ВУЗ: Омский государственный технический университет
Категория: Книга
Дисциплина: Методы оптимальных решений
Добавлен: 12.02.2019
Просмотров: 13037
Скачиваний: 110
51
Объединяя эти результаты, находим, что если диагональ матрицы
A
состоит из
единиц (
1
=
ii
a
) и
A
– согласованная матрица, то при малых изменениях в
ij
a
наи-
большее собственное значение
max
λ
остается близким к
n
, а остальные собственные
значения – близкими к нулю.
Поэтому можно сформулировать следующую задачу: если
A
– матрица значений
парных сравнений, то для нахождения вектора приоритетов нужно найти вектор
ω
,
который удовлетворяет
max
=
A
ω λ ω
.
Так как желательно иметь нормализованное решение, слегка изменим
ω
, пола-
гая
1
=
=
∑
n
i
i
α
ω
и заменяя
ω
на
(
)
1/
α ω
. Это обеспечивает единственность, а также
то, что
1
1
=
=
∑
n
i
i
ω
.
Заметим, что так как малые изменения в
ij
a
, вызывают малое изменение
max
λ
,
отклонение последнего от
n
является мерой согласованности. Оно позволяет оце-
нить близость полученной шкалы к основной шкале отношений, которую мы хотим
оценить. Поэтому, как сказано в гл. 1, индекс согласованности
(
)
(
)
max
/
1
−
−
n
n
λ
рассматривается как показатель «близости к согласованности». В общем случае,
если это число
0,1
≤
, мы можем быть удовлетворены суждениями.
Полезно повторить, что описанные суждения могут не только нарушить отноше-
ние согласованности, но и быть нетранзитивными, т. е. если относительная важ-
ность
1
C
больше, чем
2
C
и относительная важность
2
C
больше, чем
3
C
, то относи-
тельная важность
1
C
может не быть больше, чем
3
C
– обычный случай в человече-
ских суждениях. Интересную иллюстрацию относительно несогласованности или от-
сутствия транзитивности предпочтений представляют различные турниры. Команда
1
C
может проиграть команде
2
C
, которая проиграла команде
3
C
; однако
1
C
может
выиграть у
3
C
. Поэтому несогласованность в выступлениях команд – факт, с кото-
рым нужно считаться. Конечно, нашей модели присуще требование транзитивности,
однако процедура «описания» может вызвать затруднения.
В [101] исследовано предположение, что нетранзитивность предпочтений может
быть естественным явлением, а не следствием ошибки в суждениях или заблужде-
нием. Сделано заключение, что в ряде случаев нетранзитивность является естест-
венной и ее нельзя избежать.
В проведенном эксперименте 62 студента колледжа должны были сделать выбор
одного из трех гипотетических брачных партнеров
x
,
y
и
z
. По интеллекту их ран-
жирование было
xyz
, по внешности –
yzx
, по имущественному положению –
zxy
.
Структура эксперимента не объяснялась. Объекты сравнивались неодновременно и
попарно случайным образом. В каждом случае
x
описывался как очень умный, не-
красивый и с хорошим достатком;
y
— как умный, с очень приятной внешностью и
бедный;
z
— с посредственным интеллектом, приятной внешностью и богатый. Все
потенциальные партнеры описывались не столь бедными, некрасивыми или глупы-
ми, чтобы быть автоматически исключенными из рассмотрения.
При определении групповых предпочтений большинством голосов обозначился
круговой характер, так как
x
превзошел
y
с соотношением 39 к 23;
y
превзошел
z
с соотношением 57 к 5 и
z
превзошел
x
с соотношением 33 к 29.
52
Выборы были:
21
−
xyz
;
17
−
xyzx
;
12
−
yzx
;
7
−
yxz
;
4
−
zyx
;
1
−
xzy
;
0
−
zxy
;
0
−
xzyx
.
Нетранзитивный характер легко объясняется как результат выбора альтернати-
вы, которая выше по двум из трех критериев. Упорядочения
xyz
и
yzx
, по-
видимому, получились из-за придания большего веса интеллекту и внешности соот-
ветственно. Четверо студентов, которые сделали противоположный выбор по отно-
шению к интеллекту
( )
zyx
, были мужчины и, возможно, выразили степень мужской
боязни интеллектуальных женщин. Семерых студентов, которые сделали противо-
положный выбор по отношению к богатству
(
)
yxz
, не следует считать людьми, бес-
смысленно пренебрегающими деньгами. Они могли отдать значительное предпочте-
ние
y
перед
x
из-за большой несоразмерности во внешности,
x
перед
z
из-за
большой несоразмерности в интеллекте и
y
перед
z
из-за сочетания внешности и
интеллекта. Когда требовалось сранжировать все три альтернативы, те, чьи выборы
носили нетранзитивный характер, дали разрозненные ответы, в большинстве выбо-
ров
( )
9
yzx
и
( )
4
yxz
. Студенты, имевшие транзитивные упорядочения для бинарных
выборов, в большинстве произвели очевидные упорядочения.
Во втором эксперименте, где летчиков просили сделать попарный выбор из огня,
раскаленного металла и падения, наиболее распространенными выборами были:
огонь предпочтительнее раскаленного металла; раскаленный металл предпочти-
тельнее падения; падение предпочтительнее огня.
Первые два выбора, вероятно, можно объяснить убеждением, что пилот испыты-
вает ужас от раскаленных предметов; этот страх сильнее, чем от огня, однако пилот
привык к устойчивому состоянию и поэтому естественна реакция на падение. Тем не
менее, это не объясняет третий выбор, который не кажется неразумным.
Такие эксперименты не доказывают, что выборы, которые делает человек, не-
транзитивны. Однако они могут предлагать свои пути для составления планов таких
экспериментов, которые используют либо цикличность, либо только транзитивность.
В экспериментах, в которых оценки компонент противоречивы, предполагается воз-
никновение цикличности. Тогда основной вопрос будет: При каких условиях транзи-
тивность не имеет места? А не являются ли предпочтения транзитивными? Некото-
рые исследователи избегают этой проблемы, утверждая, что транзитивность являет-
ся одной из составляющих определения рационального поведения.
Известная теорема К. Эрроу о невозможности утверждает, что нельзя найти та-
кую функцию общественной полезности, которая удовлетворяла бы интересам как
отдельных индивидуумов, так и всего общества в целом, и единственным способом
выбора, приемлемым при всех обстоятельствах, является передача права выбора
«диктатору». Действительно, трудно вообразить, что даже отдельная личность мо-
жет иметь функцию полезности, которая удовлетворяет всем возможным ее выборам
при всех обстоятельствах, с которыми она может столкнуться. В работе Эрроу [5]
транзитивность предпочтений берется в качестве детерминистической (да, нет) ос-
новы согласованности и ее нарушение рассматривается как логическое противоре-
чие.
Люди постоянно идут на компромиссы, которые нарушают транзитивность, одна-
ко в целом являются приемлемыми решениями, так как в них учитывается относи-
тельная важность имеющихся критериев. Ясно, что существуют моменты, когда ин-
дивидуум не может принять четкого решения из-за того, что компромиссный выбор
из нескольких линий поведения равнозначен. Действительно, если критерии верно
определены и оценены, у индивидуума нет причин предпочесть бездействие дейст-
вию.
Хотя автор не особенно разделяет идею о необходимости рассмотрения функции
благосостояния общества, кажется, что основные предпосылки, использованные для
53
доказательства теоремы об общественной невозможности, требуют пересмотра. В
теореме о невозможности функция общественной полезности не должна так сильно
отличаться от функции полезности отдельного индивидуума. Индивидуум чувствует
себя счастливым или несчастным в зависимости от того, насколько хорошо он опре-
деляет приоритеты для себя и находит компромиссы. Он может и часто имеет внут-
ренние конфликты при любых выборах, которые делает даже при совершенной ра-
циональности в выражении интенсивностей своих предпочтений.
3.3. СРАВНЕНИЕ ШКАЛ
Некоторые проблемы, изложенные в предыдущем разделе, независимы от шкалы
сравнения, которую мы применяем, поскольку это – шкала отношений. (Шкалы раз-
ностей кратко рассматриваются во второй части книги.) Однако имеются все осно-
вания поставить вопрос: почему выбираются величины от 1 до 9? В этом разделе мы
попытаемся показать читателю, что эта шкала действительно лучше всех других.
Начнем более подробное описание нашей шкалы (см. табл. 3.1).
Таблица 3.1
Степень
важности
Определение
Объяснение
1
Одинаковая значимость
Два действия вносят одинаковый
вклад в достижение цели
3
Некоторое преобладание значимо-
сти одного действия перед другим
(слабая значимость)
Опыт и суждение дают лёгкое пред-
почтение одному действию перед дру-
гим
5
Существенная или сильная значи-
мость
Опыт и суждение дают сильное пред-
почтение одному действию перед дру-
гим
7
Очень сильная или очевидная зна-
чимость
Предпочтение одного действия перед
другим очень сильно. Его превосход-
ство практически явно.
9
Абсолютная значимость
Свидетельство в пользу предпочтения
одного действия другому в высшей
степени предпочтительны
2, 4, 6, 8
Промежуточные значения между
соседними значениями шкалы
Ситуация, когда необходимо компро-
миссное решение
Обратные
величины
приведённых
выше чисел
Если действию i при сравнении с
действием j приписывается одно
из приведённых выше чисел, то
действию j при сравнении с i при-
писывается обратное значение
Обоснованное предположение
Рациональ-
ные значе-
ние
Отношения, возникающие в задан-
ной шкале
Если постулировать согласованность,
то для получения матрицы требуется n
числовых значений
Наибольший вклад в исследование вопроса стимулов и реакций внесли Э. Вебер
(1795–1878), Г. Фехнер (1801–1887) и С. Стивенс (1906–1973).
В 1846 г. Вебер сформулировал закон, касающийся стимула измеримой величи-
ны
s
. Он обнаружил, например, что люди, держащие в руке предметы с различным
весом, могут различать предметы весом 20 г от 21 г, однако не могут уловить разни-
цу, если второй предмет весит 20,5 г. С другой стороны, в то время как они не могут
различить предметы весом 40 г и 41 г, разница предметов весом 40 г и 42 г воспри-
нимается, и т. д. для бóльших весов.
54
Нужно увеличить
s
на минимальную величину
∆s
, чтобы достичь состояния, при
котором наше восприятие уже может различить
s
и
+ ∆
s
s
;
∆s
называется едва за-
метным различием (езр). Отношение
/
= ∆
r
s s
не зависит от
s
. Закон Вебера утвер-
ждает, что изменение восприятия отмечается при увеличении стимула на постоян-
ную долю самого стимула. Этот закон имеет место, когда
∆s
мало по сравнению с
s
, и практически перестает действовать, когда
s
или слишком мал, или слишком
велик. Агрегирование или декомпозиция стимулов, что необходимо в кластерах или
уровнях иерархии, является эффективным способом расширения применимости это-
го закона.
В 1860 г. Фехнер исследовал последовательность едва заметных увеличений
стимулов. Обозначим первый стимул через
0
s
.
Следующий стимул с едва заметным различием (см. [7]) согласно закону Вебера
(
)
0
1
0
0
0
0
0
0
1
∆
= + ∆ = +
=
+
s
s
s
s
s
s
s
r
s
.
Аналогично
(
)
(
)
2
2
2
1
1
1
0
0
1
1
= + ∆ =
+ =
+
≡
s
s
s
s
r
s
r
s
α
.
В общем случае
(
)
1
0
0,1, 2,
−
=
=
=
…
n
n
n
s
s
s
n
α
α
.
Таким образом, стимулы с заметными различиями располагаются в геометриче-
ской прогрессии. В то же время Фехнер чувствовал, что соответствующие воспри-
ятия составляют арифметическую прогрессию в дискретных точках, где наблюдают-
ся едва заметные различия. Последние получаются, если решить относительно
n
полученное уравнение. Имеем
(
)
0
log
log
/ log
=
−
n
n
s
s
α
,
т. е. восприятие – линейная функция логарифма стимула. Поэтому если обозна-
чить восприятие через
M
, а стимул через
s
, то психофизический закон Вебера–
Фехнера запишется в виде
log
, 0
=
+
≠
M
a
s b a
.
Предположим, что стимулы возникают при проведении парных сравнений отно-
сительно сравнимых действий. Нас интересуют реакции, численные значения кото-
рых даны в форме отношений. Итак,
0
=
b
, из чего мы должны получить
0
log
0
=
s
или
0
1
=
s
, что возможно, если проградуировать единичный стимул. Но это происхо-
дит при сравнении некоторого вида действия с самим собой.
Следующая заметная реакция соответствует стимулу
1
0
=
=
s
s
α α
,
который вызывает реакцию
log / log
1
=
a
a
. Следующий стимул будет
2
2
0
=
s
s
α
,
который вызовет реакцию – 2. Таким образом, получаем последовательность
1, 2, 3, …
Для согласованности мы помещаем действия в кластер, стимулы парных
сравнений которого вызывают реакции, имеющие величины одного порядка. На
практике качественные различия в реакциях на стимулы немногочисленны. Прибли-
зительно их пять, как перечислено выше, с дополнительными, которые представля-
ют собой компромиссы между соседними реакциями. Понятие компромисса особенно
достойно внимания при осмысливании процесса суждения в противоположность чув-
ствам. Это увеличивает число различий до девяти, что совместимо со сделанным ра-
нее предположением о порядке величины.
55
Замечание. Степенной закон Стивенса распространяет идеи стимулов и реакций
на широкие диапазоны (делает как бы поперечный срез различных иерархических
уровней), оценивая реакцию как степень стимула, полученного подгонкой кривых
по сильно распределенным данным. Может случиться, что степенной закон будет
приближением к исходу, который получен в результате иерархической декомпози-
ции.
Почему обоснован верхний предел 9?
Имеется несколько причин для установления верхнего предела шкалы:
1. Качественные различия значимы на практике и обладают элементом точности,
когда величина сравниваемых предметов одного порядка или предметы близки от-
носительно свойства, использованного для сравнения.
2. Отметим, что способность человека производить качественные разграничения
хорошо представлена пятью определениями: равный, слабый, сильный, очень силь-
ный и абсолютный. Можно принять компромиссные определения между соседними
определениями, когда нужна большая точность. В целом требуется девять значений,
и они могут быть хорошо согласованы; получаемая в результате шкала подтвержда-
ется практикой.
3. Путем подкрепления (2) практический метод, часто используемый для оценки
отдельных предметов, заключается в классификации стимулов в трихотомию зон:
неприятия, безразличия, принятия. Для более тонкой классификации в каждую из
этих зон заложен принцип трихотомии – деление на низкую, умеренную и высокую
степени. Таким образом, получается девять оттенков значимых особенностей. Кол-
лега автора И. Уинд указал, что исследования маркетинга, проведённые нашим об-
щим коллегой П. Грином, показывают, что нет необходимости иметь больше семи
значений шкалы для выделения стимулов. Поэтому мы и берем не больше 9 града-
ций.
4. Психологический предел 7
±
2 предметов при одновременном сравнении под-
тверждает, что если взять 7
±
2 отдельных предметов, удовлетворяющих описа-
нию (1), и если все они слегка отличаются друг от друга, то понадобится 9 точек,
чтобы различить их (см. [106]).
Отметим, что использование шкалы парных сравнений в диапазоне от 0 до ∞
может оказаться бесполезным, так как предполагает, что человеческое суждение
каким-то образом способно оценить относительное превосходство любых двух объ-
ектов, что совсем не так. Как хорошо известно из опыта, наша способность разли-
чать находится в весьма ограниченном диапазоне и когда имеется значительная не-
соразмерность между сравниваемыми объектами или действиями, наши предполо-
жения тяготеют к тому, чтобы быть произвольными, и обычно оказываются далеки-
ми от действительности. Это подтверждает мысль о том, что наши шкалы должны
иметь конечный диапазон. Действительно, пределы должны быть довольно близки-
ми в диапазоне, который отражает нашу действительную возможность производить
относительные сравнения. Так как единица является стандартом измерения, верх-
няя граница не должна быть слишком далека от нее, хотя и достаточно отдалена,
чтобы представить наш диапазон способности различать.
Теперь рассмотрим ряд шкал, применяемых в отдельных задачах, для которых
парные сравнения известны качественно: равный, слабый, сильный, очень сильный
и абсолютный, вместе с промежуточными суждениями между каждой последова-
тельной парой этих значений. Шкалы представлены в табл. 3.2.