Файл: Модели с лаговыми переменными.pdf

Силу линейной зависимости между потенциальными объясняющими переменными определяют коэффициенты











k
j
i
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
r
i
i
j
j
i
j
i
j
n
t
i
ti
n
i
t
j
tj
n
t
j
tj
i
ti
ij
,...,
2
,
1
,
2 2
2 2
1 2
2 1

















Эти коэффициенты образуют матрицу корреляции













1 1
1 2
1 2
21 1
12







k
k
k
k
r
r
r
r
r
r
R
Поскольку
ji
ij
r
r

, матрица корреляции симметрична.
Замечание. В случае парной линейной регрессии рассчитывается только один коэффициент корреляции, определяющий силу линейной зависимости между объясняющей и объясняемой переменной



2 2
2 2
y
y
x
x
y
x
xy
r





Коэффициент корреляции принимает значения в отрезке [-1;1]. Коэффициент корреляции определяет силу линейной зависимости между рассматриваемыми переменными.
Если коэффициент корреляции равен ±1, то говорят, что переменные связаны функциональной линейной зависимостью. В этом случае точки корреляционного поля расположены на одной и той же прямой.
Если модуль (абсолютная величина) коэффициента корреляции «близок» к 1
(значим), то говорят, что переменные связаны линейной статистической зависимостью. В этом случае можно указать прямую, близко к которой расположены точки корреляционного поля и для описания влияния одной переменной на другую можно выбирать линейную модель.

Если коэффициент корреляции близок к 0 (незначим), то между переменными нет линейной статистической зависимости. В этом случае линейную модель для описания зависимости использовать нельзя.
Незначимость коэффициента корреляции не означает отсутствие связи между объясняемой и объясняющей переменной вообще говоря. Связь может существовать, но эта зависимость будет нелинейной.
Для выявления статистической зависимости между переменными проверяется гипотеза о значимости коэффициента корреляции. Выдвигается нулевая гипотеза H
0
={коэффициент корреляции незначим, r=0} относительно альтернативной гипотезы H
1
={коэффициент корреляции значим, r≠0}. Для проверки гипотезы рассчитывается статистика


2 2
1 2
r
n
r
t



По таблицам Стьюдента для заданного уровня значимости

и для


2

n
степеней свободы находится критическое значение статистики
кр
t
. Если
кр
t
t

, то принимается гипотеза
0
H
, т.е. коэффициент корреляции незначим и линейная связь между объясняющей и объясняемой переменной отсутствует
(но может быть нелинейная связь). Если
кр
t
t

, то гипотеза
0
H
отклоняется в пользу
1
H
, т.е. коэффициент корреляции значим, и между объясняющей и объясняемой переменной существует статистическая линейная зависимость.
АНАЛИЗ МАТРИЦЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ КОРРЕЛЯЦИИ
Идея метода сводится к выбору таких объясняющих переменных, которые сильно коррелируют с объясняемой переменной и слабо коррелируют между собой. В качестве исходных объектов анализа рассматриваются матрица R и вектор
0
R
корреляции.
Для заданного уровня значимости

и для


2

n
степеней свободы рассчитывается так называемое критическое значение коэффициента корреляции

 
 











2 2
2
n
t
t
r
кр
кр
кр
, где
кр
t
− значение
t
-распределения Стьюдента для заданного уровня значимости

и для


2

n
степеней свободы.
Критическое значение коэффициента корреляции
кр
r
может априорно задаваться экспертом или определяться по таблице критических значений коэффициентов корреляции для заданного уровня значимости

и для


2

n
степеней свободы.
Процедура подбора объясняющих переменных состоит из следующих этапов:
1. Из множества потенциальных объясняющих переменных исключаются все элементы, которые удовлетворяют неравенству


r
r
i
, поскольку они несущественно влияют на объясняемую переменную.
2. Из оставшихся переменных объясняющей признается та переменная
h
X , для которой
 
i
i
h
r
r
max

, поскольку
h
X является носителем наибольшей информации об объясняемой переменной.
3. Из оставшегося множества потенциальных объясняющих переменных исключаются те
i
X , для которых


r
r
hi
, поскольку эти переменные дублируют информацию, представляемую
h
X .
Этапы повторяются.
КОЭФФИЦИЕНТ МНОЖЕСТВЕННОЙ КОРРЕЛЯЦИИ
Коэффициент множественной корреляции представляет собой меру силы линейной связи объясняемой переменной Y с объясняющими переменными
k
X
X
X
,...,
,
2 1
. Его значение рассчитывается по формуле

R
W
R
det det
1


, где
R
det
- определитель матрицы
R коэффициентов корреляции попарно объединенных объясняющих переменных
k
X
X
X
,...,
,
2 1
;
W
det
– определитель матрицы
























1 1
1 1
1 2
1 2
21 2
1 12 1
2 1
0 0
k
k
k
k
k
k
T
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
R
R
R
W




Коэффициент множественной корреляции принимает значения в промежутке
]
1
;
0
[
. Его значение тем больше, чем сильнее связь объясняемой переменной с объясняющими переменными. Коэффициент множественной корреляции может выступать в качестве критерия выбора наилучшей комбинации объясняющих переменных среди комбинаций одинаковой размерности.
Тесноту связи между объясняемой переменной и одной из объясняющих переменных при устранении влияния других объясняющих переменных характеризуют частные коэффициенты корреляции.
В случае двух объясняющих переменных
2 1
, X
X
частный коэффициент корреляции между объясняемой переменной
Y
и объясняющей переменной
1
X
определяется по формуле


)
,
(
1
)
,
(
1
)
,
(
)
,
(
)
,
(
,
2 2
2 1
2 1
2 2
1 2
1
x
y
r
x
x
r
x
x
r
x
y
r
x
y
r
x
x
y
r





Частный коэффициент корреляции между объясняемой переменной
Y
и объясняющей переменной
2
X
определяется по формуле


)
,
(
1
)
,
(
1
)
,
(
)
,
(
)
,
(
,
1 2
2 1
2 1
2 1
2 1
2
x
y
r
x
x
r
x
x
r
x
y
r
x
y
r
x
x
y
r






Связь между частными коэффициентами корреляции, парными коэффициентами корреляции и множественным коэффициентом корреляции определяется формулой


)
,
(
1
)
,
(
,
2 2
2 2
2 2
1 2
x
y
r
x
y
r
R
x
x
y
r



или


)
,
(
1
)
,
(
,
1 2
1 2
2 1
2 2
x
y
r
x
y
r
R
x
x
y
r



В случае
k
объясняющих переменных коэффициент частной корреляции между объясняемой переменной
Y
и объясняющей переменной
i
X
при неизменном уровне остальных факторов определяется по формуле
2 2
,
1 1
1 1
1 2
1 1
1 1
k
i
i
k
i
i
i
x
x
x
yx
x
x
x
x
x
x
y
R
R
r








, где
2
R
- коэффициент множественной корреляции для всех
k
переменных,
2 1
1 2
1
k
i
i
x
x
x
x
yx
R


- коэффициент множественной корреляции без введения в модель переменной
i
X

Предмет и методы эконометрики
Эконометрика – наука о методах исследования числовых зависимостей между экономическими явлениями.
В качестве исследовательских методов эконометрики применяются статистические и математические методы, адаптированные для экономических исследований.
Основной инструмент эконометрического анализа – описательная эконометрическая модель. Изучение механизма формирования выделенного экономического явления сводится к построению описательной модели этого явления и статистическому оцениванию параметров созданной модели с последующим формулированием выводов по данной модели.
Описательная эконометрическая модель – это уравнение (или система уравнений), приближенным способом представляющее основные количественные зависимости между рассматриваемыми экономическими явлениями.
Эконометрическая модель как формализованное описание исследуемого фрагмента экономической действительности учитывает только наиболее существенные элементы и игнорирует менее значимые.
Все экономические явления, учитываемые в описательной эконометрической модели, с учетом их роли можно разделить на два вида: экономическое явление, исследуемое с помощью модели, т.е. объясняемая
(зависимая) переменная, и экономические явления, которые влияют на объясняемую переменную, т.е. объясняющие (независимые) переменные.
Объясняемую переменную будем обозначать Y , а объясняющие переменные
-
k
X
X
X
,...,
,
2 1
Описательную эконометрическую модель, представляющую зависимость переменной Y от переменных
k
X
X
X
,...,
,
2 1
, можно записать в общем виде как



,
,...,
,
2 1
k
X
X
X
f
Y

В этом выражении символ f означает аналитическую форму функции объясняющих переменных, которая определяется в процессе построения

модели. Символом

обозначаются так называемые случайные отклонения эконометрической модели.
Существуют различные экономические теории, относящиеся либо к экономике в целом, либо к отдельному рынку, либо к фирме, которые могут рассматриваться в качестве базиса формулируемой гипотезы о том, что некоторая зависимость может быть описана определенной аналитической функцией.
Если на основе имеющихся данных об исследуемых зависимостях известно, что приросты объясняемой переменной Y относительно объясняющих переменных
k
X
X
X
,...,
,
2 1
постоянны, то делается предположение о линейной форме модели вида









k
k
X
Х
Y
1 1
0
В этой модели итоговый прирост объясняемой переменной Y относительно объясняющей переменной
i
X
равен значению параметра
i

, который имеет постоянное значение. Например, зависимость результатов животноводства в текущем году от результатов растениеводства в текущем и результатов растениеводства в предыдущем годах имеет линейный характер.
Если знания об исследуемом явлении указывают на то, что единичному приросту объясняющей переменной сопутствуют все меньшие приросты объясняемой переменной, то следует применять модель в форме






X
Y
log
ˆ
Эту модель можно использовать для описания зависимости роста производительности труда от стажа рабочего.
Аналитическую форму модели можно выбрать по виду корреляционного поля. Множество точек координатной плоскости, координаты которых определяются соответствующими значениями объясняющей и объясняемой переменной, называется корреляционным полем.

Основные типы зависимости определяются элементарными функциями.
1. Линейная зависимость
???? = ???? + ???????? + ????
выбирается в случае корреляционного поля вида
2. Обратная зависимость
???? = ???? +
????
????
+ ???? выбирается в случае корреляционного поля вида

3. Степенная форма зависимости
???? = ???? ∙ ????
????
∙ ???? выбирается в случае корреляционного поля вида
4. Экспоненциальная зависимость
???? = ???? ∙ ????
????????
∙ ???? выбирается в случае корреляционного поля вида
5. Логарифмическая зависимость
???? = ???? + ???? lg ???? + ???? выбирается в случае корреляционного поля вида

Следует отметить что вышерассмотренные зависимости можно свести к линейной модели с помощью замены.
Этапы построения эконометрических моделей.
Исследование зависимости между экономическими явлениями при помощи эконометрической модели – многоэтапный процесс. На предварительном этапе определяется исследуемое явление, что равнозначно выбору объясняемой переменной.
На первом этапе из множества факторов, влияющих на объясняемую переменную, выбираются наиболее существенные – объясняющие переменные.
Второй этап – выбор аналитической формы модели, т.е. выбор конкретной математической формы функции, описывающей зависимость объясняемой переменной от объясняющих переменных.
На третьем этапе оцениваются параметры модели, т.е. рассчитываются оценки значений каждого параметра.
На четвертом этапе выполняется верификация модели, цель которой заключается в проверке насколько хорошо построенная модель описывает экономические реалии.

Последний этап – принятие решений с помощью модели, т.е. ее практическое использование. Принимаемые решения могут относиться к одному из двух видов деятельности: к экономическому анализу или прогнозированию.
Рассмотрим подробнее перечисленные этапы.
При рассмотрении будем использовать следующие обозначения:
????
????
̅̅̅̅ =
????
????1
+????
????2
+⋯+????
????????
????
– выборочное среднее i-ой объясняющей переменной;
????
̅̅̅ =
????
1
+????
2
+⋯+????
????
????
– выборочное среднее объясняемой переменной;
????????
????
̅̅̅̅̅̅ =
????
1
????
????1
+????
2
????
????2
+⋯+????
????
????
????????
????
– среднее произведения;
????
????
2
̅̅̅̅̅ =
????
????1 2
+????
????2 2
+⋯+????
????????
2
????
– среднее квадрата i-ой объясняющей переменной;
????
̅̅̅ =
????
1 2
+????
2 2
+⋯+????
????
2
????
– среднее квадрата объясняемой переменной.