ВУЗ: Омский государственный технический университет
Категория: Книга
Дисциплина: Методы оптимальных решений
Добавлен: 12.02.2019
Просмотров: 13039
Скачиваний: 110
226
*
X
R
=
. Если оно не соблюдается, то основу для получения реалистических и со-
вместимых
R
представляет следующая задача оптимизации.
Минимизировать
z
p d
p d
−
+
−
+
=
+
при условиях
BU Id
Id
R
+
−
+
+
=
,
0
U
≥
,
где
(
)
I A
B
D
−
=
.
Решение
U
этой задачи обеспечивает существование согласованного сценария,
подходящего для конкретной реальной ситуации.
Локальные цели: интерактивное программирование. Рассматриваемую за-
дачу со многими критериями можно записать в виде:
( )
{
}
max
x X
U f x
∈
,
где
f
–
r
-мерный вектор вещественных функций,
x
–
n
-мерный вектор вещест-
венных переменных,
X
– допустимая область в
n
R
, связанная с
x
, и
U
– функция
полезности лица, принимающего решение, определенная на области значений
f
.
Можно предположить, что
U
– возрастающая по каждому
i
f
функция и что
X
–
выпуклая и компактная;
U
по каждой компоненте
f
– вогнутая и непрерывно
дифференцируемая.
Нормы предельного замещения лица, принимающего решение, между критерия-
ми для отдельной точки могут быть использованы для оценки направления градиен-
та его функции полезности в этой точке. Эта информация может быть использована
в контексте существующих алгоритмов нелинейного математического программиро-
вания для получения оптимального решения задачи.
Методы пространственной близости
Совместные измерения. Они связаны с объединением множества независимых
переменных в некоторую функциональную форму (в общем случае полином) для
предсказания значений зависимой переменной. Коэффициенты или параметры
функции обычно оцениваются методами регрессии. Существуют несколько алгорит-
мов или подходов получения этой оценки путем взвешивания важности переменных
заинтересованными лицами (см. [58]). В [58] также можно ознакомиться с различ-
ными аспектами приложений, а именно, по производству и маркетингу.
Многомерное шкалирование. Главная цель многомерного шкалирования –
восстановление основной пространственной структуры процесса восприятия по
конфигурации, в которой каждый стимул (альтернатива) представлен точкой таким
образом, что два стимула, субъективно рассматриваемые как схожие, расположены
ближе друг к другу, чем стимулы, которые считаются менее похожими друг на дру-
га. Процесс развивается так:
1. Строится матрица несходства
ij
δ
, на главной диагонали которой стоят нули.
Матрица симметрична относительно главной диагонали.
2. Из матрицы
ij
δ
получается матрица расстояний между стимулами
ij
d
.
3. Требуется удовлетворение условия монотонности
1 1
2 2
1 1
2 2
i j
i j
i j
i j
d
d
δ
δ
<
⇒
<
.
227
4. Определяется напряжение
*
*
S
S T
=
, где
*
0
ij
ij
i j
S
d
d
<
=
−
∑
*
e
ij
T
d
=
∑
(
ij
d
– расстояние между точками начальной конфигурации).
Задача заключается в минимизации
S
по всем
0
ij
d
, удовлетворяющим гипотезе
монотонности.
В подходе по изучению маркетинга, предложенном в [58], исследуются пять по-
казателей проекта, включающих наименование, цену, оформление упаковки и га-
рантию. В данной специфической задаче существует 108 комбинаций этих пяти по-
казателей. Из всех альтернатив было выбрано 18 и проранжировано. С помощью
ЭВМ проводился поиск значений в шкале для каждого показателя. Значения в шка-
ле выбраны таким образом, что при их суммировании общая полезность каждой
комбинации соответствует рангам. Меры того, насколько лучше каждая альтернати-
ва, не приводится.
В [20] предлагается метод в помощь специалистам по планированию при форму-
лировке стратегий и прогнозировании исходов при последовательном применении
этих стратегий. Формируется матрица перекрестных воздействий условных вероят-
ностей. Далее вычисляются меры несходства пар событий и определяется евклидово
расстояние между строками матрицы перекрестных воздействий (причин), а затем –
евклидово расстояние между столбцами (эффектами).
В [183] определяется матрица несходства (расстояния). В качестве заголовков
строк и столбцов используются элементы из множества понятий, где каждое опреде-
ляет отношение понятия ко всем другим. Данные собираются в последовательность
прямых парных сравнений и затем трактуются как точки в пространственном много-
образии (неевклидовом
N
-мерном пространстве). Определяется местоположение
этих точек и затем минимизируются квадраты расстояния между ними.
В [165] исследуется математическая структура полиномиальной теории измере-
ний (применимой к структуре данных в том и только в том случае, если для нее вы-
полнена аксиома иррефлексивности), и устанавливается взаимосвязь различных
моделей измерений в общих концептуальных рамках, приводящих к математическим
задачам, решение которых считается полезным. У теории нет простых эмпирически
проверяемых условий. Этот подход предусматривает анализ данных с помощью мно-
гомерного шкалирования и факторных методов. Упорядочение расстояний между
парами задает определенный порядок между ними, который может быть выражен в
виде полиномиальной функции координат. Теория описывает погружение этого по-
линома в действительное
n
-мерное пространство с фиксированной размерностью.
В [118] проведено исследование по «выбору «наилучших» линий поведения из
ряда альтернативных возможностей, где каждая линия поведения оценивается в
терминах степени достижения множества целей». Предложенный метод основан на
технике многомерного шкалирования, развитой Кендаллом для вычерчивания карт
на основе фрагментарной информации.
Экспериментальная проверка метода анализа иерархии была проведена в [142],
где он сравнивается с подходами множественной регрессии (МР), многоаспектной
полезности (МАП) [79] и простой непосредственной оценкой (НО). Эти четыре мето-
да отличаются следующим: они требуют суждений различного типа, они требуют
различных форм отклика (от порядкового до отношений) и, наконец, каждый из них
имеет область приложений с ограниченным применением других методов.
В данном эксперименте экспертам предложили оценить гипотетических кандида-
тов, поступающих в колледж, с помощью парных сравнений только по четырем ха-
рактеристикам: количественному тесту на способности, устному тесту на способно-
сти, среднему школьному баллу и показателю внешкольной деятельности. После
этих начальных суждений экспертов просили о дальнейших суждениях, необходи-
228
мых для построения линейных аддитивных представлений на основе названных вы-
ше четырех методов. Эксперимент осуществлялся в рамках факторного анализа.
Тридцати трем экспертам предложили высказать предварительные суждения о 20
парах альтернатив. Требовалось указывать как направление, так и степень пред-
почтения для каждой пары. Для линейных аддитивных моделей, использовавших
МАИ, МР, МАП и НО, было получено соответственно 84, 57, 86 и 84% правильных
предсказаний по этим предварительным суждениям. Пирсоновские корреляции про-
изведений моментов между предсказанными и наблюденными степенями предпочте-
ний были 0,72; 0,19; 0,75 и 0,77 соответственно.
Этими методами авторы проверяли только то, что каждый из методов должен был
предоставить по аддитивному, линейному представлению многоаспектных предпоч-
тений. Приоритеты показателей или критериев, определенные посредством МАИ,
были использованы как веса линейной функции полезности, что позволило авторам
сравнить их.
Хотя методы и различны, каждый из них имеет определенное преимущество пе-
ред другими. Для МАИ не требуется допущения о согласованности в предпочтениях,
в то время как построение функции полезности при использовании подхода МАП
требует транзитивности отношения предпочтений. Кроме того, при парных сравне-
ниях в МАИ информация более детализирована и применима в сферах, где сущест-
вуют неизмеримые показатели.
Подход МАП обладает некоторыми преимуществами, а именно: хорошо развитой
методологией для трактовки ситуаций с риском, а также нелинейными функциями
полезности, (т. е. аддитивно линейными по каждой переменной, мультипликативны-
ми и мультилинейными).
В [79] обсуждается методика оценки функции полезности. Процесс МАП приво-
дит к одному из немногих установленных типов функций. Метод анализа иерархий
генерирует функциональные значения функции полезности, а не саму функцию.
Для повторяющихся ситуаций при принятии решений выгоднее иметь функцию по-
лезности. Однако на практике функция полезности быстро меняется во времени и,
следовательно, ее надо заново оценивать. Поэтому в операционном смысле МАП
действует не лучше, чем МАИ, и, кроме того, требует слишком много времени и уси-
лий, а также не обладает преимуществами группового процесса, присущими МАИ.
Используя МАИ, можно возмущать суждения в пределах иерархии для получения
нового набора приоритетов. Вместе с процедурой проведения МАИ это менее за-
труднительно, чем построение функции полезности для каждого периода времени.
Относительно метода МР отмечается, что «использование МАИ предпочтитель-
нее, чем метода МР в любой неповторяющейся ситуации по принятию решений, та-
кой, как стратегическое планирование или технологический прогноз, поскольку эти
ситуации не позволяют легко вывести измеримые свойства». Однако в МАИ возни-
кает одна операционная проблема – для получения суждений он требует больше
времени, чем необходимо для одного заседания, и должен быть растянут на не-
сколько заседаний. Это неудобство не кажется очень важным по сравнению с тем,
что при МАП выводится функция полезности, процесс, при котором люди могут чув-
ствовать себя не очень удобно. Их предпочтения могут оказаться несогласованными
с функцией полезности
*
.
*
Разбор некоторых работ последних лет, в которых МАИ сравнивается с другими методами, приведен в
дополнении. – Прим. перев.
229
9.8. ДРУГИЕ СРАВНЕНИЯ
Хирш [66] провёл тщательный анализ аксиоматических методов, используемых
для изучения как порядкового, так и количественного ранжирования. Синтезировав
информацию, содержащуюся в аксиомах, он смог сформулировать минимальный на-
бор аксиом, из которых далее вывел около сорока аналитических условий для суж-
дений о пригодности многокритериальных методов. Вероятно, чем большему коли-
честву условий удовлетворяет метод, тем более он предпочтителен.
Определим три основные группы многокритериальных методов следующим обра-
зов. Автоматические методы, в которых окончательное ранжирование элементов по-
лучается из начальных данных, общих предположений и условий, а также из опре-
деленного алгоритма, основанного на дополнительном множестве аксиом. Нет ни
взаимодействия с ЛПР, ни процесса обратной связи. Полуавтоматические методы, в
которых ЛПР совершает выбор только на определенных этапах метода и в соответ-
ствии с некоторыми правилами. Существуют процессы обратной связи, которые
привносят гибкость и адаптируемость к реальной ситуации. Неавтоматические мето-
ды, в которых ЛПР может принимать решения в любой момент и дозволены измене-
ния в аксиомах и предположениях.
Для сравнения и оценки многокритериальных методов Хирш дает их основные
структурные характеристики. Каждая характеристика должна быть определена по
шкале характеристик, так что любой многокритериальный метод идентифицируется
множеством его характеристических уровней, измеренных по каждой шкале харак-
теристик. Сначала определяются шкалы измерений: количественно абсолютную, ко-
личественно относительную, количественно интервальную, упорядоченной метрики,
порядковую и номинальную. Над шкалами измерений определяются пять характери-
стических шкал, а именно:
I
,
O
,
G
,
D
и
W
.
I
-характеристическая шкала отра-
жает степень определенности, необходимую в шкалах измерений для нескольких
критериев (степень количественности);
O
-характеристическая шкала – качество
полученного ранжирования;
W
-характеристическая шкала – некоторую информа-
цию об относительной важности критериев. Мерами относительной важности крите-
риев являются одномерные показатели. Они могут быть порядковыми или количест-
венными. Однако порядковые меры относительной важности недостаточны, так как
не могут быть использованы для получения глобального ранжирования. Поэтому
Хирш вводит еще две шкалы, основанные на сравнениях межшкальных расстояний:
G
и
D
-характеристические шкалы. Основываясь на этих шкалах, определяются
некоторые объективные меры оценки многокритериальных методов: рациональные
условия.
Среди исследованных Хиршем методов – целевое программирование, многоцеле-
вое линейное программирование и некоторые другие, появившиеся в последнее
время. Он рассмотрел «преаналитические» условия: нейтральности/независимости,
упорядоченности, устойчивости, откликаемости, парето-оптимальности, степени
структуры, анонимности и гомогенности.
Метод собственного значения, не требующий строгой независимости, упорядо-
ченности, анонимности или гомогенности, тем не менее обладает устойчивостью, от-
кликаемостью, парето-оптимальностью и некоторыми структурными свойствами. Он
также имеет нормализованную шкалу. Однако подход Хирша не позволяет судить,
насколько один метод лучше другого и в какой системе ценностей.
Замечание. Хотя серьезной попытки аксиоматизации нашего подхода, допус-
кающего нетранзитивность, не делалось, изложим кратко идеи, которые следует
принять во внимание при попытке такой аксиоматизации. Обычно аксиомы исполь-
зуют для получения неконструктивных доказательств существования функций по-
лезности. Для той же цели мы использовали существующую математическую тео-
рию. Однако при этом были приняты определенные допущения, а именно:
230
система может быть расчленена на классы (компоненты) сравнимости в рамках
направленной сети;
элементы в каждой компоненте могут сравниваться относительно некоторых или
всех элементов смежной компоненты (начальной вершины дуги);
можно проводить сравнения в абсолютной численной шкале для формирования
отношений;
при парных сравнениях применяются обратносимметричные матрицы (необяза-
тельно);
допускается нетранзитивность и исследуется ее воздействие на согласованность
результатов;
приоритет или обобщенный показатель элемента получается с помощью компо-
зиции или взвешивания;
любой элемент, присутствующий в иерархии, считается релевантным, хотя его
приоритет может быть и низким. Не имеет смысла вводить в иерархию «несущест-
венные альтернативы» и проверять независимость от них
*
.
*
Аксиоматические основы МАИ из работы Т. Саати (Axiomatic Foundation of the Analytic Hierarchy Proc-
ess, Management Science v 32, № 7, 1986, приведены в дополнении. – Прим. перев.