ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.01.2024
Просмотров: 110
Скачиваний: 4
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
где
1
RSS
и
2
RSS
- суммы квадратов остатков для первых и последних
0
n
наблюдений соответственно. По таблице для принятого уровня значимости
и для
1 0
1
k
n
m
и
1 0
1
k
n
m
степеней свободы выбирается критическое значение статистики
кр
F
. Если
кр
F
F
, то основания для отклонения гипотезы
0
H
отсутствуют, дисперсия случайных отклонений стабильна во времени. Если же
кр
F
F
, то гипотезу
0
H
следует отклонить в пользу гипотезы
1
H
: дисперсия случайных отклонений возрастает, необходимо уточнить оценки параметров модели.
Замечание. Тест Гольфельда-Квандта можно использовать для проверки на гетероскедастичность в предположении, что дисперсия случайных отклонений обратно пропорциональна
x
. В этом случае тестовой статистикой служит величина
2 1
0
RSS
RSS
F
1
RSS
и
2
RSS
- суммы квадратов остатков для первых и последних
0
n
наблюдений соответственно. По таблице для принятого уровня значимости
и для
1 0
1
k
n
m
и
1 0
1
k
n
m
степеней свободы выбирается критическое значение статистики
кр
F
. Если
кр
F
F
, то основания для отклонения гипотезы
0
H
отсутствуют, дисперсия случайных отклонений стабильна во времени. Если же
кр
F
F
, то гипотезу
0
H
следует отклонить в пользу гипотезы
1
H
: дисперсия случайных отклонений возрастает, необходимо уточнить оценки параметров модели.
Замечание. Тест Гольфельда-Квандта можно использовать для проверки на гетероскедастичность в предположении, что дисперсия случайных отклонений обратно пропорциональна
x
. В этом случае тестовой статистикой служит величина
2 1
0
RSS
RSS
F
1 2 3 4 5 6
Тест ранговой корреляции Спирмена.
1. Выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности случайных отклонений.
2. Данные по
x
и остатки
e
ранжируются по переменной
x
и определяются их ранги. Ранг – это порядковый номер значений переменной в ранжированном ряду.
3. Определяется коэффициент ранговой корреляции Спирмена по формуле
)
1
(
6 1
2 2
n
n
D
r
i
,
(19) где
i
D
- разность между рангами
x
и
e
4. Составляется статистика
1
n
r
t
, которая сравнивается с
кр
t
для заданного уровня значимости (
96
,
1
кр
t
при
05
,
0
и
58
,
2
кр
t
при
01
,
0
).
Если
кр
t
t
, то нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется.
Тест Глейзера.
Используя абсолютные значения остатков в качестве оценки
i
оценивается регрессия
i
i
x
при различных значениях
. Выбирается наилучшая оценка (с наибольшим значением коэффициента детерминации) и проверяется значимость параметра
. В случае, если коэффициент
значим, то нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется.
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ
МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Оценивание параметров эконометрической модели сводится к приписыванию конкретных численных значений количественно неопределённым параметрам. Оценивание должно проводиться так, чтобы оно обеспечило наилучшую адаптацию модели к эмпирическим данным.
Наиболее распространённым методом оценивания параметров линейных эконометрических моделей вида
k
k
X
Х
Y
1 1
0
считается метод наименьших квадратов. Его идея сводится к выбору таких значений оценок
k
a
a
a
,...,
,
1 0
структурных параметров
k
,...,
,
1 0
, при которых сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений объясняемой переменной от её теоретических значений, рассчитанных при помощи модели, оказывается наименьшей. Это условие записывается в виде
n
i
i
e
1 2
min , где
n
i
e
i
,...,
2
,
1
,
– отклонения эмпирических значений объясняемой переменной от её теоретических значений, называемые остатками модели
i
i
i
y
y
e
ˆ
, где
ik
k
i
i
x
a
x
a
a
y
ˆ
1 1
0
Применение метода наименьших квадратов базируется на следующих принципах:
– оцениваемая модель линейна;
– объясняющие переменные – детерминированные величины известной структуры;
– отсутствует явление коллинеарности объясняющих переменных;
– случайный фактор имеет нулевое математическое ожидание, а также известную и постоянную дисперсию;
– отсутствует явление автокорреляции случайного фактора, то есть его зависимости от собственных значений в различные моменты времени.
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ
С ОДНОЙ ОБЪЯСНЯЮЩЕЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Линейная эконометрическая модель с одной объясняющей переменной имеет вид
Х
Y
В этом случае значения оценок a и b структурных параметров
и
рассчитываются исходя из условий
min
1 2
n
i
i
i
bx
a
y
S
Для нахождения минимума
S
используется необходимое условие экстремума
0
,
0
b
S
a
S
Выполним необходимые действия:
n
i
i
i
bx
a
y
a
S
1 1
2
;
n
i
i
i
i
x
bx
a
y
b
S
1 2
Решим систему:
0
;
0 0
;
0 0
2
;
0 1
2 2
1 2
1 1
1 1
1 1
x
b
x
a
xy
x
b
a
y
x
b
x
a
x
y
x
b
na
y
x
bx
a
y
bx
a
y
n
i
i
n
i
i
n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
i
i
n
i
i
i
(последняя система называется системой нормальных уравнений)
;
0
;
0 0
;
0 2
2 2
2 2
2
x
x
y
x
xy
b
x
b
y
a
x
x
b
y
x
xy
x
b
a
y
x
b
x
a
xy
x
b
x
a
y
x
Полученные значения доставляют минимум функции
S
, поскольку
n
i
i
n
i
i
x
b
S
x
b
a
S
a
S
1 2
2 2
1 2
2 2
2
;
2
;
2
;
0 2
;
0 4
4 4
2 2
2 2
2 1
1 2
2 2
2 2
2 2
a
S
x
x
n
x
x
b
a
S
b
S
a
S
n
i
i
n
i
i
Таким образом, получаем формулы оценивания значений a и b :
2 2
x
x
y
x
xy
b
x
b
y
a
Оценку дисперсии случайных отклонений линейной модели с одной объясняющей переменной получаем по формуле
2 2
2 2
1 2
2
n
e
e
n
e
e
S
n
i
i
e
В случае если оценки параметров получены по методу наименьших квадратов, математическое ожидание случайного отклонения
e
равно 0 и формула дисперсии примет вид
2 2
2 1
2 2
n
e
n
e
S
n
i
i
e
Величина
e
S называется стандартной ошибкой (стандартным отклонением) остатков модели, которая информирует, насколько в среднем наблюдаемые значения объясняемой переменной отличаются от теоретических значений этой переменной, определяемых моделью, т.е. служит мерой разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии.
Стандартные погрешности
)
(a
S
и
)
(b
S
оценок структурных параметров
и
рассчитываются по формулам:
2 2
2 2
x
x
n
S
x
S
a
2 2
2
x
x
n
S
S
b
Ковариации оценок структурных параметров
и
определяются по формулам
2 2
2
)
,
(
x
x
S
x
b
a
K
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ
С НЕСКОЛЬКИМИ ОБЪЯСНЯЮЩИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
Для представления классического метода наименьших квадратов в применении к линейной модели с несколькими объясняющими переменными вида
k
k
X
Х
Y
1 1
0
вводится символика:
n
y
y
y
y
2 1
- вектор наблюдаемых значений объясняемой переменной;
nk
n
k
k
x
x
x
x
x
x
X
1 1
1 1
2 21 1
11
- матрица наблюдаемых значений объясняющих переменных (
ij
x
- i -е значение j -ой объясняющей переменной);
k
b
b
b
b
1 0
- вектор оценок структурных параметров;
n
e
e
e
e
2 1
- вектор остатков модели.
В введенных обозначениях модель примет вид
e
b
X
y
; метод наименьших квадратов можно представить в виде
e
e
S
Т
→ min, где
Xb
y
e
Выражение для вектора b оценок структурных параметров модели имеет вид:
y
X
X
X
b
T
T
1
)
(
Дисперсия случайных отклонений оценивается по формуле:
1 1
1 2
1 2
2
k
n
e
k
n
e
k
n
e
e
S
n
t
t
T
e
Матрица дисперсии и ковариации оценок структурных параметров оценивается по формуле:
1 2
2
)
(
)
(
X
X
S
b
D
T
e
В этой матрице элементы, лежащие на главной диагонали, представляют собой дисперсии
k
i
b
S
i
,...,
2
,
1
,
0
,
2
, оценок структурных параметров.
Величины
k
i
b
S
i
,...,
2
,
1
,
0
,
, представляют собой стандартные погрешности оценивания структурных параметров.
ПОДОБОР ОБЪЯСНЯЮЩИХ ПЕРЕМЕННЫХ МОДЕЛИ
С формальной точки зрения, объясняющие переменные в эконометрической модели должны обладать следующими свойствами: иметь высокую вариабельность; быть сильно коррелированными с объясняемой переменной; быть слабо коррелированными между собой.
Объясняющие переменные подбираются с помощью статистических методов.
Процедура подбора состоит из следующих этапов.
1. На основе накопленных знаний составляется множество так называемых потенциальных объясняющих переменных (первичных переменных), в которое включаются все важнейшие величины, влияющие на объясняемую переменную. Такие переменные будем обозначать
k
X
X
X
,...,
,
2 1
2. Собирается статистическая информация о реализациях как объясняемой переменной, так и потенциальных объясняющих переменных.
Формируется вектор y наблюдаемых значений переменной Y и матрица
X наблюдаемых значений переменных
k
X
X
X
,...,
,
2 1
в виде
n
y
y
y
y
2 1
,
nk
n
n
k
k
x
x
x
x
x
x
x
x
x
X
2 1
2 22 21 1
12 11
,
ij
x
-
i
-е значение
j
-ой переменной.
3. Исключаются потенциальные объясняющие переменные, характеризующиеся слишком низким уровнем вариабельности.
4. Рассчитываются коэффициенты корреляции между всеми рассматриваемыми переменными. На основе рассчитанных значений выбираются переменные сильно коррелированные с объясгяемой
переменной и слабо коррелированные с остальными объясняющими переменными.
1.1. ИСКЛЮЧЕНИЕ КВАЗИНЕИЗМЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Объясняющие переменные должны обладать высоким уровнем вариабельности (изменчивости). В качестве меры вариабельности используется коэффициент вариации
????
????
=
????
????
????
????
̅̅̅̅
, ???? = 1,2, … , ????, где
????
????
= ????
????
2
̅̅̅̅̅ − ????
????
̅̅̅̅
2
– стандартное отклонение (аналог среднеквадратичного отклонения) переменной
i
X
Задается критическое значение коэффициента вариации
, например
1
,
0
. Переменные, удовлетворяющие неравенству
i
, признаются
квазинеизменными и исключаются из множества потенциальных объясняющих переменных. Эти переменные не несут значимой информации.
Замечание. Критическое значение коэффициента вариации
подбирается экспертами, исходя из условий конкретной задачи.
ВЕКТОР И МАТРИЦА КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ.
Для оценки силы линейной зависимости объясняемой переменной Y от потенциальных объясняющих переменных
k
X
X
X
,...,
,
2 1
рассчитываются коэффициенты корреляции:
k
i
y
y
x
x
y
x
xy
x
x
y
y
x
x
y
y
r
m
t
i
ti
m
i
t
t
m
t
i
ti
t
i
,...,
2
,
1 2
2 2
2 1
2 2
1
Эти коэффициенты корреляции образуют вектор корреляции
k
r
r
r
R
2 1
0
1.1. ИСКЛЮЧЕНИЕ КВАЗИНЕИЗМЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Объясняющие переменные должны обладать высоким уровнем вариабельности (изменчивости). В качестве меры вариабельности используется коэффициент вариации
????
????
=
????
????
????
????
̅̅̅̅
, ???? = 1,2, … , ????, где
????
????
= ????
????
2
̅̅̅̅̅ − ????
????
̅̅̅̅
2
– стандартное отклонение (аналог среднеквадратичного отклонения) переменной
i
X
Задается критическое значение коэффициента вариации
, например
1
,
0
. Переменные, удовлетворяющие неравенству
i
, признаются
квазинеизменными и исключаются из множества потенциальных объясняющих переменных. Эти переменные не несут значимой информации.
Замечание. Критическое значение коэффициента вариации
подбирается экспертами, исходя из условий конкретной задачи.
ВЕКТОР И МАТРИЦА КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ.
Для оценки силы линейной зависимости объясняемой переменной Y от потенциальных объясняющих переменных
k
X
X
X
,...,
,
2 1
рассчитываются коэффициенты корреляции:
k
i
y
y
x
x
y
x
xy
x
x
y
y
x
x
y
y
r
m
t
i
ti
m
i
t
t
m
t
i
ti
t
i
,...,
2
,
1 2
2 2
2 1
2 2
1
Эти коэффициенты корреляции образуют вектор корреляции
k
r
r
r
R
2 1
0