ВУЗ: Омский государственный технический университет
Категория: Книга
Дисциплина: Методы оптимальных решений
Добавлен: 12.02.2019
Просмотров: 13029
Скачиваний: 110
26
1.5. ИНТУИТИВНОЕ ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА
Допустим, что n видов действия или объектов рассматриваются группой экспер-
тов. Предположим, что цели группы следующие: 1) высказать суждения об относи-
тельной важности этих объектов; 2) гарантировать такой процесс получения сужде-
ний, который позволит количественно интерпретировать суждения по всем объек-
там.
Очевидно, что для достижения второй цели потребуется разработка соответст-
вующего метода.
Нашей целью является описание метода получения из количественных суждений
группы (т. е. из относительных величин, ассоциируемых с парами объектов) множе-
ства весов, ассоциируемых с отдельными объектами; в том смысле, который опреде-
лен ниже, эти веса должны отражать количественные суждения группы. Благодаря
такому подходу полученную из (1) и (2) информацию приводим в удобную форму
без информационных потерь, свойственных качественным суждениям.
Пусть
1
2
,
,
,
n
C C
C
…
– совокупность объектов (возможных действий). Количест-
венные суждения о парах объектов
(
)
,
i
j
C C
представляются матрицей размера
×
n n
( )
ij
A
a
=
,
(
)
,
1, 2,
,
i j
n
=
…
.
Элементы
ij
a
определены по следующим правилам:
Правило 1. Если
ij
a
α
=
, то
1/
ji
a
α
=
,
0
α
≠
.
Правило 2. Если суждения таковы, что
i
C
имеет одинаковую с
j
C
относительную
важность, то
1
ij
a
=
,
1
ji
a
=
; в частности,
1
ii
a
=
для всех i. Итак, матрица А имеет
вид
12
1
12
2
1
2
1
1/
1
1/
1/
1
n
n
n
n
a
a
a
a
A
a
a
=
…
…
…
…
… …
…
После представления количественных суждений о парах
(
)
,
i
j
C C
в числовом вы-
ражении через
ij
a
, задача сводится к тому, чтобы n возможным действиям
1
2
,
,
,
n
C C
C
…
поставить в соответствие множество числовых весов
1
2
,
,
,
n
ω ω
ω
…
, ко-
торые соответствовали бы зафиксированным суждениям.
Для этого, во-первых, необходимо нечетко сформулированной задаче придать
строгую математическую форму. Этот существенный (хотя и безобидный с виду) шаг
является наиболее важным в любой задаче, в которой требуется представить жиз-
ненную ситуацию в терминах абстрактной математической структуры. Особенно ва-
жен он в рассматриваемой задаче, поскольку в ней процесс математической форму-
лировки включает в себя ряд не явно видимых переходов. Поэтому в данной задаче
желательно четко определить основные этапы процесса ее формулирования и как
можно подробнее описать каждый этап, чтобы потенциальный пользователь мог со-
ставить собственное мнение о значимости и ценности этого метода для решения его
конкретной задачи.
Основным является вопрос, связанный со смыслом нечетко сформулированного
условия в изложении нашей цели: «...эти веса должны отражать количественные
суждения группы». Это вызывает необходимость описания в точных, математиче-
ских терминах, каким образом зависят веса
ω
i
от суждений
ij
a
. Другими словами,
27
задача определения условий, которые накладываются на искомые веса, решается
относительно полученных суждений. Необходимое описание проводится в три этапа,
начиная от простейшего частного случая и кончая общим.
Этап 1. Предположим, что «суждения» – просто результат точных физических
измерений. Пусть экспертам даны несколько камешков
1
2
,
,
,
n
C C
C
…
и точные весы.
Чтобы сравнить
1
C
и
2
C
, на весы кладут
1
C
и считывают показания, скажем,
1
305
ω
=
г. Затем взвешивают
2
C
и получают
2
305
ω
=
г. Деление
1
ω
на
2
ω
дает
1,25. После этого эксперты высказывают суждение:
«
1
C
в 1,25 раза тяжелее
2
C
» и записывают это в виде
12
1,25
=
a
. Таким образом,
в идеальном случае точного измерения отношения между весами
ω
i
и суждениями
ij
a
выражаются в виде
ω
ω
=
i
ij
j
a
(для
,
1, 2,
,
=
…
i j
n
) (1.1)
и
1
1
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
/
/
/
/
/
/
/
/
/
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω ω ω
ω ω
ω ω ω ω
ω ω
=
…
…
…
…
…
…
…
n
n
n
n
n
n
A
.
Тем не менее нереальным было бы требование выполнения этих условий в об-
щем случае. В большинстве практических случаев это сделало бы задачу нахожде-
ния
ω
i
(при заданных
ij
a
) неразрешимой. Во-первых, даже физические изменения
никогда не бывают точными в математическом смысле, и, следовательно, отклоне-
ния должны быть приняты во внимание; во-вторых, эти отклонения достаточно ве-
лики из-за ошибок в человеческих суждениях.
Этап 2. Чтобы понять, как установить допуски на отклонения, рассмотрим i-ю
строку матрицы А. Элементами этой строки являются
1
2
,
,
,
,
,
…
…
i
i
ij
in
a a
a
a
В идеальном (точном) случае эти величины не что иное, как отношения
1
2
,
,
,
,
,
ω ω
ω
ω
ω ω
ω
ω
…
…
i
i
i
i
j
n
Следовательно, в идеальном случае при умножении первого элемента этой стро-
ки на
1
ω
, второго – на
2
ω
и т. д. получим
1
2
1
2
,
,
,
,
,
ω
ω
ω
ω
ω ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
=
=
=
…
…
i
i
i
i
i
i
j
i
n
i
j
n
.
В итоге имеем строку идентичных элементов
, ,
,
ω ω
ω
…
i
i
i
, тогда как в общем слу-
чае мы получили бы строку элементов, представляющих статистическое рассеива-
ние значений вокруг
ω
i
. Поэтому, видимо, имело бы смысл требование равенства
ω
i
среднему этих значений. Следовательно, вместо выражения (1.1) в идеальном слу-
чае
(
)
,
1, 2,
,
ω
ω
=
=
…
i
ij
j
a
i j
n
более реалистичные выражения для общего случая принимают вид (для каждого
фиксированного i)
ω
i
= среднее из (
1 1
2
2
,
,
,
ω
ω
ω
…
i
i
in
n
a
a
a
).
28
Иначе это можно записать в виде
(
)
1
1
,
1, 2,
,
ω
ω
=
=
=
∑
…
n
i
ij
j
j
a
i j
n
n
. (1.2)
Несмотря на то, что условия для выражения (1.2) являются менее строгими, чем
для выражения (1.1) все ещё остается вопрос: достаточны ли эти условия для суще-
ствования решения; т. е. гарантируется ли решаемость задачи по определению
единственных весов
ω
i
, при заданных
ij
a
?
Этап 3. Чтобы найти ответ на заданный выше существенно математический во-
прос, необходимо записать (1.2) в ещё одном, более знакомом виде. Для этого не-
обходимо подытожить цепь рассуждений по данному вопросу. При поиске условий,
описывающих зависимость вектора весов
ω
от количественных суждений, мы вна-
чале рассмотрели идеальный (точный) случай этапа 1 и получили выражение (1.1).
Затем, ясно понимая, что в реальном случае потребуется допускать отклонения, мы
предусмотрели такие допущения на этапе 2 и пришли к формулировке (1.2). Оказа-
лось, что все это еще недостаточно реалистично, т. е. то, что выражение (1.2),
имеющее силу в идеальном случае, все еще слишком строго для гарантирования
существования такого вектора весов
ω
, который удовлетворял бы (1.2). Отметим,
что при хороших оценках
ij
a
приближается к
ω ω
i
j
и, следовательно, является ма-
лым возмущением этого отношения. Теперь выходит, что поскольку
ij
a
изменяется,
соответствующее решение (1.2) получим (т. е.
ω
i
и
ω
j
могут изменяться, чтобы
приспособиться к отклонению
ij
a
от идеального случая), если изменится
n
. Обозна-
чим это значение
n
через
max
λ
. Следовательно, задача
(
)
1
max
1
,
1, 2,
,
ω
ω
λ
=
=
=
∑
…
n
i
ij
j
j
a
i j
n
. (1.3)
имеет решение, которое также должно быть единственным. Это – хорошо известная
задача о собственном значении, которой мы займемся в дальнейшем.
В общем случае отклонения в
ij
a
могут вызывать большие отклонения как в
max
λ
,
так и в
ω
i
,
1,
,
= …
i
n
. Однако в случае обратно-симметричных матриц, удовлетво-
ряющих правилам 1 и 2, этого не наблюдается, т. е. имеется устойчивое решение.
Напомним, что мы представили интуитивное обоснование нашего подхода. Суще-
ствует элегантный способ его математического формулирования, который детально
описан в последующих главах. Излагая его в матричных обозначениях, начнем с то-
го, что назовем идеальным случаем
ω
ω
=
A
n
, где A – согласованная матрица, и рас-
смотрим обратно-симметричную матрицу A' (являющуюся возмущением матрицы A),
выявленную из суждений о парных сравнениях, а также решим задачу
max
' '
'
ω
λ ω
=
A
, где
max
λ
– наибольшее собственное значение А'.
Иногда интерес представляет превосходство, обратное относительно данной ха-
рактеристики. Назовем его рецессивностью одного вида действия при сравнении с
другим относительно этой характеристики. В этом случае решается задача нахожде-
ния левого собственного вектора
υ
в
max
υ
λ υ
=
A
. Компоненты
υ
и
ω
в общем слу-
чае являются взаимообратными величинами только тогда, когда A согласованна. Ко-
гда нет согласованности, они взаимообратны для
2
=
n
и
3
=
n
. В общем, ожидать,
что между ними будет существовать определенная взаимозависимость, не следует.
Фактически эти два вектора соответствуют двум сторонам лика Януса — светлой и
темной.
29
1.6. ПРИМЕР ИЕРАРХИЧЕСКОЙ КОМПОЗИЦИИ
ПРИОРИТЕТОВ
Задача о выборе школы
Был проведен анализ трех школ A, B и C на предмет их желательности с точки
зрения сына автора книги. Для сравнения были выбраны шесть независимых харак-
теристик: учеба, друзья, школьная жизнь, профессиональное обучение, подготовка
к колледжу и обучение музыке (см. рис. 1.4). Полученные матрицы попарных срав-
нений показаны в табл. 1.2 и 1.3.
Рис. 1.4. Иерархия удовлетворения школой
Вектор приоритетов первой матрицы получается равным (0,32; 0,14; 0,03; 0,13;
0,24; 0,14), и соответствующее ему собственное значение
max
7,49
λ
=
, что достаточ-
но далеко от значения в случае согласованности, равного 6; ИС=0,30 и
ОС=0,30/1,24=0,24, что также достаточно велико.
Чтобы получить общее ранжирование школ, умножим матрицу табл. 1.4 справа
на транспонированный вектор-строку весов характеристик. Это то же самое, что
взвесить каждый из полученных выше шести собственных векторов приоритетом со-
ответствующей характеристики и затем сложить (что допустимо при независимости
характеристик). В результате имеем
А=0,37; В=0,38; С=0,25.
Сын поступил в школу A, так как она получила почти такую же оценку, что и
школа B и была бесплатной, а школа B была частной, за обучение в ней нужно было
платить около 1600 долл. в год. Это было проблемой конфликта между сыном и же-
ной автора; первый отдал предпочтение школе B, а вторая – школе A, однако они
не принимали во внимание вопрос денег. Хотя ОС для второго уровня было боль-
шим, они были склонны принять решение, несмотря на протесты автора, вызванные
большой несогласованностью их суждений.
Объяснение рис. 1.4. Критерии на рисунке обозначены через У, Д, Ш, П, К и М.
Если веса критериев и веса школ относительно каждого критерия таковы, как обо-
значено вдоль каждого отрезка на рисунке, то
Общая оценка школы
У
Д
Ш
П
К
М
A = a У+a Д+a Ш+a П+a К+a М
.
Общая оценка школы
У
Д
Ш
П
К
М
B = b У+b Д+b Ш+b П+b К+b М
.
Удовлетворение школой
У
Д
Ш
П
К
М
Школьная
жизнь
Обучение
музыке
Друзья
Учёба
Проф.
обучение
Подготовка
к колледжу
А
B
C
Ш
b
Д
b
У
b
П
b
К
b
М
b
Ш
a
Д
a
У
a
П
a
К
a
М
a
Ш
c
Д
c
У
c
П
c
К
c
М
c
30
max
3,00
0
0
λ
=
=
=
ИС
ОС
max
3,00
0
0
λ
=
=
=
ИС
ОС
max
3,00
0
0
λ
=
=
=
ИС
ОС
max
3,05
0,025
0,04
λ
=
=
=
ИС
ОС
Таблица 1.2. Сравнение характеристик относительно
общего удовлетворения школой
Учёба
Друзья
Школьная
жизнь
Проф.
обучение
Подготовка
к колледжу
Обучение
музыке
Учёба
1 4 3 1 3 4
Друзья
1/4 1 7 3 1/5 1
Школьная жизнь
1/3 1/7 1 1/5 1/5 1/6
Проф. обучение
1 1/3 5 1 1 1/3
Подготовка к колледжу
1/3 5 5 1 1 3
Обучение музыке
1/4 1 6 3 1/3 1
max
7,49
λ
=
;
0,30
=
ИС
;
0,24
=
ОС
Таблица 1.3. Сравнение школ относительно шести характеристик
Учёба A B C
A 1 1/3 1/2
B 3 1 3
C 2 1/3 1
max
3,05
0,025
0,04
λ
=
=
=
ИС
ОС
Проф.
обучение A B C
A 1 9 7
B 1/9 1 1/5
C 1/7 5 1
max
3,21
0,105
0,18
λ
=
=
=
ИС
ОС
Таблица 1.4.
Учёба
Друзья
Школьная
жизнь
Проф.
обучение
Подготовка
к колледжу
Обучение
музыке
0,16 0,33 0,45 0,77 0,25 0,69
0,59 0,33 0,09 0,05 0,50 0,09
0,25 0,33 0,46 0,17 0,25 0,22
Друзья A B C
A 1 1 1
B 1 1 1
C 1 1 1
Школьная жизнь A B C
A 1 5 1
B 1/5 1 1/5
C 1 5 1
Подготовка
к колледжу A B C
A 1 1/2 1
B 2 1 2
C 1 1/2 1
Обучение
музыке A
B
C
A 1 6 4
B 1/6 1 1/3
C 1/4 3 1