Файл: Саати Принятие решений Метод анализа иерархий.pdf

46 

Н 

Л 

М 

О 

Р 

М 

О 

Р 

М 1 9 6 

М 1 5 5 

О 1/9 1 1/4 

О 1/5 1 1/3 

Р 1/6 4  1 

Р 1/5 3  1 

max

3,11

=

λ

; ИС = 0,06; ОС = 0,10 

max

3,14

=

λ

; ИС = 0,07; ОС = 0,12 

 
Собственный вектор первой матрицы а, получается: 

ОБ 

Д 0,701 

У 0,193 

А 0,106 

Матрица b собственных векторов второй строки матриц: 

Д 

У 

А 

П 0,604 0,604 0,127 

Э 0,213 0,213 0,281 

Н 0,064 0,064 0,120 
Л 0,119 0,119 0,463 

Матрица с собственных векторов третьей группы матриц: 

П 

Э 

Н 

Л 

М  0,721 0,333 0,713 0,701 

О  0,210 0,333 0,061 0,097 

Р  0,069 0,333 0,176 0,202 

 
Заключительный составной вектор влияния на благополучие, полученный произ-

ведением cba, будет: 

Мать: 0,635; отец: 0,208; родители: 0,156. 

Похоже,  что  терапию  следует  обусловливать  как  суждениями,  так  и  несогласо-

ванностью  в  них.  Индивидууму  посоветовали  больше  общаться  с  отцом  с  целью 
уравновешивания влияния родителей. 

2.8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ [137] 

В этом примере найдем веса распределения энергии для нескольких крупных по-

требителей в соответствии с их общим вкладом в различные цели общества. Введем 
следующие условия. 

Имеются  три  крупных  потребителя  энергии  в  США: 

1

C

 – бытовое  потребление, 

2

C

 – транспорт и 

3

C

 – промышленность. Они составляют третий, или низший  уро-

вень  иерархии.  Целями,  по  отношению  к  которым  оцениваются  потребители,  явля-
ются: вклад в развитие экономики, вклад в качество окружающей среды и вклад в 

национальную  безопасность.  Цели  составляют  второй  уровень  иерархии.  Построим 
матрицу парных сравнений трех целей в соответствии с их воздействием на общую 
цель – благоприятного социального и политического положения. Мы навязываем со-

47 

гласованность  в  этом  случае,  требуя  уверенности  в  суждениях.  Поэтому,  заполнив 
первую  строку,  оставшиеся  элементы  получим  исходя  из  требований,  предъявляе-
мых определением согласованности. 

Благоприятное социальное 
и политическое положение

Развитие 

экономики 

Окружающая 

среда 

Национальная 

безопасность 

Развитие экономики 1 

5 

3 

Окружающая среда 1/5 

1 

3/5 

Национальная безопасность 1/3  5/3 

1 

max

3,0

=

λ

; ИС = 0,0; ОС = 0,0 

При  сравнении  экономики  с  окружающей  средой  и  затем  с  национальной  безо-

пасностью, считается, что в соответствии с социально-политическим влиянием эко-
номика имеет сильное превосходство в первом случае и слабое – во втором; следо-
вательно,  в первой  строке  будут стоять числа 5 и 3 соответственно. Национальной 
безопасности присваивается меньшее по сравнению с окружающей средой число 3, 
поскольку экономически слаборазвитые страны обычно с большой охотой закупают 

оружие, но не могут этого сделать, не располагая хотя бы минимальной экономиче-
ской  базой. Числа  во второй и третьей строках получены требованием соблюдения 
согласованности для этого случая. 

Следовательно,  социально-политическое  воздействие  окружающей  среды  по 

сравнению с национальной безопасностью получается 3/5 и т. д. (в остальных мат-

рицах  этого  примера  мы  не  требуем  согласованности).  Вектор  приоритетов,  полу-
ченный из этой матрицы, представим в виде вектора-столбца, который из соображе-
ния экономии места пишем как вектор-строку: 

ω

 = (0,65; 0,13; 0,22). Следователь-

но, в соответствии со сравнением по социально-политическому влиянию, экономика 
получает приоритет 0,65, окружающая среда – 0,13 и национальная безопасность –
0,22.  Так  как  приоритет  первого  уровня  иерархии  (общая  социально-политическая 
цель),  как  обычно,  равен 1, взвешенные  величины  этих  приоритетов  равны  полу-
ченному выше вектору, умноженному на 1, что дает тот же самый вектор. 

Теперь  лицо,  принимающее  решение,  после  тщательного  изучения  проводит 

оценку относительной важности каждого потребителя с точки зрения экономики, ок-
ружающей среды и национальной безопасности (второй уровень иерархии). Матри-
цы, представляющие эти суждения, будут соответственно: 

Эконо-

мика 

1

C

2

C

3

C

Окружающая 

среда 

1

C

2

C

3

C

Националь-

ная безо-

пасность 

1

C

2

C

3

C

1

C

1 3  5  

1

C

1 2 7  

1

C

1 2 3 

2

C

1/3 1  2   

2

C

1/2 1  5   

2

C

1/2 1  2 

3

C

1/5 1/2  1   

3

C

1/7 1/5  1   

3

C

1/3 1/2  1 

max

3,00

=

λ

; ИС = 0,0; 

ОС = 0,0 

max

3,01

=

λ

; ИС = 0,01; 

ОС = 0,02 

max

3,01

=

λ

; ИС = 0,01; 

ОС = 0,02 

 
Как и выше, векторы приоритетов получаются из каждой матрицы. Они являются 

соответственно тремя столбцами следующей матрицы: 

0,65 0,59 0,54
0,23 0,33 0,30

0,12 0,08 0,16





















48 

Эта матрица умножается справа на вектор 

ω

,

чтобы взвесить вектор  приорите-

тов,  измеряющих  каждое  воздействие,  приоритетом  соответствующей  цели.  Таким 
образом,  получаем  искомый  общий  вектор  приоритетов  третьего  уровня  иерархии, 
представляющего потребителей энергии 

1

C

, 

2

C

 и 

3

C

: 

0,62
0,26

0,12





















Итак, общий приоритет 

1

C

 есть 0,62, 

2

C

 – 0,26, а 

3

C

 – 0,12. Здесь мы провели 

ранжирование  отдельных  потребителей  энергии  по  шкале  отношений  согласно  их 
общему влиянию. Этот ответ может показаться простым, однако нужно показать, как 
мы его получаем, и подтвердить его значимость. 

Замечание. Иногда, когда веса известны из измерений, например тонны загряз-

няющих  веществ  или  стоимость  автомобилей,  появляется  желание  нормализовать 
веса и использовать их вместо построения матрицы суждений и вычисления собст-
венного вектора. Этот процесс может привести к ошибке, особенно когда полезность 
относительных  суждений  эксперта  не  отражается  в  терминах  отношений  истинных 

весов. Например, для богатого человека нет разницы  между одним  и двумя долла-
рами, в то время как их отношение показывает большую значимость. 

49 

ГЛАВА 3 

ОСНОВЫ 

3.1. ВВЕДЕНИЕ 

Эта глава знакомит с некоторыми дальнейшими методологическими наблюдения-

ми.  Сначала  разъясняется  основная  математическая  аргументация  метода.  Естест-
венно,  возникает  вопрос,  почему  выбрана  шкала  от 1 до 9, а  не  любая  другая  из 
возможных  шкал.  Показано,  что  данная  шкала  не  хуже  любой  другой  шкалы,  но 

преимущество ее заключается в простоте, и поэтому совершенно естественна. В по-
следней  части  главы  исследуется  процесс  пересмотра  суждений,  проводятся  чис-
ленные расчеты всех собственных значений и левых, и правых собственных векто-
ров  для  примера  национальных  богатств  и  обсуждается  согласованность  в  методе 
Дельфи. Наконец, кратко обсуждаются сравнения троек, четвёрок и т. д. 

3.2. ПРИОРИТЕТ КАК СОБСТВЕННЫЙ ВЕКТОР: 

СВЯЗЬ С СОГЛАСОВАННОСТЬЮ 

Рассмотрим элементы 

1

,   ,  

n

C

C

…

 некоторого уровня иерархии. Мы хотим опреде-

лить  веса 

1

, , 

…

n

ω

ω

  их  влияния  на  некоторый  элемент  следующего  уровня.  Как 

описано в гл. 1, основным инструментом будет матрица чисел, представляющих су-

ждения о парных сравнениях. Покажем, почему для представления приоритетов вы-
бран собственный вектор, соответствующий наибольшему собственному значению. 

Обозначим  через 

ij

a

  число,  соответствующее  значимости  элемента 

i

C

  по  срав-

нению с 

j

C

. Матрицу, состоящую из этих чисел, обозначим через 

A

, т. е. 

( )

=

ij

A

a

. 

Как отмечалось ранее, 

1/

=

ij

ji

a

a

, т. е. матрица 

A

 – обратно-симметричная

*

. Если 

наше суждение совершенно при всех сравнениях, то 

=

ik

ij

jk

a

a a

 для всех 

i

, 

j

, 

k

 и 

матрицу 

A

 называем согласованной. 

Очевидным для согласованной матрицы является случай, когда сравнения осно-

ваны на точных измерениях, т. е. веса 

1

, , 

…

n

ω

ω

 известны. Тогда 

=

i

ij

j

a

ω

ω

, 

,

1, 2,

,

=

…

i j

n

 (3.1) 

и поэтому 

=

=

=

j

i

i

ij

jk

ik

j

k

k

a a

a

ω

ω

ω

ω ω

ω

. 

Также, конечно, 

1

/

1/

/

=

=

=

ji

j

i

ij

i

j

a

a

ω ω

ω ω

. 

*

 Термин обратно-симметричная матрица введен как наиболее адекватный перевод с английского тер-

мина reciprocal matrix. – Прим. перев. 

50 

Рассмотрим  подробнее  этот  случай.  Как  показано  в  Приложении 1, матричное 

уравнение 

⋅ =

A x

y

, 

где 

(

)

1

, , 

=

…

n

x

x

x

 и 

(

)

1

, , 

=

…

n

y

y

y

 соответствует краткой записи системы урав-

нений 

1

=

=

∑

n

ij i

i

j

a x

y

, 

1, 2,

,

=

…

i

n

. 

Теперь из (3.1) получаем 

1

=

j

ij

i

a

ω

ω

, 

,

1, 2,

,

=

…

i j

n

, 

и, следовательно, 

1

1

=

=

∑

n

ij

j

j

i

a

n

ω

ω

, 

1, 2,

,

=

…

i

n

, 

или 

1

=

=

∑

n

ij

j

i

j

a

n

ω

ω

, 

1, 2,

,

=

…

i

n

, 

что эквивалентно выражению 

=

A

n

ω

ω

 (3.2) 

В теории матриц эта формула отражает то, что 

ω

 – собственный вектор матрицы 

A

 с собственным значением 

n

. Уравнение (3.2), расписанное поэлементно, выгля-

дит следующим образом: 

1

2

2

1

1

1

1

1

1

2

1

2

2

2

2

1

2

2

2

1

2

/

/

/

/

/

/

/

/

/





 

 





 

 





 

 





=

=

 

 





 

 



    









…
…
…

…

n

n

n

n

n

n

n

n

n

A

A

A

A

A

A

n

A

ω

ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω

ω

ω ω ω ω

ω ω

ω

ω

ω ω ω ω

ω ω

. 

Обратимся к конкретному случаю, в котором 

ij

a

 основаны не на точных измере-

ниях,  а  на  субъективных  суждениях.  В  данном  случае 

ij

a

  будет  отклоняться  от 

«идеальных»  отношений 

/

i

j

ω ω

,  и  поэтому  уравнение (3.2) более  не  будет  иметь 

места. Полезными могут оказаться следующие два факта из теории матриц. 

Первый факт: если 

1

, , 

…

n

λ

λ

 числа, удовлетворяющие уравнению 

=

Ax

x

λ

, 

т. е. являются собственными значениями 

A

, и если 

1

=

ii

a

 для всех 

i

, то 

1

=

=

∑

n

i

i

n

λ

. 

Поэтому, если имеет место (3.2), то все собственные значения — нули, за исклю-

чением одного, равного 

n

. Ясно, что в случае согласованности 

n

 есть наибольшее 

собственное значение 

A

. 

Второй полезный факт заключается в том, что если элементы 

ij

a

 положительной 

обратно-симметричной матрицы 

A

 незначительно изменить, то собственные значе-

ния также изменятся незначительно.