ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.01.2024
Просмотров: 38
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где гипотенуза AC имеет заданную длину c. Пусть катеты AB и BC имеют длины a и b соответственно.
По теореме Пифагора:
c² = a² + b²
Также известно, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин катетов:
S = 1/2 * a * b
Нам нужно максимизировать площадь S при заданной гипотенузе c. Для этого можно рассмотреть отношение S к квадрату гипотенузы c²:
S/c² = 1/2 * a * b / (a² + b²)
Для нахождения максимума этой функции можно использовать методы дифференциального исчисления, однако в данном случае можно обойтись без них. Заметим, что
a² + b² ≥ 2ab,
так как это равенство эквивалентно (a-b)² ≥ 0. Тогда
S/c² = 1/2 * a * b / (a² + b²) ≤ 1/2 * a * b / 2ab = 1/4.
Значит, S ≤ 1/4 * c². Равенство достигается только при a = b, то есть когда треугольник ABC является равнобедренным. Следовательно, равнобедренный прямоугольный треугольник имеет наибольшую площадь среди всех прямоугольных треугольников с заданной гипотенузой.