Файл: Методическое пособие для учителя Л. О. Рослова, Е. Е. Алексеева, Е. В. Буцко под ред. Л. О. Рословой. М. Фгбну Институт стратегии развития образования рао.pdf

154
Задача «Фигурное катание».
26–28 апреля 2022 года состоялись Всероссийские соревнования
«Южный бриз», которые проводились на ледовой арене дворца спорта
«Большой» в Сочи.
Во время соревнований по синхронному катанию судьи поставили команде «Жемчужина» следующие баллы: 7,75; 7,50; 7,83; 8,00; 8,00; за композицию сумма баллов равна 62,53; за элементы – сумма баллов 61,13.
Учитель составляет вопросы, ориентированные на выполнение деления десятичной дроби на натуральное число, например:
 Каков средний балл команды за синхронное катание?
 Каков общий средний балл получила команда за синхронное катание?
Рассуждения учащихся:
– так как средний балл равен среднему арифметическому выставленных баллов, то надо вычислить среднее арифметическое известных баллов.
1) 7,75; 7,50;
7,83; 8,00;
8,00
(7,75 + 7,50 + 7,83 + 8,00 + 8,00): 5 = 39,08: 5 =
?
2) 7,75; 7,50;
7,83; 8,00;
8,00;
62,53; 61,13
(7,75 + 7,50 + 7,83 + 8,00 + 8,00 + 62,53 + 61,13): 7 =
= (39,08 + 62,53 + 61,13): 7 = 162,74: 7 =
?
– так как натуральные числа 3908 и 16274 не делятся нацело соответственно на 5 и 7 нацело, то как найти значения выражений 39,08: 5 и
162,74: 7?
Под руководством учителя школьники ищут выход из проблемы.
Учащиеся представляют найденные суммы баллов в виде сумм так, чтобы слагаемые делились на 5 и 7 соответственно, при этом выделяют наибольшие слагаемые из числа суммы баллов.

155 1) 7,75; 7,50;
7,83; 8,00;
8,00
(7,75 + 7,50 + 7,83 + 8,00 + 8,00): 5 = 39,08: 5 =
?
39,08: 5 = (35 + 4,08): 5 = (35 + 4 + 0,05 + 0,03): 5 =
= 7 + 0,8 + 0,01 + 0,030: 5 = 7 + 0,8 + 0,01 + 0,006
= 7,816 2) 7,75; 7,50;
7,83; 8,00;
8,00;
62,53; 61,13
(7,75 + 7,50 + 7,83 + 8,00 + 8,00 + 62,53 + 61,13): 7 =
= (39,08 + 62,53 + 61,13): 7 = 162,74: 7 =
?
162,74: 7 = (140 + 22,74): 7
= (140 + 21 + 1,4 + 0,28 + 0,06): 7 =
= 20 + 3 + 0,2 + 0,04 + 0,06: 7 = 23,24 + 0,06: 7 162,74: 7 =
16274 100
: 7 =
162274 100 • 7
= 23 87 350
В результате анализа полученных выражений выявлено, что:
1) при ответе на первый вопрос получилась десятичная дробь, а во втором случае не удалось выполнить деление до конца;
2) выделение наибольших слагаемых из значений сумм баллов, которые делятся на 5 и 7 соответственно, отражает позиционный состав числа с учетом деления на число;
3) запись деления через разложение числа на слагаемые, во-первых, трудоемко, а во-вторых, не всегда удается выполнить деление.
На третьем этапе учитель или кто-то из учащихся предлагает выполнить деление в столбик, опираясь на позиционный состав десятичной дроби.
Учитель сначала демонстрирует образцы записи и предлагает учащимся самостоятельно записать деление в столбик в рамках решения первой задачи, затем на доске выполняет комментируемое деление, акцентируя внимание учащихся на правильной последовательности выполнения действий при делении. Учащиеся сравнивают свою запись с записью учителя и корректируют ее при необходимости.

156 39,08: 5 = 7,816
–
3 9, 0 8 0 5
3 5
7, 8
1
6
–
4 0
4 0
–
8 5
–
3 0 3 0 0
162,74: 7 = 23 174 700
= 23 87 350
–
1 6
2, 7 4 7
1 4
2
3, 2
4…
–
2 2
2 1
–
1 7 1
4
–
3 4 2 8 6
Во втором случае, так как деление десятичной дроби на натуральное число не завершилось, учитель демонстрирует, как записать частное в таких случаях, отмечая, что в этом случае целесообразно перейти к записи в виде дроби обыкновенной.
Затем учитель организует обобщение учащимися выполненной деятельности через рассмотрение различных частных случаев, формулирование правила деления десятичной дроби на натуральное число.
Учащиеся составляют памятку, включая образцы выполнения деления в столбик.
Памятка. Деление десятичной дроби на натуральное число
Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же, как и деление натуральных чисел, при этом сразу после того, как завершено деление целой части, в частном ставят запятую.
–
1 5
8
8
1, 8 7 5
–
7 0
6 4
–
6 0 5 6
–
4 0 4 0 0
–
1, 8 9 7
0
0, 2 7
–
1 8
1 4
–
4 9 4 9 0
–
7 4, 7
1
2
7 2
6, 2 2 5
–
2 7
2 4
–
3 0 2 4
–
6 0 6 0 0

157
Деление числа на десятичную дробь
Следующий этап посвящен формированию умения деления на десятичную дробь.
На этом этапе целесообразно предложить учащимся рассмотреть два случая: деление натурального числа на десятичную дробь и деление десятичной дроби на десятичную дробь. Аналогично рассмотренному выше процессу организация открытия правила деления на десятичную дробь базируется на деятельностном подходе. Следовательно, учитель может использовать для этого задачи, известные числовые данные которых представлены натуральными и десятичными дробями, записанными с помощью одинаковых цифр.
Учитель предлагает учащимся записать решение задач, а потом сравнить и проанализировать их или организует анализ и сравнение уже готовых решений. В обоих случаях в результате сравнения решений выявляется аналогичность и отличия в компонентах действий решения. Кроме того, знание правила деления десятичной дроби на натуральное число помогает учащимся сформулировать правило деления натурального числа или десятичной дроби на десятичную дробь. Приведем, примеры задач для открытия правил деления на десятичную дробь.
Учитель, создавая проблемную ситуацию, ставит перед учащимися учебную задачу: выявить аналогию и различия условий и требований задач и обосновать изменение значений частного.
Номер и текст задачи
Решение задачи
1 Около дедушкиного дома в деревне большой приусадебный участок прямоугольной формы.
Найдите длину приусадебного участка, если его площадь равна 2048м
2
, а ширина равна 32 м.
2048: 32 = 64 (м) – длина приусадебного участка.
Ответ: 64 м.

158 2 Около дедушкиного дома в деревне большой приусадебный участок, на котором помимо дома и огорода расположен фруктовый сад.
Много разных плодовых деревьев растёт в саду.
Есть яблони, вишни, сливы, абрикосы. Найдите ширину прямоугольного участка, на котором расположен фруктовый сад, если его площадь равна 204,8м
2
, а длина равна 32 м.
204,8: 32 = 6,4 (м) – ширина фруктового сада.
Ответ: 6,4 м.
3 Около дедушкиного дома в деревне большой приусадебный участок, на котором помимо дома и огорода расположен фруктовый сад. На чердаке дома хранятся разные старые вещи, которые могут рассказать много историй, связанных с домом и жизнью его обитателей.
Найдите длину чердака, если он имеет правильную прямоугольную форму, его площадь равна 20,48м
2
, а длина – 3,2 м.
20,48: 3,2 = 6,4 (м) – длина чердака.
Ответ: 6,4 м.
Учитель руководит деятельностью учащихся, задавая при необходимости наводящие вопросы. После обсуждения задач и их решений учитель предлагает обобщить выполненные действия с числами, добавив случай, не относящийся к решению задач, когда делимое и делитель в выражении к первой задаче одновременно уменьшаются в 10, 100 и т. д. раз.
Рассуждения учащихся:
– так как во всех трех задачах геометрической моделью разных участков является прямоугольник, то, зная его площадь и одно из измерений, вычисляют второе измерение прямоугольника;
– числовые данные размеров участков записаны с помощью одинаковых цифр в одной и той же последовательности, но в разных формах;

159
– изменение частного в 10 раз в решении второй задачи по сравнению с первой объясняется уменьшением в 10 раз делимого;
– одновременное уменьшение делимого и делителя в 10 раз в третьей задаче по сравнению со второй не привело к изменению частного;
– если делимое и делитель в выражении 2048: 32 = 64 одновременно уменьшать в 10, 100 и т. д. раз, то частное остается без изменения:
204,8: 3,2 = 64; 20,48: 0,32 = 64; 2,048: 0,032 = 64.
Вывод: деление на десятичную дробь можно заменить делением на натуральное число.
Результатом деятельности учащихся является сформулированное правило.
Предписание деления натурального числа и десятиной дроби
на десятичную дробь
Деление на десятичную дробь сводится к делению на натуральное число.
1) В делимом и делителе перенести запятую на столько знаков вправо, сколько их содержится после запятой в делителе.
2) Выполнить деление на натуральное число.
3) Если в делимом не хватает знаков, то справа приписать нули.
2.4.6. Формирование умения оперировать понятием «десятичная дробь»
Умение оперировать математическим понятием является одним из требований ФГОС ООО к предметным результатам обучения математике. Умение оперировать понятием «десятичная дробь» помимо сформированности его восприятия как формы записи числа, умения характеризовать связь с понятиями «натуральное число», «обыкновенная дробь» и представления десятичной дроби в виде обыкновенной включает использование этого понятия при проведении рассуждений, доказательстве и решении задач.

160
Кроме этого, умение оперировать понятием «десятичная дробь» включает его использование при решении контекстных и практико- ориентированных задач. Следовательно, процесс формирования умений оперировать понятиям «десятичная дробь» при изучении математики целесообразно организовать в единстве с формированием функциональной математической грамотности. Поэтому при изучении темы «Десятичные дроби» необходимо включать задания, отражающие реальные события и жизненные ситуации не только при открытии понятия и правил выполнения арифметических действий, но и при формировании и развитии умений применения его свойств, проведении рассуждений, доказательстве каких-либо фактов и решении задач в реальной жизни. Приведем примеры заданий.
Первое знакомство с историей острова Врангеля произошло у учащихся при выполнении заданий в направлении формирования ФМГ при изучении темы «Натуральные числа».
Задание « Остров Врангеля»
В Северном Ледовитом океане между Восточно-Сибирским морем и
Чукотским морем расположен российский остров Врангеля, который назван в честь российского мореплавателя и государственного деятеля
XIX века
Фердинанда
Петровича Врангеля. Остров находится на границе Западного и Восточного полушарий и разделяется
180-м меридианом на две почти равные части.
Отделён от материка (северное побережье Чукотки) проливом Лонга, шириной в самой узкой части около 140 км.
Площадь острова составляет около
7670 км², из которых около 4700 км² занимают горы

161
На этом небольшом по площади острове господствуют два типа климата.
На прибрежных равнинах под влиянием моря зимой температура опускается до 25−30 градусов Цельсия ниже нуля, а летом составляет лишь 1,5−3,5 градуса Цельсия.
Остров Врангеля // Википедия. – URL:
Википедия. Остров Врангеля.
При изучении десятичных дробей можно организовать исследование климатических условий на острове. Например, составить вопросы к тексту, направленные на сравнение температур, вычисление разницы температур.
Так как в 5-м классе учащиеся еще не изучают отрицательные числа, то для составления вопросов берем информацию о температуре только летом, а при изучении отрицательных чисел в 6-м классе можно вернуться к этому заданию.

162
Вопросы по теме «Десятичные дроби»:
 Какая самая высокая температура летом была зафиксирована на острове Врангеля?
 Какая самая низкая температура летом была зафиксирована на острове?
 Вычислите разницу между наибольшей и наименьшей летними температурами.
 Расположите месяцы по возрастанию (убыванию) средних температур летом.
 Изобразите на координатной прямой точки, координатами которых являются значения летних температур.
 Укажите, какое приближённое значение ближе других к точному значению площади острова Врангеля:
1) 7 тыс. км
2 2) 7,5 тыс. км
2 3) 8 тыс. км
2
?
Вопросы для дальнейшего использования:
 Какие из следующих событий, связанных с историей острова
Врангеля, относятся к XIX веку? а) Впервые остров на карту нанёс русский первопроходец Иван
Львов, это произошло не позднее 1707 года. б)
Более точно расположение острова определил Ф. П. Врангель в ходе экспедиций 1820–1824 годов.
в) В 1867 остров был назван в честь русского путешественника и государственного деятеля
Фердинанда Петровича Врангеля г) В сентябре 1911 года на острове Врангеля был поднят российский флаг. д) В 1926 году на острове Врангеля было основано поселение
Ушаковское и открыта полярная станция.
 Какую часть острова занимают горы? Выразите десятичной дробью и в процентах.

163
 Вычислите разницу между абсолютным максимумом и абсолютным минимумом температур в мае, в июне.
 Проанализируйте температурные данные 2007 года и постройте по этим данным диаграмму, выбрав подходящий для этого вид диаграммы.
В этом задании текст составной: информация представлена в привычной для учащихся словесной форме, а также в таблице. Этот пример показывает, что можно использовать одну реальную ситуацию при изучении разных тем, но используя разные факты о ситуации и числовые данные.
Задание «Путешествуем по столице. Живописный мост»показывает возможность создания цикла заданий, объединенных одной темой, например
«Путешествуем по столице». Использование задачи «Путешествуем по столице. Большой театр» из этого цикла было показано при открытии правил умножения десятичных дробей.
Задание «Путешествуем по столице. Живописный мост».
Длина перехода вантового Живописного моста, расположенного в Москве, составляет 1460 м, ширина – 37 м, длина основного пролёта 409,5 м, число вант – 72. Расстояние от поверхности воды до дорожного полотна – около 30 м.
Мостовой переход рассчитан на восемь полос движения – по четыре в каждом направлении. Каждая полоса имеет ширину 3,75 м с разделительной полосой 2,0–2,6 м, метровой полосой безопасности и тротуарами по 1,5 м с обеих сторон.
На подходах к мосту установлены лестничные сходы. Несущие конструкции моста окрашены в красный цвет. Сами ванты состоят из высокопрочных канатов, покрытых полиэтиленовой трубой.
Фундамент моста опирается на сваи длиной 20–40 м и диаметром 1,5 м.
Сваи опираются на известняки, зацементированные для заполнения возможных карстовых пустот. Благодаря уникальной особенности мост мог

164 бы раскачиваться, как качели, но для исключения неконтролируемых колебаний на одной из опор установлены гасители колебаний – демпферы.
Вопросы по теме «Десятичные дроби»:
 Вычислите ширину полос в одном направлении.
 Вычислите среднее значение ширины разделительной полосы.
 Вычислите ширину мостового перехода, используя среднее значение ширины разделительной полосы.
Вопросы для дальнейшего использования:
 Вычислите объём одной сваи, на которую опирается мост.
 Вычислите площадь основного пролёта моста, пренебрегая изгибами полотна моста.
 Сконструируйте математическую модель полотна моста, пренебрегая изгибами полотна.

165
В следующем примере приведено задание «Путешествуем по столице.
Большой театр», но информация об истории и конструктивных особенностях зала и сцены по сравнению с задачей, которую рассмотрели ранее, расширены.
Составлены вопросы по теме «Десятичные дроби» и для дальнейшего использования. Таким образом, это задание иллюстрирует возможность использования одной темы в разных дидактических целях.
Задание «Путешествуем по столице. Большой театр».
До пожара
11 марта 1853 г. о сновная сцена театра представляла собой пятиярусный зрительный зал на 2155 мест. В 1855 г. з ал стал шестиярусным и вмещал почти 2300 зрителей.
В 1924–1959 гг. длина основного зала с учётом оркестровой раковины равнялась 29,8 м, ширина – 31 м, высота – 19,6 м. Глубина сцены – 22,8 м, ширина – 39,3 м, размер портала сцены – 21,5×17,2 м.
В 1961 г. Большой театр получил новую сценическую площадку – только что возведённый Кремлёвский Дворец съездов (зрительный зал на 6000 мест; размер сцены в плане – 40×23 м и в высоту – 28,8 м, портал сцены –
32×14 м; сцена оборудована шестнадцатью подъёмно-опускными площадками).
1 октября 2011 г. после ремонта в течение 6 лет и 3 месяцев Большой театр открылся для зрителей. За время ремонта театр оборудовали самой современной техникой, провели реставрацию и возвели самую большую сцену
Большой театр, 1956 г.