ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.01.2024
Просмотров: 24
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Дисциплина: ОСНОВЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ
Лекция 5. Случайные события и их вероятности
Лектор
Ирина Валерьевна Клещева к.п.н., доцент, доцент кафедры методики обучения математике и информатике
Предсказывая возможное развитие событий, говорим …
•
скорее всего, это произойдет
•
это невозможно
•
наверняка, это случится
•
дело случая
•
случайно произошло
•
вероятнее всего, будет так
•
маловероятно, что…
•
невероятно
•
highly likely
•
…
Теория вероятностей - математическая наука,
изучающая закономерности случайных
событий,
способных
многократно
повторяться
при воспроизведении определенного комплекса условий.
Азарт - от фр. «lehazard» - «случай»
Основные понятия
• Испытание – осуществление определенных действий
• Любой результат испытания называется исходом.
• Под событием понимают факт, который может произойти в результате испытания.
Пример: попадание в цель при выстреле.
• испытание— произведение выстрела
• исход – попадание или непопадание в цель
• событие — попадание в цель
События
•
Достоверным называют событие, которое в результате испытания
обязательно произойдёт.
Пример, в условиях земного тяготения подброшенная монета непременно упадёт вниз.
•
Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания.
Пример: в условиях земного тяготения подброшенная монета улетит вверх.
•
Случайным называют событие, если в результате испытания оно может как произойти, так и не произойти.
Пример: выпадение тройки при бросании игрального кубика.
Определите вид события
•
При бросании игрального кубика выпало 6 очков
•
При бросании двух игральных кубиков сумма очков на выпавших гранях равна 1
•
Выпадение при бросании игрального кубика натурального числа, меньшего 7
Статистическое определение вероятности
•
Число испытаний, в которых событие наступило, назовем абсолютной
частотой и обозначим n.
•
Общее число произведенных испытаний обозначим N.
•
Отношение абсолютной частоты к числу испытаний n/N называется
относительной частотой события или статистической вероятностью
случайного события.
Примеры
1) Биатлонист, делая 100 выстрелов из положения стоя, попадает в цель в среднем 87 раз
2) Знаменитый французский естествоиспытатель Бюффон 4040 раз подбросил монетку. “Орел” выпал при этом 2048 раз.
Определения
•
Пространство элементарных событий Ω — множество всех различных исходов произвольного испытания.
Пример: при броске одной игральной кости
Ω= {w
1
, w
2
, w
3
, w
4
, w
5
, w
6
}, w i
- выпадение i очков.
•
Если два события не могут произойти одновременно в одном испытании, то события называются несовместными.
•
События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого.
•
Противоположное событие !А происходит тогда, когда исходное событие
А не происходит.
Полная группа событий
Определение. Множество несовместных событий образуют
полную группу событий, если в результате отдельно взятого испытания обязательно появится ровно одно из
этих событий
Пример. По мишени выстрелили 3 раза.
А
0
– «попаданий нет», А
1
– «одно попадание»,
А
2
– «два попадания», А
3
– «три попадания».
Ω= { А
0
, А
1
, А
2
, А
3
}
Классическое определение вероятности
Пусть n - число всех исходов опыта, которые образуют полную
группу попарно несовместных и равновозможных событий,
m – число благоприятных событию А исходов.
Тогда вероятностью события А называется число
Вероятность принимает значения от 0 до1!
P(A) =
m
n
Проанализируйте рассуждение ученика
Ученик решал задачу:
«Игральный кубик подбросили один раз. Какова вероятность выпадения шестерки?».
Решение: «Возможны два исхода: либо выпадет шестерка, либо не выпадет. Значит, n=2. Благоприятный для нас исход – первый и единственный. Значит, m=1. Применим определение вероятности:
Р=1/2»
Проанализируйте рассуждение ученика
Ученик решал задачу:
«Игральный кубик подбросили один раз. Какова вероятность выпадения шестерки?».
Решение: «Возможны два исхода: либо выпадет шестерка, либо не выпадет. Значит, n=2. Благоприятный для нас исход – первый и единственный. Значит, m=1. Применим определение вероятности:
Р=1/2»
В
решении ученика
нарушается
условие
равновозможности событий «выпадение шестерки» и
«невыпадение шестерки».
Задача
Набирая номер телефона, абонент забыл последние 3 цифры, и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найдите вероятность того, что набран нужный номер.
Решение n= А
10 3
=10·9·8=720
m=1
Р =
#
$%&
Задача
Студент знает 20 вопросов из 25. Найдите вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором 3 вопроса.
Решение
???? = С
%*
+
=
25!
22! / 3!
=
23 / 24 / 25 2 / 3
= 2300
???? = С
%&
+
=
20!
17! / 3!
=
18 / 19 / 20 2 / 3
= 1140
???? =
????
????
=
????
%&
+
????
%*
+
=
57 115
≈ 0,5
Геометрическое определение вероятности
Вероятность наступления некоторого события А в испытании равна
P(A)=g/G , где G – геометрическая мера, выражающая общее число всех равновозможных исходов данного испытания, а g – мера, выражающая количество благоприятствующих событию А исходов.
d
D
)
(
)
(
)
(
D
S
d
s
A
P
=
Если множество всех исходов испытания - отрезок
Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Определите вероятность попадания точки на отрезок l.
В качестве геометрической меры отрезков возьмем их длины.
Тогда вероятность события А – «попадание точки на отрезок l» равна
P(A) =
l
L
Задача
Снаряд реактивной установки попадает в круг радиуса 50 м. В этом круге находится мост размером 6 м на 20 м. Какова вероятность того, что снаряд попадет в мост?
[И_1]
!
125 2
50 3
20 6
50 20 6
2 2
=
×
×
»
×
×
=
p
k
m
S
s
Задача
Случайным образом выбирают одно из решений неравенства
|х-5|≤5. Какова вероятность того, что оно окажется и решением неравенства |х-1|≤1?
Р =
????
????
=
2 10
= 0,2
Условия использования различных определений вероятности события
•
События равновозможны и образуют полную группу попарно несовместных событий (испытания можно не проводить) при конечном числе исходов
– классическое определение вероятности
•
События не равновозможны (испытания нужно проводить) при конечном числе исходов
- статистическое определение вероятности
•
Число равновозможных исходов события бесконечно
- геометрическое определение вероятности
Задача о встрече
Два друга договорились встретиться в определенном месте между
12 и 13 часами. Пришедший первым ждет другого в течении 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи друзей, если приход каждого из них может произойти наудачу в течении указанного часа и моменты прихода независимы?
Момент прихода первого друга х, второго – у
0£х£60, 0£у£60
|х-у|£20
S=60 2
– 2・½ ・ 40 2
= 2000
P(A) = 2000/60 2
= 5/9
[И_2]
Использованные источники
И_1 Лопачев В.А. Чурилова М.Ю. Харитонова О.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс. – СПб.:
Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2012.
И_2 Математика и информатика: учебник для студентов гуманитарных факультетов педагогических вузов / под ред. Будаева
В.Д., Стефановой Н.Л. СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2001.