Файл: 1. Составить план производства продукции, обеспечив максимум прибыли, учитывая ограничения, заданные в таблице 1.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.01.2024
Просмотров: 836
Скачиваний: 50
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.
Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai, или bj.
Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.
Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.
Искомый элемент равен c21=2. Для этого элемента запасы равны 550, потребности 450. Поскольку минимальным является 450, то вычитаем его.
x21 = min(550,450) = 450.
Искомый элемент равен c14=3. Для этого элемента запасы равны 400, потребности 350. Поскольку минимальным является 350, то вычитаем его.
x14 = min(400,350) = 350.
Искомый элемент равен c12=4. Для этого элемента запасы равны 50, потребности 250. Поскольку минимальным является 50, то вычитаем его.
x12 = min(50,250) = 50.
Искомый элемент равен c33=6. Для этого элемента запасы равны 300, потребности 200. Поскольку минимальным является 200, то вычитаем его.
x33 = min(300,200) = 200.
Искомый элемент равен c32=8. Для этого элемента запасы равны 100, потребности 200. Поскольку минимальным является 100, то вычитаем его.
x32 = min(100,200) = 100.
Искомый элемент равен c22=11. Для этого элемента запасы равны 100, потребности 100. Поскольку минимальным является 100, то вычитаем его.
x22 = min(100,100) = 100.
В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность потребителей удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n - 1 = 6. Следовательно, опорный план является невырожденным.
Значение целевой функции для этого опорного плана равно:
F(x) = 4*50 + 3*350 + 2*450 + 11*100 + 8*100 + 6*200 = 5250
Этап II. Улучшение опорного плана.
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v2 = 4; 0 + v2 = 4; v2 = 4
u2 + v2 = 11; 4 + u2 = 11; u2 = 7
u2 + v1 = 2; 7 + v1 = 2; v1 = -5
u3 + v2 = 8; 4 + u3 = 8; u3 = 4
u3 + v3 = 6; 4 + v3
= 6; v3 = 2
u1 + v4 = 3; 0 + v4 = 3; v4 = 3
Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij
(2;3): 7 + 2 > 8; ∆23 = 7 + 2 - 8 = 1 > 0
(2;4): 7 + 3 > 4; ∆24 = 7 + 3 - 4 = 6 > 0
(3;4): 4 + 3 > 5; ∆34 = 4 + 3 - 5 = 2 > 0
max(1,6,2) = 6
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;4): 4
Для этого в перспективную клетку (2;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
Цикл приведен в таблице (2,4 → 2,2 → 1,2 → 1,4).
Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 2) = 100. Прибавляем 100 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 100 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v2 = 4; 0 + v2 = 4; v2 = 4
u3 + v2 = 8; 4 + u3 = 8; u3 = 4
u3 + v3 = 6; 4 + v3 = 6; v3 = 2
u1 + v4 = 3; 0 + v4 = 3; v4 = 3
u2 + v4 = 4; 3 + u2 = 4; u2 = 1
u2 + v1 = 2; 1 + v1 = 2; v1 = 1
Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij
(3;1): 4 + 1 > 3; ∆31 = 4 + 1 - 3 = 2 > 0
(3;4): 4 + 3 > 5; ∆34 = 4 + 3 - 5 = 2 > 0
max(2,2) = 2
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;1): 3
Для этого в перспективную клетку (3;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
Цикл приведен в таблице (3,1 → 3,2 → 1,2 → 1,4 → 2,4 → 2,1).
Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 2) = 100. Прибавляем 100 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 100 из Х
Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai, или bj.
Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.
Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.
Искомый элемент равен c21=2. Для этого элемента запасы равны 550, потребности 450. Поскольку минимальным является 450, то вычитаем его.
x21 = min(550,450) = 450.
| x | 4 | 9 | 3 | 400 |
| 2 | 11 | 8 | 4 | 550 - 450 = 100 |
| x | 8 | 6 | 5 | 300 |
| 450 - 450 = 0 | 250 | 200 | 350 | |
Искомый элемент равен c14=3. Для этого элемента запасы равны 400, потребности 350. Поскольку минимальным является 350, то вычитаем его.
x14 = min(400,350) = 350.
| x | 4 | 9 | 3 | 400 - 350 = 50 |
| 2 | 11 | 8 | x | 100 |
| x | 8 | 6 | x | 300 |
| 0 | 250 | 200 | 350 - 350 = 0 | |
Искомый элемент равен c12=4. Для этого элемента запасы равны 50, потребности 250. Поскольку минимальным является 50, то вычитаем его.
x12 = min(50,250) = 50.
| x | 4 | x | 3 | 50 - 50 = 0 |
| 2 | 11 | 8 | x | 100 |
| x | 8 | 6 | x | 300 |
| 0 | 250 - 50 = 200 | 200 | 0 | |
Искомый элемент равен c33=6. Для этого элемента запасы равны 300, потребности 200. Поскольку минимальным является 200, то вычитаем его.
x33 = min(300,200) = 200.
| x | 4 | x | 3 | 0 |
| 2 | 11 | x | x | 100 |
| x | 8 | 6 | x | 300 - 200 = 100 |
| 0 | 200 | 200 - 200 = 0 | 0 | |
Искомый элемент равен c32=8. Для этого элемента запасы равны 100, потребности 200. Поскольку минимальным является 100, то вычитаем его.
x32 = min(100,200) = 100.
| x | 4 | x | 3 | 0 |
| 2 | 11 | x | x | 100 |
| x | 8 | 6 | x | 100 - 100 = 0 |
| 0 | 200 - 100 = 100 | 0 | 0 | |
Искомый элемент равен c22=11. Для этого элемента запасы равны 100, потребности 100. Поскольку минимальным является 100, то вычитаем его.
x22 = min(100,100) = 100.
| x | 4 | x | 3 | 0 |
| 2 | 11 | x | x | 100 - 100 = 0 |
| x | 8 | 6 | x | 0 |
| 0 | 100 - 100 = 0 | 0 | 0 | |
| | B1 | B2 | B3 | B4 | Запасы |
| A1 | 7 | 4[50] | 9 | 3[350] | 400 |
| A2 | 2[450] | 11[100] | 8 | 4 | 550 |
| A3 | 3 | 8[100] | 6[200] | 5 | 300 |
| Потребности | 450 | 250 | 200 | 350 | |
В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность потребителей удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n - 1 = 6. Следовательно, опорный план является невырожденным.
Значение целевой функции для этого опорного плана равно:
F(x) = 4*50 + 3*350 + 2*450 + 11*100 + 8*100 + 6*200 = 5250
Этап II. Улучшение опорного плана.
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v2 = 4; 0 + v2 = 4; v2 = 4
u2 + v2 = 11; 4 + u2 = 11; u2 = 7
u2 + v1 = 2; 7 + v1 = 2; v1 = -5
u3 + v2 = 8; 4 + u3 = 8; u3 = 4
u3 + v3 = 6; 4 + v3
= 6; v3 = 2
u1 + v4 = 3; 0 + v4 = 3; v4 = 3
| | v1=-5 | v2=4 | v3=2 | v4=3 |
| u1=0 | 7 | 4[50] | 9 | 3[350] |
| u2=7 | 2[450] | 11[100] | 8 | 4 |
| u3=4 | 3 | 8[100] | 6[200] | 5 |
Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij
(2;3): 7 + 2 > 8; ∆23 = 7 + 2 - 8 = 1 > 0
(2;4): 7 + 3 > 4; ∆24 = 7 + 3 - 4 = 6 > 0
(3;4): 4 + 3 > 5; ∆34 = 4 + 3 - 5 = 2 > 0
max(1,6,2) = 6
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;4): 4
Для этого в перспективную клетку (2;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
| | 1 | 2 | 3 | 4 | Запасы |
| 1 | 7 | 4[50][+] | 9 | 3[350][-] | 400 |
| 2 | 2[450] | 11[100][-] | 8 | 4[+] | 550 |
| 3 | 3 | 8[100] | 6[200] | 5 | 300 |
| Потребности | 450 | 250 | 200 | 350 | |
Цикл приведен в таблице (2,4 → 2,2 → 1,2 → 1,4).
Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 2) = 100. Прибавляем 100 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 100 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.
| | B1 | B2 | B3 | B4 | Запасы |
| A1 | 7 | 4[150] | 9 | 3[250] | 400 |
| A2 | 2[450] | 11 | 8 | 4[100] | 550 |
| A3 | 3 | 8[100] | 6[200] | 5 | 300 |
| Потребности | 450 | 250 | 200 | 350 | |
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v2 = 4; 0 + v2 = 4; v2 = 4
u3 + v2 = 8; 4 + u3 = 8; u3 = 4
u3 + v3 = 6; 4 + v3 = 6; v3 = 2
u1 + v4 = 3; 0 + v4 = 3; v4 = 3
u2 + v4 = 4; 3 + u2 = 4; u2 = 1
u2 + v1 = 2; 1 + v1 = 2; v1 = 1
| | v1=1 | v2=4 | v3=2 | v4=3 |
| u1=0 | 7 | 4[150] | 9 | 3[250] |
| u2=1 | 2[450] | 11 | 8 | 4[100] |
| u3=4 | 3 | 8[100] | 6[200] | 5 |
Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij
(3;1): 4 + 1 > 3; ∆31 = 4 + 1 - 3 = 2 > 0
(3;4): 4 + 3 > 5; ∆34 = 4 + 3 - 5 = 2 > 0
max(2,2) = 2
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;1): 3
Для этого в перспективную клетку (3;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
| | 1 | 2 | 3 | 4 | Запасы |
| 1 | 7 | 4[150][+] | 9 | 3[250][-] | 400 |
| 2 | 2[450][-] | 11 | 8 | 4[100][+] | 550 |
| 3 | 3[+] | 8[100][-] | 6[200] | 5 | 300 |
| Потребности | 450 | 250 | 200 | 350 | |
Цикл приведен в таблице (3,1 → 3,2 → 1,2 → 1,4 → 2,4 → 2,1).
Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 2) = 100. Прибавляем 100 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 100 из Х