ВУЗ: Омский государственный технический университет
Категория: Книга
Дисциплина: Методы оптимальных решений
Добавлен: 12.02.2019
Просмотров: 13040
Скачиваний: 110
61
7
×
7
0.582
0.036 440
1.004
0.077 964
1.468
0.120 986
2.428
0.473 147
3.566
0.867 923
18.230
19.694 040
8
×
8
0.620
0.016 970
1.030
0.036 667
1.402
0.073 935
2.578
0.227 794
3.654
0.448 368
17.280
8.435 959
9
×
9
0.640
0.014 949
1.002
0.031 915
1.350
0.047 980
2.714
0.180 408
3.816
0.338 731
18.060
8.551 918
10
×
10
0.668
0.010 279
1.090
0.019 697
1.464
0.028 590
2.822
0.138 905
3.970
0.254 848
19.670
5.172 827
11
×
11
0.688
0.010 360
1.082
0.022 703
1.576
0.046 691
2.830
0.100 505
3.822
0.209 208
19.670
4.425 352
12
×
12
0.704
0.007 257
1.096
0.029 075
1.476
0.317 410
2.785
0.097 923
3.948
0.187 572
19.730
2.724 343
13
×
13
0.712
0.009 552
1.136
0.022 933
1.564
0.030 610
2.852
0.070 400
4.038
0.104 904
19.790
2.955 453
14
×
14
0.710
0.003 535
1.150
0.017 273
1.568
0.021 996
2.896
0.054 125
4.034
0.102 671
19.990
2.818 083
15
×
15
0.720
0.004 444
1.150
0.010 808
1.586
0.021 216
2.942
0.050 339
4.096
0.113 923
19.980
2.534 949
Примечание. Верхняя цифра соответствует среднему значению,
нижняя - дисперсии.
Исходя из этого результата, можно сделать другое интересное замечание. Из-
вестно, что если
λ
является любым собственным значением матрицы, то
≠
−
≤
∑
ii
ij
j i
a
a
λ
для некоторого
i
,
1,
,
= …
i
n
.
Так как для положительной обратносимметричной матрицы
max
≥ n
λ
и
1
=
ii
a
,
можно просто записать
max
1
max
=
≤
∑
n
ij
i
j
a
λ
При использовании шкалы 1–9 максимальное значение любого
ij
a
будет 9, по-
этому
max
λ
самое большее равно
(
)
9
1
−
n
. Отметим также, что
(
)
(
)
max
1
8
−
− ≤
n n
λ
и
поэтому ограничено сверху. Действительно, можно показать, что
(
)
(
)
max
1
=
−
−
n n
µ
λ
удовлетворяет неравенству
0 1
/ 3 1
≤ −
≤
µ
, которое близко к единице, когда имеется
высокая согласованность — результат, подтверждённый нашим статистическим под-
ходом. Для каждой шкалы (вместо, использования разностных методов) мы усред-
нили последние три значения, т. е. для
n
=13, 14, 15 в табл. 3.6, и использовали их
в качестве аппроксимации предельного значения. Обозначив эту величину через
s
L
для шкалы
s
, вычислим новую таблицу, используя
(
)
/
s
s
C
L
L
µ
≡
−
для каждого
n
, и
измерим согласованность, выраженную как индекс, заключенный между нулем и
единицей. Это проиллюстрировано в табл. 3.7 и на соответствующем графике (рис.
3.1).
62
Таблица 3.7.
(
)
/
−
s
s
L
L
µ
Шкала
1–5
1–7
1–9
1–15
1–20
1–90
Порядок
3
0.733 9
0.778 2
0.757 1
0.933 0
0.970 4
0.963 9
4
0.271 7
0.483 1
0.398 5
0.716 9
0.769 7
0.925 2
5
0.364 1
0.289 3
0.224 2
0.303 3
0.402 1
0.413 2
6
0.142 9
0.221 2
0.343 8
0.104 5
0.141 0
0.163 2
7
0.184 9
0.123 4
0.066 6
0.161 8
0.120 8
0.084 8
8
0.131 7
0.100 7
0.108 5
0.110 0
0.099 1
0.132 5
9
0.103 6
0.125 1
0.141 6
0.063 1
0.059 2
0.093 4
10
0.064 4
0.048 3
0.069 1
0.025 8
0.021 2
0.012 6
11
0.036 4
0.055 3
–0.002 1
0.023 0
0.057 7
0.012 6
12
0.014 0
0.043 1
0.061 5
0.038 9
0.026 6
0.009 5
13
0.002 8
0.008 1
0.005 5
0.015 4
0.004 4
0.006 5
14
0.005 6
–0.004 1
0.003 0
0.000 2
0.005 4
–0.003 5
15
–0.008 4
–0.004 1
–0.008 5
–0.015 7
–0.009 9
–0.003 0
Рис. 3.1. Нормированная согласованность
с использованием асимптотических значений
Теперь это согласованность, измеренная для случайным образом заполненных
матриц. В общем случае суждение знающего человека ведет к лучшей согласован-
63
ности. Тем не менее все диаграммы показывают, что если число сравниваемых объ-
ектов превышает 5, то величина
C
меньше 10% и примерно одинакова для всех
n
.
Это, по-видимому, говорит о том, что среди большого количества случайных не-
согласованностей, которые встречаются при установлении связи между
n
объекта-
ми, мы должны обнаружить искомую согласованную структуру. Шансы на ее обна-
ружение тем меньше, чем больше число объектов, которые нужно связать логиче-
ской структурой. Наши шансы будут тем больше, чем меньше
n
, однако
n
должно
быть достаточно большим, чтобы не иметь автоматической согласованности, напри-
мер для
2
n
=
. Для больших значений
n
нужно использовать некоторую избыточ-
ность информации для улучшения обоснованности, т. е. проверить, насколько хо-
рошо наши результаты будут отражать действительность.
Закончим этот раздел двумя замечаниями. Во-первых, если необходимо провести
очень тонкие различия при парных сравнениях, то можно подразделить шкалу 1-9,
рассматривая каждую пару значений, скажем 3 и 4, при добавлении к нижнему зна-
чению 0,25 для слабой, 0,5 для умеренной и 0,75 для сильной степени. Однако наш
опыт не показал, что это дает большую эффективность, кроме случая, когда сравни-
ваются только два объекта. В последнем случае для получения более тонких оттен-
ков различия используется шкала от 1 до 1,5.
Во-вторых, если суждения производят несколько человек, то предпочтительнее,
как указано в гл. 1, использовать геометрическое, а не арифметическое среднее.
Это особенно понятно, когда один человек присваивает величину
a
, а другой – ве-
личину
1/ a
. Среднее должно быть 1, а не
(
)
1/
/ 2
a
a
+
. Поэтому в общем случае для
n
суждений нужно перемножить численные значения и извлечь
n
-й корень
3.4. СРАВНЕНИЕ МЕТОДА СОБСТВЕННОГО ВЕКТОРА
С ДРУГИМИ МЕТОДАМИ
Для сравнения точности метода собственного вектора с другими методами при
оценке реальной ситуации было проведено несколько экспериментов. В двух экспе-
риментах, проведенных в Корнелльском университете летом 1976 г., группе людей
предложили оценить величины непосредственно, найти наименьший элемент и при-
дать ему значение, равное единице, а остальным элементам – кратные значения.
Другой группе предложим использовать метод собственного значения со шкалой
1-9, а еще одна группа могла использовать любые желаемые значения, и задача о
собственном значении решалась для этих чисел.
В отдельном эксперименте люди решали задачу о собственном значении со шка-
лой 1–9, и затем те же люди, что участвовали в получении опытных парных сравне-
ний, провели прямые эксперименты. Вероятно, эксперт может оценить ситуацию не-
посредственно и не может получить лучший результат, используя подход, основан-
ный на методе собственного значения со шкалой 1–9. В социальной области, где
обычно не имеется ответов в виде отношений, подход, основанный на собственном
значении, представляет собой суждения эксперта при парных сравнениях, которые
полезно иметь. Кроме того, данный подход обеспечивает измерение согласованно-
сти, которого нет в прямых методах. Результаты сравнивались с действительным
значением и вычислялись как СКО, так и МАО. Затем было вычислено среднее зна-
чение для обоих методов.
Из этих экспериментов следовало, что если люди не знают, о чем с ними говорят,
то не существует шкалы, которая заставит их разобраться в проблеме лучше. Одна-
ко если люди понимают кое-что и им требуется некоторая мера, то не существует
лучшего способа оценки ситуации по этим суждениям, чем систематическая проце-
дура, которая облегчает сравнения, гармонирует с интуицией и человеческими чув-
64
ствами, а также свободна от искусственности. Если человек уже знает ответ, то то-
гда у него нет нужды в какой-либо шкале, и как раз из-за того, что он знает ответ,
он не может исходя из своих знаний выявить преимущества метода, примененного,
чтобы помочь несведущим людям, которые нуждаются в стимулировании посредст-
вом определенного подхода для приведения их представлений в надлежащую фор-
му. Тем не менее его экспертизу можно использовать для того, чтобы убедиться в
том, действительно ли метод шкалирования воспроизводит известные результаты.
Наши эксперименты не только сравнивали экспертов с несведущими, но также лю-
дей, которые были отчасти информированы и тщательны в применении метода, с
людьми, которые были отчасти информированы, но менее пунктуальны при выдаче
информации. Мы можем сказать, что для хорошо осведомленных людей и для всех
людей, использующих здравый смысл для физических сравнений, подход, основан-
ный на собственном значении для шкалирования отношений, выигрывает при срав-
нении с другими методами, которые рассматривались. Он также дает лучшие ре-
зультаты для людей, которые частично информированы и пытаются взвесить свое
суждение, полученное логически и просто из отношений между парами. Например,
они могут начать с классификации предметов в порядковой шкале, а затем выбрать
для сравнения отдельные предметы, в оценке которых они уверены. Среди этих
предметов они могут начать с доминирующего предмета, а затем перейти к наиме-
нее важному, чтобы получить пределы диапазона своих мнений. Так, по крайней
мере, тысяча людей участвовала в решении задач, включая приложения для властей
и для промышленности. Некоторые использовали метод для своих личных проблем.
Несколько приложений было из класса упражнений.
3.5. ПЕРЕСМОТР СУЖДЕНИЙ
Допустим, что индекс согласованности достаточно велик, чтобы служить оправ-
данием пересмотра суждении. На каком этапе это следует сделать? Непосредственно
можно представить два способа. Первый заключается в формировании матрицы от-
ношений приоритетов
/
i
j
ω ω
, рассмотрении матрицы абсолютных разностей
(
)
/
ij
i
j
a
ω ω
−
и попытке пересмотра суждения об элементе (элементах) или суммы
строк с наибольшими разностями.
В противоположность этому более привлекательна мысль сформировать средне-
квадратичное отношение с использованием строк
ij
a
и
(
)
/
i
j
ω ω
и пересмотреть суж-
дения для строки с наибольшим значением. Оправданием этого служит то, что в об-
щем случае человек имеет склонность к неопределенности при оценке отношения
одного действия ко всем другим действиям, а не просто к одному конкретному. Про-
цедура может затем повторяться, чтобы было заметно улучшение. Было бы жела-
тельно иметь сходящуюся итеративную процедуру, при которой
ij
a
приближалось
бы к
/
i
j
ω ω
. Процедура состоит из замены всех
ij
a
в строке, о которой идет речь,
соответствующими
/
i
j
ω ω
и пересчета вектора приоритета. Повторение этого про-
цесса приводит к сходимости к согласованному случаю. Мы решали несколько при-
меров, используя строку с
(
)
1
max
/
n
ij
i
j
i
j
a
ω ω
=
−
∑
(не нужно беспокоиться о том, что
/
i
j
ω ω
может быть больше 9).
Матрица профессиональной подготовки в примере выбора школы имеет вид:
65
1
9
7
1/ 9 1 1/ 5
1/ 7 5
1
A
=
,
и ее вектор приоритетов есть
(
)
(
)
1
2
3
,
,
0,77; 0,06; 0,17
ω ω ω
=
;
max
3,21
λ
=
с индек-
сом согласованности, равным 0,1. Образуем матрицу отношений приоритетов, соот-
ветствующих
/
i
j
ω ω
. Наибольшая абсолютная разность – между
12
a
и
1
2
/
ω ω
. Поэто-
му, заменив
12
a
на
1
2
/
14,15
ω ω
=
и пересчитав приоритеты, получим вектор
(
)
0,81; 0,94; 0,15
с
max
3,09
λ
=
и согласованностью 0,02. Отметим продолжающееся
улучшение согласованности. Если снова заменим первую строку, которая дает наи-
большие разности с
/
i
j
ω ω
, то получим вектор
(
)
0,76; 0,04; 0,20
и
max
3,023
λ
=
с со-
гласованностью 0,01. Заменив первую строку соответствующими отношениями, име-
ем вектор
(
)
0,75; 0,04; 0,21
с
max
3,003
λ
=
и индексом согласованности 0.00, указы-
вающим на последовательное улучшение, согласованности. Как видно, можно при-
нять и более длительную процедуру, в которой используется аппроксимация мето-
дом наименьших квадратов с помощью матрицы единичного ранга и затем вычисля-
ется ее собственный вектор.
Другой и возможно более уместный способ пересмотра суждений относится к вы-
бору наибольшего из отношений
ij
a
к
/
i
j
ω ω
и проработке этой идеи (см. гл. 7 для
доводов).
Следует избегать чрезмерного увлечения этим процессом навязывания величин
суждений для улучшения согласованности. Он искажает ответ. Улучшить суждения
скорее следует естественным образом, исходя из опыта.
3.6. ВСЕ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ:
ПРИМЕР НАЦИОНАЛЬНЫХ БОГАТСТВ ИЗ ГЛ. 2
В табл. 3.8. для всех собственных значений представлены как левые (удовле-
творяющие
A
υ
λυ
=
), так и правые (удовлетворяющие близкому по форме выраже-
нию
A
ω λω
=
) собственные векторы. Для
max
λ λ
=
левый собственный вектор –
двойственный (т. е. обратный) правому собственному вектору, как и способ измере-
ния противоположности влияния по отношению к свойству, которое нами использо-
валось при проведении сравнений. Когда имеется согласованность, эти два главные
(левый и правый) собственные векторы точно взаимообратны. Это отношение имеет
место между главными левым и правым собственными векторами всех обратносим-
метричных матриц размера
2 2
×
и
3 3
×
.
Таблица 3.8. Пример национальных богатств
Собственные значения
7.7451 0.1157+2.2985i 0.1157–2.2985i –0.4464+0.5161i –0.4464–0.5161i –0.0419+0.3989i –0.0419–0.3989i
Правые собственные векторы
0.422 0.775–0.525i 0.775+0.525i 1.382+0.387i 1.382+0.387i 1.494–0.011i 1.494+0.011i
0.227
0.421+0.178i
0.421–0.178i
–0.266+0.757i
–0.266+0.757i
–0.821–0.374i
–0.821+0.374i
0.020 0.005–0.045i 0.005+0.045i –0.070–0.032i –0.070–0.032i –0.095+0.038i –0.095–0.038i
0.051
–0.069–0.011i
–0.069+0.011i
0.058+0.151i
0.058+0.151i
0.597–0.232i
0.597+0.232i
0.047 –0.093–0.011i –0.093+0.011i 0.068+0.070i 0.068+0.070i –0.123+0.258i –0.123–0.258i
0.143
0.014+0.292i
0.014–0.292i
–0.198–0.217i
–0.198–0.217i
0.869+1.616i
0.869–1.616i
0.090 –0.042+0.123i –0.042–0.123i 0.026–0.342i 0.026–0.342i –0.920–1.295i –0.920+1.295i