Файл: Методическое пособие для учителя Л. О. Рослова, Е. Е. Алексеева, Е. В. Буцко под ред. Л. О. Рословой. М. Фгбну Институт стратегии развития образования рао.pdf

194
 Использование логики перебора. Этот прием (наряду с выделением цветом) имеет место, например, при выполнении задания из примера 4. Логика перебора заключается в этом случае в последовательном проведении всех диагоналей, выходящих из каждой вершины пятиугольника.
Рис. 19
Воображение
Операции мысленного оперирования образами и создания новых образов относятся к воображению. В рамках изучения наглядной геометрии воссоздающее воображение – это представление новых геометрических объектов в соответствии с их описанием, чертежом, схемой.
Формируется воображение на основе восприятия, поэтому, обогащая опыт восприятии, наблюдения, побуждая учащихся к созданию образов, учитель развивает их воображение. Овладение действиями воображения происходит в процессе перехода практических действий во внутренний план.
Действия воображения являются содержанием задач, целью которых является:
– создание мысленного образа геометрического объекта по его описанию;
– создание мысленного объемного образа объекта на основе рисунка пространственного тела или проекционного чертежа;
– мысленное оперирование образом.
 Говоря о создании мысленного образа по его описанию, будем рассматривать ситуацию, когда в ходе решения задачи учащимся необходимо мысленно сконструировать новый образ из знакомых, как из элементов конструктора.

195
Приведем примеры двух заданий, где в качестве «элементов конструктора» выступают параллелепипеды.
Пример 5. Выложить параллелепипед из 4 кубиков можно двумя способами. Одинаковой ли будет площадь поверхности параллелепипеда в первом и втором случаях?
«Сложить» из четырех кубиков параллелепипед учащиеся должны мысленно, а вот проверить, что таких возможностей только две, в мысленном плане довольно сложно. Сделать это необходимо, прибегнув к кубикам реальным.
Пример 6. Объем параллелепипеда равен 64 см
3
, ширина – 4 см, высота – 2 см. Длину этого параллелепипеда уменьшили на 3 см. Определите объем получившегося параллелепипеда.
При решении этой задачи мысленное воспроизведение ситуации позволяет найти более рациональный путь, чем последовательное вычисление длины большого параллелепипеда, уменьшение ее на 3 см и вычисление объема нового параллелепипеда. Во время поиска и обсуждения способов
3 см
3 см

196 решения задачи учитель предлагает учащимся представить, что заданный в условии параллелепипед разрезают на два параллелепипеда, при этом длина
«отрезаемого» параллелепипеда равна 3 см.
Отсюда, чтобы решить задачу, необходимо объем исходного параллелепипеда уменьшить на объем «отрезанной» части.
 Задача создания мысленного образа пространственного тела на основе
графического изображения решается в первую очередь для пространственных фигур. Прежде чем познакомить учащихся с проекционным чертежом, который используется в стереометрии, в курсе наглядной геометрии изучение пространственных фигур полезно начать с рисунков стеклянных, каркасных моделей, а также сплошных тел, сложенных из кубиков или параллелепипедов, постепенное абстрагируя изображения материальных тел и заменяя их проекционным чертежом.
Материальный объект представить легче. Использование изображения стеклянной модели на начальном этапе овладения действиями по созданию мысленных пространственных образов и терминологией, связанной с многогранниками, позволяет учащимся «увидеть» все элементы многогранника, определить их число, особенности расположения, форму граней. На стеклянной модели видны и ребра, и грани. Изображение каркасной модели имеет более абстрактный характер, поэтому его использование носит переходный характер от изображения стеклянной модели к проекционному чертежу. На каркасной модели видны ребра, а грани как бы прозрачны, реально невидимы.
Проекционный чертеж – это уже условное изображение, которое надо уметь читать. Учитель фиксирует внимание учащихся на том, что у видимой грани все ребра являются также видимыми. Учащиеся последовательно выделяют контуры, ограниченные сплошными («видимыми») линиями. Перед их взорами появляется куб с тремя видимыми гранями разного цвета.

197
 Наиболее сложными для учащихся являются
операции
по преобразованию исходного образа, в котором он претерпевает изменения не только в плане пространственного расположения, но и изменения структурного характера. Примером такого действия является мысленное сворачивание куба из развертки. Начинать выполнять задания, связанные с развертками, надо с изготовления учащимися развертки из листа бумаги.
Надо предложить им зафиксировать одну из граней куба как нижнюю и не спеша сворачивать развертку, обращая внимание на расположение граней: какой из квадратов развертки образует верхнюю грань, какие – боковые. Затем надо повторить выполненные действия снова, но теперь фиксировать внимание на том, какие при этом совмещаются точки и какие отрезки.
Сворачивая куб из разных разверток, учащиеся приходят к некоторому приему мысленного сворачивания куба, который заключается в том, что четыре расположенных в ряд квадрата удобно представить в качестве его боковых граней.
При овладении действиями воображения, как и при овладении действиями наблюдения, существенную помощь оказывают описанные выше приемы использования предметной модели и выделения цветом, облегчающие восприятие.

198
 Выполнение схематического рисунка. Построить схематический рисунок к задаче, качественно отобразив в нем основные конструктивные особенности конфигурации, зафиксировать в графической форме мысленно созданный образ – важное умение, необходимое при решении геометрической задачи. Но для этого учащиеся должны научиться выполнять изображения от руки. При этом учащиеся 5–6-х классов уже способны не просто копировать данные им изображения, а выполнять более сложные действия, например, преобразовать рисунок в проекционное изображение или перенести на бумагу созданный мысленный образ.
 Построения с помощью инструментов по заданному алгоритму делятся на построения, выполняемые с использованием любых чертежных инструментов, и классические построения, выполняемые с помощью циркуля и линейки без делений.
Попросите пятиклассников рассказать, как построить квадрат, и вы увидите, что не у всех из них есть представления о действиях, подлежащих выполнению. Попросите начертить прямоугольник на нелинованной бумаге.
Все ли учащиеся справятся с этим заданием?
Одна из причин затруднений кроется в том, что у учащихся нет четкого представления о той последовательности действий, которая должна привести к желаемому результату. Это и не мудрено, поскольку эти действия, как правило, не фиксируются, ведь на рисунке им предлагается конечный результат, который на самом деле возникает постепенно, за несколько шагов.
Опытный учитель, выполняя построения на доске, все необходимые шаги, конечно, фиксирует, а ученик, возможно, и повторит их у себя в тетради.
Однако запомнит ли? Сможет ли воспроизвести дома? Помочь учащимся выстроить алгоритм может последовательность рисунков стоп-кадров: изображений, последовательно фиксирующих отдельные, наиболее характерные моменты построения конфигурации. Здесь необычайно важно, что рисунки дают учащимся возможность контролировать в ходе работы

199 правильность выполняемых ими действий. Последовательность рисунков должна быть подкреплена вербальным описанием производимых действий, зафиксированных рисунками.
Выполнение классических геометрических построений, выполняемых с помощью циркуля и линейки без делений, более характерно для курса планиметрии, т. к. вряд ли их можно отнести к естественным, все они основаны на логически обоснованных геометрических фактах. Кроме того, и саму идею введения весьма искусственного ограничения на пользование лишь двумя названными инструментами учащиеся воспринять пока не могут.
В 5–6-х классах полезна как раз противоположная постановка вопроса – задействовать разные инструменты, придумывать разные алгоритмы и способы построения, активно используя полученные знания о свойствах фигур и развивая фантазию. При этом основой для многих построений, выполняемых циркулем и линейкой, служит конфигурация, образуемая двумя пересекающимися окружностями: построения треугольника по трем сторонам; серединного перпендикуляра к отрезку; точки, симметричной данной относительно прямой.
 Задачу воспроизведения заданного изображения полезно решать как на клетчатой, так и на нелинованной бумаге. Данная задача требует от обучающихся самостоятельного создания алгоритма построения заданной конфигурации на основе ее анализа. Клетчатая бумага, обладая мерной сеткой, параллельностью и перпендикулярностью линий, ее образующих, служит основой для определения особенностей конфигурации, подходов к ее воспроизведению, задает числовые характеристики составляющих элементов.
Нелинованная бумага не содержит таких явных подсказок и требует более внимательного изучения заданного рисунка.
Выполняя копирование фигур, изображенных на клетчатой бумаге, учащиеся должны научиться «ходить» от узла к узлу по линиям сетки, отсчитывая от начальной точки конкретное число клеток вправо (влево) и

200 определенное количество клеток вверх (вниз). Освоенный прием может использоваться в дальнейшем при воспроизведении различных фигур, а также использоваться учителем, например чтобы «продиктовать» классу необходимый для дальнейшей работы треугольник.
 Наибольшие трудности среди всех задач на построение представляет
построение изображения по описанию, так как это предполагает создание сначала зрительного образа на основе вербального описания, а затем способа его построения.
Конструирование
Конструирование в геометрии – это создание предметных моделей геометрических объектов. Эти действия естественным образом реализуются через задачи на:
– пространственное моделирование;
– построение фигуры с помощью перегибания листа бумаги;
– разрезание и складывание.
 Перегибание листа бумаги является для учащихся операцией, знакомой по выполнению различных поделок из бумаги. Однако, повторяя за учителем последовательность требуемых от него действий, учащийся не осознает их геометрической сущности. Полезно предлагать учащимся решить геометрическую задачу путем перегибания, привлекая имеющиеся геометрические знания, например построить две параллельные прямые или квадрат.
 Пространственное моделирование выполняет часто вспомогательную функцию изготовления моделей пространственных тел, необходимых в процессе изучения их свойств. Например, для изучения свойств симметрии в пространстве каждому учащемуся необходимо вылепить из пластилина модели шара, цилиндра, куба. Эти модели помогают при изучении сечений

201 пространственных тел. При изучении развертки куба и для овладения навыками оперирования мысленными образами учащиеся должны иметь несколько фигур, из которых свернуть куб можно и из которых куб свернуть нельзя. Они изготавливают их самостоятельно по данным им разверткам и рисункам. Помимо этого учащиеся решают и собственно конструктивные задачи, где им нужно, опираясь на мысленный образ моделируемого тела, выделить особенности конструкции, задать самостоятельно или определить его размеры, изготовить развертку, например изготовить из картона куб объемом 1 дм
3
или модель треугольной пирамиды из трубочек для коктейля
(соединить трубочки можно, продев внутрь нить или тонкую проволоку).
 Разрезание и складывание фигур служит развитию и углублению представлений о геометрических фигурах, обнаружению существующих между ними связей. Так, квадрат можно разрезать на два равных прямоугольника (по оси симметрии, перпендикулярной сторонам квадрата), на два равных прямоугольных равнобедренных треугольника (по одной диагонали), на четыре равных квадрата и т. п.
Пример 7. Возьмите квадрат и разрежьте его по диагоналям. Сложите из получившихся фигур прямоугольник.
Ценность полученных навыков заключается в том, что в дальнейшем разрезание и достраивание используется в качестве приема: на основе действий по перекраиванию можно находить площадь треугольника; составление паркетов из равных треугольников позволяет «увидеть», что сумма углов треугольника равна 180° и пр.
Пример 8. Вырежьте из листа бумаги треугольник и перекроите его в прямоугольник. Чему равна площадь треугольника?
Полезно использовать в учебных целях хорошо известную игру- головоломку «Танграм».

202
Действия измерения
Действия измерения состоят из операций по измерению геометрических величин и усвоению эталонов длины, площади, объема и градусной меры угла.
Используются они в ходе упражнений, требующих:
– выполнения измерений с помощью инструментов;
– выбора и преобразования единиц измерения;
– измерения величины на глаз;
– сопоставления величин непосредственно воспринимаемых объектов;
– выполнения вычислений геометрических величин.
 Овладение практическими измерениями включает в себя осознание самого процесса измерения, знание устройства используемого измерительного инструмента, его шкалы, умение им пользоваться. Измерение длины отрезка знакомо учащимся из начальной школы, поэтому здесь необходимо, во-первых, уточнить, насколько осознанно учащиеся его выполняют, во-вторых, расширить круг применения, например, для измерения длины ломаной, произвольной кривой, расстояния между двумя точками, от точки до прямой, между двумя параллельными прямыми. Можно поговорить и об измерении расстояния от точки до фигуры. Ну и, конечно, полезны практические измерения, которые можно выполнять в классе: попросите учащихся измерить длину и ширину стола, высоту стула, размеры двери, найти расстояние между двумя столами, ширину прохода между рядами и пр. Аналогичные задания можно выполнить и при изучении площади. Все это естественным образом подходит для организации практических работ, для использования групповых форм работы, которые так нравятся учащимся.
Пример 9. По рисунку определите длину отрезка АВ.
A
B