Файл: Саати Принятие решений Метод анализа иерархий.pdf

Добавлен: 12.02.2019

Просмотров: 13034

Скачиваний: 110

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
background image

236 

ведение  двух  векторов 

(

)

1

,

,

n

v

v

v

=

  и 

(

)

1

,

,

n

w

w

w

=

  называется  скалярным  или 

точечным  произведением  и  обозначается 

(

)

1 1

2

2

,

n

n

v w

v w

v w

v w

=

+

+ +

.  Оно  получа-

ется в результате умножения соответствующих компонент и сложения. 

Длина  вектора 

(

)

1

,

,

n

v

v

v

=

  обозначается 

v

  и  определяется  как 

(

)

1/ 2

2

2

1

n

v

v

v

=

+ +

, что является евклидовой длиной. Из аналитической геометрии 

известно,  что  угол 

θ

  между  любыми  двумя  прямыми,  направляющие  которых  суть 

(

)

1

,

,

n

v

v

  и 

(

)

1

,

,

n

w

w

,  удовлетворяет  выражению 

(

)

1 1

cos

n

n

v w

v w

v w

θ

=

+ +

Поэтому 

(

)

,

cos

v w

v w

θ

=

  Заметим,  что  два  вектора 

(

)

1, 3, 2

  и 

(

)

4, 0, 2

 – ортого-

нальны. 

С матрицей 

A

 порядка 

n

 ассоциируется число, которое называется ее опреде-

лителем  (детерминантом)  и  обозначается 

A

  или 

( )

det

A

.  Определитель – это  ал-

гебраическая сумма всех возможных произведений 

n

 элементов, в каждом из кото-

рых имеется один элемент из каждой строки и каждого столбца 

A

. Можно располо-

жить  элементы  каждого  члена  этой  суммы  в  порядке,  соответствующем  порядку 
столбцов 

A

. Получим 

n

 вариантов для элементов первого столбца, затем 

1

n

 ва-

риантов  для  элементов  из  второго  столбца,  два  варианта  для  элементов  предпо-
следнего  столбца  и  один  для  элементов  последнего  столбца.  Это  дает 

(

)

1

2

N

n n

=

− …

  вариантов. (Произведение  первых 

n

  положительных  целых  чисел 

называется 

n

-факториал  и  обозначается 

!

n

.)  Каждому  варианту  соответствует  от-

дельное слагаемое. Следовательно, определитель порядка 

n

 состоит из 

!

n

 слагае-

мых. 

В алгебраической сумме каждому слагаемому придается положительный или от-

рицательный  знак  в  соответствии  со  следующим  правилом.  Расположим  элементы 

каждого слагаемого в соответствии с порядком столбцов матрицы и рассмотрим по-
следовательность  индексов  соответствующих  строк.  Эту  последовательность  можно 
построить перестановками пар элементов в последовательности натуральных чисел 

1, 2,

n

. Если число перестановок четное (нечетное), знак слагаемого будет поло-

жительным (отрицательным). Следовательно, знак будет 

( )

1

s

, где 

s

 – число пере-

становок.  Например,  слагаемое 

21 32 13

a a a

  в  определителе  матрицы 

A

  размерности 

3 3

×

 приводит к последовательности строчных индексов 2, 3, 1. Чтобы привести эту 

последовательность  к  форме 1, 2, 3, следует  провести  две  перестановки:  переста-

вить 1 и 2, а затем переставлять 2 и 3. Две перестановки приводят к положительно-
му знаку слагаемого. Слагаемому 

11 32 23

a a a

 со строчными индексами 1, 3, 2 требуется 

одна перестановка элементов 3 и 2 для приведения к форме 1, 2, 3. Следовательно, 
слагаемое получает отрицательный знак. Применяя это правило, легко увидеть, че-
му равен определитель матрицы 

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )

2

1

4

3

0

5

2 0

1

1

5 1

4 3

1

4 0 1

1 3

1

1

1

1

− =

− + −

+

− −

− −

 

( )( )( )

2

5

1

24

− = −

Из  многих  известных  свойств  определителей  отметим  следующие: 

AB

A B

=

если строка или столбец  умножается на 

α

, то определитель 

A

 умножается на 

α


background image

237 

однако 

n

A

A

α

α

=

T

A

A

=

;  перестановка  строки  соответствующим  столбцом  не 

изменяет 

A

;  перестановка  двух  строк  или  двух  столбцов  в  матрице 

A

  изменяет 

знак

A

;  определитель  равен  нулю,  если  два  столбца  или  две  строки  матрицы 

A

 

идентичны или же один из них получается умножением другого на постоянную; если 
столбец 

A

, например первый, имеет вид 

11

11

21

21

1

1

,

,

,

n

n

a

b a

b

a

b

+

+

+

, то 

A

 – сумма 

двух  определителей;  первый  столбец  первого  определителя  будет 

11

21

1

,

,

,

n

a a

a

,  а 

второго – 

11

21

1

,

,

,

n

b b

b

, остальные столбцы остаются неизменными как у 

A

. Отсюда 

следует,  что  определитель  не  меняется,  если  добавить  к  любому  столбцу  другой 
столбец,  умноженный  на  постоянную;  если 

A

 – треугольная  матрица,  то 

11

22

,

,

,

nn

A

a a

a

=

Ранг матрицы 

A

 есть порядок наибольшего квадратного массива (подматрицы), 

детерминант  которого  не  равен  нулю.  Квадратная  матрица – невырожденная,  если 
ее ранг равен ее порядку, т. е. 

0

A

. Если 

0

A

=

, то матрица 

A

 будет вырожден-

ной. Например, матрица, каждая строка которой может быть получена умножением 
одной  строки  на  некоторую  постоянную,  не  только  вырожденная,  но  и  имеет  еди-

ничный ранг. 

Порядок разложения (раскрытия) определителя таков: минор 

ij

D

, элемента 

ij

a

 – 

это определитель матрицы, полученной вычеркиванием 

i

-й строки и 

j

-го столбца. 

Сомножитель 

ij

A

, элемента 

ij

a

 будет 

( )

1

i j

ij

D

+

Для разложения 

( )

det

A

 по 

i

-й строке имеем 

1

1

i

i

in

in

A

a A

a A

=

+ +

1,

,

i

n

=

Аналогично проводится разложение по столбцу. 
Матрицу 

( )

adj A

 называют присоединенной к матрице 

A

, если ее 

,i j

-м элемен-

том  является 

ij

A

.  Из  приведенного  выше  уравнения  видно,  что 

( )

A adj A

A I

=

Следовательно, матрица 

A

 обратима (т. е. имеет обратную матрицу) тогда и только 

тогда,  когда 

0

A

  (т. е.  матрица 

A

 – невырожденная),  и  в  этом  случае 

( )

1

A

adj A

A

=

Рассмотрим линейную систему уравнений 

1

n

ij

j

i

j

a x

b

=

=

1,

,

i

n

= …

В матричной записи эта система имеет вид 

Ax b

=

где 

A

 – матрица коэффициентов: 

11

12

1

21

22

2

1

2

n

n

n

n

nn

a

a

a

a

a

a

A

a

a

a

=


а 

x

 и 

b

 – векторы-столбцы: 


background image

238 

1

2

n

x
x

x

x

 

 

 

=

 

 

 

1

2

n

b
b

b

b

 

 

 

=

 

 

 

Когда 

0

b

, т. е. некоторые из элементов 

i

b

 ненулевые, система называется не-

однородной; в противном случае систему называют однородной

Если матрица 

A

 – невырожденная, то у нее есть обратная матрица 

1

A

 и можно 

записать  единственное  решение  неоднородной  системы 

1

x A b

=

.  Правило  Крамера 

обеспечивает  удобный  способ  решения  неоднородной  системы,  эквивалентный  вы-
шеприведенному способу, но оно включает использование определителей, а не об-
ращение матриц. Компонента 

i

x

 вектора 

x

 – это дробь, числитель которой – опре-

делитель матрицы, полученной из 

A

 заменой 

i

-го столбца 

A

 вектор-столбцом 

b

, а 

знаменатель – определитель 

A

.  Отметим,  что  при  решении  однородной  системы 

числитель 

i

x

  всегда  равен  нулю  и,  следовательно,  не  существует  иного  решения, 

кроме тривиального 

(

)

0, 0,

, 0

x

=

, за исключением случая, когда матрица 

A

 – вы-

рожденная и ее определитель равен нулю. Если определитель 

A

 также равен ну-

лю, то нужен удобный способ получения ненулевого решения, так как правило Кра-
мера  приводит  к  неопределенному  выражению  (нуль,  деленный  на  нуль)  для 

i

x

Имеются различные пути получения решения в этом случае. Наиболее известны ме-

тоды исключения, в которых одно уравнение решается относительно неизвестного и 
его  значение  подставляется  в  другие  уравнения.  Если  переменных  больше,  чем 
уравнений,  то  избыточным  или  независимым  переменным  присваиваются  произ-
вольные значения для определения оставшихся (зависимых) переменных. 

Условимся все векторы считать вектор-столбцами и будем применять транспони-

рование для обозначения соответствующих векторов-строк. Чтобы это не привело к 
путанице,  иногда  будем  применять  символ  без  знака  транспонирования.  Система 
векторов 

1

,

,

n

v

v

  будет  линейно  независимой,  если  для  любых  чисел 

1

2

, ,

,

n

a a

a

 

из равенства 

1 1

2 2

0

n n

a v

a v

a v

+

+

=

 

(где  правая  часть  является  нулевым 

n

-компонентным  вектором)  следует,  что 

1

2

0

n

a

a

a

=

=

=

=

Поэтому ни один из векторов линейно независимой системы не может быть полу-

чен в результате умножения других на постоянную и сложения. В противном случае 

векторы  будут  линейно  зависимыми,  т. е.  приведенное  выше  условие  выполняется 
не для всех 

i

a

1,

,

i

n

= …

, не равных нулю. 

Линейная  комбинация  векторов 

1

2

, ,

,

n

v v

v

 – это  сумма  вида 

1

n

i i

i

a v

=

,  где 

i

a

 – 

произвольные  числа.  Линейная  комбинация  называется  выпуклой  комбинацией 

i

v

1,

,

i

n

= …

,  если 

0

i

a

  и 

1

1

n

i

i

a

=

=

.  Говорят,  что  множество  векторов 

1

2

, ,

,

n

v v

v

 

формирует базис пространства 

n

-компонентных векторов (

n

-векторов), если: 

они линейно независимы; 


background image

239 

любой вектор является их линейной комбинацией (то же самое, что сказать, что 

они дополняют пространство). 

В пространстве 

n

-векторов базис должен состоять 

n

 векторов. В частности, сис-

тема  векторов 

i

v

1,

,

i

n

= …

,  элементы  которой  равны  нулю,  кроме 

i

-го,  равного 

единице, формирует базис пространства 

n

-векторов. 

Отметим, например, что 

(

)

1

1, 0, 0

v

=

(

)

2

0,1, 0

v

=

 и 

(

)

3

0, 0, 1

v

=

 – линейно неза-

висимые, так как 

(

) (

) (

) (

)

1 1

2 2

3 3

1

2

3

1

2

3

, 0, 0

0, , 0

0, 0,

, ,

a v

a v

a v

a

a

a

a a a

+

+

=

+

+

=

Для того чтобы этот вектор был нулевым вектором 

(

)

0, 0, 0

, нужно иметь 

1

0

a

=

2

0

a

=

3

0

a

=

. Векторы 

( )

1

1, 0

v

=

( )

2

0,1

v

=

( )

3

1,1

v

=

 – линейно зависимые, так как 

требование  того,  чтобы 

(

)

1 1

2 2

3 3

1

3

2

3

,

a v

a v

a v

a

a a

a

+

+

=

+

+

  было 

( )

0, 0

,  даёт 

1

3

0

a

a

+

=

2

3

0

a

a

+

=

, что выполняется при 

1

3

a

a

= −

2

1

a

a

= −

, которые могут быть и 

не нулями. Для нахождения коэффициентов в 

1 1

n n

v a v

a v

=

+…

 нужно решить систему 

линейных  уравнений.  Например, 

( )

( )

( )

1

2

2, 3

1, 7

4, 2

a

a

=

+

  приводит  к  двум  уравне-

ниям 

1

2

2

4

a

a

= +

 и 

1

2

3 7

2

a

a

=

+

Множество  всех  векторов,  которые  являются  линейными  комбинациями 

n

  ли-

нейно  независимых  векторов  (единичных  векторов),  называется 

n

-симплексом 

(единичным 

n

-симплексом). 

Так  как  строки  и  столбцы  матрицы  являются  векторами,  получается,  что  ранг 

матрицы – это максимальное число линейно независимых строк, а это то же самое, 

что  и  максимальное  число  линейно  независимых  столбцов.  В  матрице  единичного 
ранга  любая  строка  (столбец) – это  произвольный  постоянный  множитель  единст-
венной строки (или столбца). 

Два вектора 

1

v

 и 

2

v

 (как и две матрицы) ортогональны, если 

1 2

0

v v

=

, где 

1

v

 за-

писан как вектор-строка, а 

2

v

 – как вектор-столбец. Существует стандартная проце-

дура преобразования множества 

n

 линейно независимых векторов в множество по-

парно  ортогональных  векторов.  Если  исходное  множество  формирует  базис,  новое 

множество также формирует базис, и он называется ортогональным базисом. 

 

Характеристическое уравнение: 

собственные значения и собственные векторы 

 
Собственный вектор (характеристический вектор) матрицы 

A

 – это такой нену-

левой вектор 

w

, что 

Aw

w

λ

=

, или 

( )

1

A

λ

 преобразует 

w

 в 

w

, т. е. оставляет 

w

 

инвариантным. Величины 

λ

, соответствующие такому 

w

, называются собственными 

значениями (характеристическими значениями)  матрицы 

A

. Следовательно, 

w

 бу-

дет  собственным  вектором,  если  он  является  нетривиальным  (т. е.  ненулевым)  ре-
шением  уравнения 

(

)

0

A

I w

λ

=

  для  некоторого  числа 

λ

.  Компоненты 

w

  состав-

ляют  множество  решений  однородной  линейной  системы  с  матрицей 

A

I

λ

.  Такая 

система 

фактически 

имеет 

тривиальное 

решение 

1

0

n

w

w

=

=

=

где 

(

)

1

,

,

n

w

w

w

=

. Но для получения нетривиального решения матрица 

A

I

λ

 должна 

быть вырожденной, т. е. ее определитель 

A

I

λ

 должен быть равен нулю. Этот оп-

ределитель  представляет  собой  полином 

n

-й  степени  от 

λ

.  Он  имеет  вид 


background image

240 

( )

( )

1

1

1 det

n

n

n

a

A

λ

λ

+ + −

  и  называется  характеристическим  полиномом  матрицы 

A

. Условие равенства определителя нулю ведёт к уравнению 

n

-й степени, которое 

называется  характеристическим  уравнением  матрицы 

A

.  Это  уравнение  согласно 

теореме Гамильтона–Кэли тождественно равно нулю, если 

λ

 заменить на 

A

, (т. е. 

получая  матричное  уравнение).  Корни 

i

λ

,  л,-, 

1,

,

i

n

= …

,  характеристического 

уравнения 

0

A

I

λ

=

  являются  искомыми  собственными  значениями.  Основная 

теорема  алгебры  утверждает  существование 

n

-корней  для  полиномиального  урав-

нения степени 

n

. Собственные векторы получаются в результате решения соответ-

ствующей  системы  уравнений 

i

i i

Av

v

λ

=

.  Следует  обратить  внимание  на  получение 

всех собственных векторов, когда имеются кратные корни. 

Отметим, что 

( )

1

1

n

ii

i

a

a

tr A

=

=

=

и  корни  характеристического  уравнения,  являясь  корнями  уравнения 

n

-й  степени, 

удовлетворяют 

( )

1

1

n

i

i

a

tr A

λ

=

=

=

 

и 

1

n

i

i

A

λ

=

=

Это можно увидеть, разлагая факторизацию 

(

)(

) (

)

1

2

n

λ λ λ λ

λ λ

 характери-

стического  полинома.  Отметим,  что  характеристическое  уравнение  может  иметь 
кратные корни, и, следовательно, общее число различных корней может быть мень-
ше, чем 

n

. Очевидно, что кратный корень 

i

λ

, кратности 

k

 появится в факторизации 

в виде 

(

)

k

i

λ λ

. Для простого корня 

1

k

=

Так как 

λ

 – постоянная, из 

Aw

w

λ

=

 и 

A

A

λ λ

=

 имеем 

( )

( )

( )

2

2

A w A Aw

A w

Aw

w

w

λ

λ

λ λ

λ

=

=

=

=

=

Следовательно, 

2

λ

 – собственное значение 

2

A

 и аналогично 

k

λ

 – собственное зна-

чение 

k

A

, т. е. 

1

k

k

k

n

trA

λ

λ

=

+ +

.  

Пример. Рассмотрим матрицу 

1 2
3 4

A

= 

1 0
0 1

I

= 

0

0

I

λ

λ

λ

= 

1

2

3

4

A

I

λ

λ

λ

= 

(

)(

)

2

1

4

6

5

2 0

A

I

λ

λ

λ

λ

λ

= −

− =

− =

Так как в данном случае характеристическое уравнение квадратное, решим его, 

используя хорошо известную квадратичную формулу для нахождения корней такого 
уравнения. Для собственных значений имеем 

1

5

33

2

λ

+

=

2

5

33

2

λ

=

и чтобы получить собственный вектор, соответствующий 

1

λ

, запишем 

1

Aw

w

λ

=

т.е.