Построить линии уровня функции 

Решение:

Линия уровня  — это кривая на плоскости   задаваемая уравнением   Это уравнение окружности с центром в точке   и радиусом   (рис. 15.4).



Точка —это вырожденная линия уровня, соответствующая минимальному значению функции   достигаемому в точке  . Линии уровня — концентрические окружности, радиус которых увеличивается с ростом  ,причем расстояния между линиями с одинаковым шагом уровня уменьшаются по мере удаления от центра. Линии уровня позволяют представить график данной функции, который бы ранее построен на рис. 15.2. ►

Предел и непрерывность

Большая часть понятий математического анализа, определенных ранее для функций одной переменной, может быть перенесена на случай двух переменных.

Определение. Число   называется пределом функции    (или  ), если для любого даже сколь угодно малого положительного числа   найдется положительное число  (зависящее от  ), такое, что для всех точек  , отстоящих от точки   на расстояние   меньшее, чем 

---

 (т.е. при  ), выполняется неравенство 

Обозначается предел так:

Пример:

Найти предел
Решение:

Обозначим   Условие   равносильно тому, что   Запишем предел в виде  

Как правило, вычисление пределов функций двух переменных оказывается существенно более трудной задачей по сравнению со случаем одной переменной. Причина заключается в том, что на прямой существуют всего два направления, по которым аргумент может стремиться к предельной точке — а именно, справа и слева. На плоскости же таких направлений — бесконечное множество, и пределы функции по разным направлениям могут не совпадать.

Пример:

Доказать, что   не существует.

Решение:

Будем приближаться к точке   по прямым 

Если 

Получили, что значение предела зависит от углового коэффициента прямой. Но так как предел функции не должен зависеть от способа приближения точки   к точке   (например, по прямой 

---

), то рассматриваемый предел не существует. ►

Определение. Функция   называется непрерывной в точке  если она: 1) определена в точке   2) имеет конечный предел при   3) этот предел равен значению функции в точке   

Геометрический смысл непрерывности очевиден: график в точке  представляет собой сплошную, нерасслаивающуюся поверхность.
Частные производные

Дадим аргументу   приращение  , аргументу   — приращение   Тогда функция   получит наращенное значение   Величина    называется полным приращением функции в точке   Если задать только приращение аргумента   или только приращение аргумента  , то полученные приращения функции соответственно  называются частными.

Полное приращение функции, вообще говоря, не равно сумме частных, т.е.



Пример:

Найти частные и полное приращения функции 

Решение:

---

Получили, что



Определение. Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).

Обозначается частная производная так:   или   или 



Таким образом, для функции   по определению



Геометрический смысл частных производных функции   в точке   показан на рис. 15.5.

Пусть график функции   представляет некоторую поверхность   Тогда при   мы получаем кривую   — сечение этой поверхности соответствующей плоскостью.

В этом случае производная   выражает угловой коэффициент касательной к кривой  , в заданной точке   т.е.   где   угол наклона касательной к оси   Аналогично

---

Из определения частных производных (15.1), (15.2) следует, что для нахождения производной   надо считать постоянной переменную  , а для нахождения   — переменную  . При этом сохраняются известные из гл. 7 правила дифференцирования.

Пример:

Найти частные производные функций:



Решение:

а) Чтобы найти частную производную по  , считаем   постоянной величиной. Таким образом,   Аналогично, дифференцируя по  , считаем   постоянной величиной, т.е.



б) При фиксированном у имеем степенную функцию от  . Таким образом,   При фиксированном   функция является показательной относительно 
Пример:

Поток пассажиров   выражается функцией , где   — число жителей,  — расстояние между городами. Найти частные производные и пояснить их смысл.
Решение:

Производная   показывает, что при одном и том же расстоянии между городами увеличение потока пассажиров пропорционально удвоенному числу жителей. Производная   показывает, что при одной и той же численности жителей увеличение потока пассажиров обратно пропорционально квадрату расстояния между городами. ►


Дифференциал функции

Дифференциал функции 

---

Смотрите также файлы

• Нагревание. Сравнительный анализ устройства и принципов действия теплообменных аппаратов.docx

• 1 Верно Баллов 1,00 из 1,00 Отметить вопрос Текст вопроса Show me page.docx

• Программа по повышению эффективности использования дебиторской и кредиторской задолженности в ооо Диалог.docx

• Реферат структурная семейная психотерапия студентка 4 курса Белая Ю. В. Проверил.docx

• Программное обеспечение Soft.docx