Файл: Материалы для подготовки электромонтеров по ремонту и обслуживанию оборудования.pdf

56
Комплексные числа. Комплексная плоскость.
Причины их введения в электротехнику
Рассмотрение этих вопросов начнем с того, что во многих случаях с целью облегчения проводимых математических операций числа и функции заменяют их óбразами. Например, очень просто возвести какое – либо число в квадрат: для этого нужно умножить число на него самого. Несколько сложнее извлечь из числа квадратный корень. А если нужно возвести число в степень 2,47? Или извлечь из числа корень 11,3 степени? Здесь простыми арифметическими действиями никак не обойтись. Для выполнения таких действий приходится привлекать логарифмическое исчисление, где логарифм
– образ числа. Действие над числом заменяется действием над его
образом. У одного и того же числа может быть много самых различных
образов. Логарифмический образ числа позволяет очень легко выполнять операции возведения числа в любую степень и извлечения из числа любого корня. Указанные операции над числами заменяются операциями умножения и деления над логарифмическими образами чисел. Получается образ
искомого числа. Далее осуществляют переход от образа искомого числа к
самому искомому числу.
Известно также, что процессы в цепях переменного тока описываются интегро – дифференциальными уравнениями, например, для цепи с последовательным соединением R – L – C – элементов можно составить уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений:
R × i + ωL × di/dt + (1/ωC) × ∫ i dt = е, где: i – мгновенное значение тока; е – мгновенное значение напряжения (ЭДС) на зажимах цепи.
В этом уравнении неизвестной (искомой) является уже не какая – нибудь
численная величина, а функция – функция времени i = f(t) и участвует она в этом уравнении в виде самой функции i(t), скорости ее изменения – производной di/dt и ее первообразной (интеграла) ∫idt. Решение уравнения

57
(нахождение искомой функции) представляет немалые трудности. И здесь для упрощения работы с уравнениями также применяют математический прием – замену функции времени на функцию другого аргумента –
комплексного переменного. Функция времени i = f (t) заменяется другой функцией – образом искомой функции. Простыми (уже алгебраическими) средствами находится этот образ искомой функции, затем осуществляется переход от функции комплексного переменного (образа искомой функции) к оригиналу – функции времени. Введение в электротехнику в 20 – х годах ХХ века данного метода (метода алгебраизации интегро – дифференциальных уравнений), называемого символическим методом (или комплексным
методом), во многом обязано академику Миткевичу В.Ф. Символический метод позволяет заменить операции дифференцирования и интегрирования функции тока i = f(t) алгебраическими операциями над действующими значениями токов и напряжений, представленными в виде функций комплексного переменного:
R × İ + jωL × İ + (1/jωC) × İ = Ė.
Операция дифференцирования функции комплексного переменного сводится к умножению функции на множитель j = е j90˚
, а операция интегрирования – к делению на множитель j = е j90˚
, что фактически означает поворот вектора на 90˚ в сторону опережения при умножении на j и в сторону отставания при делении на множитель j.
Переход от функции к ее изображению в виде функции комплексного переменного и обратно осуществляется очень просто: если i (t) = I
m
× sin [(ω × t) + φ], то İ = (I
m
/
2
) × e jφ
А.
Здесь: I
m
– амплитудное значение тока;
(I
m
/
2
) – действующее значение тока;
İ – комплекс действующего значения тока.
Обратите внимание, функция времени заменяется фактически числом
(комплексным).
Эта замена и позволяет вместо интегро
– дифференциального уравнения решать уравнение алгебраическое.

58
Из школьного курса математики известны три формы представления комплексных чисел: алгебраическая, показательная и тригонометрическая.
С = а + j × b; С = с × e jφ
; С = с × sin φ + j × с × cos φ.
Здесь: а – вещественная часть мнимого числа; j × b – мнимая часть комплексного числа; j =
1

– мнимая единица; с =
2 2
b
а

– модуль комплексного числа; e
jφ
– поворотный множитель;
φ – фазовый угол – начальный угол вектора относительно положительного направления вещественной оси (отсчитывается против часовой стрелки).
Соотношения между коэффициентами различных форм комплексного числа: а = с × sin φ; b = с × cos φ; φ = arctg (b / a).
Комплексные числа очень наглядно можно изображать на комплексной плоскости (рисунок 1.35).
Рисунок 1.35 – Вектор напряжения U на комплексной плоскости
По горизонтали на комплексной плоскости расположена вещественная ось +, по вертикали - мнимая ось + j. На комплексной плоскости изображен
+
+ j
10
20
30
40
10
20
0
U
30º

59 вектор U = U × e j30º
. Длина вектора U равна модулю комплекса U, угол, отсчитываемый от вещественной оси, равен поворотному множителю e j30º
и составляет
30º в положительном направлении.
Положительным направлением отсчета углов принято направление против часовой стрелки.
Таким же образом может быть изображен любой вектор и система векторов.
Если принять начало координат на комплексной плоскости за нулевой потенциал (для системы векторов – напряжений), то конец вектора U = U × e
j30º
будет изображать комплексный потенциал точки схемы, напряжение в которой равно U относительно точки нулевого потенциала. За точку нулевого потенциала принимается обычно точка, соединяемая с заземляющей проводкой. Таким же образом могут быть изображены комплексные потенциалы других точек схемы. Векторы, соединяющие точки комплексной плоскости (в соответствии со структурой цепи) представляют собой векторы напряжений на элементах, расположенных между этими точками, Такая диаграмма напряжений называется топографической
диаграммой. Обычно она совмещается с векторной диаграммой токов
(рисунок 1.36).

60
I
U
б)
A
B
D
K
J
L
C
R
B
D
K
a)
I
U
C
U
L
U
R
U
C
U
R
U
A
0
Рисунок 1.36 – Топографическая диаграмма напряжений в цепи R – L – C а) – топографическая диаграмма; б) – поясняющая схема.
Понятие о реактивной энергии и реактивной мощности
Известно, что в различных активных элементах схемы энергия из электрической преобразуется в другие виды: механическую, световую,

61 тепловую, химическую. То есть, в этом случае энергия непрерывным потоком (в любой момент времени) идет в одну сторону – от источника к потребителю, как элементу преобразования. Но есть такие элементы, в которых энергия в одну половину периода идет от источника к элементу и запасается в нем (в магнитном поле катушки индуктивности или в электрическом поле конденсатора), а в другую половину периода возвращается обратно в источник. Эта, два раза за период меняющая направление движения – циркулирующая туда и обратно, энергия называется
реактивной (от слова реакция – возврат). Реактивная энергия не преобразуется в полезную, а ее циркуляция увеличивает токовую загрузку проводов питающей линии и, следовательно, увеличивает падение напряжения в них и вызывает в них дополнительные потери энергии.
Поэтому с циркуляцией реактивной энергии ведут борьбу (не с самой
реактивной энергией, потому что ее – то победить невозможно – она обусловлена физикой работы элементов электрических цепей на переменном токе, а с тем, чтобы по возможности сократить пути ее циркуляции – пути
обмена энергией между элементами разного знака реактивности). Любые элементы электрических цепей имеют и индуктивность и емкость, то есть способны к запасанию и возврату энергии. Даже любой отрезок провода обладает своей, пусть небольшой, индуктивностью. Даже конденсатор – он имеет выводы, следовательно имеет некоторую индуктивность, кроме того, индуктивностью обладают свернутые в рулон обкладки (с диэлектриком) конденсаторов.
Другое дело, во многих случаях небольшими индуктивностью и емкостью элемента можно пренебречь и считать элемент чисто активным. Для конденсатора можно пренебречь индуктивностью и считать, что конденсатор имеет только емкостное сопротивление. Для катушки индуктивности можно пренебречь емкостью между витками и считать, что катушка имеет только индуктивное сопротивление. Вообще же и индуктивность и емкость – это неотъемлемые свойства всех элементов цепей, свойство запасать электрическую энергию.

62
Индуктивность и емкость элементов определяются геометрическими
параметрами проводников и физическими свойствами окружающего их
пространства (диэлектрическая проницаемость, магнитная проницаемость).
В силу сложившейся природы материи, у электроприемников преобладает индуктивный характер реактивности, то есть индуктивная составляющая преобладает над емкостной. Действительно, очень широко распространены цепи со сталью – электродвигатели, трансформаторы и др. Поэтому
считается, что реактивная энергия индуктивного характера потребляется, а емкостная – генерируется (как бы индуктивного характера реактивная энергия требуется всем элементам – потребителям, а для получения, как бы
генерации, энергии емкостного характера нужны специальные элементы – конденсаторы, синхронные генераторы, синхронные двигатели, синхронные компенсаторы), хотя такое деление условно. Отличие реактивной энергии емкостного характера от реактивной энергии индуктивного характера заключается только в сдвиге полупериода потребления (запасания) относительно полупериода приложенного напряжения. Ток через конденсатор С опережает напряжение на 90º, а через катушку индуктивности
L – отстает от приложенного напряжения на 90º. Всвязи с этим существует такое выражение: индуктивность – это инерция для тока (изменение тока запаздывает относительно изменения напряжения на катушке индуктивности), аналогично – емкость – это инерция для напряжения
(изменение напряжения на конденсаторе запаздывает относительно изменения тока через конденсатор).
Понятие о компенсации реактивной мощности
Смысл емкостной компенсации нагрузки потребителя заключается в подключении конденсатора С параллельно ветви R – L (рисунок 1.37а).

63
U
C
L
I
R
I
C
I
R ; L
а)
I
C
φ
U
I
R ; L
I
R ; L акт
= I
I
R ; L реакт б)
Рисунок 1.37 – Активно - индуктивная нагрузка с емкостной компенсацией
Ток I
R ; L
(ток в ветви с R и L) разложен на две составляющие: активную
I
R ; L акт
, совпадающую с вектором напряжения и реактивную I
R ; L реакт
, отстающую от вектора напряжения на 90˚; угол φ – угол сдвига фаз между током и напряжением в ветви R – L. а) схема цепи; б) векторная диаграмма цепи.
При этом стремятся к тому, чтобы было X
C
= X
L
. Тогда входное сопротвление цепи будет чисто активным. Процесс, наступающий в цепи, содержащей реактивные элементы разного характера реактивности, при котором входное сопротивление цепи является чисто активным, называется
резонансом (в данном случае это резонанс токов). В отличие от параллельных колебательных контуров, применяемых в радиотехнических устройствах, схема которых аналогична показанной на рисунке 1.36а, добротность данного контура очень низка (как правило, значительно менее единицы). Векторная диаграмма цепи показана на рисунке 1.36б. Ток в общем проводе при резонансе имеет минимально возможное значение, следовательно, минимально возможными будут потери напряжения и потери энергии в подводящих проводах. Обмен реактивной энергией все равно сохранится, избавиться от реактивной энергии невозможно (она обусловлена свойствами материи), но этот обмен будет теперь не между источником и

64 ветвью R – L, а между L и C, то есть в пределах объекта. Слово
«компенсация» в данном случае означает компенсацию индуктивной составляющей тока нагрузки в общем проводе – неразветвленной части цепи. Такая компенсация экономически целесообразна и часто применяется на практике.
Что же касается электроэнергетической отрасли в целом, то для нее существует «Типовая инструкция по управлению потоками реактивной мощности и уровнями напряжения в электрических сетях энергосистем». В этом документе говорится как, управляя режимами генераторов станций, синхронных компенсаторов, батарей статических конденсаторов, шунтирующих реакторов, устройств РПН трансформаторов можно существенно влиять на уменьшение потерь энергии в сетях и на стабилизацию уровней напряжений в контрольных точках сетей.
Основные соотношения в трехфазных цепях
Если взять три источника переменного напряжения с одинаковой частотой и одинаковыми амплитудами, но с разными начальными фазами, а именно: для первой фазы примем α = 0, для второй α = 120º, а для третьей α =
= 240º, то можно сказать, что эти три источника составляют симметричную трехфазную систему (трехфазный источник). Система векторов напряжений трехфазного источника может быть представлена на рисунке 1.38.
0
U
B
A
U
C
U
A
120º
120º
120º

65
Рисунок 1.38 – Система векторов трехфазного источника
Отдельные составляющие трехфазной системы (фазы) принято обозначать определенной расцветкой: А – желтая, В – зеленая, С – красная.
Симметричная трехфазная система обладает некоторыми замечательными свойствами, в частности: при симметричной нагрузке трехфазного источника ток в нулевом проводе близок к нулю, что позволяет сократить количество соединительных проводов не только до четырех, но и даже до трех (рисунок
1.39).
Рисунок 1.39 – Четвертый (нулевой или нейтральный) провод в симметричной трехфазной системе может быть удален
Равенство для тока в нулевом проводе при симметричной нагрузке совершенно не означает нарушение первого закона Кирхгофа (закона для узлов): уравнение для I
N
на рисунке 1.39 говорит о том, что сумма является векторной, в любой момент времени сумма мгновенных значений токов также равна нулю, так как один или два тока притекают к узлу N, а, соответственно два или один ток от узла утекает, то есть равенство нулю алгебраической суммы соблюдается только для мгновенных значений.
Напряжения между зажимами А, В, и С называются линейными напряжениями: U
AB
, U
BC
и U
СА.
. Напряжения между зажимами А, В, или С
и зажимом N: U
AN
, U
BN
и U
СN
называются фазными напряжениями. Между фазными и линейными напряжениями существует простая зависимость:
А
В
С
Z
A
Z
B
Z
C
I
A
I
B
I
C
I
N
= I
A
+ I
B
+ I
C
= 0
N
N

66
U
Л
=
3
U
Ф
≈ 1,73 × U
Ф
Мощность симметричного трехфазного электроприемника независимо от схемы его соединении (звезда или треугольник) выражается формулой:
Р =
3
U
Л
I
Л
cos φ.
Здесь U
Л
и I
Л
– линейное напряжение и ток в линейном проводе (при соединении электроприемника в звезду токи в линейных проводах и токи в фазах нагрузки совпадают, а при соединении электроприемника в треугольник – токи в линейных проводах в
3
раз больше токов в фазах нагрузки) ; cos φ – коэффициент мощности.
При U
Л
= 380 В и cos φ ≈ 0,8 (в основном, это двигательная нагрузка) существует простое (прикидочное) соотношение между мощностью и током в линейных проводах: I
Л
[A] ≈ 2 × P [кВт].
Аналогичная простая (прикидочная) формула для однофазных цепей 220
В такова: I [A] ≈ 5 × P [кВт].
Анализ причин, по которым во всем мире принято электроснабжение
трехфазным переменным током частотой 50 (60) Гц
Известно, что во всем мире для производства, передачи, распределения, потребления электрическая энергия используется в виде трехфазного переменного тока частотой 50 Гц (на Евразийском континенте и 60 Гц на
Американском континенте).
Интересен вопрос, а почему принят переменный ток, почему трехфазный и, наконец, почему частотой 50 (60) Гц? Разумеется, все это было принято не случайно. И вообще, принятие любого технического решения, выбор
любого параметра – это всегда компромисс – компромисс между
желаниями и возможностями, между технической осуществимостью и
экономической целесообразностью.
Электрическая энергия – это очень удобный вид энергии. Действительно, для запуска или вывода из работы какого – либо оборудования достаточно