ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.01.2024
Просмотров: 189
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
проблемалы ахуалды тудыратын, әдістер құрылысына проблемалы тапсырмаларды енгізу, танымдық есептер мен сұрақтарды енгізетін әдістер әсер етеді. Мәселен, аудан ұғымын түсіндірместен бұрын мынадай бір тәжірибе көрсетейік. Оқушыны шақырып, орындыққа арқасы тиетіндей, екі аяғын түзу қойып, алақанын қос тізесіне қойдырып отырғызып: Балалар, бүгін біз аудан ұғымымен танысамыз. Ол өмірге қажет. Міне, көрсетемін, - дейді.Енді орындықта отырған оқушыға, жаймен сыбырлап, алға ұмтылып кетпей тікеңнен тұр! – дейді. Бұндай қалыпта тұру оқушыға қиындау соғады. Екінші оқушыны шақырып,тәжірибені қайталайды. Мәселенің сырын білуге оқушылардың әуесқойлығы арта түседі. Содан әрі мұғалім: Қожанасыр моласы тік жардан төмен қарай еңкейіп тұр. Оны алдынан тіреу қоюдың орнына, артынан құлата тіреген. Неліктен деп ойлайсыңдар? – дейді де олардың ынтазарлығын бәсеңдетпей: Құрбыларыңның тұра алмауы да, Қожанасыр моласының құламауы да « Ауырлық центінің фигура ауданынан шығып кетпеу заңына бағынғандығында. Аталған заң сәулет құрылыстарында қолданылып, ескеріледі» дей келіп, «Фигура ауданы» ұғымын түсіндіруді бастайды.
2.1. Бақылау және эксперимент
Табиғи жағдайда қарастырылатын объектілердің қасиеттері мен арақатынасын тиянақтауды бақылау дейміз. Бақылау нәтижесі санада тиянақталады да, соңынан сөз немесе таңба ретінде өріледі. IV-V сыныптарда фигуралардың симметриялық қасиеттерін өткенде бір парақ қағазды бүктеу арқылы тәжірибе жолымен көрсетуге болады. Мәселен, берілген түзуге қарағанда симметриялы фигуралар ұғымын түсіндіру үшін көшірме қағаздың көмегімен тең фигураларды салып көрсетуге болады. Ол үшін бір парақ қағазды бүктеп, оның арасындағы бояуы сыртына қаратылып бүктелген көшірме қағазды салып, тиісті фигураны парақтың сыртына сызады. Ал парақты жазған кезде олардың ішкі беттерінде өзара тең фигуралар шығады. Бұдан әрі, парақты бүктеу сызығының бойымен бүктегенде салынған фигуралар бір-бірімен беттесетініне назар аударып, түзуге қарағанда симметриялы фигуралардың анықтамасы беріледі. Осы тәріздес бірнеше жаттығу орындағаннан кейін,симметриалы фигураларды тақтаға салу қажет. Мысалы, Мұраттың қолындағы екі қапшықтың бірінде 5кг картоп,екіншісінде 3кг қияр бар. Келесі дүкенде помидор сатылып жатқандықтан ол қапшықтың біреуін босатуға мәжбүр болады. Қапшықты неше тәсілмен босатуға болады ? Шешуі : бір қапшықты екі тәсілмен босатуға болады: бірінші, картоптың үстіне қиярды (5кг+3кг); екінші, қиярдың үстіне картопты (3кг+5кг) босатуға болады. екі жағдайда да қапшықтағы картоп пен қияр 8кг болып шығады. Демек, 5кг+3кг= 3кг+5кг=8кг. Мысалдар келтіру арқылы қосылғыштардың орнын ауыстырғанымен қосынды өзгермейтінін байқауға болады. Жалпы жағдайда индукция арқылы a+b=b+a екенін көз жеткізуге болады. Құбылыс пен объектінің табиғи күйі мен дамуына жасанды жағдай тудырып, қолдан бөлшектеп, басқа объектімен, құбылыспен әрекеттесетін зерттеу әдісін тәжірибе деп түсінеміз. Кез келген тәжірибе бақылауымен байланысты. Тәжірибе жасаушы жағдайдағы нәрсе күйін, өзгерісін және дамуын бақылайды. Мәселен қарастырылып отырған (нәрсенің) объектінің қасиеті дұрыс па, әлде бұрыс па, соны бақылайды, тексереді. Сөйтіп нәтижесінде жаңа ақиқатқа жол ашады, индуктивтік қорытынды жасалады. Алайда ол қатал негіздеу бола алмайды. Осьтік симметрияны, үшбұрыш медианаларының қасиеттерін, тең шамалас фигураларды; жай және құрама сандарды, үшбұрыш бұрыштарының қосындысы туралы теореманы оқығанда бақылау мен тәжірибені қолдануға болады. Бақылау мен тәжірибе индукцияны дамытады. Теореманың дәлелдеу әдісін ашуға жағдай жасайды. Әрине, төменгі сыныптарда эмперикалық әдістерді (бақылау, тәжірибе, өлшеу) көбірек қолдансақ, жоғарғы сыныптарға көшкен сайын, дәлелдеуге қажеттілікті тудырып, артынан негіздейміз.
Бұрыштарды транспортирмен өлшеуді оқушыларға үйреткен соң, іле - шала үшбұрыштардың ішкі бұрыштарының қосындысы 1800 болады деген тұжырымды тәжірибеден бастауға болады. Соңынан индуктивтік қорытындысы жасалады. Ол үшін, әртүрлі үшбұрыш сызылған үлестірмелі материалдарды балаларға таратып, бұрыштарын қайшымен қырқып, олардың төбелерін түйістіріп, бір жарты жазықтыққа орналастыруға не үшбұрыштардың бұрыштарын өлшеп, өзара қосуға нұсқау беріледі. Екі жағдайда да: үшбұрыштардың ішкі бұрыштарының қосындысы 1800 болады деген қорытындыға келеді.Оларды өзара салыстырады. Тағы да қорытынды жасалады. Бірінші жағдай, теореманың дәлелдеу әдісіне ұқсайды. Кейде бақылауды, тәжірибені өлшеумен біріктіріп, эмперикалық немесе табу әдісі деп аталады. Нақтылау деп, неғұрлым жалпыдан жекеге көшу ережесін түсіндіреді. Бұл ереженің мағынасы мынадай: егер қайсыбір объектінің барлық элементтері Р қасиетіне ие болса, онда осы объектінің кез келген бір Р элементі де сол қасиетке ие болады. Мысалы, қосудың a+(b + c) = (a + b)+c терімділік заңын нақтылатып 12+(7+21) = (12+7)+21 теңдігін табамыз немесе a2 - b2 = (a+b)(a-b) формуласын нақты жағдайға ыңғайлап;
162-92= (16+9)(16-9)= 25*7= 175
Мәнін оңай таба аламыз. Бұл мысалдардан нақтылауды пайдаланып, жалпыдан жекеге көшу тәсілін көрсететінін байқау қиын емес. Математика оқыту үрдісінде объектілер мен құбылыстарды жалпылау, абстакциялау және нақтылаумен қатар, кейбір қасиеттерді тарату (специалазациялау) жиі қолданылады. Қасиеттерді таратудың мағынасы қайсыбір жиын элементтерінің қасиеттерін осы берілген жиынға ішкі жиын болатынын басқа бір жиын элементтеріне тарату болып табылады. Мысалы, үшбұрыш ауданын формуласын тікбұрышты үшбұрыштың ауданын есептеуге таратсақ, ол түрінде болады, ал дұрыс үшбұрыштың ауданын есептеуге арналған формула түрінде жазылады. Жалпылау көмегімен мынадай ұйғарым жасауға болады: егер тікбұрышты үшбұрыштың үш қабырғасына үш ұқсас көпбұрыш салынса, онда гипотенузаға салынған көпбұрыштың ауданы катетіне салынған көпбұрыштардың аудандарының қосындысына тең. Тік бұрышты үшбұрыштың төбесінен гипотенузасына биіктік түсіріп, қасиеттерді тарату арқылы жоғарыдағы ұйғарымның дербес жағдайын табамыз (1-сурет). Расында, АСВ – тік бұрышы, АДС және ВДС үшбұрыштары ұқсас. Олай болса, АСВ тік бұрышты үшбұрышының ауданы АДС және ВДС тік бұрышты үшбұрыштары аудандарының қосындысына тең.
2.2. Салыстыру
Объектілердің өзара ұқсастықтары мен айырмашылықтарын ажырату үшін қолданылатын логикалық әдіс салыстыру деп аталады. Математикалық объектілердің қасиеттерін ашуда, әрі зерттеуде салыстыру жиі пайдаланылады. Салыстыру қағидаларын жақсы білу оны сапалы жүргізуге мүмкіндік береді. Олар:
1) a1,
a2=a1+d,
a3=a2+d=a1+2d,
a4=a3+d=a1+3d, …
қадамдарын өзара салыстырып, an=an-1+d=a1+(n-1)d формуласын жаздыруға болады. Салыстыру өзара ұқсас мәселелерді оқытуды жеңілдетеді. Мәселен, жай бөлшектер мен алгебралық бөлшектер өзара ұқсас. Олар - өрнектер. Оларға амалдар қолдану да ұқсас. Салыстыру нәтижесінде бірегей қорытынды жасалып, ереже, теорема тұжырымдалады.
2.3. Анализ және синтез
Анализ бен синтез таным теориясының, психиологияның, осыдан да математиканы оқыту әдістемесінің негізгі мәселелерінің бірі. Олар диалектикалық бірлікте өмір сүріп, пихолог С.Л. Рубинштейнге айтсақ, анализ, синтез арқылы іске асады. Математиканы оқытуда анализ бен синтезді бір кезде пайдалана алу үшін олардың мағынасын түсіндірейік.
Анализ деген не?
Анализ (грекше analygis –жіктеу, бөлшектеу ,талдау)- оқып үйренетін, зертттейтін объектіні (қасиетке , қатысқа, белгіге ) ойша не іс жүзінде бөлшектеу, зерттеу әдісі. Бөлік жеке –жеке зертттеліп ,кейін себептері бірлікте, бүтін ретінде қаралады. Жіктеу арқылы пайда болған тізбек сөйлемі (р1 р2 рn) бұрыннан белгілі аксиомаға, анықтамаға , бұрын дәлелденген теоремаға келеді. Тізбектің соңғы сөйлемі (рn) дәлелдемекші пікір болып шығады. Әрине , тізбектің сөйлемі, өзара белгілі қатыста болатыны айқын. Фигура не ұғым анализден өтпесе, оны танылды деуге болмайды. Әрине , фигураны оқығанға дейін ол туралы біліміміз болады. Дөңес көпбұрыш, тұйық фигура, жазықтық бөлігі, тұйықталған сынық , қабырғалары санаулы, екі қабырғасының ортақ бір нүктесі бар деген сияқты. Ендігі мақсат , осы мағлұматтардың ішінде ерекше сипаттың параллелограмға тиістісін іріктеп алу, басқаша айтқанда , оның қасиеттерін білу.
1) қарама –қарсы қабырғалары параллель, қарама –қарсы қабырғалары тең, дөңес төртбұрыш
2) диоганальдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді, диоганаль параллелограмды тең екі үш бұрышқа бөледі. Анализ түрі объект түріне және алға қойған мақсатқа бай ланысты. Кеиде бүтінді бөліктерге жіктеп , бөліктерді жеке –жеке тану немесе түгел тану мәселесі қойылады.Сөйтіп бүтіннің қасиеті танылады. Объект туралы баста біліміміз болғандықтан , анализ бен синтез астарласып келеді. Белгісізден белгіліе қарай жүретін ой өрісін де анализ деп түсінеміз. Синтез (грекше sintheos- біріктіру , құрастыру , теру ) -анализ просесінде бөлшектенген объектінің бөліктерін, өзара әсер мен байланысын анықтап, біріктіру.Оқушылардың өздерін қатыстыра отырып , оның математикалық қызметін ұйымдастыру материалды саналы түсінуге мүмкіндік береді . Сөйтіп , анализ бен синтездің қайтымды бірлігі, теореманы , теңбе- теңдікті , теңсіздікті дәлелдегенде , салу есептерін шығарғанда геометриялық орындарды іздегенде , теңдеу құрып есеп шығарғанда, күрделі есептерді қарапайым негізгі есептерге келтіргенде ,ұғымдар арасындағы қатынастарды анықтағанда қолданылады. Оқушыларды дәлелдеуге үйретуде дәлелдеу керегі не? Дегеннен яғни белгісізден бастап , бұрыннан белгіліге қарай аустыруды үйретеміз. Сөйтіп, қандай тұжырымнан, не сілтемеден шығады? Деген негіздеу екі жолмен: жоғарыдан төмен қарай және төменнен жоғары қарай өтеді. Бұл бір-біріне кері екі процестің дәлелдеуде қолданылуын мысалмен көрсетейік. Анализ бен синтезде пайдалану.
1. Егер а 0, b 0, болса, онда
Дәлелдеудің белгісізден бастау әдісі бойынша жоғары дан төмен қарай және төменнен жоғары қарай, яғни қорытындыдан негізге қарай жылжимыз. Төменгі саты (мәселен, II) оның алдындағы (I) сатының тікелей нәтижесі болғандықтан , алдымен силлогизм қорытындысын (II) дәлелдеу керек. Осындай бірте-бірте төмендеу арқылы дәлелдеуді талдаймыз.Енді анализ бен синтезге көшу арқылы процесті аяқтау ғана қалды. Ол үшін төменнен (негізден) жоғары (қорытындыға) қарай жылжимыз. Сөйтіп, дәлелдеу схемасы бойынша өтеді. Неден бастайтынымыз белгілі болғандықтан , дәлелдеуде анализді қолдану оңай, ал синтезді пайдалану қиын,өйткені неден бастайтынымыз белгісіз. Сондықтан, мұғалім бұл жағын ескергені жөн. Кейде тәжірибесі аз мұғалімдер екенін дәлелдеу үшін (а-в)2 0 теңсіздігінен бастайды . Бұл оқушылардың белсенділігін тудыру орнына , оларды селқостыққа бастайды. Анализ бен синтездің түрлерін не олардың бірігіп келуіне тәуелді инсайттық схемалардағы бағдарсызықтар біресе ізделіндіге, біресе беілгенге, не оларға қарама-қарсы орналасқан.Бір-екі мысал келтірейік.
Үшбұрыштың a, b және c қабырғалары арифметикалық прогрессия құрады. C=6Rr Екенін дәлелдеу керек. Мұндағы R мен r – үшбұрышты сырттай және іштей сызылған шеңберлер радиустары. (*) арақатысын дұрыс деп жорып, R мен r үшбұрыштың басқа элементтерімен қалай байланысқанын қарастырсақ: Және кенін еске түсіреміз. R мен r –дің мәндерін (*) –ға қойып, ықшамдап бұларды біріктірсек, a+b+c=3b шығады. Сөйтіп, берілгеннен ізделіндіге қарай қадамдап (қос тұтас бағдарсызық) құрумен бірге әрбір қадамның қайтымдылығын (қос үзік) тексердік. Талқылауды аяқтап, ақиқатқа жетумен бірге анализ (қос тұтас бағдарсызық) жасадық, әрі есепті шығарудың синтездік баяндау схемасын да (үздік бағдарсызық) таптық.
Пайдаланылған төмендеуші анализді, яғни анализ бен синтездің бірігіп келуін дәлелдеу есептерін шығарумен бірге, болжамның ақиқаттығын (не жалғандығын) көрсету үшін қолданылады. Егер де (*)-ны болжам деп қарастырсақ, онда көрсетілген шарт - әрі қажетті (тұтас бағдарсызық), әрі жеткілікті (үзік бағдарсызық) шарт болып табылады. Есеп пен болжамды осылай талдау мен жинақтау есепті шығару әдісіне мегзеп, оқушының шығармашылық қабілетін арттырып, ойын ұштайды. Анализ бен синтездің бірігіп келуінің екінші түрі – жоғарылаушы анализ. Ол болжамды қуаттау үшін қолданылады. Сөйтіп, берілгеннен ізделіндіге қарай қадамдап (қос тұтас бағдарсызық) құрумен бірге әрбір қадамның қайтымдылығын (қос үзік) тексердік. Талқылауды аяқтап, ақиқатқа жетумен бірге анализ (қос тұтас бағдарсызық) жасадық, әрі есепті шығарудың синтездік баяндау схемасын да (үздік бағдарсызық) таптық. Анализ бен синтездің бірігіп келуінің екінші түрі – жоғарылаушы анализ. Ол болжамды қуаттау үшін қолданылады. Мәселені жете түсіну үшін: Математиканы оқытуда аналогияны пайдалану жолдары;
2.1. Бақылау және эксперимент
Табиғи жағдайда қарастырылатын объектілердің қасиеттері мен арақатынасын тиянақтауды бақылау дейміз. Бақылау нәтижесі санада тиянақталады да, соңынан сөз немесе таңба ретінде өріледі. IV-V сыныптарда фигуралардың симметриялық қасиеттерін өткенде бір парақ қағазды бүктеу арқылы тәжірибе жолымен көрсетуге болады. Мәселен, берілген түзуге қарағанда симметриялы фигуралар ұғымын түсіндіру үшін көшірме қағаздың көмегімен тең фигураларды салып көрсетуге болады. Ол үшін бір парақ қағазды бүктеп, оның арасындағы бояуы сыртына қаратылып бүктелген көшірме қағазды салып, тиісті фигураны парақтың сыртына сызады. Ал парақты жазған кезде олардың ішкі беттерінде өзара тең фигуралар шығады. Бұдан әрі, парақты бүктеу сызығының бойымен бүктегенде салынған фигуралар бір-бірімен беттесетініне назар аударып, түзуге қарағанда симметриялы фигуралардың анықтамасы беріледі. Осы тәріздес бірнеше жаттығу орындағаннан кейін,симметриалы фигураларды тақтаға салу қажет. Мысалы, Мұраттың қолындағы екі қапшықтың бірінде 5кг картоп,екіншісінде 3кг қияр бар. Келесі дүкенде помидор сатылып жатқандықтан ол қапшықтың біреуін босатуға мәжбүр болады. Қапшықты неше тәсілмен босатуға болады ? Шешуі : бір қапшықты екі тәсілмен босатуға болады: бірінші, картоптың үстіне қиярды (5кг+3кг); екінші, қиярдың үстіне картопты (3кг+5кг) босатуға болады. екі жағдайда да қапшықтағы картоп пен қияр 8кг болып шығады. Демек, 5кг+3кг= 3кг+5кг=8кг. Мысалдар келтіру арқылы қосылғыштардың орнын ауыстырғанымен қосынды өзгермейтінін байқауға болады. Жалпы жағдайда индукция арқылы a+b=b+a екенін көз жеткізуге болады. Құбылыс пен объектінің табиғи күйі мен дамуына жасанды жағдай тудырып, қолдан бөлшектеп, басқа объектімен, құбылыспен әрекеттесетін зерттеу әдісін тәжірибе деп түсінеміз. Кез келген тәжірибе бақылауымен байланысты. Тәжірибе жасаушы жағдайдағы нәрсе күйін, өзгерісін және дамуын бақылайды. Мәселен қарастырылып отырған (нәрсенің) объектінің қасиеті дұрыс па, әлде бұрыс па, соны бақылайды, тексереді. Сөйтіп нәтижесінде жаңа ақиқатқа жол ашады, индуктивтік қорытынды жасалады. Алайда ол қатал негіздеу бола алмайды. Осьтік симметрияны, үшбұрыш медианаларының қасиеттерін, тең шамалас фигураларды; жай және құрама сандарды, үшбұрыш бұрыштарының қосындысы туралы теореманы оқығанда бақылау мен тәжірибені қолдануға болады. Бақылау мен тәжірибе индукцияны дамытады. Теореманың дәлелдеу әдісін ашуға жағдай жасайды. Әрине, төменгі сыныптарда эмперикалық әдістерді (бақылау, тәжірибе, өлшеу) көбірек қолдансақ, жоғарғы сыныптарға көшкен сайын, дәлелдеуге қажеттілікті тудырып, артынан негіздейміз.
Бұрыштарды транспортирмен өлшеуді оқушыларға үйреткен соң, іле - шала үшбұрыштардың ішкі бұрыштарының қосындысы 1800 болады деген тұжырымды тәжірибеден бастауға болады. Соңынан индуктивтік қорытындысы жасалады. Ол үшін, әртүрлі үшбұрыш сызылған үлестірмелі материалдарды балаларға таратып, бұрыштарын қайшымен қырқып, олардың төбелерін түйістіріп, бір жарты жазықтыққа орналастыруға не үшбұрыштардың бұрыштарын өлшеп, өзара қосуға нұсқау беріледі. Екі жағдайда да: үшбұрыштардың ішкі бұрыштарының қосындысы 1800 болады деген қорытындыға келеді.Оларды өзара салыстырады. Тағы да қорытынды жасалады. Бірінші жағдай, теореманың дәлелдеу әдісіне ұқсайды. Кейде бақылауды, тәжірибені өлшеумен біріктіріп, эмперикалық немесе табу әдісі деп аталады. Нақтылау деп, неғұрлым жалпыдан жекеге көшу ережесін түсіндіреді. Бұл ереженің мағынасы мынадай: егер қайсыбір объектінің барлық элементтері Р қасиетіне ие болса, онда осы объектінің кез келген бір Р элементі де сол қасиетке ие болады. Мысалы, қосудың a+(b + c) = (a + b)+c терімділік заңын нақтылатып 12+(7+21) = (12+7)+21 теңдігін табамыз немесе a2 - b2 = (a+b)(a-b) формуласын нақты жағдайға ыңғайлап;
162-92= (16+9)(16-9)= 25*7= 175
Мәнін оңай таба аламыз. Бұл мысалдардан нақтылауды пайдаланып, жалпыдан жекеге көшу тәсілін көрсететінін байқау қиын емес. Математика оқыту үрдісінде объектілер мен құбылыстарды жалпылау, абстакциялау және нақтылаумен қатар, кейбір қасиеттерді тарату (специалазациялау) жиі қолданылады. Қасиеттерді таратудың мағынасы қайсыбір жиын элементтерінің қасиеттерін осы берілген жиынға ішкі жиын болатынын басқа бір жиын элементтеріне тарату болып табылады. Мысалы, үшбұрыш ауданын формуласын тікбұрышты үшбұрыштың ауданын есептеуге таратсақ, ол түрінде болады, ал дұрыс үшбұрыштың ауданын есептеуге арналған формула түрінде жазылады. Жалпылау көмегімен мынадай ұйғарым жасауға болады: егер тікбұрышты үшбұрыштың үш қабырғасына үш ұқсас көпбұрыш салынса, онда гипотенузаға салынған көпбұрыштың ауданы катетіне салынған көпбұрыштардың аудандарының қосындысына тең. Тік бұрышты үшбұрыштың төбесінен гипотенузасына биіктік түсіріп, қасиеттерді тарату арқылы жоғарыдағы ұйғарымның дербес жағдайын табамыз (1-сурет). Расында, АСВ – тік бұрышы, АДС және ВДС үшбұрыштары ұқсас. Олай болса, АСВ тік бұрышты үшбұрышының ауданы АДС және ВДС тік бұрышты үшбұрыштары аудандарының қосындысына тең.
2.2. Салыстыру
Объектілердің өзара ұқсастықтары мен айырмашылықтарын ажырату үшін қолданылатын логикалық әдіс салыстыру деп аталады. Математикалық объектілердің қасиеттерін ашуда, әрі зерттеуде салыстыру жиі пайдаланылады. Салыстыру қағидаларын жақсы білу оны сапалы жүргізуге мүмкіндік береді. Олар:
-
Объектілердің бірдей қасиеттері ғана салыстырылады, басқаша айтқанда, объектілердің бір-бірімен байланысы болуы тиіс. Мәселен, екі біртекті шама салыстырылады. Мысалы, арақашықтық (м), өлшемдері бірдей бұрыштар. -
Объектілердің негізгі қасиеттері ғана салыстырылады. Мәселен, екі көпбұрыштың ауданы не пиреметрі салыстырылады. -
Салыстыру толық болуы тиіс. Салыстыру математикалық ұғым анықтамаларын тұжырымдауда, формулаларды таратып жазған кезде қолданылады. Мәселен, тақтаға бірнеше дербес тізбектер жаздырып, оларды салыстыру арқылы арифметикалық прогрессия анықтамасын оқушыларға тұжырымдатуға немесе
1) a1,
a2=a1+d,
a3=a2+d=a1+2d,
a4=a3+d=a1+3d, …
қадамдарын өзара салыстырып, an=an-1+d=a1+(n-1)d формуласын жаздыруға болады. Салыстыру өзара ұқсас мәселелерді оқытуды жеңілдетеді. Мәселен, жай бөлшектер мен алгебралық бөлшектер өзара ұқсас. Олар - өрнектер. Оларға амалдар қолдану да ұқсас. Салыстыру нәтижесінде бірегей қорытынды жасалып, ереже, теорема тұжырымдалады.
2.3. Анализ және синтез
Анализ бен синтез таным теориясының, психиологияның, осыдан да математиканы оқыту әдістемесінің негізгі мәселелерінің бірі. Олар диалектикалық бірлікте өмір сүріп, пихолог С.Л. Рубинштейнге айтсақ, анализ, синтез арқылы іске асады. Математиканы оқытуда анализ бен синтезді бір кезде пайдалана алу үшін олардың мағынасын түсіндірейік.
Анализ деген не?
Анализ (грекше analygis –жіктеу, бөлшектеу ,талдау)- оқып үйренетін, зертттейтін объектіні (қасиетке , қатысқа, белгіге ) ойша не іс жүзінде бөлшектеу, зерттеу әдісі. Бөлік жеке –жеке зертттеліп ,кейін себептері бірлікте, бүтін ретінде қаралады. Жіктеу арқылы пайда болған тізбек сөйлемі (р1 р2 рn) бұрыннан белгілі аксиомаға, анықтамаға , бұрын дәлелденген теоремаға келеді. Тізбектің соңғы сөйлемі (рn) дәлелдемекші пікір болып шығады. Әрине , тізбектің сөйлемі, өзара белгілі қатыста болатыны айқын. Фигура не ұғым анализден өтпесе, оны танылды деуге болмайды. Әрине , фигураны оқығанға дейін ол туралы біліміміз болады. Дөңес көпбұрыш, тұйық фигура, жазықтық бөлігі, тұйықталған сынық , қабырғалары санаулы, екі қабырғасының ортақ бір нүктесі бар деген сияқты. Ендігі мақсат , осы мағлұматтардың ішінде ерекше сипаттың параллелограмға тиістісін іріктеп алу, басқаша айтқанда , оның қасиеттерін білу.
1) қарама –қарсы қабырғалары параллель, қарама –қарсы қабырғалары тең, дөңес төртбұрыш
2) диоганальдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді, диоганаль параллелограмды тең екі үш бұрышқа бөледі. Анализ түрі объект түріне және алға қойған мақсатқа бай ланысты. Кеиде бүтінді бөліктерге жіктеп , бөліктерді жеке –жеке тану немесе түгел тану мәселесі қойылады.Сөйтіп бүтіннің қасиеті танылады. Объект туралы баста біліміміз болғандықтан , анализ бен синтез астарласып келеді. Белгісізден белгіліе қарай жүретін ой өрісін де анализ деп түсінеміз. Синтез (грекше sintheos- біріктіру , құрастыру , теру ) -анализ просесінде бөлшектенген объектінің бөліктерін, өзара әсер мен байланысын анықтап, біріктіру.Оқушылардың өздерін қатыстыра отырып , оның математикалық қызметін ұйымдастыру материалды саналы түсінуге мүмкіндік береді . Сөйтіп , анализ бен синтездің қайтымды бірлігі, теореманы , теңбе- теңдікті , теңсіздікті дәлелдегенде , салу есептерін шығарғанда геометриялық орындарды іздегенде , теңдеу құрып есеп шығарғанда, күрделі есептерді қарапайым негізгі есептерге келтіргенде ,ұғымдар арасындағы қатынастарды анықтағанда қолданылады. Оқушыларды дәлелдеуге үйретуде дәлелдеу керегі не? Дегеннен яғни белгісізден бастап , бұрыннан белгіліге қарай аустыруды үйретеміз. Сөйтіп, қандай тұжырымнан, не сілтемеден шығады? Деген негіздеу екі жолмен: жоғарыдан төмен қарай және төменнен жоғары қарай өтеді. Бұл бір-біріне кері екі процестің дәлелдеуде қолданылуын мысалмен көрсетейік. Анализ бен синтезде пайдалану.
1. Егер а 0, b 0, болса, онда
Дәлелдеудің белгісізден бастау әдісі бойынша жоғары дан төмен қарай және төменнен жоғары қарай, яғни қорытындыдан негізге қарай жылжимыз. Төменгі саты (мәселен, II) оның алдындағы (I) сатының тікелей нәтижесі болғандықтан , алдымен силлогизм қорытындысын (II) дәлелдеу керек. Осындай бірте-бірте төмендеу арқылы дәлелдеуді талдаймыз.Енді анализ бен синтезге көшу арқылы процесті аяқтау ғана қалды. Ол үшін төменнен (негізден) жоғары (қорытындыға) қарай жылжимыз. Сөйтіп, дәлелдеу схемасы бойынша өтеді. Неден бастайтынымыз белгілі болғандықтан , дәлелдеуде анализді қолдану оңай, ал синтезді пайдалану қиын,өйткені неден бастайтынымыз белгісіз. Сондықтан, мұғалім бұл жағын ескергені жөн. Кейде тәжірибесі аз мұғалімдер екенін дәлелдеу үшін (а-в)2 0 теңсіздігінен бастайды . Бұл оқушылардың белсенділігін тудыру орнына , оларды селқостыққа бастайды. Анализ бен синтездің түрлерін не олардың бірігіп келуіне тәуелді инсайттық схемалардағы бағдарсызықтар біресе ізделіндіге, біресе беілгенге, не оларға қарама-қарсы орналасқан.Бір-екі мысал келтірейік.
Үшбұрыштың a, b және c қабырғалары арифметикалық прогрессия құрады. C=6Rr Екенін дәлелдеу керек. Мұндағы R мен r – үшбұрышты сырттай және іштей сызылған шеңберлер радиустары. (*) арақатысын дұрыс деп жорып, R мен r үшбұрыштың басқа элементтерімен қалай байланысқанын қарастырсақ: Және кенін еске түсіреміз. R мен r –дің мәндерін (*) –ға қойып, ықшамдап бұларды біріктірсек, a+b+c=3b шығады. Сөйтіп, берілгеннен ізделіндіге қарай қадамдап (қос тұтас бағдарсызық) құрумен бірге әрбір қадамның қайтымдылығын (қос үзік) тексердік. Талқылауды аяқтап, ақиқатқа жетумен бірге анализ (қос тұтас бағдарсызық) жасадық, әрі есепті шығарудың синтездік баяндау схемасын да (үздік бағдарсызық) таптық.
Пайдаланылған төмендеуші анализді, яғни анализ бен синтездің бірігіп келуін дәлелдеу есептерін шығарумен бірге, болжамның ақиқаттығын (не жалғандығын) көрсету үшін қолданылады. Егер де (*)-ны болжам деп қарастырсақ, онда көрсетілген шарт - әрі қажетті (тұтас бағдарсызық), әрі жеткілікті (үзік бағдарсызық) шарт болып табылады. Есеп пен болжамды осылай талдау мен жинақтау есепті шығару әдісіне мегзеп, оқушының шығармашылық қабілетін арттырып, ойын ұштайды. Анализ бен синтездің бірігіп келуінің екінші түрі – жоғарылаушы анализ. Ол болжамды қуаттау үшін қолданылады. Сөйтіп, берілгеннен ізделіндіге қарай қадамдап (қос тұтас бағдарсызық) құрумен бірге әрбір қадамның қайтымдылығын (қос үзік) тексердік. Талқылауды аяқтап, ақиқатқа жетумен бірге анализ (қос тұтас бағдарсызық) жасадық, әрі есепті шығарудың синтездік баяндау схемасын да (үздік бағдарсызық) таптық. Анализ бен синтездің бірігіп келуінің екінші түрі – жоғарылаушы анализ. Ол болжамды қуаттау үшін қолданылады. Мәселені жете түсіну үшін: Математиканы оқытуда аналогияны пайдалану жолдары;