ВУЗ: Омский государственный технический университет
Категория: Книга
Дисциплина: Методы оптимальных решений
Добавлен: 12.02.2019
Просмотров: 13038
Скачиваний: 110
231
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
МАТРИЦЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
В этом приложении приводится краткое введение в алгебру матриц и задачи о
собственном значении.
Матрицы и линейные системы уравнений
Матрица
A
– это прямоугольная таблица, включающая массив из
m n
×
чисел,
расположенных в
m
строк и
n
столбцов. Число или элемент матрицы
A
в
i
-й стро-
ке и
j
-м столбце обозначается через
ij
a
. Таким образом, имеем
(
)
m n
×
-матрицу
A
:
11
12
1
21
22
2
1
2
n
n
m
m
mn
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
=
…
…
…
.
Обычно матрицу
A
обозначают через
( )
ij
a
и определяют число ее строк и столб-
цов. Индексы
i
и
j
относятся к той строке и столбцу соответственно, в которых
расположен элемент. Матрица называется квадратной порядка
n
, если
m n
=
.
Строки и столбцы матрицы
A
называют векторами. Матрица
A
может состоять
из единственного вектора-строки или вектора-столбца. В этом случае достаточно
приписать к ее элементам один индекс. Например,
(
)
1
,
,
n
A
a
a
≡
…
есть вектор-
строка. Диагональные элементы квадратной матрицы
A
порядка
n
будут
ij
a
,
1,
,
i
n
= …
. Диагональная матрица
A
обладает свойством
0
ij
i
=
для всех
i
и
j
при
i
j
≠
. Некоторые из диагональных элементов – ненулевые. Если также все
0
ii
a
=
для всех
i
, то
A
называют нулевой матрицей и обозначают
O
. Единичная матрица
I
– это диагональная матрица с
1
ii
a
=
для всех
i
. Треугольная матрица
A
– это
квадратная матрица с
0
ij
a
=
для
i
j
>
, или
0
ij
a
=
для
i
j
<
. Транспонированная
матрица к матрице
( )
ij
A
a
=
обозначается
( )
T
ji
A
a
=
и определяется заменой эле-
мента
A
в положении
,
i j
элементом в положении
,
j i
, т. е. для получения
T
A
нуж-
но поменять местами строки и столбцы
A
, поворачивая .матрицу относительно глав-
ной диагонали. Так как две матрицы равны, если равны их соответствующие эле-
менты, можно определить симметрическую матрицу
T
A A
=
; т. е.
ij
ji
a
a
=
. Для косо-
симметрической матрицы
T
A
A
= −
, т. е.
ij
ji
a
a
= −
при
0
ii
a
=
. Для эрмитовой матри-
цы
ji
ij
a
a
=
(элемент
ij
a
является комплексно-сопряженным с элементом
ij
a
). Опре-
делим также обратносимметричную матрицу, для которой
1
ji
ij
a
a
=
при
1
ii
a
=
. Мат-
рица
( )
ij
A
a
=
положительна, если
0
ij
a
>
для всех
i
и
j
, и неотрицательна, если
0
ij
a
≥
. Кроме того,
A B
≥
, если
ij
ij
a
b
≥
для всех
i
и
j
.
Существуют правила сложения, вычитания, умножения и «деления» матриц
A
и
B
. Эти операции составляют алгебру матриц, в некотором роде подобную алгебре
232
обычных чисел, однако следует быть осторожным, так как не все правила, пригод-
ные для обычных чисел, применимы к матрицам, составляющим более общую алгеб-
ру. В то же время матрица порядка
1 1
×
– это просто число, которое называется
скаляром, и все правила, применимые для матриц вообще, могут применяться к это-
му специальному виду матриц, т. е. к обычным числам.
Исторически матрицы появились как стенографический метод записи коэффици-
ентов системы уравнений. В общем случае система из
m
уравнений с
n
неизвест-
ными обычно бывает задана в виде
11 1
12 2
1
1
21 1
22 2
2
2
1 1
2 2
,
,
.
n n
n n
m
m
mn n
m
a x
a x
a x
y
a x
a x
a x
y
a x
a x
a x
y
+
+ +
=
+
+ +
=
+
+ +
=
…
…
…
Записывать такую систему легче, если коэффициенты, т. е. массив
( )
ij
a
, отде-
лить от переменных
j
x
. Тогда
i
x
, который повторяется в каждой строке, можно за-
писать только один раз таким образом:
11
12
1
1
1
21
22
2
2
2
1
2
n
n
m
m
mn
n
m
a
a
a
x
y
a
a
a
x
y
a
a
a
x
y
=
…
…
…
.
Если записать
j
x
в виде столбца, то правило для восстановления исходной сис-
темы таково: каждый
ij
a
связан с соответствующим
j
x
, например
32
a
и
2
x
дает
32 2
a x
. Таким образом, двигаясь вдоль строк коэффициентов и одновременно вниз по
столбцу
x
, можно получить соответствующее соединение. Эта простая операция –
основа для общего правила умножения матриц.
Можно обозначить
1
2
, ,
,
n
x x
x
…
как вектор
x
, а
1
2
,
,
,
n
y y
y
…
– как вектор
y
. От-
метим, что в общем случае число элементов
x
не равно числу элементов
y
. Произ-
ведение
(
)
m n
×
-матрицы на
(
)
p q
×
-матрицу возможно только в случае
p n
=
, в ре-
зультате получается матрица размерности
m q
×
. Поэтому, если
1
q
=
, т. е. вторая
матрица суть вектор, то произведение также будет вектором. Чтобы избежать пута-
ницы, следует помнить, что буквы с индексами обозначают элементы матриц или
векторов, а буквами без индексов обозначены вся матрица или вектор. Сложение и
умножение матриц можно соотнести с операциями над системами уравнений.
Рассмотрим вновь систему уравнений:
1
11 1
12 2
2
21 1
22 2
,
y
a x
a x
y
a x
a x
=
+
=
+
и предположим, что есть другая система уравнений:
1
11 1
12 2
2
21 1
22 2
,
z
b x
b x
z
b x
b x
=
+
=
+
Поскольку элементы
x
являются общими для обеих систем, для объединения
этих двух систем следует сложить первое уравнение первой системы с первым урав-
нением второй системы, сгруппировать подобные члены, перейти ко вторым уравне-
ниям, проделав то же самое и т. д.:
233
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
11
11
1
12
12
2
2
2
21
21
1
22
22
2
,
.
y
z
a
b x
a
b
x
y
z
a
b
x
a
b
x
+ =
+
+
+
+
=
+
+
+
Это дает тот же результат, что и применение для матриц коэффициентов правила
сложения. Допустим,
A
– матрица коэффициентов первой системы, а
B
– матрица
коэффициентов второй системы. Тогда для их сложения описанным выше образом
A
и
B
должны быть одного и того же порядка. Правило такое:
( ) ( ) (
)
ij
ij
ij
ij
A B
a
b
a
b
+ =
+
=
+
;
соответствующие элементы в матрицах суммируются.
Имеем
11
12
13
11
12
13
11
11
12
12
13
13
21
22
23
21
22
23
21
21
22
22
23
23
a
a
a
b
b
b
a
b
a
b
a
b
a
a
a
b
b
b
a
b
a
b
a
b
+
+
+
+
=
+
+
+
.
Конкретнее
( )
( )
1 0
2 3
3
3
1
2
3
0 3
3
1 1
0
0 0
2 2
4
8
0
2
4
0 2
8
0 4
12
+
− +
+ −
−
−
+
=
=
+
+
− + −
−
−
−
.
Правило сложения может быть распространено на любое число матриц одного и
того же порядка:
(
)
ij
ij
ij
A B
Z
a
b
z
+ + + =
+ + +
…
…
.
Аддитивная обратная матрицы
( )
ij
A
a
=
есть матрица
( )
ij
A
a
− = −
такая, что
( )
0
A
A
+ −
=
.
По отношению к аддитивности существует ассоциативность
(
)
(
)
A B
C
A
B C
+
+ = +
+
и коммутативность
A B B A
+ = +
.
Допустим, нужно умножить уравнения на некоторую константу (или скаляр)
α
(еще один способ, применяемый в элементарной алгебре для решения системы
уравнений). Если это проделать следующим образом:
1
11 1
12 2
1
2
21 1
22 2
2
1 1
2 2
,
,
,
n n
n n
m
m
m
mn n
y
a x
a x
a x
y
a x
a x
a x
y
a x
a x
a x
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
=
+
+ +
=
+
+ +
=
+
+ +
…
…
…
то
( ) ( )
ij
ij
A
a
a
α
α
α
=
=
, т. е. существует правило: для умножения матрицы
A
на
скаляр
α
следует каждый ее элемент умножить на
α
.
Например,
2 0
4
6
0
12
3
3
6 1/ 2
9
18
3/ 2
−
−
−
=
−
−
−
.
Сочетанием умножения на скаляр и сложения можно выразить правило для линей-
ной комбинации матриц
(
)
ij
ij
ij
A
B
kZ
a
b
kz
α
β
α
β
+
+ +
=
+
+ +
…
…
,
где
, ,
, k
α β
…
– скаляры.
Рассмотрим следующий набор уравнений, выражающих
,
1, 2, 3
j
y j
=
через
,
1, 2, 3, 4
i
x i
=
:
234
1
1
2
3
4
2
1
2
3
4
3
2
3
4
2
4
,
3
2
2 ,
2
.
y
x
x
x
x
y
x
x
x
x
y
x
x
x
=
+
− +
= −
+
−
=
+ −
Рассмотрим также второй набор уравнений, выражающих
,
1, 2
k
z
k
=
через
j
y
:
1
1
2
3
2
1
2
3
3
2 ,
5 .
z
y
y
y
z
y
y
y
=
+
+
=
−
+
Выразим
k
z
через
,
1, 2, 3, 4
i
x i
=
. Это реализуется подстановкой
,
1, 2, 3
j
y j
=
из
первой системы во вторую. Получаем
,
1, 2
k
z
k
=
в зависимости от
,
1, 2, 3, 4
i
x i
=
:
(
) (
) (
)
1
2
3
4
1
2
3
4
2
3
4
3 2
4
3
2
2
2 2
z
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
+
− +
+
−
+
−
+
+ −
=
(
)
( )
( )
1
1
2
3
3 2 1 1 2 0
3 4 1
3
2 2
3
1 1 2 2 1
z
x
x
x
= × + × + ×
+ × + × − + ×
+ × − + × + ×
+
( )
( )
4
1
2
3
4
3 1 1
2
2
1
7
13
x
x
x
x
x
+ × + × − + × −
=
+
+ −
.
Здесь коэффициент при
1
x
получен в результате суммирования произведений.
Это произведения коэффициентов при
1
y
,
2
y
и
3
y
соответственно в выражении для
1
z
на соответствующий коэффициент при
1
x
из трёх уравнений для
1
y
,
2
y
и
3
y
.
Аналогично получаются коэффициенты при
2
x
,
3
x
и
4
x
. Для
2
z
получаем:
2
1
2
3
4
17
2
2
z
x
x
x
x
= +
+
−
.
Всё это можно проделать, умножая матрицу коэффициентов первой системы на
матрицу коэффициентов второй системы.
Для этих матриц запишем
1
2
3
1
2
3
1
2
1
1 5
y
y
y
z
z
−
1
2
3
4
2
4
1
1
1
3
2
2
0
2
1
1
x
x
x
x
−
−
−
−
1
2
3
4
7 13 1
1
1 17 2
2
x
x
x
x
−
=
−
;
k
z
через
i
y
,
j
y
через
i
x
,
k
z
через
i
x
.
Умножение производится для получения коэффициентов в скобках, связываю-
щих
1
x
,
2
x
,
3
x
и
4
x
с
1
z
и
2
z
. Так, элемент в позиции 1,1 результирующей матрицы
получается умножением элементов первой строки исходной матрицы, расположен-
ной слева, на соответствующие элементы первого столбца исходной матрицы, рас-
положенной справа, и суммированием, т. е.
3 2 1 1 2 0 7
× + × + × =
Элемент 2 в позиции 2,3 получается в результате умножения элементов второй
строки исходной матрицы, расположенной слева, на элементы третьего столбца ис-
ходной матрицы, расположенной справа. Имеем
( ) ( )
1
1
1 2 5 1 2
× − + − × + × =
.
В общем случае, при умножении матриц
( )
ij
A
a
=
и
( )
ij
B
b
=
для получения
ij
C c
=
, т. е.
AB C
=
, имеем для элемента в позиции
,i j
матрицы
C
1
n
ij
ik kj
k
c
a b
=
=
∑
,
235
т. е. 1-я строка
A
и
j
-й столбец
B
умножаются на коэффициенты в соответствую-
щих позициях, указанных индексом
k
, и затем суммируются. Ясно, что умножение
имеет смысл только в том случае, если
A
– матрица размерности
m n
×
, а
B
– мат-
рица размерности
n q
×
.
Для приведенных ниже
A
и
B
матрица
C
будет следующей:
11
12
11
12
13
11
12
21
22
21
22
23
21
22
31
32
b
b
a
a
a
c
c
b
b
a
a
a
c
c
b
b
=
,
где
11
11 11
12 21
13 31
12
11 12
12 22
13 32
21
21 11
22 21
23 31
22
21 12
22 22
23 32
,
,
,
.
c
a b
a b
a b
c
a b
a b
a b
c
a b
a b
a b
c
a b
a b
a b
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
Произведения матриц удовлетворяют:
закону ассоциативности
( ) ( )
C BA
CB A
=
;
закону
дистрибутивности
относительно
сложения
(
)
C A B
CA CB
+
=
+
,
(
)
C B A CA BA
+
=
+
;
ассоциативности относительно умножения на скаляр:
( )( )
kA k B
kk AB
′
′
=
. Так, ес-
ли
k
и
k′
равны 1 или –1, имеем
( )
( )
A B
A B
AB
−
=
−
= −
,
( )( )
A
B
AB
−
−
=
.
В общем случае произведение матриц некоммутативно. Например, если
2
2 0
3 4 7
A
=
−
,
1
4
1
4
1
4
B
= −
−
, то
0
AB
=
, но
10
18
28
10
18
28
10
18
28
BA
−
=
−
−
−
.
Это означает, что
0
AB
=
при
0
A
≠
,
0
B
≠
. Также из
AB
AC
=
имеем
(
)
0
A B C
−
=
. Но отсюда нельзя заключить, что либо
0
A
=
, либо
B C
=
.
Тем не менее сложение матриц удовлетворяет всем свойствам сложения чисел.
Например, из
A B
A C
+ = +
следует, что
B C
=
.
Умножение любой матрицы на скалярную матрицу (диагональную матрицу, все
диагональные элементы которой равны) есть не что иное, как умножение матрицы
на константу. Так, например,
1
1
1
1
1
1
0
0
a
b
c
ka
kb
kc
k
a
b
c
ka
kb
kc
k
=
.
Отметим, что
AI
IA A
=
=
. Обратная матрица
A
, если она существует, представ-
ляет собой матрицу, которая обозначается
1
A
−
А "' и удовлетворяет соотношению
1
AA
I
−
=
. Имеем
( )
1
1
1
AB
B A
−
−
−
=
и
( )
T
T
T
AB
B A
=
. Две матрицы
A
и
B
называются
ортогональными, если
0
AB
=
. Матрицы
T
AA
и
T
A A
симметричны.
Примечание. Заметим, что в произведении матриц
AB C
=
ij
c
формируется при
участии
i
-го вектора-строки
A
и
j
-го вектора-столбца
B
. В общем случае произ-