
м
2
Затем пятиклассники сравнивают решения задач и выявляют, что произведение в решении первой задачи отличается от произведения к первому вопросу второй задачи тем, что один из множителей в 10 раз меньше.
Вспоминают, как изменяется произведение при уменьшении множителя в некоторое количество раз, и формулируют вывод: значение произведения будет в десять раз меньше, т. к. 298 • 31 = 9238 , то 29,8 • 31 = 923,8.
Следовательно, 923,8 м
2
– площадь зала Большого театра.
При поиске ответа на второй вопрос задачи учащиеся рассуждают аналогично.
Рассуждения учащихся:
– если бы были произведения натуральных чисел, записанные теми же цифрами, что и десятичные дроби – 228 • 393 и 215 • 172, – то можно было бы вычислить значение произведения, используя правило умножения натуральных чисел;

151
– так как каждый из множителей в произведениях 22,8 • 39,3 и
21,5 • 17,2 в 10 раз меньше, то значение произведения в 100 раз меньше;
– так как значение произведения меньше в 100 раз, то в значении произведения натуральных чисел нужно перенести запятую на два знака влево: так как 228 • 393 = 89604, то 22,8 • 39,3 = 896,04.
Создалась проблемная ситуация: как найти количество знаков, на которое нужно перенести запятую. Учащиеся продолжают рассуждения:
– так как должны перенести запятую на два знака влево и общее количество знаков после запятой в обоих множителях равно двум, то количество знаков, на которое нужно перенести запятую, равно сумме знаков после запятой в обоих множителях.
Таким образом, в результате сравнения количества знаков после запятой в обоих множителях и в значении произведения учащиеся находят путь выхода из проблемной ситуации.
Далее учитель организует обобщение деятельности и формулирование правила выполнения умножения десятичных дробей. Учащиеся формулируют правило умножения десятичных дробей, сравнивают сформулированное правило с правилом, данным в учебнике, при необходимости корректируют сформулированное правило и составляют карточку-памятку, содержащую предписание для выполнения умножения десятичных дробей.
Предписание «Умножение десятичных дробей»
1) Записать десятичные дроби в столбик, не обращая внимание на запятую, т. е. аналогично записи умножения в столбик натуральных чисел.
2) Выполнить умножение, не обращая внимание на запятую.
3) Подсчитать общее количество знаков после запятой в множителях.
4) В произведении поставить запятую, отделив справа запятой столько знаков, сколько их в обоих множителях.

152
2.4.5. Поэтапное открытие учащимися правил деления десятичной дроби
на натуральное число и десятичную дробь
Деление, в котором один или оба компонента являются десятичной дробью, – действие, которое по сравнению с другими арифметическими действиями вызывает наибольшие трудности у учащихся. Поэтому в этом случае знакомство с делением чисел нужно организовать с постепенным нарастанием сложности заданий.
Результатом деления может быть натуральное число, обыкновенная дробь или смешанная дробь, которую можно или нельзя записать в виде конечной десятичной дроби. Поэтому при формировании умений деления десятичных дробей на натуральное число или десятичную дробь нужно обратить внимание учащихся не только на последовательность действий при делении, но и на результат деления и на форму его записи.
Как известно, деление натурального числа или десятичной дроби на десятичную дробь сводится к делению числа на натуральное число, в связи с этим первоначально необходимо сформировать у учащихся умение деления десятичной дроби на натуральное число.
Деление десятичной дроби на натуральное число
Организация процесса самостоятельного открытия правил сложения, вычитания и умножения десятичных дробей опирается на выполнение этих действий с натуральными числами, обыкновенными или смешанными дробями и их свойства, т. е. на правила, которые известны учащимся. Ориентируясь на такой подход, покажем организацию процесса открытия учащимися правила деления десятичной дроби на натуральное число.

153
На первом этапе учитель организует сравнение компонентов деления натуральных чисел и десятичной дроби на натуральное число, подобрав такие числа, которые вызовут у учащихся наименьшие затруднения. Учащиеся выполняют деление натуральных чисел и десятичной дроби на натуральное число, записывая десятичную дробь в форме обыкновенной дроби.
6 ∶ 2 = 3 0,6 ∶ 2 =
6 10
: 2 =
3 10
= 0,3 20 ∶ 5 = 4 0,2 ∶ 5 =
2 10
: 5 =
20 100
: 5 = 0,04 12 ∶ 3 = 4 1,2 ∶ 3 =
12 10
: 3 =
4 10
= 0,4 513 ∶ 3 = 171 51,3 ∶ 3 =
513 10
: 3 =
171 10
= 17,1 5,13 ∶ 3 =
513 100
: 3 =
171 100
= 1,71 0,513 ∶ 3 =
513 1000
: 3 =
171 1000
= 0,171
Рассуждения учащихся при сравнении компонентов деления:
– так как натуральное число, составленное из тех же цифр, что и десятичная дробь, делится на другое натуральное число, то можно выполнить деление десятичной дроби на натуральное число, записав сначала дробь в форме обыкновенной дроби;
– так как получили обыкновенную дробь, которую можно записать в форме десятичной дроби, то выполним переход от записи частного в форме обыкновенной дроби к десятичной форме записи.
Во всех случаях результатом деления была десятичная дробь.
На втором этапе учитель создает проблемную ситуацию с помощью задачи, связанной с реальным спортивным событием.