Файл: Тема Действительные числа.pdf

Числа и векторы
Тема 1. Действительные числа
Развитие понятия числа
Наиболее общие закономерности и законы экономических явлений выясняются путем качественного анализа, но конкретное выражение их возможно лишь с помощью меры и числа.
Число — важнейшее математическое понятие, меняющееся на протяжении веков.
Первые представления о числе возникли из счета людей, животных, плодов,
различных изделий и пр. Результатом являются натуральные числа 1, 2, 3, 4, При счете отдельных предметов единица есть наименьшее число и делить ее на долине нужно, а иногда и нельзя, однако уже при грубых измерениях величин приходится делить 1 на доли. Исторически первым расширением понятия числа является присоединение к натуральному числу дробных чисел.
Дробью называется часть (доля) единицы или несколько равных ее частей.
Обозначаются: где m и n — целые числа
— сокращение дроби
— расширение. Дроби со знаменателем 10n , где n — целое число,
называются десятичными Среди десятичных дробей особое место занимают периодические дроби
— чистая периодическая дробь,
— смешанная периодическая дробь

Дальнейшее расширение понятия числа вызвано уже развитием самой математики
(алгебры). Декарт в XVII в. вводит понятие отрицательного числа.
Числа целые (положительные и отрицательные, дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили название рациональных чисел. Всякое рациональное число может быть записано в виде дроби конечной и периодической.
Для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин оказалось необходимым новое расширение понятия числа — введение действительных
(вещественных) чисел — присоединением к рациональным числам иррациональных иррациональные числа — это бесконечные десятичные непериодические дроби.
Иррациональные числа появились при измерении несоизмеримых отрезков
(сторона и диагональ квадрата, в алгебре — при извлечении корней примером трансцендентного, иррационального числа являются
Цит. по Математика Электронный ресурс учебный курс ГА. Питерцева. — Электронный курс. — М МИЭМП, 2007. — Режим доступа к курсу http://e-college.ru. — П. Числа натуральные (1, 2, 3, ...), целые (..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,
...), рациональные представимые в виде m / n, где m и n ≠ 0 — целые числа)
и иррациональные не представимые в виде m / n) образуют множество действительных (вещественных) чисел.
Цит. по Математика для экономистов от Арифметики до Эконометрики:
учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. Все действительные числа можно изобразить на числовой оси. Числовая ось
(числовая прямая):
а) горизонтальная прямая с выбранным на ней направлением;
б) начало отсчета — точка в) единица масштаба.
Цит. по Математика Электронный ресурс учебный курс ГА. Питерцева. — Электронный курс. — М МИЭМП, 2007. — Режим доступа к курсу http://e-college.ru. — П. Свойства действительных чисел.
a + b = b + a.
2. аса+ с. а + 0 = а. а + а) = 0.
5.
ab = b аса. а · 1 = a.

9.
10.
a (b + c) = ab + ac Комплексные числа возникают в связи с задачей решения квадратных и других алгебраических уравнений.
Комплексным числом называется выражение вида z = x + iy , где x и y действительные числа, i - мнимая единица. Число x называется действительной
частью, а y - мнимой частью числа z обозначаются соответственно x = Re (z), y =
Im (Действительное число x является частным случаем комплексного числа z = x + iy при y = 0. Если y ≠ 0, то комплексные числа вида z = x + iy называются мнимыми, а прите. числа вида z = iy , — чисто
мнимыми.
Числа z = x + iy и z = x – iy называются комплексно-сопряженными.
Два комплексных числа z
1
= x
1
+ i y
1
и z
2
= x
2
+ i y
2
pавны, если x
1
= x
2
, y
1
= y
2
. Число z =
0, если x = 0, y = Отношений больше, меньше для комплексных чисел не существует.
Цит. по Математика для экономистов от Арифметики до Эконометрики:
учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 25.

Цит. по Высшая математика в схемах и таблицах НС. Знаенко. — Ульяновск ООО «Вектор-С», 2008. — С. Степенью с натуральным показателем n называется произведение n одинаковых
сомножителей, равных

где — основание степени n — показатель степени.
В частности, 1
n
= 1; 0
n
= 0 (n ≠ По определению
Правила действий со степенями ас a
mn
;
4.
5. Основные алгебраические формулы:
а
2
– b
2
= а – b) (а + b); а ± b)
3
= а ± а + а b
2
± а ± b)
2
= a
2
± 2ab + b
2
;
a
3
± b
3
= (а ± b) (a
2
± ab + b
2
); (а + b + ... + k + l)
2
= а + b
2
+ ... + k
2
+ l
2
+ 2 (ab + ... + ak + al + bc +...+ bk + bl + ... + kl);
a
n
– b
n
= (a – b)(a
n–1
+ a
n–2
b + a
n–3
b
2
+ ... + a b
n–2
+ Например, (a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2 (ab + ac + bc); a
5
– b
5
= (a – b) (a
4
+ a
3
b +
a
2
b
2
+ ab
3
+ Корнем степени n из числа а называется число, я степень которого равна
заданному числу
где — подкоренное выражение n — показатель корня (n
∈ Например, так как 3 5
= По определению Действие нахождения корня называется извлечением корня.
Арифметическим корнем, или арифметическим значением корня, й степени
называется неотрицательное число
(n я степень которого равна а. Например,
— арифметические,
—

неарифметические корни) На множестве действительных чисел под корнем четной степени (n = 2k) из неотрицательного числа подразумевается его арифметическое значение (например, а не –3). (На множестве комплексных чисел имеет n значений.)
Выражения, содержащие знак корня (радикал, называются иррациональными.
Правила действий с корнями ас N)):
(Например,
Указанные правила безоговорочно верны для арифметических корней.
(Например,
а не
Для четного n = 2k.
т.е.
(например,
так как

так как
По определению степень с рациональным дробным) показателем где
m
∈ M , n ∈ N.
(Например,
Для степеней с дробным показателем сохраняются те же правила действий со степенями (2.2), приведенные выше.
Формула сложного радикала
Пример 2.1. Упростить выражения:
Решение, а) Учитывая формулы (2.2), (2.3), получаем

или по формуле (2.7′)
Цит. по Математика для экономистов от Арифметики до Эконометрики:
учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. Запись n
∈ N означает, что n принадлежит множеству натуральных чисел означает множество целых чисел.
Тема 2. Скалярные величины и векторы. Действия над векторами.
Величины, которые полностью характеризуются своим численным значением, называются
скалярными (скалярами t °, V , m , время, Векторы — величины, для характеристики которых необходимо знать не только их числовые значения, но и направление F , скорость, ускорение.
Цит. по Математика Электронный ресурс учебный курс ГА. Питерцева. — Электронный курс. — М МИЭМП, 2007. — Режим доступа к курсу http://e-college.ru. — П. Вектором называется направленный отрезок
с начальной точкой Аи конечной
точкой В который можно перемещать параллельно самому себе (рис. Рис. Векторы могут обозначаться как двумя прописными буквами, таки одной строчной с чертой или стрелкой, либо выделяться жирным шрифтом, например

или Длиной модулем, или нормой вектора называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.
Векторы, лежащие на одной прямой или параллельных прямых,
называются коллинеарными.
Векторы, лежащие водной плоскости или параллельных плоскостях,
называются компланарными.
Если начало и конец вектора совпадают, например то такой вектор называют нулевыми обозначают
Длина нулевого вектора равна нулю
Так как направление нулевого вектора произвольно, то считают, что он коллинеарен любому вектору.
Цит. по Математика для экономистов от Арифметики до Эконометрики:
учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М Высшее образование, 2009. Основы наук) — С. Произведением вектора на число λ называется вектор имеющий длину направление которого совпадает с направлением вектора если λ > и противоположно ему, если λ < 0 (рис. Рис. Вектором, противоположным вектору называется произведение вектора на число (–1), те. Суммой двух векторов и называется вектор начало которого совпадает с началом вектора а конец — с концом вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (рис. 4.6) (правило треугольника).
Рис. 4.6

Очевидно, что вектор в этом случае представляет диагональ параллелограмма,
построенного на векторах и (см. рис. 4.6) (правило параллелограмма).
Аналогично определяется сумма нескольких векторов. Так, например, сумма трех векторов есть вектор начало которого совпадает с началом вектора а конец с концом вектора (правило многоугольника) (рис. Рис. Если же векторы некомпланарны, то вектор представляет диагональ параллелепипеда, построенного на векторах
(правило
параллелепипеда) (рис. Рис. Разностью двух векторов и называется сумма вектора и вектора противоположного Перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат.
Координатами вектора называются координаты его конечной точки. Так,
координатами вектора на плоскости Оху являются два числах и у (
— риса в пространстве Oxyz — три числах, у , z (
— рис

Рис. Рис. Вектор может быть записан в виде где
— единичные векторы, или орты, совпадающие с положительными направлениями соответственно осей Ох, Оу, Oz . Векторы называются компонентами вектора а формула (4.35) — разложением вектора
по векторам Длина вектора см. рис. 4.9 и 4.10) равна корню квадратному из суммы квадратов его
координат:
или
Цит. по Математика для экономистов от Арифметики до Эконометрики:
учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов α, β, образуемых вектором с осями координат

при этом
Цит. по Математика для экономистов от Арифметики до Эконометрики:
учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М Высшее образование, 2009. Основы наук) — С. 121.
Цит. по Высшая математика в схемах и таблицах / НС. Знаенко. — Ульяновск ООО
«Вектор-С», 2008. — С. 16.

Тема 3. Проекция вектора на ось.
Проекцией
вектора
на ось l называется величина направленного отрезка А'В' где АА' ВВ' — рис. 4.11), те. число, взятое со знаком «+», если направление А'В' совпадает с направлением оси l , и со знаком «–», если эти направления противоположны:
Рис. Скалярным произведением
двух векторов и называется число, равное
произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними:
Цит. по Математика для экономистов от Арифметики до Эконометрики:
учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 121.

Цит. по Высшая математика в схемах и таблицах НС. Знаенко. — Ульяновск ООО «Вектор-С», 2008. — С. 17.
3.4. Даны два единичных вектора и угол между которыми Найти а) острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и
б) проекцию вектора на направление вектора

Решение:
Рис.3.4
а) Искомый угол φ (рис. 3.4) определим по формуле (По формулам найдем скалярное произведение векторов и и их длины:
Теперь и
б) По формуле

Найдем
Теперь
Цит. по Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др под ред. проф.Н.Ш. Кремера. е изд, перераб. и доп. — М ЮНИТИ-ДАНА, 2007. Серия Золотой фонд российских учебников) — С. Пример 4.12. Даны векторы и Найти а) скалярное произведение векторов где б) угол между векторами и Решение, а) По определению По формуле найдем длины векторов и По формуле скалярное произведение б) По формуле угол между векторами и определяется равенством откуда φ = arccos 0,52 » 58°.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор удовлетворяющий условиям (риса) длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла φ между ними, т.е.
б) вектор перпендикулярен каждому из векторов ив) вектор направлен так, что из конца этого вектора кратчайший поворот от к виден против часовой стрелки (иными словами, векторы образуют правую
тройку векторов).
Рис. 4.12
Цит. по Математика для экономистов от Арифметики до Эконометрики:
учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 122–123.

Цит. по Высшая математика в схемах и таблицах НС. Знаенко. — Ульяновск ООО «Вектор-С», 2008. — С. Примеры. Дано
, Найти

Решение. Дано
, Найти S sin α
Решение:
Цит. по Математика Электронный ресурс учебный курс ГА. Питерцева. — Электронный курс. — М МИЭМП, 2007. — Режим доступа к курсу http://e-college.ru. — П. Смешанным произведением векторов называется скалярное произведение векторов и где есть векторное произведение векторов и
Цит. по Математика для экономистов от Арифметики до Эконометрики:
учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М Высшее образование, 2009. — (Основы наук) — С. 123.

Цит. по Высшая математика в схемах и таблицах НС. Знаенко. — Ульяновск ООО «Вектор-С», 2008. — С. Линейная алгебра
Тема 1. Матрицы. Определитель матрицы
Матрицы
Определение 8.18. Прямоугольная таблица чисел вида

называется прямоугольной матрицей размера m × n , где m - количество строка- количество столбцов.
Определение 8.19. Числа, которые образуют матрицу, - a
ij
, где называются элементами матрицы.
Определение 8.20. Числа i и j называются индексами элемента a
ij
, i показывает, в какой строке расположен данный элемента- в каком столбце находится этот элемент.
Две матрицы считаются равными, если равны их соответствующие элементы.
Виды матриц
Если m = n, то матрица называется квадратной матрицей порядка n Матрица размера m × 1 называется матрицей-столбцом.
Матрица размера 1 × n называется матрицей-строкой.
Определение 8.21. Элементы матрицы, имеющие равные индексы, образуют главную диагональ матрицы.
Определение 8.22. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы вне ее главной диагонали равны нулю.
Определение 8.23. Диагональная матрица n -го порядка, у которой диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей n -го порядка и обозначается Е.
Определение 8.24. Матрица называется матрицей треугольного вида, если все элементы над (под) главной диагональю равны нулю.
Примеры.

Цит. по Математика для экономистов учебное пособие СИ. Макаров. - е изд, стер. - М КНОРУС, 2008. - С. 125–126.

Цит. по Высшая математика в схемах и таблицах НС. Знаенко. - Ульяновск ООО «Вектор-С», 2008. - С. 6, 10.
2. Определитель квадратной матрицы го порядка может быть вычислен по правилу треугольников, или правилу Сарруса.
где соответствующие произведения элементов берутся либо со знаком «+» (левая схема, либо со знаком «–» (правая схема Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения

Цит. по Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др под ред. проф.Н.Ш. Кремера. -е изд, перераб. и доп. - М ЮНИТИ-ДАНА, 2007. -Серия Золотой фонд российских учебников) - С. 11, Свойства определителей
Теорема 8.8. При транспонировании величина определителя не меняется.
Следствие. Строки и столбцы в определителе равноправны, те. свойства,
справедливые для строк, будут справедливы и для столбцов.
Теорема 8.9. Если все элементы одной строки определителя умножить на одно и тоже число, то и весь определитель умножится на это число.
Следствие. Постоянный множитель строки можно выносить за знак определителя.
Теорема 8.10. Если в определителе поменять местами две строки, то определитель сменит знак на противоположный.
Следствие 1. Определитель, у которого две строки равны, равен нулю.
Следствие 2. Если в определителе две строки пропорциональны, то такой определитель равен нулю.
Теорема 8.11. Если строка определителя представлена в виде алгебраической суммы нескольких слагаемых, то определитель равен алгебраической сумме определителей, у которых в первом определителе в данной строке стоит первое слагаемое, во втором - второе слагаемое и т. д.
Следствие. Если строки определителя линейно зависимы, то такой определитель равен нулю.
Теорема 8.12. Если к элементам одной строки определителя прибавить соответствующие элементы другой, умноженные на одно и тоже число, то определитель не изменится.
Миноры и алгебраические дополнения
Пусть дана прямоугольная матрица А размера m × n Определение 8.30. Минором порядка k данной матрицы, где k ≤ min (m; называется определитель k го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием - k) строки) столбцов.
Пример 8.13.

Определение 8.31. Дополнительным минором M
ij
к элементу a
ij
квадратной матрицы A
n × n называется определитель (n - 1) порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием этого элемента вместе со строкой и столбцом, в которых он расположен.
Пример Найдем дополнительный минор к элементу Определение 8.32. Алгебраическим дополнением A
ij
к элементу a
ij
квадратной матрицы A
n × n называется число A
ij
= (- 1)
i+j
× Пример 8.15. Найдем алгебраическое дополнение к элементу Теорема 8.13. Определитель равен сумме попарных произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения - разложение определителя пой строке.
Теорема 8.14. Сумма попарных произведений элементов любой строки (столбца)
определителя на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки (столбца) равна нулю.
Вычисление определителей порядка n > 3 сводится к вычислению определителей второго и третьего порядка с помощью теорем 8.12 и Пример разложение определителя по первому столбцу

Перед разложением определителя для удобства получают водном из столбцов нули.
Это сокращает объемы вычислений. Для этого используют теорему 8.12. Одну из строк умножают на некоторые числа и складывают с другими строками.
Цит. по Математика для экономистов учебное пособие СИ. Макаров. - е изд, стер. - М КНОРУС, 2008. - С. 131–134.
1.24. Вычислить определители матрицы A :
Решение:
а) По формуле б) Определитель вычисляется по формуле (1.8). Запоминать эту формулу не следует,
достаточно применить правило треугольников, согласно которому три произведения элементов, показанных на левой схеме (п. 2), берутся со знакома три других произведения элементов, показанных на правой схеме (п. 2), берутся со знаком «–»
| A | = 1 × 1 × 1 + 0 × 2 × 2 + 0 × 5 × 3 – 0 × 1 × 0 – 1 × 2 × 3 – 1 × 2 × 5 = –15.
1.25. Вычислить тот же определитель, приведенный в задаче 1.24 , б , используя его разложение по элементам а ) первой строки б ) второго столбца.
Решение:

а) Находим алгебраические дополнения элементов первой строки по формуле Теперь по теореме Лапласа (1.10) :
| A | = a
11
× A
11
+ a
12
× A
12
+ a
13
× A
13
= 1 × (– 5) + 2 × (– 5) + 0 × 15 = б) Находим алгебраические дополнения элементов второго столбца:
Теперь по формуле (1.8) :
| A | = a
21
× A
21
+ a
22
× A
22
+ a
32
× A
32
= 2 × (– 5) + 1 × 1 – 3 × 2 = –15.
1.26. Вычислить определитель матрицы четвертого порядка:
Решение: С помощью эквивалентных преобразований приведем матрицу A к треугольному виду. Если возможно, перестановкой строк (столбцов) добиваемся того, чтобы элемент a
11
= 1. В данном случае достаточно поменять местами й и 3- й столбцы при этом меняется знак определителя матрицы A Умножая элементы й строки на числа (–a
ij
); i = 1, 2, 3, 4, те. в данном случае на числа 1, (–2), (–1), и прибавляя их соответственно к элементам й, й и й строк,
добиваемся того, чтобы все элементы го столбца (кроме a
11
) равнялись нулю:
Далее, если возможно, перестановкой строк (столбцов) добиваемся, чтобы новый элемент a
22
= 1. В данном случае это возможно, если переставить ю и ю строки

при этом меняется знак определителя. Умножая элементы й строки, полученной матрицы на числа (–a
12
) (i = 3, 4), в данном случае на числа (–2) и 1, добиваемся того,
чтобы все элементы го столбца (кроме a
22
) равнялись нулю.
Для получения треугольной матрицы в данном случае достаточно прибавить элементы й строки полученной матрицы к элементам й. Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов:
Цит. по Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др под ред. проф.Н.Ш. Кремера. -е изд, перераб. и доп. - М ЮНИТИ-ДАНА, 2007. -Серия Золотой фонд российских учебников) - С. Тема 2. Метод решения систем линейных уравнений Крамера
Решение системы с помощью формул Крамера
Рассмотрим неоднородную систему n линейных уравнений с n неизвестными:
Теорема 8.22. теорема Крамера). Если определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля (|A| ≠ 0), то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:
где D =|A| - главный определитель
- j й вспомогательный определитель, который получен из определителя заменой j го столбца столбцом свободных членов

Пример Для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными справедливы свойства:
если главный определитель равен нулю и хотя бы один их вспомогательных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет;
если главный определитель и оба вспомогательные определители равны нулю,
то система имеет бесконечно много решений.
Цит. по Математика для экономистов учебное пособие СИ. Макаров. - е изд, стер. - М КНОРУС, 2008. - С. Рассмотрим систему уравнений (Введем обозначения:
Если определитель системы Δ ≠ 0, то система (1) имеет единственное решение Пример решить систему уравнений:
Решение:
Составим и вычислим определители

Система имеет единственное решение:
Рассмотрим систему трех уравнений стремя неизвестными (Введем обозначения - определитель системы.
Определители Δ
x
, Δ
y
, Δ
z получаются из определителя системы Δ путем замены соответственно первого, второго и третьего столбца столбцом свободных членов d
1
, d
2
, Если определитель системы Δ ≠ 0, то существует единственное решение системы (Пример. Решить систему уравнений:
Вычисляем определитель системы Δ и определители Δ
x
, Δ
y
, Δ
z разложением определителей по элементам первой строки

Так как Δ ≠ 0, то система имеет только одно решение:
Рассмотрим применение систем в прикладных задачах.
Пример. Из двух сортов бензина образуются две смеси A и B. Смесь A содержит бензина го сорта иго сорта, смесь B содержит 80% бензина го сорта иго сорта.
Сколько тонн смеси A и смеси B можно образовать, полностью, используя 50 тонн бензина го сорта и 30 тонн бензина го сорта?
Решение. Расположим все данные в таблице.
Наличие бензина
Вид смеси
Процентное содержание
1-го сорта го сорта
1-го сорта
2-го сорта т т
А
60%
40%

В
80%
20%
Обозначим через x
1
количество тонн смеси A, через x
2
количество тонн смеси которые можно образовать из наличного бензина, полностью его используя. На каждую тонну смеси A идет 0,6 т (60%) бензина го сорта, на x
1
тонн - 0,6 x
1
тонн бензина го сорта. Аналогично, на x
2
тонн смеси B уходит 0,8 x
2
тонн бензина 1- го сорта. Следовательно, должно быть 0,6 x
1
+ 0,8 x
2
= Расход бензина второго сорта на смеси A и B составляет 0,4 x
1
+ 0,2 x
2
тонн, то есть x
1
+ 0,2 x
2
= Итак, получили систему:
Решаем ее методом Крамера:
Таким образом, из 50 тонн бензина го сорта и 30 тонн бензина го сорта образуют т смеси A и 10 т смеси B .
Цит. по Математика Электронный ресурс учебный курс ГА. Питерцева. - Электронный курс. - М МИЭМП, 2007. - Режим доступа к курсу http://e-college.ru. - П. 6.4.
2.2. По формулам Крамера решить систему:
Решение: Определитель следовательно, по теореме Крамера система имеет единственное решение. Вычислим определители матриц Δ
1
, Δ
2
, полученных из матрицы A заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:
Теперь по формулам Крамера :

Ответ (1; 0; –2).
Цит. по Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др под ред. проф.Н.Ш. Кремера. -е изд, перераб. и доп. - М ЮНИТИ-ДАНА, 2007. -Серия Золотой фонд российских учебников) - С. Тема 3. Ранги базисные строки матрицы Рангом матрицы A (rang А или r (А) называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы Свойства ранга матрицы:
а) если матрица А имеет размеры m × n , то rang A ≤min (m; б) rang A = 0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы А равны в) если матрица А — квадратная порядка n, то rang A = n тогда и только тогда, когда А ≠ 0.
3. Элементарные преобразования, не меняющие ранга матрицы:
а) отбрасывание нулевой строки (столбца);
б) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, неравное нулю;
в) изменение порядка строк (столбцов) матрицы;
г) прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца, умноженных на любое число;
д) транспонирование матрицы С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду:
Ранг ступенчатой матрицы равен r .
5. Строки (столбцы) матрицы ее, е называются линейно зависимыми, если существуют такие числа λ
1
, λ
2
, …, λ
m неравные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке ее+ е , где 0 = (0, 0,
…, 0). В противном случае строки матрицы называются линейно независимыми Теорема о ранге матрицы

Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов.
Цит. по Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др под ред. проф.Н.Ш. Кремера. е изд, перераб. и доп. — М ЮНИТИ-ДАНА, 2007. Серия Золотой фонд российских учебников) — С. Определение. Рангом матрицы называется число ненулевых строк в ее ступенчатом виде.
Ранг матрицы A обозначается r (A) = rang (A). Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях и не зависит от способа приведения матрицы A к ступенчатому виду.
Пример. Найти ранг матрицы:
Решение. Приведем матрицу A к ступенчатому виду.
Ранг матрицы A равен двум, r (A) = rang (A). В любой матрице A с рангом r (А k найдутся такие k строки, что ранг матрицы, составленной их этих строк, также равен k . Такие строки матрицы A называются базисными . Если при приведении матрицы A к ступенчатому виду не использовать прибавление какой-либо строки низшей, чем данная, то базисные строки матрицы A — это в точности те строки,
которые при приведении к ступенчатому виду перешли в ненулевые строки. Найдем базисные строки матрицы в последнем примере. Для этого будем отмечать ненулевые строки слева, начиная с последней матрицы (ступенчатого вида матрицы A). Затем отметим соответствующие им строки у каждой матрицы,
учитывая изменение положения строк (элементарные преобразования го типа. У
матрицы A базисные строки я и 4-я.
Цит. по Математика Электронный ресурс учебный курс ГА. Питерцева. — Электронный курс. — М МИЭМП, 2007. —

Режим доступа к курсу http://e-college.ru. — П. 6.5.
1.51. Найти ранг матрицы:
Решение. Матрица А имеет размер 4 × 3, значит, r АС помощью элементарных преобразований, не меняющих ранг матрицы, приведем матрицу А к ступенчатому виду) Транспонируем матрицу А :
2) Умножим элементы й строки на (–1), сложим ее со й и й строками матрицы. В
новой матрице поменяем местами ю и ю строки) Умножим элементы й строки на 3 и сложим с элементами й строки:
Получили ступенчатую матрицу размера 3 × 4, у которой 3 ненулевых элемента на главной диагонали, значит, r А) = 3. Эта матрица имеет ненулевой минор го порядка, например,
Цит. по Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др под ред. проф.Н.Ш. Кремера. е изд, перераб. и доп. — М ЮНИТИ-ДАНА, 2007. Серия Золотой фонд российских учебников) — С. Тема 4. Операции над матрицами

Определение 8.25. Транспонированием матрицы называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются ролями при сохранении номеров. Транспонированная матрица обозначается А
Т
Для квадратной матрицы это преобразование эквивалентно симметричному отображению относительно главной диагонали.
Определение 8.26. Суммой (разностью) двух матриц одинакового порядка называется матрица того же порядка, каждый элемент которой равен сумме
(разности) соответствующих элементов исходных матриц.
Определение 8.27. Произведением матрицы на число называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на это число.
Пример 8.7. Определение 8.28. Произведением двух матриц Аи В , размеры которых заданы соотношением количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй, называется матрица Су которой количество строк равно количеству строк первой матрицы, а количество столбцов равно количеству столбцов второй. Каждый элемент данной матрицы равен сумме попарных произведений элементов соответствующей строки первой матрицы и элементов соответствующего столбца второй.
Пример 8.8.

Умножить В на А нельзя, так как число столбцов матрицы Вне равно числу строк матрицы А Пример 8.9. В · С ≠ СВ. Произведение матриц не коммутативно!
Пример 8.10. А · ЕЕ А = А
Цит. по Математика для экономистов учебное пособие СИ. Макаров. — е изд, стер. — М КНОРУС, 2008. — С. 127–129.
5. Возведение квадратной матрицы А в целую положительную степень m (m > 1):
Цит. по Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др под ред. проф.Н.Ш. Кремера. е изд, перераб. и доп. — М ЮНИТИ-ДАНА, 2007. Серия Золотой фонд российских учебников) — С. Тема 5. Свойства операций над матрицами
Обратная матрица
Определение 8.33. Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной - в противном случае

Определение 8.34. Матрица называется обратной к квадратной матрице А n го порядка, если А × А
- 1
= А
- 1
× А = Е Теорема 8.15. Для любой невырожденной квадратной матрицы существует единственная обратная матрица.
Доказательство. 1 часть (единственность).
Предположим, что обратная матрица существует. Докажем, что она единственная.
Предположим противное, те. существует две обратные матрицы Тогда А × А
- 1
= А
- 1
× А = Е и Рассмотрим равенство
А × А
- 1
= Е Умножим его слева на Получили противоречие часть (существование. Дана матрица
Построим обратную матрицу. Для этого совершим ряд действий) заменим все элементы матрицы их алгебраическими дополнениями -матрица, присоединенная к матрице А ;
2) транспонируем полученную матрицу

3) разделим все элементы на число А Проверим, будет ли полученная матрица обратной к исходной. Для этого умножим матрицу А на
Элемент, стоящий в i й строке им столбце матрицы произведения, будет равен
Элементы матрицы-результата совпадают с элементами единичной матрицы Е Следовательно, А × А
- 1
= Е , те- обратная матрица к А Таким образом, для произвольной невырожденной матрицы можно построить обратную матрицу и, следовательно, обратная матрица существует. Теорема полностью доказана.
Элементарные преобразования над матрицей.
Нахождение обратной матрицы
Определение 8.35. Элементарными преобразованиями над матрицей называются) умножение любой строки на число, отличное от нуля) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой,
умноженных на одно и тоже число) перестановка строк) отбрасывание строки из нулей.
Определение 8.36. Две матрицы называются эквивалентными (А В, если от одной можно перейти к другой с помощью конечного числа элементарных преобразований.
Теорема 8.16. Любую невырожденную квадратную матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к единичной матрице того же порядка. Применяя туже последовательность элементарных преобразований к единичной матрице, можно получить обратную матрицу к данной

Обычно элементарные преобразования производят над данной матрицей и единичной одновременно. Для этого составляют расширенную матрицу, в левой части которой стоит исходная матрица, а в правой -единичная матрица того же порядка. С помощью элементарных преобразований в левой части создают единичную матрицу, параллельно в правой части автоматически создается обратная матрица.
Пример 8.17. Пусть дана матрица Составим расширенную матрицу:
Цит. по Математика для экономистов учебное пособие СИ. Макаров. -е изд, стер. -М КНОРУС, 2008. -С. 134–137.
Обратная матрица
где Δ - определитель матрицы A (Δ ≠ 0)
A
ij
- алгебраические дополнения элементов a
ij матрицы А × A
–1
= A
–1
× A = E
Цит. по Высшая математика в схемах и таблицах НС. Знаенко. -Ульяновск ООО «Вектор-С», 2008. -С. Пример. Для матрицы найти обратную матрицу Решение

Итак, Мы проверили ранее, что | A | ≠ 0, следовательно, A имеет обратную матрицу.
Запишем рядом с матрицей A матрицу E размерности 4 × 4 и приведем (A / E) к ступенчатому виду Гаусса.
Легко сделать проверку умножением матриц × A
–1
= A
–1
× A = E .

Цит. по Математика Электронный ресурс учебный курс ГА. Питерцева. -Электронный курс. -М МИЭМП, 2007. -Режим доступа к курсу http://e-college.ru. - П. Приведем основные свойства операций над матрицами.
Цит. по Математика для экономистов учебное пособие СИ. Макаров. -е изд, стер. -М КНОРУС, 2008. -С. Тема 6. Системы линейных уравнений
Системы линейных уравнений
Система m линейных уравнений с n неизвестными:
где x
1
, x
2
, …, x
n
— неизвестные — коэффициенты при неизвестных — свободные члены — решение системы, те. набор чисел, при подстановке которых в систему каждое уравнение системы превращается в тождество

— однородная система
Цит. по Высшая математика в схемах и таблицах НС. Знаенко. — Ульяновск ООО «Вектор-С», 2008. — С. Системы линейных уравнений
Определение 8.40. Система вида называется системой m линейных уравнений с n неизвестными, где x
1
, x
2
, …, x
n
неизвестные, a
ij
, i =
, j =
— коэффициенты при неизвестных, b
1
, b
2
, …, b
m
свободные члены.
Определение 8.41. Если все свободные члены равны нулю, то система называется однородной, и неоднородной — в противном случае.
Определение 8.42. Решением системы называется совокупность из n чисел с, с, с, при подстановке которой в систему вместо неизвестных будет получено m числовых тождеств.
Определение 8.43. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной в противном случае.
Определение 8.44. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной — в противном случае.
При изучении систем исследуют три вопроса

1) совместна система или нет) если система совместна, то является ли она определенной или неопределенной) нахождение единственного решения в случае определенной системы и всех решений в случае неопределенной.
Цит. по Математика для экономистов учебное пособие СИ. Макаров. — е изд, стер. — М КНОРУС, 2008. — С. Тема 7. Матрица системы
Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид или в краткой записи с помощью знаков суммирования:
В матричной форме система (4.22) имеет вид = B, где называются соответственно матрицей системы, матрицами-столбцами
переменных и свободных членов. В векторной форме система (4.22) имеет вид где
- векторы-столбцы при переменных , х ..., х В - вектор-столбец свободных членов

Если число уравнений равно числу переменных, те. m = n, и квадратная матрица А- невырожденная (|A | ≠ 0), то система (4.22) имеет единственное решение = A
–1
B. (Рассмотрим систему в общем виде, когда число уравнений m неравно числу переменных, те. m ≠ Расширенной матрицей системы называется матрица (A \ В, полученная из матрицы системы А добавлением к ней столбца свободных членов этой системы, т.е.
Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и
только тогда, когда ранг матрицы системы А равен рангу расширенной матрицы (
A \ В) этой системы.
Результаты исследования системы (4.22) приведены в виде схемы (рис. Рис. Пусть r < n; r переменных x
1
, х , …, x
r
, называются основными или базисными, если определитель матрицы из коэффициентов при них (те. базисный минор) отличен от нуля. Остальные n - r переменных называются неосновными или свободными).
Решение системы (4.22), в котором все n - r неосновных переменных равны нулю,
называется базисным. Базисное решение, в котором хотя бы одна из основных переменных равна нулю, называется вырожденным

Совместная система m линейных уравнений с n переменными (m < n) имеет
бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное
число, не превосходящее числа сочетаний где r ≤ m.
Цит. по Математика для экономистов от Арифметики до Эконометрики:
учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. -М Высшее образование, 2009. - (Основы наук) - С. 110, Решение произвольных систем линейных неоднородных уравнений
Пусть дана неоднородная система m линейных уравнений с n неизвестными
Предположим, что система совместна, те Следовательно, существует минор порядка r матрицы А, отличный от нуля.
Предположим, что он расположен в левом верхнем углу матрицы. Если это не так, то можно переставить уравнения и перенумеровать неизвестные.
Первые r уравнений системы линейно независимы. Остальные выражаются через них. Следовательно, их можно отбросить.
Определение 8.45. Переменные, коэффициенты при которых образуют минор,
отличный от нуля (базисный минор, называются базисными переменными (x
1
, x
2
,
…, x
r
). Остальные переменные x
r
+
1
, …, x
n
называются свободными.
Дадим свободным переменным произвольные числовые значения x
r+ 1
= с+ 1
, x
r+
2
= с
r+ 2
, …, x
n
= Запишем систему в виде

Мы получили систему из r линейных уравнений с r неизвестными, определитель которой отличен от нуля. Она имеет единственное решение- общее решение.
Определение 8.46. Выражение базисных переменных через свободные называется общим решением системы.
Определение 8.47. Решение системы, полученное из общего при конкретных значениях свободных переменных, называется частным решением. Частных решений у системы бесконечно много, все они содержатся в общем решении.
Определение 8.48. Частное решение, полученное из общего, когда свободные переменные равны нулю, называется базисным решением системы.
Определение 8.49. Базисное решение, координаты которого неотрицательны,
называется опорным решением системы.
Пример 8.21. Переменные хи х - базисные, хи х - свободные.
Сложим уравнения и результат разделим на 2. Вычтем из второго уравнения первое и результат разделим на 2. Получим- общее решение

Из него можно получить частные и базисное решения- частное решение, полученное при хи х = 1.
- базисное решение при х = х = 0. Оно же является опорным.
Цит. по Математика для экономистов учебное пособие СИ. Макаров. - е изд, стер. - М КНОРУС, 2008. - С. Тема 8. Метод Гаусса Методом Гаусса можно решить любую систему уравнений вида (4.22 - см. Тема Для этого составляют расширенную матрицу коэффициентов (АВ), приписывая к матрице А столбец свободных членов В , затем матрицу (АВ) с помощью элементарных преобразований приводят к ступенчатому виду (так называемый
«прямой ход далее по полученной матрице выписывают новую систему и решают ее методом исключения переменных начиная с последних (по номеру) переменных находят все остальные (так называемый обратный ход»).
Цит. по Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др под ред. проф.Н.Ш. Кремера. е изд, перераб. и доп. — М ЮНИТИ-ДАНА, 2007. Серия Золотой фонд российских учебников) — С. Определение 8.50. Элементарными преобразованиями системы называются) умножение уравнения на число, отличное от нуля) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на некоторое число, отличное от нуля) перестановка двух уравнений) отбрасывание уравнения 0 = Если получено уравнение 0 = k , то система несовместна.
Цит. по Математика для экономистов учебное пособие СИ. Макаров. — е изд, стер. — М КНОРУС, 2008. — С. 149–150.

2.3. Методом Гаусса решить систему:
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы. Необходимо на первом шаге,
чтобы а ≠ 0, но удобнее для вычислений, чтобы а
= 1. Поэтому поменяем местами первую и четвертую строки, чтобы а стал равным Шаг 1. Умножим элементы первой строки на – 5, 3 и – 2 и прибавим их соответственно к элементам второй, третьей и четвертой строк, чтобы под элементом а
11
в первом столбце образовалась ступенька из нулей.
Для проведения второго шага необходимо, чтобы в новой матрице а ≠ 0 , но удобнее, чтобы а = 1 или а = –1. Поэтому переставим вторую и третью строки:
Шаг 2. Элементы второй строки умножаем на 4 и 3 и прибавляем соответственно к элементам третьей и четвертой строк, тогда под элементом a
22
во втором столбце появится вторая «ступенька».
Шаг 3. Так как в полученной матрице а = 26 ≠ 0 , умножаем элементы третьей строки на и прибавляем к элементам четвертой строки. Получим:
Расширенная матрица приведена к ступенчатому виду. Соответствующая ей система имеет вид

Из последнего уравнениях, из третьего из второго х = 11 + х – х
4
= 11 + 110 – 41 = из первого х –4 + х – х + х = –4 + 7 – 4 × 0 + 2 × 1 = Ответ (5; 7; 0; 1) Замечание. Обратный ход метода Гаусса можно проводить и с расширенной матрицей, не переходя к системе, если эту матрицу с помощью элементарных преобразований привести к диагональной. Умножим элементы четвертой строки на. Затем элементы последней строки (а =1 ≠ 0) умножим на 7, 4, 2 и прибавим соответственно к элементам третьей, второй и первой строк:
Далее умножим элементы третьей строки на 1/26, а затем, учитывая, что а 1 ≠ 0, на (–4) и (–11) и прибавим к элементам первой и второй строка потом от первой строки отнимаем вторую а – 1 ≠ Левая часть расширенной матрицы приведена к диагональному виду. Выпишем систему:
Ответ: (5; 7; 0; 1) .

2.4. Методом Гаусса решить систему:
Решение. Выпишем и преобразуем расширенную матрицу системы. Сначала прибавим к элементам первой строки элементы второй:
Последняя строка соответствует уравнению 0 × x
1
+ 0 × х + 0 × x
3
= –7, которое не имеет решений следовательно, система несовместна.
Цит. по Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др под ред. проф.Н.Ш. Кремера. е изд, перераб. и доп. — М ЮНИТИ-ДАНА, 2007. Серия Золотой фонд российских учебников) — С. Пример. Найти общее решение системы:
Решение. Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду Гаусса

Первые две строки последней матрицы составляют расширенную матрицу системы,
которая равносильна исходной. Выпишем систему линейных уравнений,
соответствующую полученной расширенной матрице:
Неизвестные x
1
и x
2
, соответствующие опорным элементам строк полученной матрицы, называются базисными, каждое из них входит в новую систему с коэффициентом единица и только водно уравнение. Остальные неизвестные называются свободными . Выразим базисные неизвестные через свободные:
Свободные неизвестные — это произвольные числа, которые можно обозначить x
3
= с ; x
4
= c
2
, тогда x
1
и x
2
однозначно вычисляются и общее решение системы имеет вид:
Число констант равно разности между числом неизвестных 4 и рангом матрицы системы 2.
Цит. по Математика Электронный ресурс учебный курс ГА. Питерцева. — Электронный курс. — М МИЭМП, 2007. — Режим доступа к курсу http://e-college.ru. — П. Тема 9. Матричная форма решения системы
Матричная форма решения системы

Обозначим через X столбец неизвестных, а через B столбец свободных членов. A матрица системы:
Тогда система может быть записана в виде A × X = B (Это матричный вид системы Рассмотрим случай, когда число уравнений равно числу неизвестных. Тогда матрица системы A является квадратной. Если определитель A отличен от нуля, то r ( A ) = Так как r ( A / B ) = n, следовательно, r ( A / B) = r (A) = n и по теореме Кронекера-
Капелли система имеет решение. Это решение может быть записано формулой = A
–1
× B, A
–1
существует, так как | A | ≠ Пример. Решить систему уравнений:
Решение. Составим матрицу этой системы:
Ранее мы нашли обратную матрицу для A :

Ответ x
1
= 2; x
2
= 3; x
3
= –1; x
4
= –2 Рассмотрим применение систем линейных уравнений в экономике.
Пример. Известно, что вклад, находящийся в банке сначала года, возрастает к концу года на определенный процент (свой для каждого банка).
В начале года 3/8 вклада, который составляет 800 тыс. руб, вложили в первый банк во второй банки оставшуюся часть вклада в третий банк. К концу года сумма этих вкладов стала равна 907 тыс. руб. Если бы первоначально 1/8 вклада положили в первый банк, 4/8 вклада — во второй банк, оставшуюся часть вклада — в третий банк, ток концу года сумма этих вкладов стала бы равна 894 тыс. руб. Если бы вклада вложили в первый банк, 3/8 вклада — во второй банк, оставшуюся часть вклада — в третий банк, ток концу года сумма этих вкладов была бы равна 903 тыс.
руб.
Какой процент начисляет каждый банк?
Решение. Введем следующие неизвестные — процент, начисляемый вкладчику в первом банке — процент, начисляемый вкладчику во втором банке — процент, начисляемый вкладчику в третьем банке.
Вклад в первый банк составил (3/8) × 800 = 300 тыс. руб.
Вклад во второй банк составил (1/8) × 800 = 100 тыс. руб.
Вклад в третий банк составил (4/8) × 800 = 400 тыс. руб.
Начислено в первом банке за год тыс. руб.
Начислено во втором банке за год тыс. руб.
Начислено в третьем банке за год тыс. руб.
Всего на вклад в 800 тыс. руб, сделанный в три банка (в первый было начислено тыс. руб, во второй — 100 тыс. руб, в третий — 400 тыс. руб, было начислено за год — 800 = 107 тыс. руб

Таким образом, первое уравнение системы + x
2
+ 4x
3
= Аналогично получим два других уравнения системы + 4x
2
+ 3x
3
= 894 – 800 = 94 4x
1
+ 3x
2
+ x
3
= 903 – 800 = Получим систему трехлинейных уравнений стремя неизвестными:
Решим эту систему методом Гаусса.
Система решена, она имеет единственное решение = 15; x
2
= 10; x
3
= Таким образом, решив систему уравнений, мы нашли, что первый банк выплачивает 15% годовых, второй банк — 10% годовых, а третий банк — 13%.
Цит. по Математика Электронный ресурс учебный курс ГА. Питерцева. — Электронный курс. — М МИЭМП, 2007. — Режим доступа к курсу http://e-college.ru. — П. 6.11.
2.1. Методом обратной матрицы решить систему уравнений

Решение. Обозначим:
Тогда в матричной форме система имеет вид АХ = В. Определитель матрицы те. обратная матрица А
–1
существует Теперь по формуле X = A
-1 Ответ :(3; 2; – 1).
Цит. по Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др под ред. проф.Н.Ш. Кремера. е изд, перераб. и доп. — М ЮНИТИ-ДАНА, 2007. Серия Золотой фонд российских учебников) — С. Точнее данная теорема является частным случаем теоремы Лапласа.
Аналитическая геометрия

  1   2   3