ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.01.2024
Просмотров: 65
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
. Плоскость проходит через ось ОХ и точку М4 (9,-3, 8). Подставляем в это уравнение координаты точки М4 получим
или 
, таким образом, имеем 
, т. е. 
- уравнение плоскости .
Угол между плоскостями определяется по формулам
, где 
. Нормальный вектор плоскости : 
. Для плоскости : 
. Определяем острый угол между плоскостями и : 
.
Решение:
Первый способ. Наметим такой план решения задачи: из системы исключим сначала y и выразим z через x, потом исключим х и выразим z теперь уже через y.
Для того чтобы из системы исключить у, сложим первое уравнение системы почленно со вторым. Получим, что
, откуда 
.
Умножая первое уравнение на (2), а второе на ,(-3) и складывая их почленно, получим
, откуда 
или 
.
Сравнивая найденные значения z, получаем уравнение прямой в каноническом виде
.
Умножая теперь все знаменатели на 15, окончательно получим
. Прямая проходит через точку
и имеет направляющий вектор 
.
Второй способ. Найдем направляющий вектор
прямой. Так как он должен быть перпендикулярен нормальным векторам заданных плоскостей 
и 
, то в качестве его можно взять векторное произведение векторов 
: 
.
Таким образом, l = -3, m = 8, n = -15. За точку
, через которую проходит искомая прямая, можно принять точку её пересечения с любой из координатных плоскостей, например с плоскостью ХOY. Поскольку при этом 
, координаты 
определяются из системы уравнений заданных плоскостей, если положить в них 
, отсюда получаем 
. Так как каноническое уравнение имеет вид 
, то в данном случае 
.
Решение: Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М (х1; y1; z1) и N(x2; y2; z2):
Прямая l:
. Подставляем в эти уравнения координаты точек K, L, M, соответственно находим: 
; 
; 
. Следовательно, Kl, Ml, Ll. Условие перпендикулярности двух прямых - 
. В данном случае для прямой 
.
Тогда
При
прямые перпендикулярны.
Решение:
- условие перпендикулярности прямой и плоскости (Рис. 6).
Рис. 6
В данном случае
При А = -4; n =
прямая и плоскость перпендикулярны.
Если n = -1, то прямая имеет вид
.
Если А = 3, то плоскость имеет вид
.
Запишем уравнение прямой в параметрическом виде:
. Подставляя значения x, y, z в уравнение плоскости, имеем
, откуда 
. Подставляя теперь это значение t в параметрические уравнения прямой, находим координаты точки пересечения: 
, М (5; 5; -2).
Острый угол между прямой
и плоскостью 
определяется по формуле 
. Учитывая, что 
получаем 
Решение: Проведем через М плоскость , перпендикулярную к данной прямой. :
или 
.
Найдем точку Q, где эта плоскость пересекает данную прямую. Запишем уравнение прямой в параметрическом виде:
. Подставляя x, y, z в уравнение плоскости, получим 
, отсюда 
Точка Q имеет координаты
. Тогда координаты симметричной точки можно найти из формулы координат середины отрезка, т. е. 
или 
. Откуда 
. Следовательно, 
.
или , таким образом, имеем , т. е. - уравнение плоскости .Угол между плоскостями определяется по формулам
, где . Нормальный вектор плоскости : . Для плоскости : . Определяем острый угол между плоскостями и : .-
Общее уравнение прямой
преобразовать к каноническому виду.
Решение:
Первый способ. Наметим такой план решения задачи: из системы исключим сначала y и выразим z через x, потом исключим х и выразим z теперь уже через y.
Для того чтобы из системы исключить у, сложим первое уравнение системы почленно со вторым. Получим, что
, откуда .Умножая первое уравнение на (2), а второе на ,(-3) и складывая их почленно, получим
, откуда или .Сравнивая найденные значения z, получаем уравнение прямой в каноническом виде
.Умножая теперь все знаменатели на 15, окончательно получим
. Прямая проходит через точку
и имеет направляющий вектор .Второй способ. Найдем направляющий вектор
прямой. Так как он должен быть перпендикулярен нормальным векторам заданных плоскостей и , то в качестве его можно взять векторное произведение векторов : . Таким образом, l = -3, m = 8, n = -15. За точку
, через которую проходит искомая прямая, можно принять точку её пересечения с любой из координатных плоскостей, например с плоскостью ХOY. Поскольку при этом , координаты определяются из системы уравнений заданных плоскостей, если положить в них , отсюда получаем . Так как каноническое уравнение имеет вид , то в данном случае .-
Написать уравнение прямой l, проходящей через точки А (-1; 2; 3) и В (5; -2; 1). Лежат ли на этой прямой точки: К (-7; 6; 5), L (2; 0; 1), М (-4; 4; 4)? При каком значении m прямая l перпендикулярна прямой
.
Решение: Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М (х1; y1; z1) и N(x2; y2; z2):
Прямая l:
. Подставляем в эти уравнения координаты точек K, L, M, соответственно находим: ; ; . Следовательно, Kl, Ml, Ll. Условие перпендикулярности двух прямых - . В данном случае для прямой .Тогда
При
прямые перпендикулярны.-
При каких значениях n и А прямая
и плоскость 
будут перпендикулярны? При n = -1 и А = 3 найти точку пересечения прямой с плоскостью и угол между ними.
Решение:
- условие перпендикулярности прямой и плоскости (Рис. 6). Рис. 6
В данном случае
При А = -4; n =
прямая и плоскость перпендикулярны.Если n = -1, то прямая имеет вид
.Если А = 3, то плоскость имеет вид
.Запишем уравнение прямой в параметрическом виде:
. Подставляя значения x, y, z в уравнение плоскости, имеем
, откуда . Подставляя теперь это значение t в параметрические уравнения прямой, находим координаты точки пересечения: , М (5; 5; -2).Острый угол между прямой
и плоскостью определяется по формуле . Учитывая, что получаем -
Дана прямая
и вне её точка М (1; 1; 1). Найти точку N, симметричную М относительно данной прямой.
Решение: Проведем через М плоскость , перпендикулярную к данной прямой. :
или .Найдем точку Q, где эта плоскость пересекает данную прямую. Запишем уравнение прямой в параметрическом виде:
. Подставляя x, y, z в уравнение плоскости, получим , отсюда Точка Q имеет координаты
. Тогда координаты симметричной точки можно найти из формулы координат середины отрезка, т. е. или . Откуда . Следовательно,
.