Файл: Методическое пособие для учителя Л. О. Рослова, Е. Е. Алексеева, Е. В. Буцко под ред. Л. О. Рословой. М. Фгбну Институт стратегии развития образования рао.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.12.2023
Просмотров: 683
Скачиваний: 13
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
2.5.3. Методические особенности обучения наглядной геометрии
Методика обучения наглядной геометрии строится на нескольких принципах:
Принцип многообразия геометрических форм и конфигураций,
обеспечивающих широту формируемых представлений и овладение
способами действий с геометрическими фигурами.
Изучение учащимися плоской и пространственной геометрий должно осуществляться параллельно. При таком подходе плоские фигуры должны
«выходить в пространство» и рассматриваться как элементы пространственных тел, а пространственные тела «переходить» на плоский
185 лист бумаги в качестве изображений и разверток. Основными способами действий являются: способы графического построения геометрических фигур, приемы их моделирования, навыки практических измерений, действия по визуальному восприятию геометрических объектов, созданию их мысленных образов и оперированию ими.
Принцип спиральности – разворачивания содержания курса по спирали.
На первом, принципиально важном этапе знания формируются на наглядно-интуитивном уровне в ходе предметно-практической деятельности. На последующих этапах правила и алгоритмы построения формируются как обобщенное наглядно-вербальное выражение способов действий, уже освоенных на интуитивном уровне. Характерной особенностью при таком подходе является системность знаний, т. е. наличие в сознании ученика связей между отдельно изучаемыми объектами вне зависимости от той последовательности, в которой они изучаются. В соответствии с этим принципом, необходимо включать вновь изучаемый объект в различные связи с уже известными объектами, возвращаться к рассмотрению этого объекта на более высоком уровне знания и расширять знания о нем за счет привлечения новой информации.
Принцип фигуративности – построения процесса изучения
геометрического объекта на основе образного восприятия.
Адекватное восприятие вербального определения обучающимися 10–12 лет в силу несформированности необходимого уровня словесно-логического мышления еще недоступно, а, значит, формирование понятия с помощью определения бесперспективно. Поэтому изучение геометрического объекта должно строиться на основе приоритета образа, а не слова. Прежде всего нужно создать образ изучаемого объекта. Создание образа новой фигуры или конфигурации должно опираться на практические действия по ее графическому построению или предметному моделированию, а также базироваться на имеющееся у учащихся интуитивное зрительное представление, сложившееся в результате предыдущего обучения или
186 вытекающее из жизненного опыта. Созданный образ, а также описание фигуры, к которому учащиеся приходят через практические действия, должен закрепиться соответствующим термином, также на создание зрительного образа «работает» разъяснение происхождения термина.
Принцип динамичности – развития процесса изучения от геометрии
«формы» к геометрии «измерений».
Измерение геометрической фигуры должно предваряться работой, направленной на всестороннее ее изучение и осознание учащимися проблемы ее измерения, возможности или невозможности применения уже изученных способов. Таким образом, обучение геометрии будет идти от геометрии
«формы» к геометрии «измерений», что соответствует установленной психологами закономерности развития геометрических операций у детей от качественных к количественным.
Принцип комбинаторности – сочетания статического и динамического
подходов в изучении геометрических объектов.
Необходимость усвоения обучающимися различных подходов к описанию рассматриваемых объектов, различных точек зрения на них подчеркивается многими исследователями. Одним из основных свойств предметов окружающего мира является движение. Движение, динамическое развитие ситуации оказывают воздействие на развитие пространственного воображения ребенка. С целью наиболее эффективного развития образного, пространственного мышления учащихся в систему упражнений целесообразно включать задания, содержащие такие геометрические преобразования, как параллельный перенос, поворот, симметрия.
Принцип экспериментальности – исследование геометрических
объектов базируется на эксперименте как основном методе,
наблюдении и анализе результатов.
При проведении эксперимента учащиеся выполняют реальные физические действия: наложение фигур, перегибание по оси симметрии, поворот вокруг центра симметрии и др. Опираясь на его результаты, рассмотрев и
187 проанализировав различные частные случаи, учащиеся на основе индуктивных рассуждений выдвигают гипотезу, отражающую выявленную закономерность.
С этой целью тематическим планированием Примерной рабочей программой предусмотрена организация и проведение практических работ.
Доминирующим методом познания в курсе наглядной геометрии является индукция. Дедукция имеет место в основном как переход в процессе познания от общего к частному и единичному. Например, среди многообразия многоугольников выделяются треугольники. Дедуктивные рассуждения как процесс логического вывода, как способ получения знаний, противопоставляемый непосредственным наблюдениям и эксперименту, может появляться только постепенно и параллельно с ними, проявляться локально. Таким образом, можно реализовать положение, согласно которому развитие ребенка происходит в двух направлениях – и к более конкретному, и к более абстрактному (П. П. Блонский, Н. А. Менчинская и др.), а выбор пути усвоения знаний зависит от возрастных особенностей, целей обучения и от природы самого знания.
Постепенный переход к увеличению элементов дедукции дает учителю возможность, исходя из подготовленности класса, выбрать тот или иной путь изучения геометрического объекта, например, ограничиться физическим экспериментом и решать все задачи с опорой на физическое действие или увеличить долю доказательных, обосновывающих рассуждений. Для ученика такой подход означает возможность восприятия материала на доступном ему уровне, при этом он имеет возможность знакомиться и с другими вариантами решения, лежащими пока в зоне его ближайшего развития.
2.5.4. Формирование умений выполнения основных действий
с геометрическими объектами
Изучение геометрических фигур и пространственных отношений основывается на определенных действиях, которыми учащиеся должны
188 овладеть: наблюдение, воображение, измерение, графические действия и конструирование.
Наблюдение
Существует глубокое заблуждение, что наблюдению учить не надо, достаточно лишь сказать «Смотри!», и все необходимое сделают глаза.
Почему тогда одни учащиеся легко «считывают» с геометрического чертежа нужную им информацию, а другие смотрят, но ничего не видят? Восприятие, как и мышление, требует внимания к своему развитию. Развитие умения наблюдать происходит в процессе осмысленной деятельности по рассматриванию геометрических объектов, формирования зрительных эталонов, отражающих основные геометрические конфигурации, знакомства с некоторыми специальными приемами, облегчающими восприятие.
Действия наблюдения составляют основное содержание задач, целью которых является:
– создание мысленного образа геометрического объекта;
– распознавание заданных конфигураций или фигур;
– сравнение непосредственно воспринимаемых объектов или групп объектов.
Создание мысленного образа геометрического объекта – ключевой момент для формирования геометрических представлений и изучения свойств геометрических фигур. Происходить оно должно в процессе правильно организованной, разнообразной деятельности по его всестороннему обследованию. Покажем это на следующем примере.
Пример 1. Формирование представления о прямоугольном параллелепипеде.
Может показаться, что эти представления сформированы еще в дошкольном детстве, ведь это одна из самых распространенных геометрических фигур в окружающем мире. Но это не так. Чтобы убедиться в этом, достаточно попросить пятиклассников ответить на вопрос:
189
«Сколько у куба граней?» А на вопрос о числе ребер ответы будут самые разные, даже если при этом куб будет находиться в руках у каждого ученика.
Даже просто пересчитать ребра геометрической фигуры не всем удается!
Чтобы создать образ параллелепипеда, учащимся необходимо осуществить разнообразные практические действия с моделями параллелепипеда, причем под руководством учителя, который руководил бы процессом обследования и направлял его указанием, какие особенности необходимо выделить, называнием их и т. п. Организовать это можно в виде практической работы. Учащимся следует, взяв в руки модель параллелепипеда
(это может быть деревянный брусок, спичечный коробок, бумажная модель, склеенная из развертки, и пр.), выполнить следующие действия:
1) провести ладонью по его поверхности и ощутить, что она состоит из плоских частей;
2) рассмотреть отдельные плоские части – грани параллелепипеда, определить их форму;
3) зафиксировав противоположные грани, например пальцами, зрительно установить равенство противоположных граней;
4) зафиксировав каждую грань пальцем (тремя пальцами одной руки и тремя пальцами другой), определить число граней;
5) провести ладонью по поверхности параллелепипеда, выделив линию излома – ребро параллелепипеда; выделить грани, границам которых принадлежит это ребро; выделить и другие ребра, принадлежащие этим же граням; выделить еще несколько ребер параллелепипеда;
6) выделить группы равных ребер параллелепипеда и определить их число; обвести равные ребра карандашом одного цвета;
7) выделить вершины параллелепипеда; поместив его между ладонями, определить особенности расположения вершин;
8) зафиксировав каждую вершину одним пальцем (4 пальца одной руки и 4 пальца другой руки), подсчитать их число;
190 9) выбрав одну из вершин, определить число ребер, сходящихся в этой вершине; сравнить длины этих ребер (на глаз; проведя по ним пальцем; измерением); проделать это для других вершин; заметить, что в каждой вершине сходятся три ребра разной длины;
10) зафиксировать внимание на гранях, сходящихся в одной вершине: определить их число, размеры.
В чем отличие мысленного образа, созданного в результате такого всестороннего и подробного исследования, от образа, который возникает при обычной наглядной демонстрации? Точно такое же, как между двумя представлениями об автомобиле, одно из которых создается в процессе просмотра фотографии, а другое – тест-драйва. Образ, который создается в результате самостоятельно производимых действий, наполнен знаниями о свойствах объекта.
В описанной практической работе используются очень разные действия.
И простые тактильные действия, и движения, которые «в ходу» у каждого ребенка с младенчества. Например, движения руки, фиксирующие тот или иной выделяемый в данный момент элемент изучаемого объекта, акцентирующие на нем внимание, при этом способы фиксирования учащиеся могут придумывать сами.
Тактильные действия и движения помогают осуществлять, направлять более сложные действия, сочетающие в себе зрительное сопоставление, сравнение и анализ отдельных элементов, определение их количественных характеристик, синтез этих элементов в единое целое и выделение ключевых особенностей исследуемого объекта. По сути, наблюдение здесь выступает и методом исследования, т. к. предложенный набор действий представляет собой план систематического наблюдения. Дайте учащимся задание провести описанное исследование, а затем попросите рассказать о том, что они знают о параллелепипеде.
191
Решение задачи сравнения непосредственно воспринимаемых объектов требует от учащихся умения подмечать в рассматриваемых объектах общие черты и различия, находить среди них существенные и служит, тем самым, формированию понятий.
Когда ставим перед учащимися задачу распознавания геометрических
объектов, преследуем две цели: формирование законченного образа объекта изучения, его узнавания и различения в различных пространственных положениях, в более сложных конфигурациях, а также развитие у учащихся геометрической зоркости и наблюдательности.
Пример 2. Найдите на рисунке все прямоугольники.
Особенность рисунка заключается в том, что он содержит две фигуры, не являющиеся прямоугольниками, а также два квадрата. Чтобы справиться с этим заданием, учащиеся должны, во-первых, помнить, что квадрат является прямоугольником, а во-вторых, увидеть квадрат, расположенный в непривычном для них положении.
Особенность восприятия геометрических объектов такова, что фигура 4 воспринимается как ромб, если учащиеся знакомы с ромбом, в противном случае – как четырехугольник, не являющийся квадратом. Если учащиеся не выделяют эту фигуру как квадрат, необходимо предложить им мысленно, а в случае затруднения и практически, повернуть ее так, чтобы квадрат принял более привычное для распознавания горизонтально-вертикальное расположение.
1 2
5 4
3
192
Пример 3. Сколько треугольников изображено на рисунке?
Это упражнение направлено на отработку умения распознавать треугольник в более сложной конфигурации, в данном случае и как часть другой фигуры, и как объединение фигур.
Математическое восприятие
Восприятие – когнитивная способность формирования целостного образа какого-либо объекта. Математическое восприятие – процесс формирования целостного образа геометрического объекта, включая представление свойств объекта, выявление групп объектов, выявление количества объектов в небольших группах и математических отношений между объектами. Рассмотрим некоторые приемы, которые помогают математическому восприятию геометрических объектов.
Предметное моделирование конфигурации. Прием можно применить при выполнении упражнения, описанного в примере 3. Для того чтобы учитель мог руководить восприятием учащихся, акцентируя их внимание на том или ином треугольнике, научить их переключать свой взор с «большого» треугольника на «маленькие» треугольники, которые его составляют, педагог может предложить учащимся модель, изготовленную из бумаги. Тренировка восприятия заключается в том, что, складывая два треугольника вместе, учащиеся видят один треугольник, разъединяя их, снова видят два исходных треугольника.
Рис. 17
193
Выделение элементов конфигурации цветом. Это может быть или раскрашивание фигуры, входящей в конфигурацию, или обведение ее контура.
При определенном уровне владения приемом, при его самостоятельном применении некоторые учащиеся при анализе рисунка из примера 3 полностью закрашивают один из треугольников, другие выделяют лишь его контур, третьи – контуры двух треугольников карандашами двух разных цветов. Творческое использование освоенного приема играет существенную роль при решении задач.
Пример 4. Определите, сколько диагоналей у выпуклого пятиугольника.
Пусть из каждой вершины пятиугольника учащиеся проведут карандашом одного цвета две выходящие из нее диагонали. Таким образом, они используют карандаши пяти разных цветов и проведут 10 отрезков.
Рис. 18
Далее они обратят внимание на то, что каждая диагональ была проведена ими дважды (отрезки двух разных цветов). Следовательно, у пятиугольника
5 диагоналей. Описанный способ решения позволяет учителю поставить перед учащимися вопрос о количестве диагоналей у шестиугольника, семиугольника, стоугольника.
Найденный способ легко может быть перенесен ими на любой многоугольник: число диагоналей равно половине (каждую диагональ провели дважды) произведения числа вершин (число использованных карандашей) на число диагоналей, выходящих из одной вершины (их на 3 меньше числа вершин). Это пример восприятия, подкрепленного рассуждениями.
Методика обучения наглядной геометрии строится на нескольких принципах:
Принцип многообразия геометрических форм и конфигураций,
обеспечивающих широту формируемых представлений и овладение
способами действий с геометрическими фигурами.
Изучение учащимися плоской и пространственной геометрий должно осуществляться параллельно. При таком подходе плоские фигуры должны
«выходить в пространство» и рассматриваться как элементы пространственных тел, а пространственные тела «переходить» на плоский
185 лист бумаги в качестве изображений и разверток. Основными способами действий являются: способы графического построения геометрических фигур, приемы их моделирования, навыки практических измерений, действия по визуальному восприятию геометрических объектов, созданию их мысленных образов и оперированию ими.
Принцип спиральности – разворачивания содержания курса по спирали.
На первом, принципиально важном этапе знания формируются на наглядно-интуитивном уровне в ходе предметно-практической деятельности. На последующих этапах правила и алгоритмы построения формируются как обобщенное наглядно-вербальное выражение способов действий, уже освоенных на интуитивном уровне. Характерной особенностью при таком подходе является системность знаний, т. е. наличие в сознании ученика связей между отдельно изучаемыми объектами вне зависимости от той последовательности, в которой они изучаются. В соответствии с этим принципом, необходимо включать вновь изучаемый объект в различные связи с уже известными объектами, возвращаться к рассмотрению этого объекта на более высоком уровне знания и расширять знания о нем за счет привлечения новой информации.
Принцип фигуративности – построения процесса изучения
геометрического объекта на основе образного восприятия.
Адекватное восприятие вербального определения обучающимися 10–12 лет в силу несформированности необходимого уровня словесно-логического мышления еще недоступно, а, значит, формирование понятия с помощью определения бесперспективно. Поэтому изучение геометрического объекта должно строиться на основе приоритета образа, а не слова. Прежде всего нужно создать образ изучаемого объекта. Создание образа новой фигуры или конфигурации должно опираться на практические действия по ее графическому построению или предметному моделированию, а также базироваться на имеющееся у учащихся интуитивное зрительное представление, сложившееся в результате предыдущего обучения или
186 вытекающее из жизненного опыта. Созданный образ, а также описание фигуры, к которому учащиеся приходят через практические действия, должен закрепиться соответствующим термином, также на создание зрительного образа «работает» разъяснение происхождения термина.
Принцип динамичности – развития процесса изучения от геометрии
«формы» к геометрии «измерений».
Измерение геометрической фигуры должно предваряться работой, направленной на всестороннее ее изучение и осознание учащимися проблемы ее измерения, возможности или невозможности применения уже изученных способов. Таким образом, обучение геометрии будет идти от геометрии
«формы» к геометрии «измерений», что соответствует установленной психологами закономерности развития геометрических операций у детей от качественных к количественным.
Принцип комбинаторности – сочетания статического и динамического
подходов в изучении геометрических объектов.
Необходимость усвоения обучающимися различных подходов к описанию рассматриваемых объектов, различных точек зрения на них подчеркивается многими исследователями. Одним из основных свойств предметов окружающего мира является движение. Движение, динамическое развитие ситуации оказывают воздействие на развитие пространственного воображения ребенка. С целью наиболее эффективного развития образного, пространственного мышления учащихся в систему упражнений целесообразно включать задания, содержащие такие геометрические преобразования, как параллельный перенос, поворот, симметрия.
Принцип экспериментальности – исследование геометрических
объектов базируется на эксперименте как основном методе,
наблюдении и анализе результатов.
При проведении эксперимента учащиеся выполняют реальные физические действия: наложение фигур, перегибание по оси симметрии, поворот вокруг центра симметрии и др. Опираясь на его результаты, рассмотрев и
187 проанализировав различные частные случаи, учащиеся на основе индуктивных рассуждений выдвигают гипотезу, отражающую выявленную закономерность.
С этой целью тематическим планированием Примерной рабочей программой предусмотрена организация и проведение практических работ.
Доминирующим методом познания в курсе наглядной геометрии является индукция. Дедукция имеет место в основном как переход в процессе познания от общего к частному и единичному. Например, среди многообразия многоугольников выделяются треугольники. Дедуктивные рассуждения как процесс логического вывода, как способ получения знаний, противопоставляемый непосредственным наблюдениям и эксперименту, может появляться только постепенно и параллельно с ними, проявляться локально. Таким образом, можно реализовать положение, согласно которому развитие ребенка происходит в двух направлениях – и к более конкретному, и к более абстрактному (П. П. Блонский, Н. А. Менчинская и др.), а выбор пути усвоения знаний зависит от возрастных особенностей, целей обучения и от природы самого знания.
Постепенный переход к увеличению элементов дедукции дает учителю возможность, исходя из подготовленности класса, выбрать тот или иной путь изучения геометрического объекта, например, ограничиться физическим экспериментом и решать все задачи с опорой на физическое действие или увеличить долю доказательных, обосновывающих рассуждений. Для ученика такой подход означает возможность восприятия материала на доступном ему уровне, при этом он имеет возможность знакомиться и с другими вариантами решения, лежащими пока в зоне его ближайшего развития.
2.5.4. Формирование умений выполнения основных действий
с геометрическими объектами
Изучение геометрических фигур и пространственных отношений основывается на определенных действиях, которыми учащиеся должны
188 овладеть: наблюдение, воображение, измерение, графические действия и конструирование.
Наблюдение
Существует глубокое заблуждение, что наблюдению учить не надо, достаточно лишь сказать «Смотри!», и все необходимое сделают глаза.
Почему тогда одни учащиеся легко «считывают» с геометрического чертежа нужную им информацию, а другие смотрят, но ничего не видят? Восприятие, как и мышление, требует внимания к своему развитию. Развитие умения наблюдать происходит в процессе осмысленной деятельности по рассматриванию геометрических объектов, формирования зрительных эталонов, отражающих основные геометрические конфигурации, знакомства с некоторыми специальными приемами, облегчающими восприятие.
Действия наблюдения составляют основное содержание задач, целью которых является:
– создание мысленного образа геометрического объекта;
– распознавание заданных конфигураций или фигур;
– сравнение непосредственно воспринимаемых объектов или групп объектов.
Создание мысленного образа геометрического объекта – ключевой момент для формирования геометрических представлений и изучения свойств геометрических фигур. Происходить оно должно в процессе правильно организованной, разнообразной деятельности по его всестороннему обследованию. Покажем это на следующем примере.
Пример 1. Формирование представления о прямоугольном параллелепипеде.
Может показаться, что эти представления сформированы еще в дошкольном детстве, ведь это одна из самых распространенных геометрических фигур в окружающем мире. Но это не так. Чтобы убедиться в этом, достаточно попросить пятиклассников ответить на вопрос:
189
«Сколько у куба граней?» А на вопрос о числе ребер ответы будут самые разные, даже если при этом куб будет находиться в руках у каждого ученика.
Даже просто пересчитать ребра геометрической фигуры не всем удается!
Чтобы создать образ параллелепипеда, учащимся необходимо осуществить разнообразные практические действия с моделями параллелепипеда, причем под руководством учителя, который руководил бы процессом обследования и направлял его указанием, какие особенности необходимо выделить, называнием их и т. п. Организовать это можно в виде практической работы. Учащимся следует, взяв в руки модель параллелепипеда
(это может быть деревянный брусок, спичечный коробок, бумажная модель, склеенная из развертки, и пр.), выполнить следующие действия:
1) провести ладонью по его поверхности и ощутить, что она состоит из плоских частей;
2) рассмотреть отдельные плоские части – грани параллелепипеда, определить их форму;
3) зафиксировав противоположные грани, например пальцами, зрительно установить равенство противоположных граней;
4) зафиксировав каждую грань пальцем (тремя пальцами одной руки и тремя пальцами другой), определить число граней;
5) провести ладонью по поверхности параллелепипеда, выделив линию излома – ребро параллелепипеда; выделить грани, границам которых принадлежит это ребро; выделить и другие ребра, принадлежащие этим же граням; выделить еще несколько ребер параллелепипеда;
6) выделить группы равных ребер параллелепипеда и определить их число; обвести равные ребра карандашом одного цвета;
7) выделить вершины параллелепипеда; поместив его между ладонями, определить особенности расположения вершин;
8) зафиксировав каждую вершину одним пальцем (4 пальца одной руки и 4 пальца другой руки), подсчитать их число;
190 9) выбрав одну из вершин, определить число ребер, сходящихся в этой вершине; сравнить длины этих ребер (на глаз; проведя по ним пальцем; измерением); проделать это для других вершин; заметить, что в каждой вершине сходятся три ребра разной длины;
10) зафиксировать внимание на гранях, сходящихся в одной вершине: определить их число, размеры.
В чем отличие мысленного образа, созданного в результате такого всестороннего и подробного исследования, от образа, который возникает при обычной наглядной демонстрации? Точно такое же, как между двумя представлениями об автомобиле, одно из которых создается в процессе просмотра фотографии, а другое – тест-драйва. Образ, который создается в результате самостоятельно производимых действий, наполнен знаниями о свойствах объекта.
В описанной практической работе используются очень разные действия.
И простые тактильные действия, и движения, которые «в ходу» у каждого ребенка с младенчества. Например, движения руки, фиксирующие тот или иной выделяемый в данный момент элемент изучаемого объекта, акцентирующие на нем внимание, при этом способы фиксирования учащиеся могут придумывать сами.
Тактильные действия и движения помогают осуществлять, направлять более сложные действия, сочетающие в себе зрительное сопоставление, сравнение и анализ отдельных элементов, определение их количественных характеристик, синтез этих элементов в единое целое и выделение ключевых особенностей исследуемого объекта. По сути, наблюдение здесь выступает и методом исследования, т. к. предложенный набор действий представляет собой план систематического наблюдения. Дайте учащимся задание провести описанное исследование, а затем попросите рассказать о том, что они знают о параллелепипеде.
191
Решение задачи сравнения непосредственно воспринимаемых объектов требует от учащихся умения подмечать в рассматриваемых объектах общие черты и различия, находить среди них существенные и служит, тем самым, формированию понятий.
Когда ставим перед учащимися задачу распознавания геометрических
объектов, преследуем две цели: формирование законченного образа объекта изучения, его узнавания и различения в различных пространственных положениях, в более сложных конфигурациях, а также развитие у учащихся геометрической зоркости и наблюдательности.
Пример 2. Найдите на рисунке все прямоугольники.
Особенность рисунка заключается в том, что он содержит две фигуры, не являющиеся прямоугольниками, а также два квадрата. Чтобы справиться с этим заданием, учащиеся должны, во-первых, помнить, что квадрат является прямоугольником, а во-вторых, увидеть квадрат, расположенный в непривычном для них положении.
Особенность восприятия геометрических объектов такова, что фигура 4 воспринимается как ромб, если учащиеся знакомы с ромбом, в противном случае – как четырехугольник, не являющийся квадратом. Если учащиеся не выделяют эту фигуру как квадрат, необходимо предложить им мысленно, а в случае затруднения и практически, повернуть ее так, чтобы квадрат принял более привычное для распознавания горизонтально-вертикальное расположение.
1 2
5 4
3
192
Пример 3. Сколько треугольников изображено на рисунке?
Это упражнение направлено на отработку умения распознавать треугольник в более сложной конфигурации, в данном случае и как часть другой фигуры, и как объединение фигур.
Математическое восприятие
Восприятие – когнитивная способность формирования целостного образа какого-либо объекта. Математическое восприятие – процесс формирования целостного образа геометрического объекта, включая представление свойств объекта, выявление групп объектов, выявление количества объектов в небольших группах и математических отношений между объектами. Рассмотрим некоторые приемы, которые помогают математическому восприятию геометрических объектов.
Предметное моделирование конфигурации. Прием можно применить при выполнении упражнения, описанного в примере 3. Для того чтобы учитель мог руководить восприятием учащихся, акцентируя их внимание на том или ином треугольнике, научить их переключать свой взор с «большого» треугольника на «маленькие» треугольники, которые его составляют, педагог может предложить учащимся модель, изготовленную из бумаги. Тренировка восприятия заключается в том, что, складывая два треугольника вместе, учащиеся видят один треугольник, разъединяя их, снова видят два исходных треугольника.
Рис. 17
193
Выделение элементов конфигурации цветом. Это может быть или раскрашивание фигуры, входящей в конфигурацию, или обведение ее контура.
При определенном уровне владения приемом, при его самостоятельном применении некоторые учащиеся при анализе рисунка из примера 3 полностью закрашивают один из треугольников, другие выделяют лишь его контур, третьи – контуры двух треугольников карандашами двух разных цветов. Творческое использование освоенного приема играет существенную роль при решении задач.
Пример 4. Определите, сколько диагоналей у выпуклого пятиугольника.
Пусть из каждой вершины пятиугольника учащиеся проведут карандашом одного цвета две выходящие из нее диагонали. Таким образом, они используют карандаши пяти разных цветов и проведут 10 отрезков.
Рис. 18
Далее они обратят внимание на то, что каждая диагональ была проведена ими дважды (отрезки двух разных цветов). Следовательно, у пятиугольника
5 диагоналей. Описанный способ решения позволяет учителю поставить перед учащимися вопрос о количестве диагоналей у шестиугольника, семиугольника, стоугольника.
Найденный способ легко может быть перенесен ими на любой многоугольник: число диагоналей равно половине (каждую диагональ провели дважды) произведения числа вершин (число использованных карандашей) на число диагоналей, выходящих из одной вершины (их на 3 меньше числа вершин). Это пример восприятия, подкрепленного рассуждениями.