Файл: 1. Изучение математического описания линейных звеньев.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.01.2024

Просмотров: 136

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Задание.Требуется: а) составить функциональную схему заданной САР; б описать работу САР.

65 Данные по вариантам приведены в таблице (схемы приведены в прилож. А. Таблица Исходные данные для задания Вариант Схема Описание САРА
САР уровня воды в барабане котла Система обеспечивает поддержание уровня воды в верхнем барабане котла в требуемых пределах. К системе предъявляются высокие требования, поскольку снижение уровня или перепитка котла водой могут привести к серьезным авариям пережогу экранных трубили забросу воды в магистральный паропровод. Уровень регулируется за счет изменения расхода питающей воды в барабане котла. Основное возмущающее воздействие на котел изменение расхода пара (изменение нагрузки котла. Датчик уровня – дифманометр с дифтрансформаторным преобразователем сигнала. Устройство сравнения выполнено на дифференциальном усилителе
2 А 3 А
САР давления пара в барабане котла Система поддерживает на заданном уровне давление пара в барабане котла, что необходимо по условиям экономичности и безопасности работы котлоагрегата. Давление регулируется путем изменения подачи топлива в топку. Основное возмущающее воздействие изменение расхода пара (изменение нагрузки котла. Датчик давления – манометр с дифтрансформаторным преобразователем сигнала. Устройство сравнения выполнено на дифференциальном усилителе

66 Продолжение таблицы Вариант Схема Описание САРА А
САР разрежения в топке Система стабилизирует разрежение в верхней части топки, что необходимо для нормального топочного режима. Разрежение регулируется за счет изменения производительности дымососа с помощью поворотных заслонок. Основное возмущающее воздействие – изменение расхода воздуха в топке. Датчик разрежения дифтигометр, соединенный с верхней частью топки. Устройство сравнения выполнено на дифференциальном усилителе
6 А
САР температуры воздуха в птичнике в летний период Система стабилизирует температуру воздуха за счет изменения воздухообмена. Воздухообмен регулируется изменением частоты вращения вытяжных вентиляторов. Основное возмущающее воздействие – колебание температуры наружного воздуха. Датчик температуры – термометр сопротивления. Устройством сравнения является мост. Система импульсно-фазового управления (СИФУ) совместно с тиристорным блоком и предварительным усилителем образуют управляемый усилитель
7 А 8 А
САР температуры в животноводческом помещении Система стабилизирует температуру в помещении в зимний период за счет изменения температуры приточного воздуха, которая регулируется путем изменения расхода горячей воды через водяной калорифер. Основное возмущающее воздействие – изменение температуры наружного воздуха. Датчик температуры воздуха внутри помещения – термометр сопротивления. Устройством сравнения является мост

67 Продолжение таблицы Вариант Схема Описание САРА
САР температуры в животноводческом помещении Система стабилизирует температуру в помещении за счет изменения мощности, подаваемой на установленный в приточном воздуховоде электрокалорифер. Датчик температуры термометр сопротивления. Основное возмущающее воздействие
– изменение температуры наружного воздуха. Устройством сравнения является мост. Система импульсно-фазового управления
(СИФУ) совместно с тиристорным блоком и предварительным усилителем образуют управляемый усилитель
10 А 11 А
САР температуры приточного воздуха в картофелехранилище Система стабилизирует температуру приточного воздуха, которым вентилируется в периоды охлаждения холодного и зимнего хранения. Температура регулируется путем смешивания холодного воздуха, поступающего через приточную шахту, с более теплым внутренним воздухом хранилища. Смешивание наружного и внутреннего воздуха осуществляется клапаном, установленным в приточном канале. Основное возмущающее воздействие – изменение температуры наружного воздуха. Датчик температуры термометр сопротивления. Устройством сравнения является мост

68 Продолжение таблицы Вариант Схема Описание САРА А
САР температуры теплоносителя в агрегате АВМ Система стабилизирует температуру теплоносителя на выходе из сушильного барабана. Температура регулируется путем изменения количества топлива, подаваемого насосом 1 в теплогенератор 2. Основное возмущающее воздействие – изменение температуры наружного воздуха и влажности высушиваемого продукта. Датчик температуры – термопара. Устройство сравнения выполнено на дифференциальном усилителе
14 А 15 А
САР температуры теплоносителя в шахтной зерносушилке Система стабилизирует температуру теплоносителя, образованного смесью атмосферного воздуха ас топочными газами (г. Температура регулируется путем изменения соотношения расходов атмосферного воздуха топочных газов с помощью поворотной заслонки. Основное возмущающее воздействие изменение температуры наружного воздуха. Датчик температуры
– термометр сопротивления, установленный в канале теплоносителя перед входом в сушилку. Устройством сравнения является мост
16 А
САР температуры воздуха в теплице Система стабилизирует температуру воздуха в остекленных блочных теплицах с водяной системой обогрева. Температура воздуха регулируется за счет изменения температуры теплоносителя с помощью смесительного клапана. Основное возмущающее воздействие – изменение температуры наружного воздуха. Датчик температуры воздуха в теплице – термометр сопротивления. На схеме 1 – измерительный блок, преобразующий величину сопротивления датчика температуры в электрическое напряжение. Устройство сравнения выполнено на дифференциальном усилителе

69 Окончание таблицы Вариант Схема Описание САРА А
САР температуры воздуха в теплице в летний период Система стабилизирует температуру воздуха в остекленных блочных теплицах в летний период. Температура воздуха регулируется открытием фрамуг. Основное возмущающее воздействие – изменение интенсивности солнечной радиации. Датчик температуры воздуха в теплице – термометр сопротивления. На схеме 1 – измерительный блок, преобразующий величину сопротивления датчика температуры в электрическое напряжение. Устройство сравнения выполнено на дифференциальном усилителе
19 А
САР температуры поливной воды в теплице Температура поливной воды регулируется путем изменения расхода горячей воды через водонагреватель. Возмущающее воздействие – колебание расхода поливной воды, изменение температуры холодной воды, поступающей из котельной. Датчик температуры поливной воды – термометр сопротивления. На схеме
1 – измерительный блок, преобразующий величину сопротивления датчика температуры в электрическое напряжение. Устройство сравнения выполнено на дифференциальном усилителе
20 А
САР частоты вращения электродвигателя стенда обкатки ДВС Система стабилизирует частоту вращения приводного асинхронного электродвигателя с фазным ротором, с помощью которого производится обкатка ДВС. Частота вращения регулируется путем изменения сопротивления вцепи ротора с помощью регулируемого жидкостного реостата 1. Основное возмущающее воздействие изменение момента сопротивления навале
ДВС в процессе приработки при холодной обкатке. Датчиком регулируемой величины является тахогене- ратор постоянного тока. Устройство сравнения выполнено на дифференциальном усилителе

70 Тема 6. ИЗУЧЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ И СТРУКТУРНЫХ СХЕМ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ Цель занятия:изучить правила построения структурных схем линейных систем автоматического регулирования. Вопросы и задания для подготовки к занятию
1. Приведите определение структурной схемы.
2. В чем заключается преобразования структурных схем
3. Перечислите основные правила преобразования структурных схем. Краткие теоретические сведения Структурные схемы Структурная схема – графическое изображение математической модели (математического описания) системы. Элементы структурной схемы
1) звенья направленного действия – изображаются прямоугольником с одним входом и одним выходом, внутри прямоугольника записывается передаточная функция
2) сумматоры, в которых происходит сложение или вычитание сигналов, имеют много входов и только один выход. Сумматоры на структурной схеме изображают в виде окружностей, разбитых на секторы. Сектор, к которому подходит вычитаемый сигнал, затушевывается (рис. 6.1);
X
3
=X
1
+X
2
X
3
=X
1
– Рис. 6.1. Виды сумматоров
3) точки разветвления сигналов (узлы) – обозначаются точками в местах пересечения линий. Сигнал при прохождении через узел не делится на части
X
2
X
3
X
1
+
+
X
3
X
1
+
–
X
2

71 4) связи,показывающие направления передачи сигналов в направлениях, противоположных указанным стрелками, сигналы не распространяются. Линии связи и сумматоры считаются идеальными, те. никакими параметрами не обладают. Структурная схема может быть составлена по уравнению системы в пространстве состояний или по дифференциальным уравнениям системы (м темы 1 и 3). Если к звену приложено несколько воздействий, то указываются передаточные функции отдельно по каждому воздействию. Согласно принципу суперпозиции, изменение выходной величины такого звена равно сумме изменений выходных величин по каждому воздействию. Правила преобразования структурных схем Преобразование структурных схем – целенаправленный перенос элементов структурных схем (звеньев, узлов, сумматоров) друг через друга. Различные правила преобразования структурных схем табл. 6.1) облегчают определение передаточных функций сложных
САУ и дают возможность привести многоконтурную систему к эквивалентной ей одноконтурной схеме. Таблица 6.1 Правила преобразования структурных схем Вид преобразования Исходная схема Эквивалентная схема
1. Перенос узла через звено вперед
2. Перенос узла через звено назад
x y
x
( )
W s
x y
y
( )
W s
x y
y
( )
W s
( )
W s
x y
x
( )
W s
1
( )
W
s
−

72 Продолжение таблицы 6.1 Вид преобразования Исходная схема Эквивалентная схема
3. Перенос сумматора через звено вперед
4. Перенос сумматора через звено назад
5. Перестановка узлов
6. Перестановка сумматоров
7. Перенос сумматора через узел вперед
x
1
y
x
2
( )
W s
x
1
y
x
2
( )
W s
x x
x x
x x
x x
x
3
x
1
y
x
2
x
3
x
1
y
x
2
x
1
y
x
2
( )
W s
1
( )
W
s
−
x
1
y
x
2
( )
W s
( )
W s
x
1
y
x
2
y
x
1
y
y x
2

73 Окончание таблицы 6.1 Вид преобразования Исходная схема Эквивалентная схема
8. Перенос сумматора через узел назад
9. Перестановка звеньев
10. Переход к единичной обратной связи Примеры решения задач Пример Составить структурную схему САР температуры в климатической камере на основании функциональной схемы, полученной при выполнении примера 5.1.
Решение.Для составления структурной схемы понадобятся передаточные функции элементов системы. Введем следующие обозначения з, д) – соответственно, передаточные функции задатчика и датчикам передаточная функция моста (элемента сравнения у) – передаточная функция дифференциального усилителя
W
дв
(s), р, ро) – соответственно, передаточные функции двигателя, редуктора и регулирующего органа (автотрансформатора п) – передаточная функция потенциометра местной обратной связи
x y
)
(
1
s
W
)
(
1 2
s
W
−
)
(
2
s
W
1
x y
1
( )
W s
2
( )
W s
x y
2
( )
W s
1
( )
W s
y x
ε
y
ос x
1
y
x
1
x
2
x
1
y
x
2
x
1

74
W
ОУ
(s), W
F
(s) – соответственно, передаточные функции объекта управления по управляющему и возмущающему воздействиям. Таким образом, поскольку на объект управления оказывают влияние несколько воздействий одновременно, следует указать две передаточные функции объекта (отдельно по каждому воздействию. Кроме того, следует выделить сумматоры входных сигналов для сравнивающего устройства и дифференциального усилителя. Поскольку имеет место отрицательная обратная связь, покажем это затушевыванием соответствующего сектора. Полученная структурная схема приведена на рис. 6.2. Рис. 6.2. Структурная схема САР температуры в климатической камере
Ответ:искомая структурная схема приведена на рис. 6.2. Пример Преобразовать структурную схему (рис. 6.3), пользуясь правилами (см. табл. 6.1). Рис. 6.3. Исходная структурная схема
Решение.На первом этапе, по правилу 6 Перестановка сумматоров поменяем местами сумматоры 1 и 2. На втором этапе осуществим перенос узла D через звено W
5
(s) назад (правило 2). При этом вцепи передаточной функции W
6
(s) на участке от узла D до сумматора 3) появится звено с передаточной функцией W
5
(s).
θ
H
θ
f
θ
3
R
3
e М У У φ
ДВ
φ
Р
ОП ДМ РОДУ П )
W s
ДВ
( )
W
s
( Р s
ОУ
( )
W
s
( )
F
W s
x 1 2 A 3 B 4 C D y
2
( )
W s
7
( )
W s
4
( )
W s
6
( )
W s
1
( )
W s
3
( )
W s
5
( )
W s

75 В результате выполнения этих двух пунктов получим модифицированную структурную схему (рис. 6.4). Рис. 6.4. Модифицированная структурная схема Поменяем местами узлы Си (правило 5 Перестановка узлов. Получили преобразованную структурную схему (рис. 6.5). Рис. 6.5. Преобразованная структурная схема
Ответ:искомая структурная схема приведена на рис. 6.5. Задания для самостоятельного решения Задание Составить структурную схему САР на основании функциональной схемы, построенной при выполнении задания 5.1. Задание 6.2.* Преобразовать заданную структурную схему, пользуясь правилами (см. табл. 6.1). Данные по вариантам приведены в табл. 6.2.
x 2 1 A 3 B 4 C D y
2
( )
W s
7
( )
W s
4
( )
W s
6
( )
W s
1
( )
W s
3
( )
W s
5
( )
W s
5
( )
W s
x 2 1 A 3 B 4 D C y
2
( )
W s
7
( )
W s
4
( )
W s
6
( )
W s
1
( )
W s
3
( )
W s
5
( )
W s
5
( )
W s

60 Таблица 6.2 Исходные структурные схемы к заданию 6.2 Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4
x y
5
( )
W s
6
( )
W s
1
( )
W s
2
( )
W s
3
( )
W s
4
( )
W s
x y
1
( )
W s
2
( )
W s
3
( )
W s
5
( )
W s
6
( )
W s
4
( )
W s
x y
5
( )
W s
6
( )
W s
1
( )
W s
2
( )
W s
3
( )
W s
4
( )
W s
x y
1
( )
W s
2
( )
W s
3
( )
W s
5
( )
W s
6
( )
W s
4
( )
W s
76

61 Продолжение таблицы 6.2 Вариант 5 Вариант 6 Вариант 7 Вариант 8
x y
4
( )
W s
7
( )
W s
1
( )
W s
2
( )
W s
3
( )
W s
6
( )
W s
5
( )
W s
x y
4
( )
W s
7
( )
W s
1
( )
W s
2
( )
W s
3
( )
W s
6
( )
W s
5
( )
W s
x y
1
( )
W s
2
( )
W s
3
( )
W s
5
( )
W s
4
( )
W s
x y
1
( )
W s
2
( )
W s
3
( )
W s
4
( )
W s
5
( )
W s
77

62 Окончание таблицы 6.2 Вариант 9 Вариант 10
x y
1
( )
W s
2
( )
W s
3
( )
W s
5
( )
W s
4
( )
W s
x y
1
( )
W s
2
( )
W s
3
( )
W s
5
( )
W s
4
( )
W s
78

79 Тема 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ СОЕДИНЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ЗВЕНЬЕВ Цель занятия:научиться определять эквивалентные передаточные функции соединений линейных звеньев. Вопросы для подготовки к занятию
1. Перечислите основные виды соединений линейных звеньев.
2. Приведите формулы эквивалентных передаточных функций последовательно соединенных звеньев, параллельно соединенных звеньев и звена, охваченного обратной связью.
3. Приведите формулу передаточной функции разомкнутой цепи. Краткие теоретические сведения Принято представлять соединение звеньев в виде одного звена, передаточная функция которого носит название эквивалентной передаточной функции. Выделяют три основных вида соединений линейных звеньев – последовательное (рис. 7.1), параллельное (рис. 7.2) и встречно- параллельное, или соединение звеньев с обратной связью (рис. 7.3). Последовательное соединение звеньев
1
( )
W s
( )
n
W s
2
( )
W Рис. 7.1. Последовательное соединение n звеньев Э 2
( )
( )
( )
( )
n
W s
W s W s
W s
=
⋅
⋅⋅⋅
(7.1) Эквивалентная передаточная функция последовательного соединения звеньев равна произведению передаточных функций этих звеньев. Параллельное соединение звеньев
1
( )
W s
2
( )
W s
( )
n
W Рис. 7.2. Параллельное соединение n звеньев
Э
1 2
( )
( )
( ) ...
( )
n
W s
W s
W s
W s
=
+
+ +
(7.2)

80 Эквивалентная передаточная функция параллельного соединения звеньев равна сумме передаточных функций этих звеньев.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   15
Встречно-параллельное соединение звеньев
( П )
ОС
W
s
Рис. 7.3. Встречно-параллельное соединение n звеньев
П
П
Э
Р
П
ОС
( )
( )
( )
1
( )
1
( )
( )
W s
W s
W s
W s
W s W
s
=
=
+
+
(7.3) Эквивалентная передаточная функция встречно-параллельного соединения звеньев с отрицательной обратной связью равна передаточной функции прямой цепи, деленной на сумму единицы, и передаточной функции разомкнутой цепи. Передаточная функция разомкнутой цепи равна произведению передаточных функций прямой цепи и цепи обратной связи
Р
П
ОС
( )
( )
( ).
W s
W s W
s
=
(7.4) В случае положительной обратной связи знак в знаменателе дроби (формула (7.3)) меняется на противоположный. Пример решения задачи
Пример.Дана структурная схема (рис. 7.4). Записать эквивалентную передаточную функцию и рассчитать ее, подставив заданные значения параметров. Принять, что
1 1
1
( )
,
1
k
W s
T
s
=
+
2 2
2 1
( )
,
(
)
T
k
W s
s s
=
+
3 3
( )
,
k
W s
s
=
k
1
= 0,25, k
2
= 0,1, k
3
= 0,48, T
1
= 0,64, T
2
= 0,13.
2
( )
W s
1
( )
W s
3
( )
W Рис. 7.4. Структурная схема (к примеру 7.1)

81 Решение. Звено с передаточной функцией W
2
расположено параллельно с единичной линией (ее передаточную функцию примем за 1), следовательно, по формуле параллельного соединения звеньев, получаем выражение для эквивалентной передаточной функции Э
2 2
( )
( ) Э s
=
+
2. Звено с передаточной функцией W
1
расположено последовательно с рассмотренным выше соединением с передаточной функцией Э, следовательно, по формуле последовательного соединения звеньев, получаем выражение для эквивалентной передаточной функции Э
1 1
2 1
2
( )
( )
( )
( )(
( ) 1).
Э
Э
W
s
W s W
s
W s W s
=
=
+
3. Звено с передаточной функцией Э охвачено отрицательной обратной связью с передаточной функцией обратной связи W
3
, следовательно, по формуле встречно-параллельного соединения звеньев, получаем выражение для эквивалентной передаточной функции Э
1 1
3 1
2 1
2 3
( )
( )
( )
( )
1
( )
1
( )
( )
1
( )
( )
( )(
( ) 1)
1
( )(
( ) 1)
( )
П
П
Э
Э
Р
П
ОС
Э
W
s
W
s
W
s
W s
W s
W
s W
s
W
s W s
W s W s
W s W s
W Подставим заданные выражения для передаточных функций
1 2
1 2
1 Э 2
3 3
1 2
1 2
1 1
(
1)
( )(
( ) 1)
( )
1
( )(
( ) 1)
( )
1 1
1
(
1)
k
k
T s
s T s
W s W s
W s
W s W s
W s
k
k
k
T s
s T s
s


+


+
+
+


=
=
=
+
+


+
+


+
+


1 2
2 1
2 2
1 2
1 2
1 2
2 3
2 2
3 1
2 1
2
(
1)
(
(
1))
1
(
1)
(
1) (
1)
(
(
1))
(
1)
1 1
1
(
1) (
1)
1
(
1)
k
k
s T s
k k
s T s
T s
s T s
T s
s T s
k
k k
s T s
k
k
s T s
k
T s
s T s
s
T s
s T s
s
+
+
+
+
⋅
+
+
+
+
=
=
=
+
+
+
+
+
+
⋅
⋅
+
+
+
+

82 1
2 2
1 2
2 1
2 1
2 2
3 2
1 2
2 1
2 2
1 2
2 1
2 1
2 1
2 2
3 1
2 2
2 1
2
(
(
1))
(
1) (
1)
(
1) (
1)
(
(
1))
(
1) (
1)
(
(
1))
(
1) (
1)
(
1) (
1) (
1) (
1)
(
(
1))
(
(
1))
(
1) (
1)
k k
s T s
T s
s T s
T s
s T s
k k
s T s
k
T s
s T s
k k
s T s
T s
s T s
T s
s T s
T s
s T s
k k
s T s
k
k k
s T s
s
T s
s T s
k
+
+
+
+
=
=
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
=
⋅
=
+
+
+
+ +
+
+
+
+
=
+
+ +
1 2
2 3
(
(
1))
k
s T Раскрыв скобки, получим окончательное выражение для эквивалентной передаточной функции рассматриваемого соединения звеньев
3 2
1 2 1 2 Э 3
2 1 2 1
2 1 3 2 1 3 1 2 3
( )
(
)
(
1)
k k s
k T s
k s
W s
T T s
T
T s
k k T
s
k k s
k k Подставим заданные значения параметров
3 Э 3
2 3
2 4
3 2
3 2
4 0, 25 0,1 0, 25 0,13 0, 25
( )
0,64 0,13
(0,64 0,13)
(0, 25 0, 48 0,13 1)
0, 25 0, 48 0, 25 0,1 0, 48 0, 0325 0, 25 0,025 0, 0832 0,77 1, 0156 0,12 0,012 2,7083 20,83 2,083 6,93 64,
s
s
s
W s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
⋅
+
⋅
=
=
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
=
=
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3 2
17 84, 63 10 1
s
s
s
+
+ +Последнее преобразование выполнено для приведения знаменателя передаточной функции к каноническому виду. Ответ Э 3
2 2,7083 20,83 2,083
( )
6,93 64,17 84,63 10 1
s
s
s
W s
s
s
s
s
+
+
=
+
+
+ +Задания для самостоятельного решения Задание 7.1. Выполнить задание примера 7.1. Данные повари- антам приведены в таблице. Задание Записать эквивалентную передаточную функцию структурной схемы, полученной при выполнении задания 6.2.

83 Таблица Исходные данные для задания 7.1 Вариант Структурная схема Значения коэффициентов Вариант 1 1
1
(
1)
k
s T s
+
2 2
1
k
T s
+
3
k
k
1
= 1,46
k
2
= 0,18
k
3
= 0,25
T
1
= 0,64
T
2
= 0,43 Вариант 2 1
1 1
k
T s
+
2 2
1
k
T s
+
3
s
k
k
1
= 0,75
k
2
= 0,22
k
3
= 0,54
T
1
= 0,48
T
2
= 0,15 Вариант 3 1
1
(
1)
k
s T s
+
3 3
1
k
T s
+
2
k
k
1
= 0,17
k
2
= 0,27
k
3
= 0,73
T
1
= 0,08 Т = 0,15 Вариант 4 1
1 1
k
T s
+
3 3
(
1)
k
s T s
+
2
k
s
k
1
= 0,14
k
2
= 0,21
k
3
= 0,95
T
1
= 0,66 Т = 0,28

84 Продолжение таблицы Вариант Структурная схема Значения коэффициентов Вариант 5 1
1 1
k
T s
+
3
k
s
2
k
4
k
s
k
1
= 0,75
k
2
= 0,16
k
3
= 1,01
k
4
=0,47
T
1
= 0,21 Вариант 6 2
1 2
1 2
1
k
T s
T s
+
+
3 3
1
k
T s
+
2
k
k
1
= 0,24
k
2
= 0,48
k
3
= 0,75
T
1
= 0,33
T
2
= 0,86 Т = 0,27 Вариант 7 1
1 1
k
T s
+
2 2
1
k
T s
+
3
k
s
k
1
= 0,32
k
2
= 0,27
k
3
= 0,61
T
1
= 0,46
T
2
= Вариант 8 1
1 1
k
T s
+
2 2
1
k
T s
+
3
k
s
k
1
= 0,75
k
2
= 0,65
k
3
= 0,45
T
1
= 0,08
T
2
= 0,77

85 Продолжение таблицы Вариант Структурная схема Значения коэффициентов Вариант 9 1
1
k
T s
2 2
1
k
T s
+
3 3
1
k
T s
+
k
1
= 1,11
k
2
= 1,04
k
3
=0,63
T
1
= 0,41
T
2
= 0,23 Т = 0,62 Вариант 10 3
k
s
1 1
1
k
T s
+
2 2
1
k
T s
+
k
1
= 1,25
k
2
= 0,84
k
3
= 0,23
T
1
= 0,09
T
2
= 0,34 Вариант 11 2 2 1
2 1
1
k
T s
T s
+
+
3 3
k
T s
k
1
= 0,82
k
3
= 0,44
T
1
= 0,27
T
2
= 0,38 Т = 0,51 Вариант 12 2 2 1
2 1
1
k
T s
T s
+
+
3 3
k
T s
k
1
= 0,85
k
3
= 0,43
T
1
= 0,21
T
2
= 0,32 Т = 0,47 Вариант 13 1
1 1
k
T s
+
2 2
1
k
T s
+
3 3
1
k
T s
+
k
1
= 0,13
k
2
= 0,12
k
3
= 1,05
T
1
= T
2
= 0,42 Т = 0,01

86 Продолжение таблицы Вариант Структурная схема Значения коэффициентов Вариант 14 2
2 1
k
T s
+
3 3
1
k s
T s
+
1
k
s
k
1
= 0,52
k
2
= 0,74
k
3
= 0,25
T
2
= 0,62 Т = 0,15 Вариант 15 2
2 1
k
T s
+
3 3
1
k s
T s
+
1
k
s
k
1
= 1,12
k
2
= 0,51
k
3
= 0,93
T
1
= 0,36
T
2
= 0,78 Т = 0,62 Вариант 16 1
1 1
k
T s
+
3 3
1
k
T s
+
2
k
s
4
k
k
1
= 0,57
k
2
= 0,12
k
3
= 0,1
k
4
=0,25
T
1
= 0,21 Т = 0,66 Вариант 17 3
k
s
1
k
2 2
1
k
T s
+
k
1
= 1,05
k
2
= 0,48
k
3
= 0,25
T
2
= 0,31 Вариант 18 1
k
2 2
1
k
T s
+
3
k
s
k
1
= 0,1
k
2
= 0,25
k
3
= 0,63
T
2
= 0,43

87 Окончание таблицы Вариант Структурная схема Значения коэффициентов Вариант 19 1
k
s
3
k
2 2
1
k
T s
+
4
k
k
1
= 0,16
k
2
= 0,75
k
3
= 0,08
k
4
= 0,47
T
2
= 0,21 Вариант 20 1
1 1
k
T s
+
2
k
s
3
k
k
1
= 1,5
k
2
= 0,12
k
3
= 0,51
T
1
= 0,92

88 Тема 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ И ОШИБКИ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ПО ЗАДАЮЩЕМУ И ВОЗМУЩАЮЩЕМУ ВОЗДЕЙСТВИЯМ Цель занятия:научиться определять передаточные функции
САР и ошибки САР по задающему и возмущающему воздействиям. Вопросы для подготовки к занятию
1. Какой формулой определяется передаточная функция САР по задающему воздействию
2. Какой формулой определяется передаточная функция САР по возмущающему воздействию
3. Какой формулой определяется передаточная функция ошибки
САР по задающему воздействию
4. Какой формулой определяется передаточная функция ошибки
САР по возмущающему воздействию Краткие теоретические сведения Перед нахождением передаточных функций систему необходимо привести к одноконтурному виду, избавившись от перекрестных связей и заменив звенья, охваченные местными обратными связями и соединенные параллельно, на эквивалентные. Передаточная функция САР по задающему воздействию По определению, передаточная функция определяет взаимосвязь между изменением регулируемой величины Y и изменением задающего воздействия З
( )
( )
( З s
W
s
Y s
=
(8.1) Передаточная функция САР по задающему воздействию вычисляется по формуле
( )
( )
( )
( )
( )
( )
П
П
Р
П
ОС
,
1 1
YY
W
s
W
s
W
s
W
s
W
s W
s
=
=
+
+
(8.2) где П) – передаточная функция прямой цепи системы
Р) – передаточная функция разомкнутой системы
ОС – передаточная функция обратной связи системы.

89 Передаточная функция САР по возмущающему воздействию По определению, передаточная функция определяет взаимосвязь между изменением регулируемой величины Y и изменением возмущающего воздействия F:
( )
( )
( )
YF
Y s
W
s
F s
=
(8.3) Передаточная функция САР по возмущающему воздействию вычисляется по формуле
( )
( )
( )
P
,
1
F
YF
W
s
W
s
W
s
=
+
(8.4) где W
F
(s) – передаточная функция цепи звеньев от места приложения возмущающего воздействия до регулируемой величины. Передаточная функция ошибки CAP по задающему воздействию По определению, передаточная функция определяет взаимосвязь между изменением сигнала ошибки е
з и изменением задающего воздействия з
( )
( )
( З s
W
s
Y s
=
(8.5) Передаточная функция ошибки САР по задающему воздействию вычисляется по формуле
( )
( )
P
1 1
eY
W
s
W
s
=
+
(8.6) Передаточная функция ошибки САР по возмущающему воздействию По определению, передаточная функция определяет взаимосвязь между изменением ошибки e
F
и изменением возмущающего воздействия F:
( )
( )
( е s
W
s
F s
=
(8.7)

90 Передаточная функция ошибки САР по возмущающему воздействию вычисляется по формуле
( )
( )
( )
( )
( )
( )
OC
OC
1
F
eF
YF
P
W
s
W
s
W
s
W
s W
s
W
s
= −
= −
+
(8.8) Пример решения задачи
Пример.Дана структурная схема С температуры в климатической камере с водонагревателем (рис. 8.1). У П )
W
s
ДВ
( З )
W М Р )
W s
B
( )
W s
ОУ
( Д )
W s
( )
F
W
s
З
θ
e
θ
H
θ
Рис. 8.1. Общий вид структурной схемы САР температуры Для С температуры в климатической камере задающим воздействием является заданная температура з, регулируемой величиной температура θ в камере, возмущающим воздействием – наружная температура θ
н
Рассматриваемая САР температуры в климатической камере состоит
– из объекта управления – климатической камеры
– главной обратной связи – датчика
– задатчика, для ввода заданного значения регулируемой величины
– устройства сравнения – мостовой схемы
– составного исполнительного механизма – усилителя, двигателя и редуктора, охваченных местной обратной связью – потенциометром
– регулирующего органа – вентиля водонагревателя. Передаточные функции имеют следующий вид
– объект управления по управляющему воздействию
( )
1
ОУ
1
;
1
K
W
s
T s
=
+

91
– объект управления по возмущающему воздействию
( )
2 1
;
1
F
K
W
s
T s
=
+
– датчик
( )
Д
Д
Д
;
1
K
W
s
T s
=
+
– двигатель
( )
ДВ
ДВ
ДВ
;
1
K
W
s
T s
=
+
– задатчик, мост, усилитель, редуктор, вентиль и потенциометр соответственно З) = З = ДМ М У) = У Р) = Р В) = В П) = K
П
Требуется: а) подставить формулы передаточных функций в структурную схему САР; б) получить выражения для передаточных функций системы по задающему воздействию, системы по возмущающему воздействию, ошибки системы по задающему воздействию и ошибки системы по возмущающему воздействию в) рассчитать полученные передаточные функции, подставив численные значения параметров. Численные значения параметров принять равными
K
1
= 2 °C/B; Д = 1 с T
ДВ
= 0,5 с K
2
= 1; М = 0,2 В/Ом; Р = 0,01;
T
1
= 100 c; У = 10; В = 80В/рад; Д = 1 Ом/°С; K
ДВ
= 1 рад /(с·В); П = 2.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   15
Решение.Подставив формулы передаточных функций, получим следующую структурную схему (рис. 8.2).
У
K
П
K
ДВ
ДВ
(
1)
K
s T s
+
Д
K
M
K
Р
K
В
K
1 1
1
K
T Д 1
T s
+
2 1
1
K
T s
+
З
θ
e
θ
H
θ
Рис. 8.2. Структурная схема САР температуры Э)

92 Заметим, что коэффициенты передачи датчика и задатчика совпадают (для согласованности заданной и измеренной величин, и при построении структурной схемы оказалось возможным выполнить перенос звена через сумматор звено с передаточной функцией )
З
Д
W s
K
=
расположено правее сумматора. Получим выражения для искомых передаточных функций. В первую очередь, следует привести рассматриваемую структурную схему к одноконтурному виду. Заменим звенья, охваченные местной обратной связью с коэффициентом передачи К
П
, те. усилитель, двигатель, редуктор и потенциометр, одним эквивалентным звеном с эквивалентной передаточной функцией э) (см. рис. 8.2). Передаточная функция звена, охваченного отрицательной обратной связью, определяется по формуле (7.3), передаточная функция последовательного соединения звеньев определяется по формуле (7.1). Для эквивалентной передаточной функции получаем
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
ДВ
У
ДВ
Р
У
Р
ДВ
ДВ
Э
ДВ
У
ДВ
Р
П
У
Р
П
ДВ
ДВ
У
ДВ
Р
ДВ
У
ДВ
Р
П
1 1
1 1
1 1
1
K
K K K
K
K
s Т Т K K K
K
K K
s Т Т K K
s Т K K K
+
+
=
=
=
+
+
+
+
=
+ +Для рассматриваемого примера передаточная функция САР поза- дающему воздействию (см. формулу (8.1)) показывает взаимосвязь между изменением температуры в климатической камере θ и изменением заданного значения температуры з. По формуле (8.2) получаем
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Д
М
У
ДВ
Р
В
1
ДВ
У
ДВ
Р
П
1
Д
М
У
ДВ
Р
В
1
ДВ
У
ДВ
Р
П
1
Д
1 1
1 1
1 1
YY
K K K K K K K
s Т K K Т s
W
s
K K K K K K K
s Т K K Т Т s
+ +
+
=
=
+
+ +
+
+
(8.9)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Д
М
У
ДВ
Р
В
1
д
ДВ
У
ДВ
Р
П
1
д
Д
М
У
ДВ
Р
В
1 1
1 1
1
K K K K K K K Т s
s Т K K Т Т s
K K K K K K K
+
=
+ +
+
+ +

93 Подставляем в полученное выражение численные значения параметров и, после промежуточных преобразований, получаем
( )
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
3, 2 1
0,5 1
0, 2 100 1
1 3, 2
YY
s
W
s
s
s
s
s
+
=
=
+ +
+
+ +
(
)
(
)
4 3
2 4
3 2
3, 2 1
50 150,5 120,5 21, 2 3, 4 16 1
250 752,5 667,5 106 17
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
+
=
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
(8.10) В последнем преобразовании домножили числитель и знаменательна. Поскольку в данном случае возмущающее воздействие – изменение температуры н наружного воздуха приложено к объекту управления, то является передаточной функцией объекта управления по возмущающему воздействию. Для рассматриваемого примера передаточная функция САР по возмущающему воздействию (см. формулу (8.3)) показывает взаимосвязь изменения температуры в климатической камере θ и изменения температуры наружного воздуха н. По формуле (8.4) получаем
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
2 1
Д
М
У
ДВ
Р
В
1
ДВ
У
ДВ
Р
П
1
Д
1 1
1 1
1
YF
K
T s
W
s
K K K K K K K
s Т K K Т Т s
+
=
=
+
+ +
+
+
(8.11)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
ДВ
У
ДВ
Р
П
Д
ДВ
У
ДВ
Р
П
1
Д
Д
М
У
ДВ
Р
В
1 1
1 1
1 1
K
s Т K K Т s
s Т K K Т Т s
K K K K K K K
+ +
+
=
+ +
+
+ +Подставляем в полученное выражение численные значения параметров и, после промежуточных преобразований, получаем
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
1 0,5 1
0, 2 1
0,5 1
0, 2 100 1
1 3, 2
YF
s
s
s
W
s
s
s
s
s
+ +
+
=
=
+ +
+
+ +

94
(
)
(
)
(
)
(
)
2 4
3 2
2 4
3 2
0,5 0, 2 1
50 150,5 120,5 21, 2 3, 4 2,5 5
1 1
250 752,5 667,5 106 17
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
+ +
+
=
=
+
+
+
+
+ +
+
=
+
+
+
+
(8.12) Для рассматриваемого примера передаточная функция ошибки
САР по задающему воздействию (см. формулу (8.5)) показывает взаимосвязь изменения отклонения температуры в климатической камере от заданного значения е (ошибки САР) и изменения заданного значения температуры з. По формуле (8.6) получаем
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
Д
М
У
ДВ
Р
В
1
ДВ
У
ДВ
Р
П
1
Д
1 1
1 1
1
eY
W
s
K K K K K K K
s Т K K Т Т s
=
=
+
+ +
+
+
(8.13)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
ДВ
У
ДВ
Р
П
1
Д
ДВ
У
ДВ
Р
П
1
Д
Д
М
У
ДВ
Р
В
1 1
1 1
1 1
1
s Т K K Т Т s
s Т K K Т Т s
K K K K K K K
+ +
+
+
=
+ +
+
+ +Подставляем в полученное выражение численные значения параметров и, после промежуточных преобразований, получаем
( )
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)(
)
0,5 1
0, 2 100 1
1 0,5 1
0,2 100 1
1 3, 2
eY
s
s
s
s
W
s
s
s
s
s
+ +
+
+
=
=
+ +
+
+ +
(
)
(
)(
)
(
)
(
)(
)
2 4
3 2
2 4
3 2
0,5 0, 2 1 100 1
50 150,5 120,5 21, 2 3, 4 2,5 5
1 1 100 1
250 752,5 667,5 106 17
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
+ +
+
+
=
=
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+
+
(8.14) Для рассматриваемого примера передаточная функция ошибки
САР по возмущающему воздействию (см. формулу (8.7)) показывает взаимосвязь изменения отклонения температуры в климатической камере от заданного значения е (ошибки САР) и изменения температуры наружного воздуха н. По формуле (8.8) получаем

95
( )
( )
( )
(
)
(
)
2
OC
4 3
2 2,5 5
1 1
1 250 752,5 667,5 106 17 1
eF
YF
s
s
s
W
s
W
s W
s
s
s
s
s
s
+ +
+
= −
= −
⋅
=
+
+
+
+
+
2 4
3 2
2,5 5
1 250 752,5 667,5 106 17
s
s
s
s
s
s
+ +
= −
+
+
+
+
(8.15) Ответ
( )
(
)
4 3
2 16 1
;
250 752,5 667,5 106 17
YY
s
W
s
s
s
s
s
+
=
+
+
+
+
( )
(
)
(
)
2 4
3 2
2,5 5
1 1
;
250 752,5 667,5 106 17
YF
s
s
s
W
s
s
s
s
s
+ +
+
=
+
+
+
+
( )
(
)
(
)(
)
2 4
3 2
2,5 5
1 1 100 1
;
250 752,5 667,5 106 17
eY
s
s
s
s
W
s
s
s
s
s
+ +
+
+
=
+
+
+
+
( )
2 4
3 2
2,5 5
1 250 752,5 667,5 106 17
eF
s
s
W
s
s
s
s
s
+ +
= Задания для самостоятельного решения Задание Выполнить задание примера 8.1. Данные повари- антам приведены в таблице. Прочерк в столбце П означает, что на структурной схеме отсутствует местная обратная связь. Задание Рассчитать передаточные функции САР и ошибки
САР по задающему и возмущающему воздействиям для САР, рассмотренной при выполнении задания 7.1 (считать, что W
F
(s) = 1).

96 Таблица Исходные данные для задания 8.1 Параметры Вариант
K
1
K
2
T
1
, c Д Д, с У
K
ДВ Р В П М
T
ДВ
, с Вариант 1 0,5 1
600 0,4 30 10 0,017 0,1 25
–
1 0,5 Вариант 2 0,2 1
400 0,2 10 25 0,004 0,1 25
–
0,4 0,5 Вариант 3 1
1 170 0,4 7
50 0,018 0,1 50 1
0,2 0,5 Вариант 4 10 1
100 0,4 10 10 0,001 0,1 25
–
0,2 0,5 Вариант 5 30 0,6 70 0,2 10 100 0,035 0,1 1
–
2 0,5 Вариант 6 0,1 1
200 0,4 10 25 0,04 0,1 40 0,4 1
0,5 Вариант 7 2
1 20 0,2 2
50 0,062 0,2 50 2
0,5 0,5 Вариант 8 1
1 20 0,2 2
20 0,01 0,1 50
–
0,5 0,5 Вариант 9 100 1
25 0,2 2
5 0,04 0,2 1
–6,2 5
0,5 Вариант 10 0,5 0,5 50 0,2 0,5 80 0,025 0,2 75
–
0,1 0,5 Вариант 11 8
1 160 0,5 8
30 0,11 0,3 5
–0,1 2
0,5 Вариант 12 0,2 1
200 0,4 15 10 0,025 0,2 5
–
0,5 0,5 Вариант 13 1
1 400 0,2 10 10 0,03 0,1 30 1
10,1 0,5 Вариант 14 20 0,7 100 0,4 10 70 0,3 0,1 0,1
–0,2 1
0,5 Вариант 15 2
0,4 3
0,1 0,3 60 0,8 0,1 20 2
0,1 0,5 96

97 Окончание таблицы Параметры Вариант
K
1
K
2
T
1
, c Д Д, с У
K
ДВ Р В П М
T
ДВ
, с Вариант 16 10 1
160 5
8 6
0,1 0,2 0,1
–
0,1 0,5 Вариант 17 25 0,4 8
0,1 0,1 10 0,1 0,1 5
–0,5 0,1 0,5 Вариант 18 2
1 40 0,4 5
4400 0,2 0,2 31
–
0,1 0,5 Вариант 19 20 0,7 100 0,1 10 10 0,2 0,1 0,1
–
2 0,5 Вариант 20 5,3 1
40 0,2 5
45 0,3 0,2 10 20,5 5
0,5 97

98 Тема 9. ОЦЕНИВАНИЕ СТАТИЧЕСКОЙ ТОЧНОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ПО ЗАДАЮЩЕМУ И ВОЗМУЩАЮЩЕМУ ВОЗДЕЙСТВИЯМ Цель занятия:научиться оценивать статическую точность систем автоматического регулирования по задающему и возмущающему воздействиям. Вопросы и задания для подготовки к занятию
1. Как определяется статическая точность САР по задающему воздействию
2. Как определяется статическая точность САР по возмущающему воздействию Краткие теоретические сведения Статическая точность САР по задающему воздействию При выполнении анализа статической точности системы поза- дающему воздействию используют передаточную функцию ошибки САР по задающему воздействию (см. формулу (8.5)). При этом учитывается, что в статике s обращается в нуль. Тогда из формулы (8.5) имеем
( )
( )
( З s
W
s
Y или
( )
( )
( З s
W
s
Y s
=
=
(9.1) Применим к выражению (9.1) обратное преобразование Лапласа. Поскольку рассматривается установившийся статический режим, то
( )
( )
1
CT
L
e статической ошибке,
( представляет собой постоянную, независящую от s. Таким образом, из выражения (9.1) окончательно получаем зависимость статической ошибки от изменения задающего воздействия

99
( З) Статическая точность САР по возмущающему воздействию Для проведения анализа статической точности системы по возмущающему воздействию принято использовать
1) передаточную функцию объекта управления – для определения статической точности системы при отсутствии регулятора
2) передаточную функцию САР по возмущающему воздействию – для определения статической точности системы с регулятором
3) передаточную функцию ошибки САР по возмущающему воздействию для определения зависимости статической ошибки от изменения возмущающего воздействия. Анализ производится аналогично определению статической точности по задающему воздействию с использованием того факта, что в статике s обращается в нуль. Тогда для статической точности системы без регулятора попе- редаточной функции объекта управления по возмущающему воздействию) (при s = 0) получаем
0
( )
F
s
Y
W s
F
=
=
(9.3) Для статической точности системы с регулятором по передаточной функции САР по возмущающему воздействию из формулы) при s = 0 получаем
( )
( )
( )
0
,
YF
s
Y s
W
s
F или
( )
( )
( )
0
YF
s
Y s
W
s
F s
=
=
(9.4) Применив к выражению (9.4) обратное преобразование Лапласа причем,
( )
0
YF
s
W
s
=
также представляет собой постоянную, независящую от s), окончательно получаем зависимость выходной величины от изменения возмущающего воздействия
( )
0
YF
s
Y
W
s
F
=
=
(9.5)

100 Рассмотрим передаточную функцию ошибки САР по возмущающему воздействию (см. формулу (8.7)). Имеем
( )
( )
( )
0
,
eF
s
e s
W
s
F или
( )
( )
( )
0
eF
s
e s
W
s
F s
=
=
(9.6) Применив к выражению (9.3) обратное преобразование Лапласа причем,
( )
0
eF
s
W
s
=
также представляет собой постоянную, независящую от s), окончательно получаем зависимость статической ошибки от изменения возмущающего воздействия
( )
CT
0
eF
s
e
W
s
F
=
=
(9.7) Пример решения задачи
Пример.Определить статическую точность по задающему и возмущающему воздействиям САР температуры в климатической камере с водонагревателем (см. пример 8.1). Решение. Определим статическую точность САР по задающему воздействию. Воспользуемся формулой (8.13) передаточной функции ошибки
САР по задающему воздействию, полученной при выполнении примера 8.1.
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
Д
М
У
ДВ
Р
В
1
ДВ
У
ДВ
Р
П
1
Д
1 1
1 1
1
eY
W
s
K K K K K K K
s Т K K Т Т s
=
+
+ +По формуле (9.2), подставив s = 0, получаем
CT
з
Д
М
В
1
П
1
θ ,
1
e
K K K K
K
=
+
(9.8)

101 или з ,
1
e
K
=
+
(9.9) где K – коэффициент передачи разомкнутой системы. Рассчитаем K. Из формулы (9.8) получаем
Д
М
В
1
П
1 0, 2 80 2 16.
2
K K K K
K
K
⋅
⋅ ⋅
=
=
=
(9.10) После подстановки численного значения K из формулы (9.10) в выражение (9.9) получаем
е
СТ
= З. Таким образом, рассматриваемая система имеет статическую ошибку, пропорциональную изменению задающего воздействия на систему. Из выражения для статической ошибки следует, что величина статической ошибки тем меньше, чем больше коэффициент передачи разомкнутой системы. Следует отметить, что в общем случае наличие статической ошибки характерно для статических систем. В случае, когда статическая ошибка САР по задающему воздействию отсутствует, система является астатической (примером является рассматриваемая САР без местной обратной связи.
2. Определим статическую точность САР по возмущающему воздействию. Рассмотрим передаточную функцию объекта управления по возмущающему воздействию (из примера 8.1):
2 1
( )
1
F
K
W s
T По формуле (9.3) для объекта управления получаем
2
H
θ
θ .
K
=
(9.11) Рассмотрим формулу (8.11) передаточной функции САР по возмущающему воздействию (из примера 8.1):

102
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
2 1
Д
М
У
ДВ
Р
В
1
ДВ
У
ДВ
Р
П
1
Д
1 1
1 1
1
YF
K
T s
W
s
K K K K K K K
s Т K K Т Т s
+
=
+
+ +По формуле (9.4) для САР имеем
2
H
Д
М
В
1
П
θ
θ ,
1
K
K K K или
2
H
θ
θ ,
1
K
K
=
+
(9.12) где K – коэффициент передачи разомкнутой системы. После подстановки численных значений параметров в формулы
(9.11) и (9.12) получаем зависимость изменения температуры на объекте при изменении наружной температуры
H
θ θ
=
– для объекта без регулятора
H
θ 0,06θ
=
– для объекта, снабженного регулятором (САР). Подставим в формулу (8.15) передаточной функции ошибки
САР по возмущающему воздействию значение s, равное нулю
( )
1 17
eF
W
s
= По формуле (9.7) получаем
е
СТ
= –0,06θ
Н
Таким образом, температура в климатической камере, не оборудованной регулятором, изменяется также, как изменяется наружная температура. В климатической камере, оборудованной регулятором, изменение температуры уменьшилось по сравнению с изменением наружной температуры враз. В рассматриваемом примере изменение температуры в камере составляет около 6 % от изменения значения наружной температуры.

103 Это свидетельствует о том, что эксплуатационные качества климатической камеры, сточки зрения постоянства поддержания требуемой температуры, существенно улучшились. В этой же системе, но без местной обратной связи, статическая ошибка САР по возмущающему воздействию отсутствует. Поэтому в статическом режиме при изменении значений наружной температуры изменений значений температуры внутри климатической камеры, снабженной регулятором, происходить не будет. Ответ для объекта без регулятора
H
θ θ для объекта с регулятором е
СТ
= 0,06 3
θ
H
θ 0,06θ ,
=
е
СТ
= –0,06θ
Н
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   15
Задания для самостоятельного решения Задание Выполнить задание примера 9.1 для САР, рассмотренной при выполнении задания 8.1. Задание Определить статическую точность САР поза- дающему и возмущающему воздействиям для САР, рассмотренной при выполнении задания 8.2.

104 Тема 10. ОЦЕНИВАНИЕ КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ ПО ПЕРЕХОДНЫМ ФУНКЦИЯМ Цель занятия:научиться оценивать качество регулирования по переходным функциям. Вопросы и задания для подготовки к занятию
1. Перечислите прямые показатели качества регулирования.
2. Приведите формулу перерегулирования.
3. Опишите порядок определения времени регулирования.
4. Приведите формулу колебательности.
5. Приведите формулу статической ошибки регулирования. Краткие теоретические сведения Качество переходных процессов в линейных системах обычно оценивают по переходным функциям. Показатели качества управления, определяемые непосредственно по переходным функциям, называют прямыми показателями качества управления. Переходная функция h(t) – изменение во времени управляемой регулируемой) величины системы при подаче на систему единичного воздействия (задающего или возмущающего. Обычно рассматривают две переходные функции – переходную функцию по задающему воздействию (задающее воздействие З = 1, возмущающее воздействие F = 0), и переходную функцию по возмущающему воздействию (задающее воздействие З = 0, возмущающее воздействие F = 1). Для обеих переходных функций можно рассчитать все прямые показатели качества (рис. 10.1 и 10.2). К прямым показателям качества регулирования будем относить
– перерегулирование σ;
– быстродействие (определяется временем регулирования t
рег
);
– число колебаний N;
– колебательность С
– статическую ошибку е
СТ

105 Рис. 10.1. Определение прямых показателей качества регулирования по переходной функции по задающему воздействию
Y
m ax
1 0
Y(t)= з Y (t)
A
1
Y
уст
t
рег
t
Y
з
(t)
А
2
e
ст
2
Δ
105

106 Рис. 10.2. Определение прямых показателей качества регулирования по переходной функции по возмущающему воздействию
F(t)
F(t); Y(t)
Y(t) = h(t)
Y
мax
Y
уст
A
1
A
2
0
1
t
рег
t
e
ст
Δ
106

107
Перерегулирование (σ, %) характеризует отклонение регулируемой величины от своего установившегося значения и определяется по формуле
– для переходной функции по задающему воздействию max, уст уст %,
Y
Y
Y
−
=
⋅
(10.1) где Y
max, 1
– максимальное значение регулируемой величины в переходном процессе
уст – установившееся значение регулируемой величины
– для переходной функции по возмущающему воздействию max, уст %,
( )
F
Y
Y
F t
−
=
⋅
(10.2) где F(t) – величина возмущающего воздействия (для переходной функции обычно равна 1). В процессах сельскохозяйственного производства нормальным считается перерегулирование σ≤ 30 %. Время регулирования(t
рег
, с)определяется как интервал времени от начала переходной функции до момента, когда отклонение регулируемой величины от ее нового установившегося значения становится меньше определенной, достаточно малой величины
∆
:

Y(t) – уст
∆
. (Для переходной функции по задающему воздействию обычно в качестве
∆
берут от 1 % до 5 % от установившегося значения регулируемой величины
∆
= 1–5 % уст. (Для переходной функции по возмущающему воздействию в качестве берут от 1 % до 5 % от максимального отклонения регулируемой величины от установившегося значения
∆
= 1–5 % Y
max, 1
. (10.5)

108 Если установившееся значение неравно можно определить также, как и для переходных функций по задающему воздействию. Таким образом, для определения времени регулирования t
рег следует (см. рис. 10.1 и 10.2):
1) рассчитать величину
∆
;
2) провести горизонтальные линии выше и ниже линии установившегося значения регулируемой величины, на расстоянии
∆
от нее (построить коридор размером 2
∆
);
3) определить точку пересечения графика переходной функции с одной из построенных горизонтальных линий, такую, что, начиная с этой точки, с увеличением времени t переходная функция не выходит за пределы построенного коридора
4) опустить из этой точки перпендикулярна ось времени t и определить значение времени регулирования t
рег
На графиках для переходной функции по задающему воздействию (см. рис. 10.1) и для переходной функции по возмущающему воздействию (см. рис. 10.2) показаны дополнительные построения, которые нужно произвести для определения прямых показателей качества регулирования по переходным функциям. Время регулирования выражается в секундах. Чем меньше время регулирования t
рег
, тем выше быстродействие системы, и тем лучше качество регулирования. Число колебаний (N) определяется числом перерегулирований за время переходного процесса (до вхождения переходной функции в коридор 2Δ). Рассчитывается одинаково при рассмотрении переходных функций по задающему и по возмущающему воздействиям. Выражается целым числом.
Обычно приемлемым числом колебаний считается N < 2–3.
Колебательность С) оценивается отношением соседних максимальных отклонений регулируемой величины от установившегося значения уст, уст =
=
Y
Y
A
C
Y
Y
A
−
−
(10.6) Также рассчитывается одинаково при рассмотрении переходных функций по задающему и по возмущающему воздействиям. Выражается десятичной дробью.
Чем меньше колебательность, тем лучше считается качество управления.

109 Статическая ошибка системы е
СТ
рассчитывается по формуле
е
СТ
= З − уст, (где З – заданное значение регулируемой величины. Хотя формула статической ошибки одна и та же при рассмотрении переходных функций по задающему и возмущающему воздействиям, следует помнить, что в первом случае З = 1, во втором З = 0. Таким образом, получаем, что для переходной функции по задающему воздействию
е
СТ
= З − уст = 1 − уст, (для переходной функции по возмущающему воздействию
е
СТ
= З − уст = 0 − уст
= − уст. (Пример решения задачи Пример. Даны графики переходных функций САР температуры в климатической камере по задающему (рис. 10.3) и возмущающему рис. 10.4) воздействиям. Определить показатели качества регулирования.
Решение.Рассмотрим переходную функцию по задающему воздействию (см. рис. 10.3). Определим по рисунку значения основных величин, требуемых для расчета показателей качества регулирования
– заданное значение регулируемой величины з = 1;
– установившееся значение регулируемой величины уст = 0,94;
– максимальное значение регулируемой величины Y
max, 1
= 1,4;
– второе максимальное значение регулируемой величины
Y
max, 2
= 1,05;
– для нахождения
∆
по формуле (10.4) примем
∆
= уст, получим
∆
= 0,05 · 0,94 = 0,047. Для определения времени регулирования проведем горизонтальную линию, показывающую верхнюю границу коридора в нашем случае его можно называть «5%-ный коридор) на уровне уст +
∆
= 0,94 + 0,047 = 0,987; и горизонтальную линию, показывающую нижнюю границу коридора на уровне уст –
∆
= 0,94 – 0,047 = 0,893.

110 Рис. Переходная функция по задающему воздействию САР температуры в климатической камере
Y
Y
t
рег
t, с 160 140 120 100 80 60 40 0,2 0,4 0,8
Y
m ax
, 1
Y
m уст

111 Рис. 10.4. Переходная функция по возмущающему воздействию САР температуры в климатической камере
Y
Y
t
рег
t, с 200 175 125 100 75 50 25 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06
Y
m ax
,1
Y
m уст = ест

112 Кроме того, нанесем на график статическую ошибку е
СТ
и время регулирования t
рег
(см. рис. 10.3). Рассчитаем показатели качества.
Перерегулирование. По формуле (10.1) получаем
1, 4 0,94
σ
100 Время регулирования Определив по графику переходной функции точку пересечения переходной функции с построенным 5%-ным коридором так, что, начиная с этой точки, с увеличением времени t переходная функция находится внутри построенного коридора, опустим из этой точки перпендикулярна ось времени. Получим
t
рег
≈ 168 с. Число колебаний Посчитаем число перерегулирований, находящихся за пределами построенного 5%-ного коридора. Имеем
N = 2.
Колебательность. По формуле (10.6) получим
1,05 0,94 0,11
=
=
= 0,24.
1, 4 0,94 0, Статическая ошибка Поскольку рассматривается переходная функция по задающему воздействию, применим формулу (10.8), получим
е
СТ
= 1 – 0,94 = 0,06. Следует заметить, что можно было применять непосредственно формулу (10.7). Рассмотрим график переходной функции по возмущающему воздействию (рис. 10.4), изданных которого видно
– заданное значение регулируемой величины З = 0;
– значение возмущающего воздействия F = 1;
– установившееся значение регулируемой величины уст = 0,042;
– максимальное значение регулируемой величины Y
max, 1
= 0,065;
– второе максимальное значение регулируемой величины
Y
max, 2
= 0,047;

113
– для нахождения
∆
по формуле (10.5) примем
∆
= 0,05Y
max, 1
, получим
∆
= 0,05·0,065 = 0,00325.
5%-ный коридор определяется горизонтальными линиями, проведенными на уровнях уст +
∆
= 0,042 + 0,00325 = 0,04525; уст –
∆
= 0,042 – 0,00325 = 0,03875. На графике также показаны статическая ошибка ест и время регулирования t
рег
(см. рис. 10.4). Рассчитаем показатели качества.
Перерегулирование. По формуле (10.2) получим
0, 065 0,042
σ
100 %
54,76 Время регулирования Определив точку, начиная с которой, с увеличением времени t, переходная функция находится внутри построенного го коридора, опустим из этой точки перпендикулярна ось времени. Получим
t
рег
≈ 210 с. Число колебаний Посчитаем число перерегулирований, находящихся за пределами построенного го коридора. Имеем
N = 2.
Колебательность. По формуле (10.6) получим
0,047 0,042 0,005
=
=
= 0,22.
0,065 0,042 0, Статическая ошибка Поскольку рассматривается переходная функция по задающему воздействию, применим формулу (10.9), получим
е
СТ
= – 0,042. Заметим, что в этом случае также можно было применять непосредственно формулу (10.7).

114 По результатам расчетов можно сделать следующие выводы.
1. Для рассмотренной системы перерегулирование σ в обоих случаях превышает 30 %, поэтому показателю регулирование нельзя признать удовлетворительным.
2. Время регулирования (168 си с) сопоставимо для двух рассматриваемых переходных функций. Для оценки качества регулирования поэтому показателю необходимы дополнительные сведения о требованиях к рассматриваемому процессу регулирования температуры в климатической камере.
3. Остальные показатели – число перерегулирований (2), коле- бательность (0,22–0,24) и статическая ошибка (4 %–6 % от изменения соответствующей входной величины) – также сопоставимы для двух рассматриваемых переходных функций. Качество системы по этим показателям следует считать удовлетворительным. Ответ 1) для переходной функции по задающему воздействию
σ = 48,94 %, t
рег
≈ 168 с, N = 2, С = 0,24, е
СТ
= 0,06;
2) для переходной функции по возмущающему воздействию
σ = 54,76 %, t
рег
≈ 210 с, N = 2, С = 0,22, е
СТ
= – 0,042. Задание для самостоятельного решения
Задание.Определить показатели качества регулирования а) по переходной функции по задающему воздействию б по переходной функции по возмущающему воздействию. Данные по вариантам приведены в прилож. Б.

115 Тема 11. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИТЕРИЕВ УСТОЙЧИВОСТИ Цель занятия:научиться определять устойчивость систем автоматического регулирования по критерию Гурвица. Вопросы и задания для подготовки к занятию
1. Приведите определение устойчивости.
2. Как составить характеристическое уравнение системы
3. Сформулируйте необходимое условие устойчивости.
4. Сформулируйте критерий устойчивости.
5. Сформулируйте критерий Гурвица (алгебраический) устойчивости линейной системы. Краткие теоретические сведения Устойчивость – свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после снятия воздействия, вызвавшего выход из установившегося режима. Неустойчивая система является неработоспособной, поэтому проверка устойчивости является обязательным этапом анализа системы. Для проверки устойчивости системы используются следующие теоремы. Теорема 11.1. Необходимое условие устойчивости линейной системы. Если линейная система устойчива, то все коэффициенты характеристического уравнения положительны Теорема 11.2. Критерий устойчивости линейной системы.
Линейная система является устойчивой тогда и только тогда, когда действительные части всех корней характеристического уравнения системы отрицательны. При нулевых корнях система находится на границе устойчивости. Передаточная функция линейной САР в общем случае имеет вид
( )
( )
( )
1 0
1 1
1 0
1 1
,
m
m
m
m
n
n
n
n
B s
b s
b s
b
s
b
W s
a s
a s
a s
a
A s
−
−
−
−
+
+ +
+
=
=
+
+ +где m < n.

116 Полином A(s), находящийся в знаменателе передаточной функции, называется характеристическим полиномом системы, поскольку он определяет характер свободного движения системы. Уравнение A(s) = называется характеристическим уравнением системы. Построение определителя Гурвица Из коэффициентов характеристического уравнения
( )
1 0
1 1
0
n
n
n
n
A s
a s
a s
a s
a
−
−
=
+
+ +
+ составляется определитель Гурвица (11.1) последующему правилу. По главной диагонали последовательно записываются n коэффициентов характеристического уравнения, начиная с a
1
. Сверху от элементов главной диагонали в каждом столбце записываются коэффициенты характеристического уравнения с последовательно возрастающими, снизу – с последовательно убывающими индексами. На месте коэффициентов с индексами большими n или меньшими 0 записываются нули. Полученный определитель содержит n строки столбцов
1 3
5 0
2 4
1 3
0 2
0 0
0 0
0 0
0 0
0
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
∆ =
(11.1) Далее составляются диагональные миноры определителя Гурвица:
1 1
1
,
a
a
∆ =
=
1 3
2 1
2 0
3 0
2
,
a
a
a a
a a
a
a
∆ =
=
−
1 3
5 3
0 2
4 1 2 3
0 1 5 3 4 2
5 0 3 3 1 1 4 1
3 0
0
,
0
a
a
a
a
a
a
a a a
a a a
a a
a a
a a a
a a a
a
a
∆ =
=
+
+ ⋅
− ⋅
−
−
……………………………………………………………………………
1
n
n
n
a
−
∆ = ∆

117 Теорема 11.3. Критерий Гурвица (алгебраический) устойчивости линейной системы. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы при а > 0 все диагональные миноры определителя Гурвица были положительными. Заметим, что для характеристических уравнений первой и второй степеней условия устойчивости сводятся к требованию положительности всех коэффициентов. Сведения из курса высшей математики
1. При нахождении определителя третьего порядка
3
∆
удобно применять правило треугольников, или правило Саррюса (рис. 11.1). Рис. 11.1. Схема применения правила Саррюса: произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком плюс соответствующие произведения второго определителя берутся со знаком минус При вычислении определителя третьего порядка по правилу
Саррюса вычисляют шесть слагаемых первые три из них записывают со знаком плюс, последние три – со знаком минус. Каждое слагаемое является произведением трех элементов матрицы. Произведения формируются следующим образом (см. рис. 11.1):
– со знаком плюс записывают произведение элементов главной диагонали и два произведения элементов, из которых можно сформировать треугольник, основание которого параллельно главной диагонали
– со знаком минус записывают произведение элементов побочной диагонали и два произведения элементов, из которых можно сформировать треугольник, основание которого параллельно побочной диагонали.
2. При вычислении определителей более высокого порядка удобно пользоваться разложением определителя по элементам строки (столбца

118
– определитель равен сумме n слагаемых (по количеству элементов в строке или столбце – это количество равно порядку определителя
– каждое слагаемое представляет собой произведение трех множителей а) очередного элемента строки (столбца б) (–1) в степени, равной сумме номеров строки и столбца этого элемента в) определителя, полученного из исходного определителя путем вычеркивания строки и столбца, в которых расположен этот элемент. Для примера покажем разложение определителя матрицы А
11 12 13 14 1,
1 1
21 22 23 24 2,
1 2
31 32 33 34 3,
1 3
41 42 43 44 4,
1 4
1,1 1,2 1,3 1,4 1,
1 1,
1 2
3 4
,
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
−
−
−
−
−
−
−
−
− −
−
−









= по элементам первой строки. Получаем
22 23 24 2,
1 2
32 33 34 3,
1 3
42 43 44 4,
1 4
1 1 11 1,2 1,3 1,4 1,
1 1,
2 3
4
,
1 21 23 24 2,
1 2
31 33 34 3,
1 1 2 12
( 1)
( 1)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
nn
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
−
−
−
+
−
−
−
− −
−
−
−
−
+
=
−
+
+
−
3 41 43 44 4,
1 4
1,1 1,3 1,4 1,
1 1,
1 3
4
,
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
−
−
−
−
− −
−
−
+

119 21 22 24 2,
1 2
31 32 34 3,
1 3
41 42 44 4,
1 4
1 3 13 1,1
( 1)
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
−
−
−
+
−
−
+
−
1,2 1,4 1,
1 1,
1 2
4
,
1 21 22 23 24 2,
1 31 32 33 34 3,
1 41 42 43 44 4,
1 1
1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,
1 1
2 3
4
,
1
( 1)
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
−
− −
−
−
−
−
−
+
−
−
−
−
− −
−
+ +Как видим, при формировании первого определителя из исходного определителя вычеркнули первую строку и первый столбец при формировании второго определителя – первую строку и второй столбец и т. д при формировании последнего определителя из исходного определителя вычеркнули первую строку и последний столбец. Обычно выбирают ту строку (столбец, в которой (ом) есть нули. Примеры решения задач Пример Определить устойчивость САР температуры в климатической камере, рассмотренной в примере 8.1.
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   15
Решение.Можно воспользоваться любой из полученных при выполнении задания примера 8.1 передаточных функций системы, из которых следует, что характеристическое уравнение системы имеет вид
A(s) = 250s
4
+ 752,5s
3
+ 607,5s
2
+ 106s + 17 = 0. Проверим необходимое условие устойчивости. Поскольку все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то выполняется необходимое условие устойчивости, и для определения устойчивости системы требуется дополнительное исследование. Воспользуемся алгебраическим критерием Гурвица.

120 Характеристическое уравнение имеет четвертый порядок. Выпишем его коэффициенты а = 250, а = 752,5, а = 607,5, а = 106, а = 17. Определитель Гурвица для системы четвертого порядка имеет вид
1 3
0 2
4 4
1 3
0 2
4 0
0 0
0 0
0
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
∆ =
(11.2) Подставим в определитель (11.2) значения параметров
4 752,5 106 0
0 250 607,5 17 0
0 752, 2 106 0
0 250 607,5 17
∆ =
(11.3) Теперь по критерию Гурвица найдем значения всех диагональных миноров полученного определителя
1 752,5 0,
∆ =
>
2 752,5 106 752,5 607,5 250 106 250 607,5 457 143, 75 26500 430 643,75 0,
∆ =
=
⋅
−
⋅
=
=
−
=
>
3 752,5 106 0
250 607,5 17 752,5 607,5 106 250 752,5 0 0 106 17 0
752,5 106 0 607,5 0 250 106 106 752,5 752,5 17 48 457 237,5 0 0
0 2 809 000 9 626 356, 25 36 021 881, 25 0,
∆ =
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅ + ⋅
⋅ −
− ⋅
⋅ −
⋅
⋅
−
⋅
⋅ =
+ + −
− −
−
=
>
4 4
3 17 36 021 881, 25 612 371 981, 25 0.
a
∆ = ∆ = Поскольку все диагональные миноры положительны, то, по критерию Гурвица, система устойчива. Ответ заданная система устойчива.

121 Заметим, что последний определитель можно было не вычислять, т. к. необходимо проверить только его знак из положительности определителя
3
∆
и коэффициента
4
a
сразу следует положительность определителя Пример Определить устойчивость системы автоматического регулирования (рис. 11.2) с помощью алгебраического критерия устойчивости Гурвица. Рис. 11.2. Схема системы автоматического регулирования (к примеру 11.2) Передаточные функции звеньев имеют следующий вид
1 3
( )
;
P
s
W s
s
+
=
ОУ
3 2
3 1
( )
2 3
2 1
s
W
s
s
s
s
+
=
+
+ +
Решение.Прежде всего, необходимо отыскать характеристическое уравнение системы. Для этого вычислим передаточную функцию заданной системы по формуле (8.2):
( )
( )
( )
( )
П
П
ОС
,
1
W
s
W s
W
s где П) – передаточная функция прямой цепи системы
W
OC
(s) – передаточная функция обратной связи системы. В данном случае имеем единичную обратную связь, поэтому
W
OC
(s) = 1. Передаточную функцию прямой цепи найдем по формуле эквивалентной передаточной функции последовательного соединения звеньев (7.1):
2
П
Р
ОУ
3 2
3 2
1 3 3
1
(3 1)
( )
( )
( )
2 3
2 1
(2 3
2 1)
s
s
s
W s
W s х
y
W
P
(s)
W
ОУ
(s)

122 Подставим полученные выражения в формулу передаточной функции системы
( )
2 2
3 2
3 2
2 3
2 2
3 2
3 2
2 2
4 3
2 2
4 3
2
(3 1)
(3 1)
(2 3
2 1)
(2 3
2 1)
(3 1)
(2 3
2 1) (3 1)
1 1
(2 3
2 1)
(2 3
2 1)
(3 1)
(3 1)
2 3
2 9
6 1
2 3
11 7
1
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
W s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
+
+
+
+ +
+
+ +
=
=
=
+
+
+ + +
+
+
⋅
+
+ +
+
+ +
+
+
=
=
+
+
+ +
+ +
+
+
+ +Приравняв к нулю знаменатель полученной передаточной функции, получим характеристическое уравнение рассматриваемой системы
4 3
2 2
3 11 7
1 0.
s
s
s
s
+
+
+ + =
(11.4) Проверим необходимое условие устойчивости. Поскольку все коэффициенты характеристического уравнения (11.4) положительные, то выполняется необходимое условие устойчивости, и для определения устойчивости системы требуется дополнительное исследование. Воспользуемся алгебраическим критерием Гурвица. Характеристическое уравнение имеет четвертый порядок. Выпишем его коэффициенты а = 2, а = 3, а = 11, а = 7, а = 1. Аналогично примеру 11.1 запишем определитель Гурвица четвертого порядка (формула (11.2)), подставив значения параметров
4 3
7 0
0 2 11 1
0 0
3 7
0 0
2 11 4
∆ Теперь по критерию Гурвица найдем значения всех диагональных миноров полученного определителя
1 3
0,
∆ = >
2 3
7 3 11 2 7 33 14 19 0,
2 11
∆ =
= ⋅ − ⋅ =
− =
>

123 3
3 7
0 2 11 1 3 11 7 2 3 0 0 1 7 0 11 0 2 7 7 3 3 1 0
3 7
231 0 0 0 28 9 194 0,
∆ =
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =
=
+ + − −
− =
>
4 4
3 4 194 776 0.
a
∆ =
∆ = Поскольку все диагональные миноры положительные, то, по критерию Гурвица, система устойчива. Ответ система устойчива. Пример Известна передаточная функция разомкнутой системы
500
( )
(0, 02 1)(
1)
W Определить значение постоянной времени Т, при которой замкнутая система окажется на границе устойчивости.
Решение.Прежде всего, необходимо отыскать характеристическое уравнение замкнутой системы. Для этого вычислим передаточную функцию замкнутой системы по формуле (8.2):
( )
( )
( )
( )
( )
( )
П
П
Р
П
ОС
,
1 1
W
s
W
s
W s
W
s
W
s где П) – передаточная функция прямой цепи системы
Р) – передаточная функция разомкнутой системы
W
OC
(s) – передаточная функция обратной связи системы. В данном случае имеем единичную обратную связь, поэтому
W
OC
(s) = 1 и ПР. Получаем
( )
500 500
(0,02 1)(
1)
(0, 02 1)(
1)
500
(0,02 1)(
1) 500 1
(0,02 1)(
1)
(0, 02 1)(
1)
s
s
Ts
s
s
Ts
W s
s
s
Ts
s
s
Ts
s
s
Ts
+
+
+
+
=
=
=
+
+ +
+
+
+
+
+

124 3
2 2
3 2
500 500
(0,02 1)(
1) 500 0,02 0, 02 500 500 0,02
(0,02
)
500
s
s
Ts
Ts
s
Ts
s
Ts
T s
s
=
=
=
+
+ +
+
+
+ +
=
+
+
+ +Приравняв к нулю знаменатель полученной передаточной функции, получим характеристическое уравнение рассматриваемой системы
3 2
0, 02
(0,02
)
500 0.
Ts
T s
s
+
+
+ +
=
(11.5) Проверим необходимое условие устойчивости. Все коэффициенты характеристического уравнения (11.5) должны быть положительными. Последние два коэффициента удовлетворяют этому условию, для двух первых коэффициентов получаем следующую систему неравенств
0,02 0,
0,
0,02 0;
0,02;
T
T
T
T
>
>


⇒


+ >
> откуда Т > 0. Воспользуемся алгебраическим критерием Гурвица (при Т > 0). Характеристическое уравнение имеет третий порядок. Выпишем его коэффициенты а = Та+ Та а = 500. Определитель Гурвица для системы третьего порядка имеет вид
1 3
3 0
2 1
3 0
0 0
a
a
a
a
a
a
∆ =
(Подставим в определитель (11.6) значения параметров
3 0,02 500 0
0,02 1
0 .
0 0, 02 500
Т
Т
Т
+
∆ Найдем значения всех диагональных миноров полученного определителя

125 1
0, Т =
+
2 0, 02 500
(0,02
) 1 0,02 500 0, 02 0,02 1
10 0, 02 9 ,
Т
Т
Т
Т
Т
Т
Т
+
∆ =
=
+ ⋅ −
⋅
=
+ −
−
=
−
3 3
2 500(0, 02 9 Т = ∆ По критерию Гурвица, для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы при а > 0 все диагональные миноры определителя Гурвица были положительными
1 0,
∆ >
2 0,
∆ >
3 0.
∆ Получаем следующую систему неравенств
0, 02 0,
0, 02,
0, 02,
0, 02 9 0,
9 0, 02 1 / 450,
500(0, 02 9 )
0;
0, 02 9 0;
1 / 450;
Т
Т
Т
Т
Т
Т
Т
Т
Т
+ >
> −
> −






−
>
⇒
−
> −
⇒
<
⇒






−
>
−
>
<



⇒
0, 02 1 / Т Из необходимого условия устойчивости также имеем Т > 0. Окончательно получаем, что, по критерию Гурвица, система будет устойчивой, если постоянная времени Т будет удовлетворять неравенству
0 1 / Т Система будет на границе устойчивости, когда постоянная времени Т примет свои граничные значения. Из двух граничных значений Т = 0 и Т = 1/450 следует отбросить значение Т = 0, так как в этом случае изменится тип звена. Следовательно Т = 1/450. Таким образом, при значении постоянной времени Т = 1/450 заданная система будет на границе устойчивости. Ответ Т = 1/450. Задания для самостоятельного решения Задание Определить устойчивость заданного звена с помощью алгебраического критерия устойчивости Гурвица. Данные по вариантам приведены в табл. 11.1.

126 Таблица 11.1 Исходные данные для задания 11.1 Вариант Передаточная функция Вариант Передаточная функция Вариант 1 2
2 4(
1)
( )
(4 1)
s
W Вариант 11 2
2(
1)
( )
(4 5
1)
s
W s
s
s
s
+
=
+ +Вариант 2 2
2 5(
1)
( )
(2 1)
s
W Вариант 12 2
4(
1)
( )
(2 1)(5 1)
s
W Вариант 3 3
2 0,5(
1)
( )
4 5
6 1
s
W s
s
s
s
+
=
+
+ +Вариант 13 2
4 5
1
( )
(
1) (2 1)
s
W s
s Вариант 4 3
5(2 1)
( )
(3 1)
s
W s
s Вариант 14 2
2 2(2 1)
( )
(5 1) (4 1)
s
W Вариант 5 2
8(
1)
( )
(2 1)(4 1)
s
W Вариант 15 2
2 2(
1)
( )
(5 1)
s
W Вариант 6 2
2 4(2 3
1)
( )
(
1)
s
s
W s
s s
+ +Вариант 16 2
3(2 1)
( )
(4 1)
s
W Вариант 7 2
5(
1)
( )
2 (2 1)(3 1)
s
W Вариант 17 2
8(
1)
( )
(2 1)(5 1)
s
W s
s
s
s
+
=
+
+
126

127 Окончание таблицы 11.1 Вариант Передаточная функция Вариант Передаточная функция Вариант 8 3
2 8(5 1)
( )
7 8
9 1
s
W s
s
s
s
+
=
+
+ +Вариант 18 2
3(
1)
( )
(4 2
1)
s
W Вариант 9 2(4 1)
( )
(
1)(2 1)
s
W s
s Вариант 19 3
2 2(4 1)
( )
3 2
4 1
s
W s
s
s
s
+
=
+
+ +Вариант 10 2
2 2
3(
4 1)
( )
(2 3
1)
s
s
W s
s
s
s
+ +
=
+ +Вариант 20 2
3 2
4(
1)
( )
7 8
9 1
s
s
W s
s
s
s
+ +
=
+
+ +
127

128 Указание к выполнению задания:воспользуйтесь решением примера 11.1. Для получения характеристического полинома раскройте скобки в знаменателе передаточной функции. Задание 11.2. Выполнить задание примера 11.2. Данные по вариантам приведены в табл. 11.2. Таблица 11.2 Исходные данные для задания 11.2 Вариант Передаточные функции Вариант 1
P
4 3
( )
;
s
W s
s
+
=
ОУ
3 2
3 1
( )
3 2
1
s
W
s
s
s
s
+
=
+
+ +Вариант 2
P
( ) 1 2 ;
W s
s
= +
ОУ
4 3
2 3
( )
2 2
3 4
W
s
s
s
s
s
=
+ +
+ +Вариант 3
P
3
( )
;
s
W s
s
+
=
ОУ
3 2
2
( )
3 1
W
s
s
s
s
=
+ + +Вариант 4
P
( )
3 2;
W s
s
= +
ОУ
4 3
2 4
( )
4 3
2 Вариант 5
P
6
( )
;
W s
s
=
2
ОУ
3 2
2 1
( )
3 3
2 Вариант 6
P
( )
2;
W s
=
2
ОУ
4 3
2 5
( )
3 5
1
s
W
s
s
s
s
s
+
=
+ +
+ +Вариант 7
P
( )
3 1;
W s
s
= +
2
ОУ
4 3
2 3
1
( )
2 2
5
s
s
W
s
s
s
s
s
+ +
=
+
+
+ +Вариант 8
P
( )
4 1;
W s
s
=
+
ОУ
4 3
2 4
( )
2 7
6
W
s
s
s
s
s
=
+
+
+ +Вариант 9
P
1
( )
;
2
W s
s
=
ОУ
3 2
2
( )
2 4
s
W
s
s
s
s
+
=
+
+ +Вариант 10
P
3 2
( )
;
s
W s
s
+
=
ОУ
3 2
2 3
( )
2 10
s
W
s
s
s
s
+
=
+
+ +Вариант 11
P
2(
1)
( )
;
s
W s
s
+
=
ОУ
2 1
( )
3 1
W
s
s
s
=
+ +Вариант 12
P
3
( )
;
1
W s
s
=
+
ОУ
2 1
( )
4 5
1
W
s
s
s
=
+ +

129 Окончание таблицы 11.2 Вариант Передаточные функции Вариант 13
P
2 4
( )
;
(2 1)
W s
s
=
+
ОУ
2 2
1
( )
(4 Вариант 14
P
2 10
( )
;
W s
s
=
ОУ
2 1
( )
(5 Вариант 15
P
( )
4;
W s
=
ОУ
4 3
2 5
( )
2 3
4 1
s
W
s
s
s
s
s
+
=
+
+ +Вариант 16
P
( )
3 5;
W s
s
= +
;
2
ОУ
4 3
2 3
1
( )
2 2
1
s
s
W
s
s
s
s
s
+ +
=
+ +
+ +Вариант 17
P
( )
2 1;
W s
s
=
+
ОУ
4 3
2 1
( )
2 6
7
W
s
s
s
s
s
=
+
+
+ +Вариант 18
P
2 7
( )
;
W s
s
=
ОУ
2 1
( )
5 3
4
s
W
s
s
s
+
=
+ +Вариант 19
P
2 1
( )
;
(2 1)
W s
s
=
+
ОУ
2 1
( )
16 3
s
W
s
s
s
+
=
+ +Вариант 20
P
6
( )
;
1
W s
s
=
+
ОУ
2 1
( )
5 4
1
W
s
s
s
=
+ +Задание 11.3.* Выполнить задание примера 11.3. Данные по вариантам приведены в табл. 11.3. Таблица 11.3 Исходные данные для задания 11.3 Вариант Передаточные функции Вариант Передаточные функции Вариант 1 100
( )
(0, 02 1)(
1)
W Вариант 6 2
10
( )
(2 3
1)(
1)
W s
s
s
Ts
=
+ +Вариант 2 500
( )
(0, 01 1)(
1)
W Вариант 7 10
( )
(3 1)(
1)
W s
s s
Ts
=
+
+

130 Окончание таблицы 11.3 Вариант Передаточные функции Вариант Передаточные функции Вариант 3 100
( )
(0, 01 1)(
1)
W Вариант 8 10
( )
(2 1)(
1)
W Вариант 4 2
10
( )
(3 2
1)(
1)
W Вариант 9 10
( )
(4 1)(
1)
W Вариант 5 2
5
( )
(3 1)(
1)
W s
s
s
Ts
=
+ +Вариант 10 100
( )
(2 1)(
1)
W s
s
s
Ts
=
+
+

131 Тема 12. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАПАСОВ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЧАСТОТНЫХ КРИТЕРИЕВ УСТОЙЧИВОСТИ Цель занятия:научиться определять устойчивость системы и запасы устойчивости по критерию Найквиста. Вопросы и задания для подготовки к занятию
1. Сформулируйте критерий Найквиста (частотный) устойчивости линейной системы.
2. Изложите понятие и смысл запасов устойчивости по амплитуде и фазе.
3. Изложите порядок определения запасов устойчивости по амплитуде и фазе. Краткие теоретические сведения Критерий Найквистаустойчивостилинейной системы позволяет оценить устойчивость замкнутой САР по ее разомкнутой цепи (по амплитудно-фазовой частотной характеристике (АФЧХ)
( ω)
W разомкнутой системы. Для этого в передаточной функции
( )
W s производят замену оператора s на переменную ω
j и на комплексной плоскости при изменении частоты от нуля (если это возможно) до бесконечности строят АФЧХ ( ω)
W j
(годограф Найквиста). При этом разомкнутая система может быть
– устойчивой (действительные части всех полюсов – левые
– неустойчивой (есть правые действительные части полюсов
– астатической, или на границе устойчивости (есть нулевые полюса, действительные части остальных полюсов могут быть как левыми, таки правыми. Разомкнутая система устойчива, если устойчивы все отдельные звенья системы после приведения ее к одноконтурному виду. Устойчивость отдельных звеньев определяют по любому из критериев устойчивости (обычно по критерию Гурвица).

132 Теорема. Критерий Найквиста (частотный) устойчивости линейной системы. Случай Если система в разомкнутом состоянии устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от нуля до бесконечности не охватывала точку с координатами j0).
Im
Re
0 1
−
4 3
2 а 1
2 0
ω
=
0
ω
=
б)
Рис. 12.1. Виды графиков АФЧХ разомкнутых САР На риса характеристики 1 и 4 соответствуют устойчивым системам. Кривая 1 соответствует абсолютно устойчивой замкнутой САР (системе, которая остается устойчивой приуменьшении коэффициента передачи разомкнутой цепи, кривая 4 – условно устойчивой САР (системе, устойчивой только в некотором диапазоне изменения коэффициента передачи разомкнутой цепи. Характеристика 3 соответствует неустойчивой системе, характеристика нахождению системы на границе устойчивости. Если, например, уменьшать коэффициент передачи в неустойчивой системе, ее АФЧХ будет сжиматься к началу координат, в результате чего система станет устойчивой. Наоборот, при увеличении коэффициента передачи характеристика ранее устойчивой системы в результате охватит точку (–1, j0), и система потеряет устойчивость. Случай 2. Если система в разомкнутом состоянии неустойчива, то для устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку с координатами) в положительном направлении k/2 раз, где k – число корней характеристического уравнения с положительной действительной частью (число правых полюсов передаточной функции W(s) разомкнутой системы. Другими словами, число пересечений ею отрицательной действительной полуоси левее точки (–1, j0) сверху вниз должно быть на
k/2 больше числа пересечений в обратном направлении. Правило расчета числа переходов АФЧХ неустойчивой разомкнутой системы левее точки с координатами (–1; j0) приведено на рис. 12.2.
Im(W
0
(j
ω
)) переходы –1/2 –1
(–1, j0) 0
Re(W
0
(j
ω
))
+1/2 +1 Рис. 12.2. Правило переходов левее точки с координатами (–1; j0) В качестве примера (см. рис. 12.1, б) показаны две АФЧХ разомкнутой системы, неустойчивой в разомкнутом состоянии вследствие наличия правых корней, но устойчивой в замкнутом состоянии.

134 Характеристика 1 соответствует k = 1, характеристика 2 – значению (в первом случае имеем половину пересечения действительной оси левее точки (–1, j0)). Случай Если система в разомкнутом состоянии находится на границе устойчивости (является астатической, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы, дополненная дугой бесконечно большого радиуса против часовой стрелки до действительной полуоси, не охватывала точку с координатами (–1, Физический смысл критерия Найквиста заключается в том, что при увеличении частоты входного воздействия сигнал, проходящий по цепи обратной связи, оказывается в противофазе с входным. Это равносильно замене отрицательной обратной связи положительной. Если же при этой частоте разомкнутый контур обладает усилением те. Р, то замкнутая САР становится неустойчивой (любое увеличение сигнала на выходе приводит к увеличению сигнала на входе по цепи обратной связи, что вызывает дальнейший рост выходного сигнала и т. д. Применение критерия Найквиста При применении критерия Найквиста необходимо предварительно определить число правых полюсов W(s). Для одноконтур- ной системы, когда знаменатель W(s) представляет собой произведение знаменателей передаточных функций отдельных звеньев, это число находится легко, поскольку полюсами W(s) являются полюсы передаточных функций отдельных звеньев. Умно- гоконтурных систем, особенно с перекрестными связями, задача определения числа k усложняется, ив этих случаях целесообразно отказаться от применения критерия Найквиста. При решении практических задач для оценки устойчивости
САУ необязательно строить годограф Найквиста. Достаточно в частотной передаточной функции разомкнутой цепи
( ω)
W j
приравнять к нулю мнимую часть и определить из получившегося уравнения частоту переворота фазы
π
ω — частоту, соответствующую повороту радиус-вектора АФЧХ разомкнутой цепи на угол
π
−
, те. до совпадения с отрицательной вещественной

135 полуосью. Затем подставить получившееся значение в вещественную часть
( ω)
W j
и вычислить ее модуль. Если
(
)
π
Re
( ω )
1
W j
<
, то система устойчива, в противном случае – неустойчива. Соответственно, условия нахождения системы на границе устойчивости можно записать, используя вещественную и мнимую части частотной передаточной функции разомкнутой цепи
(
)
(
)
π
π
Re
( ω )
1,
Im
( ω )
0.
W j
W j

= Оценка устойчивости САУ, содержащих звенья чистого запаздывания Пусть звено чистого запаздывания с передаточной функцией
τs
e
−
включено последовательно с системой без запаздывания с передаточной функцией
0
( )
W s . Результирующие передаточная и частотная передаточная функции разомкнутой цепи будут иметь вид
τ
0
( )
( )
,
s
W s
W s e
−
=
ωτ
0
( ω)
( ω)
j
W Поскольку
0
φ (ω)
0 0
( ω)
(ω)
,
j
W
j
A
e
=
то
0
(φ (ω) ωτ)
0
( ω)
(ω)
j
W Таким образом, звено чистого запаздывания вносит лишь дополнительный фазовый сдвиг. При этом изменяется АФЧХ, те. меняются условия устойчивости (характеристика закручивается почасовой стрелке. При некотором τ система станет неустойчивой. Пусть АФЧХ устойчивой САУ без запаздывания
0
( ω)
W
j
пересекает окружность единичного радиуса на частоте среза cp
ω при повороте радиус-вектора АФЧХ на угол cp
φ . При введении в
САУ звена чистого запаздывания на границе устойчивости конец этого радиус-вектора совпадет сточкой, и будет справедливым соотношение cp cp г τ
π
−
= −
; отсюда можно определить граничное (предельное) значение запаздывания гр (рис. 12.3):

136 cp г cp
π φ
τ
ω
+
=
Im(W
0
(j
ω
))
W
0
(j
ω
)
0
Re(W
0
(j
ω
))
ϕ
ср
ω
=
ω
ср
–1 Рис. 12.3. Порядок определения граничного запаздывания Запасы устойчивости Запас устойчивости по фазе определяется величиной ∆φ, на которую должно возрасти запаздывание по фазе, чтобы система оказалась на границе устойчивости. Для определения проводится дуга радиусом до пересечения с АФЧХ и измеряется угол между действительной осью и вектором, проведенным изначала координат в точку пересечения АФЧХ с окружностью единичного радиуса (рис. 12.4). А ∞
ω 0
=
( ω)
W Рис. 12.4. Порядок определения запасов устойчивости по фазе и по амплитуде с помощью АФЧХ разомкнутой системы

137 Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной А допустимого увеличения АЧХ, при котором система окажется на границе устойчивости. Он равен расстоянию от точки пересечения
АФЧХ разомкнутой системы вещественной оси до точки (–1, j0) (см. рис. 12.4). Таким образом, запас устойчивости по амплитуде представляет собой запас по коэффициенту передачи разомкнутой системы по отношению к его критическому по устойчивости значению. При проектировании САУ рекомендуется выбирать ∆φ ≥ 30° и А ≥ 0,7. Примеры решения задач Пример 12.1. Дана передаточная функция разомкнутой системы
4 3
2 2
1
( )
2 3
2 3
1
s
W s
s
s
s
s
+
=
+
+
+ +Определить устойчивость замкнутой САР.
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   15

Смотрите также файлы