ВУЗ: Омский государственный технический университет
Категория: Книга
Дисциплина: Методы оптимальных решений
Добавлен: 12.02.2019
Просмотров: 13034
Скачиваний: 110
236
ведение двух векторов
(
)
1
,
,
n
v
v
v
=
…
и
(
)
1
,
,
n
w
w
w
=
…
называется скалярным или
точечным произведением и обозначается
(
)
1 1
2
2
,
n
n
v w
v w
v w
v w
=
+
+ +
…
. Оно получа-
ется в результате умножения соответствующих компонент и сложения.
Длина вектора
(
)
1
,
,
n
v
v
v
=
…
обозначается
v
и определяется как
(
)
1/ 2
2
2
1
n
v
v
v
=
+ +
…
, что является евклидовой длиной. Из аналитической геометрии
известно, что угол
θ
между любыми двумя прямыми, направляющие которых суть
(
)
1
,
,
n
v
v
…
и
(
)
1
,
,
n
w
w
…
, удовлетворяет выражению
(
)
1 1
cos
n
n
v w
v w
v w
θ
=
+ +
…
.
Поэтому
(
)
,
cos
v w
v w
θ
=
Заметим, что два вектора
(
)
1, 3, 2
и
(
)
4, 0, 2
−
– ортого-
нальны.
С матрицей
A
порядка
n
ассоциируется число, которое называется ее опреде-
лителем (детерминантом) и обозначается
A
или
( )
det
A
. Определитель – это ал-
гебраическая сумма всех возможных произведений
n
элементов, в каждом из кото-
рых имеется один элемент из каждой строки и каждого столбца
A
. Можно располо-
жить элементы каждого члена этой суммы в порядке, соответствующем порядку
столбцов
A
. Получим
n
вариантов для элементов первого столбца, затем
1
n
−
ва-
риантов для элементов из второго столбца, два варианта для элементов предпо-
следнего столбца и один для элементов последнего столбца. Это дает
(
)
1
2
N
n n
=
− …
вариантов. (Произведение первых
n
положительных целых чисел
называется
n
-факториал и обозначается
!
n
.) Каждому варианту соответствует от-
дельное слагаемое. Следовательно, определитель порядка
n
состоит из
!
n
слагае-
мых.
В алгебраической сумме каждому слагаемому придается положительный или от-
рицательный знак в соответствии со следующим правилом. Расположим элементы
каждого слагаемого в соответствии с порядком столбцов матрицы и рассмотрим по-
следовательность индексов соответствующих строк. Эту последовательность можно
построить перестановками пар элементов в последовательности натуральных чисел
1, 2,
, n
…
. Если число перестановок четное (нечетное), знак слагаемого будет поло-
жительным (отрицательным). Следовательно, знак будет
( )
1
s
−
, где
s
– число пере-
становок. Например, слагаемое
21 32 13
a a a
в определителе матрицы
A
размерности
3 3
×
приводит к последовательности строчных индексов 2, 3, 1. Чтобы привести эту
последовательность к форме 1, 2, 3, следует провести две перестановки: переста-
вить 1 и 2, а затем переставлять 2 и 3. Две перестановки приводят к положительно-
му знаку слагаемого. Слагаемому
11 32 23
a a a
со строчными индексами 1, 3, 2 требуется
одна перестановка элементов 3 и 2 для приведения к форме 1, 2, 3. Следовательно,
слагаемое получает отрицательный знак. Применяя это правило, легко увидеть, че-
му равен определитель матрицы
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
2
1
4
3
0
5
2 0
1
1
5 1
4 3
1
4 0 1
1 3
1
1
1
1
− =
− + −
−
+
− −
−
− −
−
−
−
( )( )( )
2
5
1
24
−
−
− = −
.
Из многих известных свойств определителей отметим следующие:
AB
A B
=
;
если строка или столбец умножается на
α
, то определитель
A
умножается на
α
;
237
однако
n
A
A
α
α
=
,
T
A
A
=
; перестановка строки соответствующим столбцом не
изменяет
A
; перестановка двух строк или двух столбцов в матрице
A
изменяет
знак
A
; определитель равен нулю, если два столбца или две строки матрицы
A
идентичны или же один из них получается умножением другого на постоянную; если
столбец
A
, например первый, имеет вид
11
11
21
21
1
1
,
,
,
n
n
a
b a
b
a
b
+
+
+
…
, то
A
– сумма
двух определителей; первый столбец первого определителя будет
11
21
1
,
,
,
n
a a
a
…
, а
второго –
11
21
1
,
,
,
n
b b
b
…
, остальные столбцы остаются неизменными как у
A
. Отсюда
следует, что определитель не меняется, если добавить к любому столбцу другой
столбец, умноженный на постоянную; если
A
– треугольная матрица, то
11
22
,
,
,
nn
A
a a
a
=
…
.
Ранг матрицы
A
есть порядок наибольшего квадратного массива (подматрицы),
детерминант которого не равен нулю. Квадратная матрица – невырожденная, если
ее ранг равен ее порядку, т. е.
0
A
≠
. Если
0
A
=
, то матрица
A
будет вырожден-
ной. Например, матрица, каждая строка которой может быть получена умножением
одной строки на некоторую постоянную, не только вырожденная, но и имеет еди-
ничный ранг.
Порядок разложения (раскрытия) определителя таков: минор
ij
D
, элемента
ij
a
–
это определитель матрицы, полученной вычеркиванием
i
-й строки и
j
-го столбца.
Сомножитель
ij
A
, элемента
ij
a
будет
( )
1
i j
ij
D
+
−
.
Для разложения
( )
det
A
по
i
-й строке имеем
1
1
i
i
in
in
A
a A
a A
=
+ +
…
,
1,
,
i
n
=
…
.
Аналогично проводится разложение по столбцу.
Матрицу
( )
adj A
называют присоединенной к матрице
A
, если ее
,i j
-м элемен-
том является
ij
A
. Из приведенного выше уравнения видно, что
( )
A adj A
A I
⋅
=
⋅
.
Следовательно, матрица
A
обратима (т. е. имеет обратную матрицу) тогда и только
тогда, когда
0
A
≠
(т. е. матрица
A
– невырожденная), и в этом случае
( )
1
A
adj A
A
−
=
.
Рассмотрим линейную систему уравнений
1
n
ij
j
i
j
a x
b
=
=
∑
,
1,
,
i
n
= …
.
В матричной записи эта система имеет вид
Ax b
=
,
где
A
– матрица коэффициентов:
11
12
1
21
22
2
1
2
n
n
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
=
…
…
…
,
а
x
и
b
– векторы-столбцы:
238
1
2
n
x
x
x
x
=
,
1
2
n
b
b
b
b
=
.
Когда
0
b
≠
, т. е. некоторые из элементов
i
b
ненулевые, система называется не-
однородной; в противном случае систему называют однородной.
Если матрица
A
– невырожденная, то у нее есть обратная матрица
1
A
−
и можно
записать единственное решение неоднородной системы
1
x A b
−
=
. Правило Крамера
обеспечивает удобный способ решения неоднородной системы, эквивалентный вы-
шеприведенному способу, но оно включает использование определителей, а не об-
ращение матриц. Компонента
i
x
вектора
x
– это дробь, числитель которой – опре-
делитель матрицы, полученной из
A
заменой
i
-го столбца
A
вектор-столбцом
b
, а
знаменатель – определитель
A
. Отметим, что при решении однородной системы
числитель
i
x
всегда равен нулю и, следовательно, не существует иного решения,
кроме тривиального
(
)
0, 0,
, 0
x
=
…
, за исключением случая, когда матрица
A
– вы-
рожденная и ее определитель равен нулю. Если определитель
A
также равен ну-
лю, то нужен удобный способ получения ненулевого решения, так как правило Кра-
мера приводит к неопределенному выражению (нуль, деленный на нуль) для
i
x
.
Имеются различные пути получения решения в этом случае. Наиболее известны ме-
тоды исключения, в которых одно уравнение решается относительно неизвестного и
его значение подставляется в другие уравнения. Если переменных больше, чем
уравнений, то избыточным или независимым переменным присваиваются произ-
вольные значения для определения оставшихся (зависимых) переменных.
Условимся все векторы считать вектор-столбцами и будем применять транспони-
рование для обозначения соответствующих векторов-строк. Чтобы это не привело к
путанице, иногда будем применять символ без знака транспонирования. Система
векторов
1
,
,
n
v
v
…
будет линейно независимой, если для любых чисел
1
2
, ,
,
n
a a
a
…
из равенства
1 1
2 2
0
n n
a v
a v
a v
+
+
=
…
(где правая часть является нулевым
n
-компонентным вектором) следует, что
1
2
0
n
a
a
a
=
=
=
=
…
.
Поэтому ни один из векторов линейно независимой системы не может быть полу-
чен в результате умножения других на постоянную и сложения. В противном случае
векторы будут линейно зависимыми, т. е. приведенное выше условие выполняется
не для всех
i
a
,
1,
,
i
n
= …
, не равных нулю.
Линейная комбинация векторов
1
2
, ,
,
n
v v
v
…
– это сумма вида
1
n
i i
i
a v
=
∑
, где
i
a
–
произвольные числа. Линейная комбинация называется выпуклой комбинацией
i
v
,
1,
,
i
n
= …
, если
0
i
a
≥
и
1
1
n
i
i
a
=
=
∑
. Говорят, что множество векторов
1
2
, ,
,
n
v v
v
…
формирует базис пространства
n
-компонентных векторов (
n
-векторов), если:
они линейно независимы;
239
любой вектор является их линейной комбинацией (то же самое, что сказать, что
они дополняют пространство).
В пространстве
n
-векторов базис должен состоять
n
векторов. В частности, сис-
тема векторов
i
v
,
1,
,
i
n
= …
, элементы которой равны нулю, кроме
i
-го, равного
единице, формирует базис пространства
n
-векторов.
Отметим, например, что
(
)
1
1, 0, 0
v
=
,
(
)
2
0,1, 0
v
=
и
(
)
3
0, 0, 1
v
=
– линейно неза-
висимые, так как
(
) (
) (
) (
)
1 1
2 2
3 3
1
2
3
1
2
3
, 0, 0
0, , 0
0, 0,
, ,
a v
a v
a v
a
a
a
a a a
+
+
=
+
+
=
.
Для того чтобы этот вектор был нулевым вектором
(
)
0, 0, 0
, нужно иметь
1
0
a
=
,
2
0
a
=
,
3
0
a
=
. Векторы
( )
1
1, 0
v
=
,
( )
2
0,1
v
=
,
( )
3
1,1
v
=
– линейно зависимые, так как
требование того, чтобы
(
)
1 1
2 2
3 3
1
3
2
3
,
a v
a v
a v
a
a a
a
+
+
=
+
+
было
( )
0, 0
, даёт
1
3
0
a
a
+
=
,
2
3
0
a
a
+
=
, что выполняется при
1
3
a
a
= −
,
2
1
a
a
= −
, которые могут быть и
не нулями. Для нахождения коэффициентов в
1 1
n n
v a v
a v
=
+…
нужно решить систему
линейных уравнений. Например,
( )
( )
( )
1
2
2, 3
1, 7
4, 2
a
a
=
+
приводит к двум уравне-
ниям
1
2
2
4
a
a
= +
и
1
2
3 7
2
a
a
=
+
.
Множество всех векторов, которые являются линейными комбинациями
n
ли-
нейно независимых векторов (единичных векторов), называется
n
-симплексом
(единичным
n
-симплексом).
Так как строки и столбцы матрицы являются векторами, получается, что ранг
матрицы – это максимальное число линейно независимых строк, а это то же самое,
что и максимальное число линейно независимых столбцов. В матрице единичного
ранга любая строка (столбец) – это произвольный постоянный множитель единст-
венной строки (или столбца).
Два вектора
1
v
и
2
v
(как и две матрицы) ортогональны, если
1 2
0
v v
=
, где
1
v
за-
писан как вектор-строка, а
2
v
– как вектор-столбец. Существует стандартная проце-
дура преобразования множества
n
линейно независимых векторов в множество по-
парно ортогональных векторов. Если исходное множество формирует базис, новое
множество также формирует базис, и он называется ортогональным базисом.
Характеристическое уравнение:
собственные значения и собственные векторы
Собственный вектор (характеристический вектор) матрицы
A
– это такой нену-
левой вектор
w
, что
Aw
w
λ
=
, или
( )
1
A
λ
преобразует
w
в
w
, т. е. оставляет
w
инвариантным. Величины
λ
, соответствующие такому
w
, называются собственными
значениями (характеристическими значениями) матрицы
A
. Следовательно,
w
бу-
дет собственным вектором, если он является нетривиальным (т. е. ненулевым) ре-
шением уравнения
(
)
0
A
I w
λ
−
=
для некоторого числа
λ
. Компоненты
w
состав-
ляют множество решений однородной линейной системы с матрицей
A
I
λ
−
. Такая
система
фактически
имеет
тривиальное
решение
1
0
n
w
w
=
=
=
…
,
где
(
)
1
,
,
n
w
w
w
=
…
. Но для получения нетривиального решения матрица
A
I
λ
−
должна
быть вырожденной, т. е. ее определитель
A
I
λ
−
должен быть равен нулю. Этот оп-
ределитель представляет собой полином
n
-й степени от
λ
. Он имеет вид
240
( )
( )
1
1
1 det
n
n
n
a
A
λ
λ
−
−
+ + −
…
и называется характеристическим полиномом матрицы
A
. Условие равенства определителя нулю ведёт к уравнению
n
-й степени, которое
называется характеристическим уравнением матрицы
A
. Это уравнение согласно
теореме Гамильтона–Кэли тождественно равно нулю, если
λ
заменить на
A
, (т. е.
получая матричное уравнение). Корни
i
λ
, л,-,
1,
,
i
n
= …
, характеристического
уравнения
0
A
I
λ
−
=
являются искомыми собственными значениями. Основная
теорема алгебры утверждает существование
n
-корней для полиномиального урав-
нения степени
n
. Собственные векторы получаются в результате решения соответ-
ствующей системы уравнений
i
i i
Av
v
λ
=
. Следует обратить внимание на получение
всех собственных векторов, когда имеются кратные корни.
Отметим, что
( )
1
1
n
ii
i
a
a
tr A
=
=
=
∑
,
и корни характеристического уравнения, являясь корнями уравнения
n
-й степени,
удовлетворяют
( )
1
1
n
i
i
a
tr A
λ
=
=
=
∑
и
1
n
i
i
A
λ
=
=
∏
.
Это можно увидеть, разлагая факторизацию
(
)(
) (
)
1
2
n
λ λ λ λ
λ λ
−
−
−
…
характери-
стического полинома. Отметим, что характеристическое уравнение может иметь
кратные корни, и, следовательно, общее число различных корней может быть мень-
ше, чем
n
. Очевидно, что кратный корень
i
λ
, кратности
k
появится в факторизации
в виде
(
)
k
i
λ λ
−
. Для простого корня
1
k
=
.
Так как
λ
– постоянная, из
Aw
w
λ
=
и
A
A
λ λ
=
имеем
( )
( )
( )
2
2
A w A Aw
A w
Aw
w
w
λ
λ
λ λ
λ
=
=
=
=
=
.
Следовательно,
2
λ
– собственное значение
2
A
и аналогично
k
λ
– собственное зна-
чение
k
A
, т. е.
1
k
k
k
n
trA
λ
λ
=
+ +
…
.
Пример. Рассмотрим матрицу
1 2
3 4
A
=
,
1 0
0 1
I
=
,
0
0
I
λ
λ
λ
=
,
1
2
3
4
A
I
λ
λ
λ
−
−
=
−
,
(
)(
)
2
1
4
6
5
2 0
A
I
λ
λ
λ
λ
λ
−
= −
−
− =
−
− =
.
Так как в данном случае характеристическое уравнение квадратное, решим его,
используя хорошо известную квадратичную формулу для нахождения корней такого
уравнения. Для собственных значений имеем
1
5
33
2
λ
+
=
,
2
5
33
2
λ
−
=
,
и чтобы получить собственный вектор, соответствующий
1
λ
, запишем
1
Aw
w
λ
=
,
т.е.