Файл: Линейными операциями над векторами.docx

Скачать файл (2,79Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.01.2024

Просмотров: 34

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

1. Линейными операциями над векторами называются операции сложения (вычитания) векторов и умножения вектора на число. Рассмотрим их. Произведением вектора на число называется вектор, совпадающий по направлению с вектором , если , имеющий противоположное направление, если отрицательное. Длина этого вектора равна произведению длины вектора на модуль числа . Суммой двух векторов и называется вектор , который выходит из их общего начала и является диагональю параллелограмма, стороны которого векторы и . Разностью двух векторов и называют такой вектор, который при сложении с вектором дает вектор . Т.е. если . Геометрически представляет собой вторую диагональ параллелограмма, построенного на векторах и с общим началом и направленную из конца вектора в конец вектора.	3. Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа 4.	6. 7. Условия параллельности двух прямых: а) Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов: k₁ = k₂б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.	Условия перпендикулярности двух прямых: а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е. б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства A₁A₂ + B₁B₂ = 0. 8. Эллипсом называют плоскую кривую, состоящую из точек, сумма расстояний которых от двух определённых точек плоскости является неизменной, строго заданной величиной, равной суммарной длине двух больших его полуосей
9 . Гипербола — это множество точек на плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух точек (они же — «фокусы») — величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами. 10. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой , не проходящей через заданную точку. Это геометрическое определение выражает директориальное свойство параболы.		13. Матрица - Математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля, который представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся его элементы. Количество строк и столбцов задает размер матрицы. Классификация: · Матрица, у которой все элементы выше (ниже) главной диагонали равны нулю, называются нижне- (верхнетреугольной) или просто треугольной; · Матрица, у которой равное число строк и столбцов называют квадратной. Квадратная матрица размера называется квадратной матрицей порядка n; · Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме главной диагонали равны 0, называется диагональной; · Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны между собой, называется скалярной; · Скалярная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, называют единичной матрицей и обозначают как Е; · Матрица называется вектор-строкой длины n, а матрица – вектор-столбцом длины n. Если у матрицы поменять местами строки и столбцы, то такая матрица называется транспонированной.
18. Линейные операции над векторами удовлетворяют следующим свойствам: 1. Х + У = У + Х; (коммутативное свойство суммы) 2. (Х + У) + Z = X + (Y + Z); (ассоциативное свойство суммы) 3. a(bX) = (ab)X; 4. a(X + Y) = aX + aY; (дистрибутивное свойство) 5. (a + b)X = aX + bX; 6. Существует нулевой вектор О=(0,0,…0) такой, что Х + О = Х, для любого Х; 7. Для любого вектора Х существует противоположный вектор (-Х) такой, что Х + (-Х) = О; 8. 1∙Х = Х для любого Х.	19. Ранг матрицы. Рангом матрицы QQ называется наивысший порядок миноров, среди которых есть хотя бы один отличный от 0. Теорема. Ранг матрицы равен числу ее линейно независимых строк и столбцов. Базисные строки и столбцы любой матрицы линейно независимы, а все другие ее строки и столбцы являются линейными комбинациями базисных строк и столбцов. 21.Зависимость векторов. Векторы x, y, ..., z называются линейно зависимыми векторами, если существуют числа α, β, ..., γ, из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие что справедливо равенство: αx+βy+...+γz=0. (0). Другими словами линейная зависимость группы векторов означает, что существует среди них вектор, который можно представить линейной комбинацией других векторов этой группы. 22. собственный вектор – это такой вектор, который под действием линейного оператора переходит в коллинеарный вектор, т.е. просто умножается на некоторое число.