Файл: 1. Изучение математического описания линейных звеньев.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.01.2024

Просмотров: 134

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Решение.При выполнении этого задания при построении графиков можно воспользоваться пакетом MATLAB. Введем в MATLAB заданную передаточную функцию командой
W = tf([2 1],[2 3 2 3 1]) и, воспользовавшись командой, рассмотрим реакцию на единичное ступенчатое воздействие step(w). Полученный график переходного процесса показан на рис. 12.5. Как видно изданных графика (рис. 12.5), разомкнутая система неустойчива, следовательно, воспользуемся формулировкой случая
2 критерия Найквиста: если разомкнутая система неустойчива, то того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы
АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку с координатами (–1,
j0) в положительном направлении k/2 раз, где k – число правых полюсов передаточной функции W(s) разомкнутой системы.

138 0
2 4
6 8
10 12 14 16 18
-4
-2 0
2 4
6 8
Step Response
Time (sec)
A
m p
lit Рис. 12.5. График переходной функции разомкнутой системы (к примеру 12.1) Построим АФЧХ разомкнутой системы командой nyquist(w). Полученная диаграмма Найквиста показана на рис. 12.6.
-1
-0.5 0
0.5 1
1.5 2
2.5
-2
-1.5
-1
-0.5 0
0.5 1
1.5 2
Nyquist Diagram
Real Axis
Im a
g ina ry
A
x Рис. 12.6. Диаграмма Найквиста разомкнутой неустойчивой системы (к примеру 12.1)

139 Данные рис. 12.6 показывают, что АФЧХ ни разу не охватывает точку (–1, j0), поэтому замкнутая система будет неустойчивой. Ответ замкнутая система неустойчива. Заметим, что, запасы устойчивости системы по амплитуде и по фазе можно оценить, используя ЛАЧХ и ЛФЧХ, с помощью команды margin(w). Соответствующий график показан на рис. 12.7.
-120
-100
-80
-60
-40
-20 0
20
M
agn it ude
(d
B)
10
-2 10
-1 10 0
10 1
10 2
-405
-360
-315
-270
-225
P
ha s
e
(
deg)
Bode Diagram
Gm = Inf , Pm = -78.9 deg (at 1.18 rad/sec)
Frequency (Рис. 12.7. ЛАЧХ и ЛФЧХ и запасы устойчивости (к примеру 12.1) Изданных графика видно (рис. 12.7), что система асимптотически устойчива по амплитуде, запас устойчивости по фазе составляет –78,9º. Пример Определить устойчивость системы автоматического регулирования, схема которой приведена на рис. 12.8, с помощью критерия Найквиста. Рис. 12.8. Схема САР (к примеру 12.2) х
y
W
P
(s)
2 s
e
−
W
ОУ
(s)

140 Передаточные функции имеют следующий вид
P
1
( )
7
,
W s
s
= +
ОУ
5
( )
3 1
W
s
s
=
+
Решение.Для применения критерия Найквиста необходимо прежде всего определить устойчивость разомкнутой системы. Разомкнутая система (после разрыва обратной связи) представляет собой последовательно соединенные объект и регулятор, ее передаточная функция запишется в виде
2
P
ОУ
7 1
5
( )
( )
( )
3 1
s
s
W s
W s Запишем характеристическое уравнение разомкнутой системы
(3 1)
0.
s s
+ Корни характеристического уравнения
1 0,
s
=
2 1 / 3.
s
= По критерию устойчивости получаем, что разомкнутая система находится на границе устойчивости. Воспользуемся формулировкой случая 3 критерия Найквиста: если разомкнутая система находится на границе устойчивости, то для того, чтобы замкнутая система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы, дополненная дугой бесконечно большого радиуса против часовой стрелки до действительной полуоси, не охватывала точку (–1, j0). Запишем выражение для АФЧХ разомкнутой системы
35ω
arctg
2 2 ω
5 2 ω
π
2
arctg3ω
2 25
(35ω)
7 ω 1 5
( ω)
,
ω
3 ω 1 1 9ω
ω
j
j
e
e
j
W откуда АЧХ будет равна
2 2
25
(35ω)
(ω)
,
1 9ω
A
+
=
+

141
ФЧХ будет равна
π
φ(ω)
2ω
arctg 7ω arctg 3ω
2
= Годограф АФЧХ полученной системы построен на рис. 12.9. Как видно изданных рисунка, годограф охватывает точку (–1, j0), что говорит о том, что замкнутая система неустойчива. Рис. 12.9. Годограф Найквиста Ответ замкнутая система неустойчива. Пример Пользуясь частотным критерием устойчивости
Найквиста, получить выражение для оценки устойчивости и определить граничный коэффициент передачи для САУ, передаточная функция разомкнутой цепи которой имеет вид
(
)(
)(
)
Р
Р
1 ОС )
1 1
1
K
W s
T s
T s
T s
=
+
+
+
Решение.Произведем в Р )
W s замену оператора
s
на переменную и выделим в знаменателе получившегося выражения мнимую и вещественную части

142
(
)(
)
(
)
ОС
ОС
Р
Р
2 1 2 1
2 1
2
( ω)
(1 ω
ω(
))(1
ω
)
1
ω
1
ω
1
ω
K
K
W j
T T
j
T
T
j T
j T
j T
j T
=
=
=
−
+
+
+
+
+
+
ОС
ОС
Р
Р
2 2
1 2 1
2 1
2 1 2 1 ω (
(
)
)
ω(
(1 ω
))
(ω)
(ω)
K
K
T T
T
T T
j
T
T
T
T T
u
jv
=
=
−
−
+
+
+ +По правилам деления комплексных чисел, числитель и знаменатель полученного выражения нужно умножить на комплексную сопряженную функцию (ω)
(ω)
u
jv
−
. Но поскольку при определении частоты переворота фазы мнимая часть приравнивается к нулю и знак передней не играет роли, то операцию умножения на комплексную сопряженную функцию можно не проводить, приняв ОС 2
π 1 2
Im
Im
( ω )
(1 ω
)
0,
W j
T
T
T
T T
=
= + +
−
=
(
)
ОС
Р
π
2
π
1 2 1
2
Re
Re
( ω )
1 ω (
(
)
)
K
W j
T T
T
T Выразив из первого уравнения квадрат частоты
π
ω , подставим во второе уравнение, тогда
(
)
ОС
ОС
ОС
ОС
Р
Р
1 2
1 2 1
2
oc
1 2
1 2 1
2
Re
1 1
1 1
(
(
)
)
1
K
K
T
T
T
T T
T
T T
T
T
T
T T T
T
T
T
=
=
+ +


−
+
+
−
+ +При Re 1
<
система будет устойчивой. На границе устойчивости Re
1
= −
, те.
(
)
ОС
ОС
ГР
1 2
1 2
1,
1 1
1 1
K
T
T
T
T
T
T
= −


−
+ +
+
+






(
)
ОС
ОС
ГР
1 2
1 2
1 1
1 1.
K
T
T
T
T
T
T


=
+ +
+
+
−

143 Зададимся конкретными значениями коэффициентов передачи и постоянных времени. Пусть Р,
1 0,5
T
=
с,
2 0,1
T
=
с, ОС с. Тогда по полученным соотношениям получим
2 2
π
ω
260 c
−
=
,
Re
1, 263 1
=
>
, следовательно, система с такими параметрами будет неустойчивой. Ее граничный коэффициент передачи
(
)
ГР
Р
1 1
1 0,5 0,1 0,05 1 19,8 0,5 0,1 0,05
K
K


=
+
+
+
+
− Ответ граничный коэффициент передачи
ГР
19,8.
K
=
Задания для самостоятельного решения Задание Выполнить исследование устойчивости замкнутой САУ по заданной передаточной функции разомкнутой системы. Привести
– переходную функцию разомкнутой системы
– АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы
– расчет передаточной функции замкнутой системы
– годограф Найквиста разомкнутой системы
– переходную функцию замкнутой системы
– выводы об устойчивости замкнутой системы. Данные по вариантам приведены в табл. 12.1. При выполнении задания за образец можно взять как пример 12.1, таки пример 12.2.

144 Таблица 12.1 Исходные данные для задания 12.1 Вариант Передаточная функция Вариант Передаточная функция Вариант 1 4
3 2
2
( )
5 5
3 1
W s
s
s
s
s
=
+
+
+ +Вариант 6 5
4 3
2 10
( )
3 2
2 1
W s
s
s
s
s
s
=
+
+
+
+ +Вариант 2 4
3 2
1
( )
0, 05 0,1 1
W s
s
s
s
s
=
+
+ + +Вариант 7 3
2 3
( )
0,1 0, 01 0,1 1
W Вариант 3 3
2 1
( )
0,1 0,1 1
W s
s
s
s
=
+
+ +Вариант 8 3
2 10
( )
2 2
1
W s
s
s
s
=
+
+ +Вариант 4 4
3 2
100
( )
5 0,1 2
2 1
W Вариант 9 3
2 1
( )
0,1 0,1 1
W Вариант 5 3
2 1
( )
8 4
2 1
W Вариант 10 5
4 3
2 10
( )
2 3
3 0,5 0, 5 1
W s
s
s
s
s
s
=
+
+
+
+
+
144

145 Задание Выполнить задание примера 12.2. Данные по вариантам приведены в табл. 12.2. Таблица 12.2 Исходные данные для задания 12.2 Вариант
P
( )
W s
ОУ
( Вариант
P
( )
W s
ОУ
( Вариант 1 1
3 2s
+
5 Вариант 6 1
5 2s
+
6 Вариант 2 1
6
s
+
10 Вариант 7 1
10
s
+
3 Вариант 3 1
4
s
+
10 Вариант 8 2
4
s
+
2 Вариант 4 2
7
s
+
6 Вариант 9 2
1
s
+
4 Вариант 5 2
6
s
+
4 Вариант 10 2
3
s
+
15 Задание 12.3.* Определить граничный коэффициент передачи для передаточной функции, рассмотренной при выполнении задания 12.2.

146 Тема 13. ИССЛЕДОВАНИЕ УПРАВЛЯЕМОСТИ И НАБЛЮДАЕМОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Цель занятия:научиться определять управляемость и наблю- даемость системы автоматического управления. Вопросы и задания для подготовки к занятию
1. Приведите определение управляемости системы автоматического управления.
2. Приведите определение наблюдаемости системы автоматического управления.
3. Сформулируйте критерий Калмана управляемости и наблю- даемости системы автоматического управления. Краткие теоретические сведения Пусть линейная САУ представлена уравнениями в пространстве состояний
,
d
A
B
dt
=
+
x
x
u
,
C
=
y
x
(13.1) где x – вектор координат состояния системы
u – вектор управления
y – вектор измерений на выходе системы
1 2
,
n
x
x
x
 
 
 
=  
 
 
x
1 2
,
m
u
u
u
 
 
 
=  
 
 
u
1 2
,
q
y
y
y
 
 
 
=  
 
 
 А, В и С – матрицы коэффициентов
11 1
21 2
1
,
n
n
n
nn
a
a
a
a
A
a
a






= 





11 1
21 2
1
,
m
m
n
nm
b
b
b
b
B
b
b






= 





11 1
21 2
1
n
n
q
qn
c
c
c
c
C
c
c






= 








147 Управляемость системы – такое ее свойство, когда под действием некоторого управления ( )
t
u
в течение конечного отрезка времени ее можно перевести из любого начального состояния
0
x
в конечное В этом случае система называется полностью управляемой.
Наблюдаемость системы – такое ее свойство, когда путем наблюдения (измерения) ее выходных величин ( )
t
y
наконечном интервале времени можно определить все координаты состояния системы. В этом случае система будет полностью наблюдаемой. Теорема 13.1. Критерий Калмана управляемости и наблю-
даемости САУ. Линейная система, заданная уравнениями в пространстве состояний (формула (13.1), является
– полностью управляемой тогда и только тогда, когда матрица
P = (B AB A
2
B ··· A
n –1
B)
(13.2) имеет ранг n, где n – порядок системы
– полностью наблюдаемой тогда и только тогда, когда матрица
Q = (C
T
A
T
C
T
(A
T
)
2
C
T
··· (A
T
)
n –1
C
T
)
(13.3) имеет ранг n, где n – порядок системы. Сведения из курса высшей математики
1. Квадратная матрица порядка n (А) имеет ранг n, если ее определитель отличен от нуля:|А| ≠ 0.
2. Знак Т означает операцию транспонирования матрицы. Чтобы транспонировать матрицу, необходимо поменять местами строки и столбцы
11 1
21 2
1
,
n
n
q
qn
c
c
c
c
C
c
c






= 







11 21 1
1 2
q
T
n
n
qn
c
c
c
C
c
c
c




= 





3. Приумножении матриц матрица-произведение имеет столько же строк, сколько первая матрица-множитель, и столько же столбцов, сколько вторая матрица-множитель. При этом число столбцов первой матрицы-множителя должно совпадать с числом строк второй матрицы-множителя:

148 11 12 1
11 12 1
1 21 22 2
11 1
21 22 2
2 1
2 1
2 1
2
k
j
m
k
m
j
m
i
i
i
ik
k
k
kj
km
k m
n
n
nk
n k
a
a
a
b
b
b
b
a
a
a
c
c
b
b
b
b
c
a
a
a
b
b
b
b
a
a
a
×
×














⋅
=




















1
j
n
nm
n Элемент, находящийся в матрице-произведении в ячейке (i, j), равен скалярному произведению го вектора-строки первой матрицы- множителя иго вектора-столбца второй матрицы-множителя:
1 1 2 2
ij
i
j
i
j
ik kj
c
a b
a b
a b
=
+
+ +Примеры решения задач Пример Система задана уравнениями в пространстве состояний с известными матрицами Аи С
0 1
2 0
1 0
0 0
1
,
A
a
a
a




= 



−
−
−


(
)
1 0 0 Определить наблюдаемость системы по критерию Калмана.
Решение.Чтобы определить наблюдаемость системы по критерию Калмана, нужно составить матрицу Q (формула (13.3)) и определить ее ранг. Имеем систему третьего порядка, поэтому в матрице Q будет три столбца
(
)
2
(
)
T
T
T
T
T
Q
C
A начала протранспонируем матрицы Си А
0 1
0 1
2 2
0 1
0 0
0 0
0 1
1 0
,
0 1
T
T
a
A
a
a
a
a
a
−








=
=
−








−
−
−
−




(
)
1 1 0 0
0 .
0
T
T
C
 
 
=
=  
 
 

149 Найдем элементы второго столбца матрицы Q:
0 0
1 1
2 0
3 3 3 1 3 1 3 1 0
0 1
0 1 0 0
(
) 0 0
1 0
0 1 1 0 0
(
) 0 1
0 1
0 0 1 1 0
(
) 0 0
T
T
a
a
A
C
a
a
a
a
×
×
×
×
−
⋅ + ⋅ + −
⋅


 


 


 


 
⋅
=
−
⋅
= ⋅ + ⋅ + − ⋅
=


 


 


 


 
−
⋅ + ⋅ + −
⋅


 


 Для нахождения элементов третьего столбца матрицы Q возведем в квадрат матрицу АТ
0 0
2 1
1 2
2 3 3 3 3 0
0 0
1 0
2 1
1 0
1 1
2 2
0 0
0 0
(
)
1 0
1 0
0 1
0 1
0 0 0 1 (
) 0 0 0 0 0
(
) 1 0 (
)
0 (
)
(
) (
)
1 0 0 1 (
) 0 1 0 0 0
(
) 1 1 (
)
0 (
)
(
) (
)
0 0 1 1 (
) 0 0 0 1
T
a
a
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
×
×
−
−








=
−
⋅
−
=








−
−




⋅ + ⋅ + −
⋅
⋅ + ⋅ + −
⋅
⋅ −
+ ⋅ −
+ −
⋅ −
= ⋅ + ⋅ + − ⋅
⋅ + ⋅ + − ⋅
⋅ −
+ ⋅ −
+ −
⋅ −
⋅ + ⋅ + −
⋅
⋅ + ⋅
2 0
1 2
2 3 3 0
0 2
1 0
1 2 2
2 1
2 3 3 0
(
) 1 0 (
) 1 (
)
(
) (
)
0 0
1
a
a
a
a
a
a
a a
a
a
a a
a
a
a
×
×



 =




+ −
⋅
⋅ −
+ ⋅ −
+ −
⋅ −


−




=
−
− +




−
− +Тогда третий столбец матрицы Q равен
0 0
2 2
1 0
1 2 2
2 1
2 3 3 3 1 0
0 2
1 0
1 2 2
2 1
2 3 1 3 1 0
1
(
)
0 0
1 0
0 1 (
) 0 0
0 0 1 (
) 0
(
) 0 0
1 1 (
) 0
(
) 0 1
T
T
a
a a
A
C
a
a
a a
a
a
a
a
a a
a
a
a a
a
a
a
×
×
×
×
−


 


 
=
−
− +
⋅
=


 


 
−
− +


 
⋅ + −
⋅ +
⋅


 


 
=
⋅ + − ⋅ + − +
⋅
=


 


 
⋅ + −
⋅ + − +
⋅


 Составим матрицу Q:
1 0
0 0
1 0 .
0 0
1
Q




= 






150 Осталось определить ранг матрицы Q. Воспользовавшись п. 1 (Сведения из курса высшей математики, найдем определитель матрицы Q:
1 0
0 0
1 0
1 0.
0 0
1
Q
=
= Таким образом, rank Q = 3, ранг матрицы Q равен порядку системы, и, по критерию Калмана, система является наблюдаемой. Ответ система наблюдаема. Заметим, что в этом примере видно, что определить наблюдае- мость системы можно, обладая неполной информацией о системе например, в данном случае неизвестными являлись матрицы B, D и некоторые параметры матрицы А. Пример Дана система, граф состояний которой представлен на рис. 13.1. Рис. 13.1. Граф состояний системы (к примеру 13.2) Переменные состояния описываются дифференциальными уравнениями
1 1
2
,
x
x
u
= −
+
&
2 1
2 3 Найти условие, при котором система будет управляемой.
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   15
Решение.Для того, чтобы определить управляемость системы по критерию Калмана, нужно составить матрицу Р (формула (13.2)) и определить ее ранг. Имеем систему второго порядка, поэтому в матрице Р будет два столбца Из условия запишем матрицы Аи В
U(s)
Y(s)
1
s
1
x
1
s
2
x
d
1
1
–2
–3

151 2
0
,
3
A
d
−


= 

−


1 0
B
 
=  
 Найдем элементы второго столбца матрицы Р
2 2 2 1 2 1 2 1 2
0 1
2 1 0 0 2
3 0
1 ( 3) 0
AB
d
d
d
×
×
×
×
−
− ⋅ + ⋅
−


 


 
=
⋅
=
=


 


 
−
⋅ + − ⋅


 


 Составим матрицу Р
1 2
0
P
d
−


= Осталось определить ранг матрицы Р. Согласно п. 1 (Сведения из курса высшей математики, если определитель квадратной матрицы отличен от нуля, то ранг матрицы равен ее порядку. Найдем определитель матрицы Р
1 Таким образом, чтобы ранг матрицы Р был равен порядку системы, ее определитель d должен быть отличен от нуля
0.
d
≠
(13.4) Следовательно, по критерию Калмана, рассматриваемая система будет управляемой, когда выполняется неравенство (13.4). Ответ Пример Дана система, описываемая уравнениями
2 0
1
,
1 1 1
d
dt
−


 
=
+


 
−
−


 
x
x
u
( )
1 1 Определить управляемость и наблюдаемость системы по критерию Калмана.
Решение.Граф состояний системы представлен на рис. 13.2.

152 Рис. 13.2. Граф состояний (к примеру 13.3) Для того, чтобы определить управляемость системы по критерию Калмана, нужно составить матрицу Р (формула (13.2)) и определить ее ранг. Имеем систему второго порядка, поэтому в матрице Р будет два столбца Из условия запишем матрицы Аи В
2 0
,
1 1
A
−


= 

−


1 1
B
 
=  
−
 Найдем элементы второго столбца матрицы Р
2 2 2 1 2 1 2 1 2
0 1
2 1 0 ( 1)
2 1 1 1
1 1 1 ( 1)
2
AB
×
×
×
×
−
− ⋅ + ⋅ −
−


 


 
=
⋅
=
=


 


 
−
−
− ⋅ + ⋅ −
−


 


 Составим матрицу Р
1 2
1 2
P
−


= Осталось определить ранг матрицы Р. Найдем определитель матрицы Р
u
y
1
s
1
x
1
s
2
x
1
1
-
1
–2
1
-
1
–1

153 1
2 1 ( 2) ( 1) ( 2)
2 2 4
0.
1 2
P
−
=
= ⋅ − − − ⋅ − = − − = − Таким образом, по критерию Калмана (см. п. 1 (Сведения из курса высшей математики, рассматриваемая система является управляемой. Для того, чтобы определить наблюдаемость системы по критерию Калмана, нужно составить матрицу Q (13.3) и определить ее ранг. Имеем систему второго порядка, поэтому в матрице Q будет два столбца
(
)
T
T
T
Q
C
A Из условия запишем матрицы Аи .
C
=
Протранспонируем матрицы Аи С
2 0
2 1
,
1 1 0
1
T
T
A
−
−
−




=
=




−




( )
1 1 1 1
T
T
C
 
=
=  
 Найдем элементы второго столбца матрицы Q:
2 2 2 1 2 1 2 1 2
1 1
2 1 ( 1) 1 3
0 1
1 0 1 1 1 1
T
T
A C
×
×
×
×
−
−
− ⋅ + − ⋅
−


 


 
=
=
=


 


 
⋅ + ⋅


 


 Составим матрицу Q:
1 3
1 1
Q
−


= Найдем определитель матрицы Q:
1 3
1 1 1 ( 3) 1 3 4
0.
1 1
Q
−
=
= ⋅ − ⋅ − = + = ≠

154 Поскольку определитель матрицы Q отличен от нуля, то (см. п. 1 (Сведения из курса высшей математики, rank Q = 2, те. ранг матрицы Q равен порядку системы. Таким образом, по критерию Калмана, рассматриваемая система является наблюдаемой. Ответ система управляема и наблюдаема. Задание для самостоятельного решения Задание. Система задана уравнениями в пространстве состояний с известными матрицами А, В и С (D = 0):
,
a
b
A
c
d


= 



,
e
B
f
 
=  
 Требуется а) определить порядок системы и записать уравнения системы в пространстве состояний б) определить управляемость системы по критерию Калмана; в) определить наблюдаемость системы по критерию Калмана. г изобразить граф состояний системы. Данные по вариантам приведены в табл. 13.1.

155 Таблица 13.1 Исходные данные для задания 13.1 Вариант
a
b
c
d
e
f
g
h Вариант
a
b
c
d
e
f
g
h Вариант 1 2
3 4
5 1
1 1
1 Вариант 11 5
1 4
1 0
2 1
1 Вариант 2 3
7 9
5 2
1 2
1 Вариант 12 3
2 0
1 2
1 2
0 Вариант 3 3
8 7
5 2
2 1
1 Вариант 13 5
1 5
1 0
2 1
1 Вариант 4 3
7 9
1 2
1 2
1 Вариант 14 1
0 9
1 2
1 1
0 Вариант 5 1
5 4
1 2
1 0
1 Вариант 15 5
0 2
5 0
1 0
1 Вариант 6 3
0 9
5 2
1 0
1 Вариант 16 1
0 9
1 2
1 1
0 Вариант 7 1
0 2
5 0
1 0
1 Вариант 17 5
0 2
5 0
1 0
1 Вариант 8 3
2 0
1 2
1 2
1 Вариант 18 5
2 4
1 1
0 0
1 Вариант 9 2
2 0
1 2
1 2
0 Вариант 19 5
0 8
5 5
1 8
0 Вариант 10 2 3 4
1 0
2 1
1 Вариант 20 9
0 2
8 0
1 0
1 155

156 Тема 14. ИЗУЧЕНИЕ СИНТЕЗА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ Цель занятия:научиться определять настройки корректирующих устройств (регулятора) при синтезе системы автоматического управления. Вопросы и задания для подготовки к занятию
1. Приведите определение закона регулирования.
2. Приведите формулы пропорционального закона регулирования.
3. Приведите формулы интегрального закона регулирования.
4. Приведите формулы пропорционально-интегрального закона регулирования.
5. Приведите формулы пропорционально-интегрально- дифференциального закона регулирования.
6. Перечислите виды корректирующих устройств. Краткие теоретические сведения Типовые законы регулирования В САР, как правило, используют типовые регуляторы, входным сигналом для которых является величина ошибки регулирования е, которая определяется как разность между заданными текущим значениями регулируемого параметра. Выходным сигналом является величина управляющего воздействия u, подаваемая на объект управления. Закон регулирования – математическая зависимость, в соответствии с которой управляющее воздействие на объект формировалось бы безынерционным регулятором в функции от сигнала ошибки. Пропорциональный закон (П-закон) регулирования Управляющее воздействие пропорционально величине ошибки. Например, если регулируемый параметр начинает отклоняться от заданного значения, то воздействие на объект следует увеличивать в соответствующую сторону. Коэффициент пропорциональности обозначают П

157
u = П
e.
(14.1) Тогда передаточная функция П-регулятора имеет вид Р) = П) Достоинство данного закона регулирования – в быстродействии. Недостаток – в наличии статической ошибки в системе. Интегральный закон (И-закон) регулирования Управляющее воздействие пропорционально интегралу от ошибки, те. чем дольше существует отклонение регулируемого параметра от заданного значения, тем больше управляющее воздействие И )
u
K
e t dt
=
∫
(14.3) Передаточная функция И-регулятора: Р) = И (14.4) Достоинство данного закона регулирования – в отсутствии статической ошибки, те. при возникновении ошибки регулятор будет увеличивать управляющее воздействие, пока не добьется заданного значения регулируемой величины. Недостаток – в низком быстродействии.
Пропорционально-интегральный закон
(ПИ-закон) регулирования Регулятор представляет собой два параллельно работающих регулятора Пи И-регуляторы (рис. 14.1). Данное соединение сочетает в себе достоинства обоих регуляторов быстродействие и отсутствие статической ошибки. Рис. 14.1. ПИ-регулятор
ПИ-закон регулирования описывается уравнением ПИ )
( )
u
K e t
K
e t dt
=
+
∫
(14.5) ПИ е
u

158 и передаточной функцией:
W
Р
(s) = ПИ) То есть регулятор имеет два независимых параметра (настройки И – коэффициент интегральной части и П – коэффициент пропорциональной части.
Пропорционально-интегрально-дифференциальный закон
(ПИД-закон) регулирования
Регулятор можно представить как соединение трех параллельно работающих регуляторов (рис. 14.2). Закон ПИД-регулирования описывается уравнением
П
И
Д
( )
( )
( )
de t
u
K e t
K
e t dt
K
dt
=
+
+
∫
(и передаточной функцией Р) = ПИ+ Д s.
(14.8) Рис. 14.2. ПИД-регулятор
ПИД-регулятор, в отличие от других, имеет три параметра настройки ПИ и Д. ПИД-регулятор используется достаточно часто, поскольку он сочетает в себе достоинства всех трех типовых регуляторов. Корректирующее устройство это такое устройство, которое изменяет форму управляющего сигнала, чтобы получаемая система удовлетворяла предъявляемым к ней требованиям. Виды корректирующих устройств – последовательные, параллельные (обратные связи, коррекция по внешнему воздействию, комбинированные. Регуляторы также являются корректирующими устройствами. ПИ е
u Д

159 Настройка регуляторов формульным методом Изменяя (настраивая) параметры регулятора, можно получить различные системы, которые могут как управлять объектом в соответствии с технологическими требованиями, таки привести его в неустойчивое состояние. Поэтому стоит задача, во-первых, определить настройки, соответствующие устойчивой системе, и, во- вторых, выбрать из них оптимальные в соответствии с требованиями, предъявляемыми к системе.
Формульный метод определения настроек регуляторов используется для быстрой и приближенной оценки значений настроек регуляторов. Если объект управления представляет собой инерционное звено с запаздыванием, те. описывается передаточной функцией
τ
( )
,
1
s
K
W s
e
Ts
−
=
+
(14.9) где K – коэффициент усиления
Т – постоянная времени
τ
– запаздывание, то настройки ПИ, ПИ- и ПИД-регуляторов могут быть определены по приведенным в табл. 14.1 формулам в зависимости оттого, какой вид переходного процесса требуется получить. Во второй колонке таблицы приведены формулы для апериодического процесса без перерегулирования, в третьей – с перерегулированием 20 %, в четвертой – для процесса с максимальным быстродействием (процесс может быть сильно колебательным. Таблица 14.1 Формулы для определения коэффициентов регулятора Регулятор Апериодический процесс Процесс с перерегулирова- нием 20 % Процесс с минимальным временем регулирования П
П
0,3
τ
T
K
K
=
П
0,7
τ
T
K
K
=
П
0,9
τ
T
K
K
=
И
1 4,5 τ
И
K
K
=
И
1 1, 7 И 1, 7 τ
K
K
=

160 Окончание таблицы 14.1 Регулятор Апериодический процесс Процесс с перерегулирова- нием 20 % Процесс с минимальным временем регулирования ПИ ПИ ПИ 1iKiiKiПiTiiKiiKi,
И
1
τ
K
K
=
ПИД ПИ,
Д
0,38T
K
K
=
П
1, 2
τ
T
K
K
=
, И 0,6
τ
T
K
K
=
, Д, ПИ,
Д
0,7T
K
K
=
Пример решения задачи
Пример.По данным табл. 14.2 построить переходную кривую объекта, определить параметры передаточной функции объекта, рассчитать настройки ПИД-регулятора, обеспечивающие апериодический процесс. Таблица 14.2 Исходные данные для примера мин
0 1
2 3
4 5
6 7
8 9
Y, С 4,4 8,8 12,8 16,0 18,8 21,0 22,2 23,8 24,0 Используются следующие обозначения Х – входное воздействие объекта, Y – выходное,
τ
– запаздывание объекта (в табл. 14.2 не включено.
∆
X = 0,15 кг/см
2
;
∆
Y = 24 С
τ
= 1 мин.

161
Решение.По данным табл. 14.2 с учетом запаздывания построим график переходной функции (рис. 14.3). Рис. 14.3. График переходной функции заданного объекта По виду переходной функции можно определить, что передаточная функция объекта соответствует формуле (14.9), те. объект описывается апериодическим звеном первого порядка с запаздыванием. Определим ее параметры. По условию,
τ
= 1 мин. Проведем графоаналитическую обработку переходной функции (см. рис.
14.3). Касательная, проведенная к графику к точке t = 1, пересекает линию установившегося значения при t = 6, таким образом, получаем, что Тмин. Найдем коэффициент передачи K по формуле
Y
K
X
∆
=
∆
24 Тогда передаточная функция объекта равна
160
( )
5 1
s
W По условию, нужно рассчитать настройки ПИД-регулятора, обеспечивающие апериодический процесс. Следовательно, можно воспользоваться формульным методом.
Y
t

162 Передаточная функция ПИД-регулятора приведена в выражении
(14.8) и имеет три параметра ПИ и Д. В соответствии с формулами (табл. 14.1) найдем значения этих параметров
0,95 0,95 5 0,029 687 5,
τ
160 И 2
0, 4 0, 4 5 0,0125,
τ
160 Д 0,38 5 0,011 Окончательно получаем, что передаточная функция регулятора имеет вид Р) = 0,029 687 5 +
0,0125
s
+ 0,011 875 s. Ответ для обеспечения апериодического процесса в систему необходимо ввести последовательное корректирующее устройство в виде ПИД-регулятора с передаточной функцией Р) = 0,029 687 5 +
0,0125
s
+ 0,011 875 s. Задание для самостоятельного решения
Задание.По табличным данным построить переходную кривую объекта, определить параметры передаточной функции объекта, рассчитать настройки регулятора, удовлетворяющие заданным требованиям. Используются следующие обозначения Х – входное воздействие объекта, Y – выходное,
τ
– запаздывание объекта (в таблицы не включено. Вариант № 1. П-закон регулирования, апериодический процесс
∆
X = 0,15 кг/см
2
;
∆
Y = 27 С
τ
= 1 мин.
t, мин
0 1
2 3
4 5
6 7
8 9
Y, С
0,0 4,0 8,3 12,8 16,5 19,2 21,3 23,3 25,0 27,0

163 Вариант № 2. И-закон регулирования, апериодический процесс
∆
X = 15 кПа;
∆
Y = 150 мм
τ
= 0,15 мин.
t, мин
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00
Y, мм
0 9
20 34 52 79 108 124 136 143 148 149,7 150 Вариант № 3. ПИ-закон регулирования, апериодический процесс
∆
X = 90 м
3
/ч;
∆
Y = 150 С
τ
= 0,1 мин. мин
0 1
2 3
4 5
6 7
8 9
10 11 12
Y, С
0 9
20 34 52 79 108 124 136 143 148 149,7 150 Вариант № 4. ПИД-закон регулирования, апериодический процесс
∆
X = 0,5 кг/см
2
;
∆
Y = 8 С
τ
= 1 мин. мин 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Y, С 0 0 0,3 0,9 2,3 4 4,9 5,6 6,1 6,6 6,9 7,2 7,4 7,5 7,5 7,5 Вариант № 5. П-закон регулирования, процесс с 20%-ным пере- регулированием
∆
X = 0,5 кг/см
2
;
∆
Y = 36 С
τ
= 1 мин. мин
0 1
2 3
4 5
6 7
8 9
10
Y, С
0 4,0 8,3 12,8 16,5 19,2 21,3 23,3 25,0 27,0 28,5 мин
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Y, С
30,0 30,8 31,7 32,4 33,0 33,6 34,1 34,7 35,0 35,5 36,0 Вариант № 6. И-закон регулирования, процесс с 20%-ным пере- регулированием
∆
X = 0,1 кг/см
2
;
∆
Y = 7 С
τ
= 0,35 мин.
t
, мин
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10 11 12
Y, С
0,3 1,1 2,4 3,6 4,45 5,1 5,7 6,2 6,5 6,75 6,9 7,0 Вариант № 7. ПИ-закон регулирования, процесс с 20%-ным пе- ререгулированием:
∆
X = 0,25 кг/см
2
;
∆
Y = 7,5 С
τ
= 0,5 мин.
t
, мин 0 0,5 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Y, С
0 0 0,3 0,9 2,3 4 4,9 5,6 6,1 6,6 6,9 7,2 7,4 7,5 7,5 7,5 7,5

164 Вариант № 8. ПИД-закон регулирования, процесс с 20%-ным перерегулированием:
∆
X = 0,055 кг/см
2
;
∆
Y = 0,149 %;
τ
= 40 с. мин
0 20 50 80 110 140 170 200 230 260
Y, %
0 0,009 0,032 0,060 0,089 0,116 0,130 0,141 0,149 0,149 Вариант № 9. П-закон регулирования, процесс с минимальным временем регулирования
∆
X = 0,2 кг/см
2
;
∆
Y = 23 С
τ
= 0,5 мин. мин
0 1
2 3
4 5
6 7
8
Y, С
0 0,6 1,8 3,6 5,8 8,2 11,2 14 16,4 мин
9 10 11 12 13 14 15 16
Y, С
18,2 20,2 21,4 22 22,4 22,6 22,8 23 Вариант № 10. И-закон регулирования, процесс с минимальным временем регулирования
∆
X = 0,2 кг/см
2
;
∆
Y = 30 С
τ
= 1 мин. мин
0 1
2 3
4 5
6 7
8 9 10 11 12
Y, С
0 2
5 8 10 12 15 18 25 27 30 30 30 Вариант № 11. ПИ-закон регулирования, процесс с минимальным временем регулирования
∆
X = 0,3 кг/см
2
;
∆
Y = 7,0 С
τ
= 0,2 мин. мин
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2
Y, С
0 0,42 1,33 2,31 3,43 4,55 5,46 6,02 6,44 6,72 6,86 7,00 Вариант № 12. ПИД-закон регулирования, процесс с минимальным временем регулирования
∆
X = 0,25 кг/см
2
;
∆
Y = 50 С
τ
= 2 мин 45 с.
t, мин
0 2
4 6
8 10 12 14 16 18 20 22 24
Y, С
0 1
5 13 21 30 36 41 45 48 49 50 50 Вариант № 13. П-закон регулирования, апериодический процесс кг/см
2
;
∆
Y = 6 С
τ
= 2 мин.
t, мин
0 1
2 3
4 5
6 7
8 9
Y, С
0 0,3 0,9 2
3,2 3,9 4,4 4,8 5,1 5,3

165 мин
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Y, С
5,4 5,5 5,5 5,6 5,6 5,7 5,7 5,8 5,8 5,9 Вариант № 14. И-закон регулирования, апериодический процесс кг/см
2
;
∆
Y = 3,8 т/ч;
τ
= 3 мин. мин 0 9 15 21 27 33 39 45 51 57 63 69 75 78
Y, т/ч 0 0,65 2,23 2,85 3,2 3,4 3,53 3,62 3,67 3,72 3,75 3,77 3,79 3,8 Вариант № 15. ПИ-закон регулирования, апериодический процесс кг/см
2
;
∆
Y = 22,6 С
τ
= 30 с. мин
0 1
2 3
4 5
6 7
Y, С
0 2,2 6
9,2 11,6 13,8 15,7 17,5 мин
8 9
10 11 12 13 14
Y, С
19,1 20,4 21,3 21,9 22,3 22,5 22,6 Вариант № 16. ПИД-закон регулирования, апериодический процесс
∆
X = 0,1 кг/см
2
;
∆
Y = 5,5 С
τ
= 0,55 мин.
t
, мин 0 1
2 3
4 5
6 7
8 9
10 11 12
Y, С
0 0,133 0,7 2,2 3,733 4,62 5,0 5,23 5,34 5,4 5,43 5,47 5,5 Вариант № 17. П-закон регулирования, процесс с 20%-ным пе- ререгулированием:
∆
X = 0,3 кг/см
2
;
∆
Y = 6,5 С
τ
= 1 мин. мин 0 1 2
3 4
5 6
7 8
9 10 11
Y, С
0 0,5 1,6 3,0 4,3 5,2 5,6 6,0 6,2 6,35 6,45 6,5 Вариант № 18. И-закон регулирования, процесс с 20%-ным пе- ререгулированием:
∆
X = 9 м
3
/ч;
∆
Y = 150 С
τ
= 0,1 мин.
t
, мин
0 1
2 3
4 5
6 7
8 9 10 11 12
Y, С
0 9 20 34 52 79 108 124 136 143 148 149,7 150 Вариант № 19. ПИ-закон регулирования, процесс с 20%-ным перерегулированием:
∆
X = 0,055 кг/см
2
;
∆
Y = 1,5 %;
τ
= 40 с.

166 мин
0 20 50 80 110 140 170 200 230 260
Y, %
0 0,09 0,32 0,60 0,89 1,16 1,30 1,41 1,49 1,49 Вариант № 20. ПИД-закон регулирования, процесс с 20%-ным перерегулированием:
∆
X = 2 кг/м
2
;
∆
Y = 14,0 С
τ
= 0,3 мин. мин
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2
Y, С 0 0,84 2,66 4,62 6,86 9,10 10,92 12,04 12,88 13,44 13,72 14,00

167 Тема 15. ИЗУЧЕНИЕ ОПИСАНИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ В ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ Цель занятия изучить описание систем автоматического управления в переменных состояния. Вопросы и задания для подготовки к занятию
1. Приведите определения графа состояний системы.
2. Перечислите правила построения графа состояний системы.
3. Приведите формулу Мезона. Краткие теоретические сведения Граф состояний системы – способ графического представления уравнений системы в пространстве состояний. При построении графа состояний по известной структурной схеме прямоугольник структурной схемы соответствует ветви, линия передачи сигнала – узлу. Правила построения графа состояний системы
1) каждому узлу (вершине) графа соответствует переменная рассматриваемой системы
2) каждая ветвь (ребро) графа имеет узел-начало х – входная величина, и узел-конец у – выходная величина, получаемая из входной в результате преобразования (передачи) ветви
3) если из узла выходят несколько ветвей, то все они имеют одинаковую входную величину
4) если к одному узлу подходят несколько ветвей, то переменная, соответствующая этому узлу, равна сумме выходных переменных этих ветвей. Узлы графа состояний делятся
– на обычные, имеющие как подходящие, таки отходящие ветви
– источники, имеющие только отходящие ветви
– стоки, имеющие только подходящие ветви. Любой узел можно превратить в сток с помощью ветви с передачей, равной единице. Сигнал, который находится в источнике, является независимой переменной.

168 Путь между любыми двумя узлами графа – непересекающаяся последовательность ветвей между этими узлами с одними тем же направлением стрелки. Передача пути P
ij
– произведение передач ветвей, входящих в путь между узлами i и j. Контур – замкнутая непересекающаяся последовательность ветвей, ориентированная водном и том же направлении. Передача контура произведение передач ветвей, образующих контур. Передача графа Т – отношение выходной величины х
j
к входной величине х, причем х есть источник, те. величина независимая Т = х / х
i
Передача графа находится по формуле Мезона
[
]
[
]
*
1 2
1 1
*
1 2
(1
)(1
)...(1
)
,
(1
)(1
)...(1
)
v
v
k
k
k
u
k
k
ij
u
P
P
L
L
L
T
L
L
L
=
=
∆
−
−
−
=
=
∆
−
−
−
∑
∑
(15.1) где P
k
– передача k -го пути, число которых равно v;
Δ
k
– алгебраическое дополнение го пути, представляющего собой определитель графа Δ, из которого исключены все контуры, которых касается й путь (поэтому в числителе знак *);
Δ – определитель графа
* – учитываются произведения только не касающихся (даже в точке) контуров, число которых равно u. Заметим, что в случае, когда й путь касается всех контуров, Δ
k
= 1. Модель системы в виде графа с переменными состояния в узлах легко получить по передаточной функции. При этом возможны несколько комбинаций переменных состояния и, следовательно, можно изобразить несколько различных графов состояния. В общем случае передаточную функцию можно представить в виде
1 1
1 0
1 1
1 0
( )
( )
,
( )
m
m
m
n
n
n
Y s
s
b
s
b s b
W s
U s
s
a s
a s
a
−
−
−
−
+
+ +
+
=
=
+
+ +
+
(15.2) где n ≥ m и все коэффициенты аи действительные числа. Умножив числитель и знаменательна, получим

169
(
)
(
1)
(
1)
1 1
0 1
(
1)
1 1
0
( )
1
n m
n m
n
n
m
n
n
n
s
b
s
b s
b s
W s
a s
a s
a s
− −
− − +
− −
−
−
−
− −
−
−
+
+ +
+
=
+
+ +
+
(15.3) В соответствии с формулой Мезона (15.1) видно, что в знаменателе расположены коэффициенты передачи контуров с обратной связью, в числителе – коэффициенты передачи прямых путей. Заметим, что в случае, когда все контуры с обратной связью являются касающимися, а все прямые пути, в свою очередь, касаются этих контуров, то формула (15.1) принимает вид
1 Сумма коэффициентов передачи прямых путей Сумма коэффициентов передачи контуров (15.4) Чтобы проиллюстрировать получение сигнального графа в терминах переменных состояния, рассмотрим сначала передаточную функцию четвертого порядка
0 4
3 2
3 2
1 0
4 0
1 2
3 4
3 2
1 0
( )
( )
( )
1
Y s
b
W s
U s
s
a s
a s
a s
a
b s
a s
a s
a s
a s
−
−
−
−
−
=
=
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
(15.5) Поскольку система имеет четвертый порядок, для ее описания понадобятся четыре переменных состояниях, х х х. В формуле Мезона знаменатель передаточной функции можно рассматривать как 1 минус сумма коэффициентов передачи контуров, числитель – как коэффициент передачи прямого пути графа. Граф состояния должен содержать минимальное число интеграторов, равное порядку системы. Следовательно, для графического представления данной системы потребуются четыре интегратора. Соответствующие узлы и интеграторы графа состояний даны на рис. 15.1. Наиболее простая конфигурация из этих элементов, соответствующая передаточной функции, представлена на рис. 15.2, анализируя который можно видеть, что все контуры являются касающимися и, следовательно, передаточная функция имеет вид выражения (15.5): коэффициент передачи прямого пути равен
4 0
/
b
s , знаменатель равен 1 минус сумма коэффициентов передачи всех контуров.

170 Рис. 15.1. Узлы и интеграторы графа для системы четвертого порядка Рис. 15.2. Граф состояния для W(s), соответствующей выражению (15.5) Рассмотрим передаточную функцию четвертого порядка, в которой числитель является полиномом переменной s:
3 2
1 2
3 4
3 2
1 0
3 2
1 0
4 3
2 1
2 3
4 3
2 1
0 3
2 1
0
( )
1
b s
b s
b s
b
b s
b s
b s
b s
W s
s
a s
a s
a s
a
a s
a s
a s
a s
−
−
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
(15.6) Слагаемые в числителе представляют собой коэффициенты передачи прямых путей в формуле Мезона. Прямые пути касаются всех контуров, поэтому граф состояний выглядит так, как представлено на рис. 15.3. Рис. 15.3. Граф состояния для W(s), соответствующей выражению (15.6)
U(s)
Y(s)
1
s
4
x
4
x
&
1
s
3
x
3
x
&
1
s
2
x
2
x
&
1
s
1
x
1
x
&
U(s)
Y(s)
1
s
4
x
1
s
3
x
1
s
2
x
1
s
1
x
1
b
0
-
a
0
-a
1
-
a
2
-
a
3
U(s)
Y(s)
1
s
4
x
1
s
3
x
1
s
2
x
1
s
1
x
1
b
0
-a
0
-a
1
-a
2
-a
3
b
1
b
2
b
3

171 Прямые пути имеют коэффициенты передачи
3
/ ,
b
s
2 2
/
,
b
s
3 1
/
b
s и
4 0
/
,
b
s что соответствует числителю передаточной функции. Напомним, что в числителе формулы Мезона всегда содержатся члены числителя передаточной функции, те. сумма прямых путей от входа системы к ее выходу. Общий вид графа, представляющего передаточную функцию, заданную выражением (15.6) на рис. 15.3, включает в себя n контуров с коэффициентами a
n
и m прямых путей с коэффициентами передачи b
m
. Такое изображение графа состояний называется представлением в форме фазовой переменной. Примеры решения задач Пример 15.1. Составить граф состояний для цепи (см. пример) и найти ее передаточную функцию, воспользовавшись формулой Мезона.
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   15
Решение.В примере 3.1 было получено уравнение рассматриваемой цепи в переменных состояния
1 1
2 2
( )
( )
0 1 /
1/
( ),
( )
( )
1/
/
0
dx t
x t
C
C
dt
u t
x t
dx t
L
R L
dt




−






=
+








−

 или
1 2
2 1
2
( )
1 1
( )
( ),
( )
1
( )
( );
dx t
x t
u t
dt
C
C
dx t
R
x t
x t
dt
L
L

= −
+



=
−

(15.7)
2
( )
( ).
R
L
y t
u
Ri
Rx Передаточная функция рассматриваемой цепи имеет вид
2
( )
α
( )
,
( )
β
γ
Y s
W s
U s
s
s
=
=
+ +
(15.8) где α, β и γ – функции параметров цепи R, L и С. Значения α, β и γ можно определить по графу состояний, отображающему дифференциальные уравнения, описывающие электрическую цепь.

172 По уравнениям (15.7) можно составить граф состояний (рис. 15.4). Рис. 15.4. Граф состояний для цепи На рис. 15.4 через 1/s обозначен символ интегрирования. По формуле Мезона (15.1), получаем передаточную функцию
2 2
2 2
( )
/ (
)
/ (
)
( )
( )
1
/ (
) 1 / (
)
( / )
1 / (
)
1
Y s
R
LCs
R
LC
W s
U s
R
Ls
LCs
s
R L s
LC
R
LCs
RCs
=
=
=
=
+
+
+
+
=
+
+
(15.9)
Ответ:искомый граф состояний изображен на рис. 15.4, передаточная функция
( )
W s
=
2 Пример 15.2. Составить граф состояний системы управления рис. 15.5) в форме фазовой переменной. Рис. 15.5. Одноконтурная система управления (к примеру 15.2)
Решение.Запишем передаточную функцию заданной замкнутой системы управления
2 3
2
( )
2 8
6
( )
( )
8 16 6
Y s
s
s
W s
U s
s
s
s
+ +
=
=
+
+
+
(15.10)
U(s)
Y(s)
1
s
1
x
1
L
1
s
2
x
R
1
C
−
1
C
R
L
−
U(s)
Y(s)
+
–
2(
1)(
3)
( )
(
2)(
4)
s
s
G s
s s
s
+
+
=
+
+

173 Умножая числитель и знаменательна, получим
1 3
2 1
2 3
( )
2 8
6
( )
( )
1 8 16 6
Y s
s
s
s
W s
U s
s
s
s
−
−
−
−
−
−
+
+
=
=
+
+
+
(15.11) Модель в виде графа в форме фазовой переменной изображена на рис. 15.6. В этой модели выходной сигнал образуется как линейная комбинация переменных состояния. Рис. 15.6. Граф состояний в форме фазовой переменной (к примеру 15.2) Для данного графа уравнение состояния имеет вид
1 1
2 2
3 3
0 1
0
( )
0 0
0 1
( )
0
( ),
6 16 8
( )
1
x
x t
x
x t
u t
x
x t
  

  
  

  
=
+
  

  
  

  
−
−
−
  

  
&
&
&
(15.12) выходное уравнение
(
)
1 2
3
( )
( )
6 8 2
( ) .
( )
x t
y t
x t
x t




=






(15.13)
Ответ:искомый граф состояний представлен на рис. 15.6. Задания для самостоятельного решения Задание 15.1. Составить граф состояний САР, рассмотренной при выполнении задания 7.1. Задание 15.2.* Составить граф состояний объекта, рассмотренного при выполнении задания 3.1.
U(s)
Y(s)
s
–1 3
x
s
–1 2
x
s
–1 1
x
1
6
–6
–16
–
8
8
2

174 Тема 16. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Цель занятия:научиться определять передаточные функции дискретных систем автоматического управления и их устойчивость. Вопросы и задания для подготовки к занятию
1. Приведите определение решетчатой функции.
2. Приведите определение дискретного преобразования Лапласа.
3. Приведите определение преобразования.
4. Приведите определение дискретной передаточной функции.
5. Сформулируйте условие устойчивости дискретных систем.
6. Приведите формулу билинейного преобразования.
7. Сформулируйте критерий Гурвица устойчивости дискретных систем. Краткие теоретические сведения Понятие решетчатой функции Решетчатая функция – это функция, значения которой определены лишь в некоторые, тактовые моменты времени
x [nT
0
] = x(t); t = nT
0
, n = 0, 1, 2, ...,
(16.1) где k – номер дискреты;
Т – период дискретизации. При этом непрерывная функция является огибающей решетчатой функции. Аргумент решетчатой функции, в отличие от непрерывных, заключен в квадратные скобки. Заданной непрерывной функции x(t) соответствует однозначная решетчатая функциях (при заданном Т. Обратного однозначного соответствия между решетчатой и непрерывной функцией в общем случае не существует, так как через ординаты решетчатой функции можно провести множество огибающих.

175 Часто отсчеты по шкале времени удобно вести в целочисленных единицах периода квантования Т. С этой целью вместо переменной
t непрерывной функции вводят новую переменную n = t/T
0
, при этом непрерывной функции x(t) будет соответствовать решетчатая функциях Описание дискретных преобразований Дискретное преобразование Лапласа – это преобразование решетчатой функции x[nT
0
] в функцию X
*
(s) комплексного переменного, определяемого соотношением
0 0
0
( )
[
]
,
snT
n
X
s
x nT e
∞
−
∗
=
=
∑
(16.2) где
σ
ω
s
j
= +
– оператор Лапласа
x[nT
0
] – решетчатая функция (оригинал
X
*
(s) – изображение. Для обозначения операции дискретного преобразования Лапласа используется символ L
*
:
(
)
0
( )
[
] .
X
s
L x nT
∗
∗
=
(16.3) Из формулы (16.2) непосредственно следует, что изображение решетчатой функции является периодическим с мнимым периодом
0 в силу периодичности экспоненциальной функции. Таким образом
*
*
0 2π
( ),
j
X
s
m
X s
T


+
=




m = 0, 1, 2, … (16.4) Вследствие этого изображение X
*
(s) рассматривают в полосе частот, которая называется основной полосой
0
π
T
−
< Im s
0
π
T
≤
(16.5)

176 В инженерных расчетах импульсных систем наибольшее распространение имеет так называемое преобразование, получающееся из выражения (16.2) заменой
0
:
sT
z
e
=
(
)
0 0
0
( )
[
]
[
]
n
n
X z
Z x nT
x nT
z
∞
−
=
=
=
∑
(16.6) Связи между изображениями X(s), X
*
(s) и X(z) Изображение X
*
(s) решетчатой функции x[nT
0
] связано сизо- бражением X(s) порождающей непрерывной функции x(t) следующей зависимостью
0 0
1 2π
(0)
( )
,
2
m
x
X
s
X s
j
m
T
T
∞
∗
=−∞


=
+
+




∑
(16.7) для сокращенной записи которой используют следующее обозначение
(
)
( )
( ) .
X
s
D X s
∗
=
(16.8) Связь между изображениями X
*
(s) и X(s) может быть выражена другой, более удобной для непосредственного использования, зависимостью) где
0
,
sT
z
e
=
s
i
;
i = 1, 2, … ;
r – полюсы изображения X(s). При применении формулы (16.9) удобно использовать соотношение
1 1
1
( )
( )
Res
,
( )
( )
s s
a s
a s
b s
b s
=
=
′
(16.10) где s
1
– полюс b(s). Для изображения выполняется следующее соотношение

177 0
0 0
1 2
(0)
( )
2
sT
m
e
z
x
X z
X s
j
m
T
T
π
∞
=−∞
=


=
+
+




∑
(16.11) С учетом выражений (16.2) и (16.6), изображение получается как результат применения к оригиналу х или изображению Х, или, соответственно, D преобразования с последующей заменой В табл. 16.1 представлены изображения некоторых наиболее часто встречающихся функций. Таблица 16.1 преобразование некоторых функций
x(t)
X(s)
x[nT
0
]
X(z)
δ
(t)
1
δ
[nT
0
]
1 1(t)
1
s
1[nT
0
]
1
z
z
−
t
2 1
s
nT
0 0
2
(
1)
T z
z
−
2
t
3 2
s
2 0
(
)
nT
2 0
3
(
1)
(
1)
T z z
z
+
−
αt
e
−
1
α
s
+
0
αnT
n
e
d
−
=
z
z
d
−
(
0
αT
d
e
−
=
)
αt
te
−
2 1
(
α)
s
+
0
α
0
nT
nT e
−
0 2
(
)
zdT
z
d
−
(
0
αT
d
e
−
=
)
2
αt
t e
−
3 2
(
α)
s
+
( )
0 2
α
0
nT
nT
e
−
2 2
0 3
(
)
(
)
z z
d d T
z
d
+
−
(
0
αT
d
e
−
=
)
α
1
t
e
−
−
α
(
α)
s s
+
0
α
1
nT
e
−
−
(1
)
(
1)(
)
z
d
z
z
d
−
−
−
(
0
αT
d
e
−
=
) Дискретная передаточная функция Дискретная передаточная функция
– отношение преобразований решетчатых функций выходной и входной величин звена или системы при нулевых начальных условиях

178 0
0
( (
))
( )
( )
( (
))
( )
Z y nT
Y z
W z
Z x nT
X z
=
=
(16.12) Аналогично можно определить дискретную передаточную функцию как отношение результатов дискретного преобразования Лапласа решетчатых функций выходной и входной величин звена или системы при нулевых начальных условиях.
0 0
( (
))
( )
( )
( (
))
( )
D y nT
Y s
W s
D x nT
X
s
∗
∗
∗
=
=
(16.13) Следует отметить, что дискретная передаточная функция устанавливает связь только между дискретными значениями непрерывных сигналов. Дискретную передаточную функцию можно получить несколькими способами.
1. Прямой способ. Находится преобразование входного ивы- ходного сигналов Y(z) и X(z); определяется дискретная передаточная функция по формуле (16.12).
2. Через импульсную переходную характеристику w(t):
( )
( ( )).
W z
Z w t
=
(16.14)
3. Через переходную характеристику непрерывной части
1
( )
( ( )).
z
W z
Z h t
z
−
=
(16.15)
4. Существуют также приближенные методы определения дискретной передаточной функции. Определение устойчивости дискретных систем в форме Z-преобразования
Представим
σ
ω
i
i
i
s
j
= +
– корни характеристического уравнения некоторой непрерывной системы. Имеем
(σ
ω )
σ
ω
,
1, ,
i
i
i
i
j
T
T
j T
i
z
e
e e
i
n
+
=
=
=
те. реальная часть корней
i
s
влияет лишь на модуль корней на плоскости ,
z так как
σ
,
1,
i
T
i
z
e
i
n
=
=

179 Условие устойчивости на плоскости комплексного переменного
s, как известно, имеет вид Re
0,
1, .
i
s
i
n
<
=
Отсюда следует, что условие устойчивости линейных дискретных систем на плоскости z имеет вид
1,
1, .
i
z
i
n
<
=
(16.16) Геометрически это условие означает, что на комплексной плоскости все корни характеристического уравнения устойчивой линейной дискретной системы с дискретной передаточной функцией
(16.12) располагаются в круге единичного радиуса (рис. 16.1, круг заштрихован).
1
j
i
z
Im
Re
Рис. 16.1. Корни характеристического уравнения дискретной системы Действительно, применение преобразования отображает основную полосу на плоскость z, отрезок мнимой оси
π /
ω π /
T
T
−
≤ ≤
– в окружность единичного радиуса, левую часть полосы – вкруг единичного радиуса. Определение устойчивости дискретных систем в форме билинейного преобразования преобразования) Билинейное преобразование (преобразование, преобразование
Мизеса) отображает круг единичного радиуса в плоскости z вовсю левую полуплоскость плоскости w при использовании подстановки
1 1
w
z
w
+
=
−
или 1
z
w
z
−
=
+
(16.17)

180 Установим связь между плоскостями z ирис. Рис. 16.2. Связь между плоскостями z и w
1. При = 1,

w + 1

=

w – 1

, что соответствует оси j.
2. При < 1,

w + 1

<

w – 1

– соответствует левой полуплоскости пл. W.
3. При > 1,

w + 1

>

w – 1

– соответствует правой полуплоскости. Данная замена преобразовывает круг на плоскости z в левую полуплоскость плоскости w, поэтому условие устойчивости на плоскости имеет вид Re w < 0, что и позволяет сформулировать условие устойчивости дискретных систем дискретная система автоматического управления устойчива, если все корни ее характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости плоскости w. Следовательно, при использовании билинейного преобразования условия устойчивости непрерывных систем можно использовать для дискретных систем управления. Критерий Гурвица Критерий устойчивости Гурвица можно использовать при применении билинейного преобразования. Рассмотрим алгоритм его использования.
1. Записываем характеристическое уравнение A(z) = 0:
1 2
0 1
2 0.
n
n
n
n
a z
a z
a z
a
−
−
+
+
+ + =
(16.18)
–1 1
+ пл. z
Im
Re
w
+
–
1 +1 –1 +1 –1 +пл. w
Im m
Re

181 2. Выполняем подстановку
1
,
1
w
z
w
+
=
−
при этом получим характеристическое уравнение Ат. е. в форме билинейного преобразования. Составляем определитель Гурвица:
1 3
5 0
2 4
1 3
... 0
... 0 0 ... 0 0 0 0 0
n
n
a a a
a
a
a
a a
a
′ ′ ′
′ ′ ′
′ ′
∆ =
′
(16.20)
4. Определяем устойчивость также, как и для непрерывных систем. Линейная дискретная система устойчива, если при
0 0
a
′ >
определитель Гурвица (формула (16.20)) и все его диагональные миноры положительны. В частности, критерий Гурвица позволяет найти критические по устойчивости значения параметров дискретных систем. Примеры решения задач Пример 16.1. Найти изображение Х, соответствующее изображению по Лапласу
1
( )
β
X s
s
=
+
Решение.Для нахождения искомого изображения воспользуемся формулой (16.9) D преобразования в форме
0 0
0 0
0 0
0 0
0
β
( β)
β
β
β
1 1
1
( )
Res
β
β 1 1
1 1
1
(
β)
1 1
1
T s T c
c
T s
T s T
T s
T
T s
T
c
X
s
D
s
s
e
e
e
c
e
e
e
e
e
e
∗
−
=−
−
−
−
−
−
=−


=
=
⋅
=


+
+
−


=
⋅
= ⋅
=
′
+
−
−
−

182 Ответ
0 0
0
β
( )
T s
T Пример Непрерывная часть системы представляет собой интегрирующее звено с передаточной функцией ( )
/ .
W s
k s
=
Найти дискретную передаточную функцию
( ).
W
z
∗
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   15
Решение.Для нахождения искомой дискретной передаточной функции воспользуемся формулой (16.14). Найдем функцию веса непрерывной части системы
(
)
(
)
1 1
( )
( )
/
w t
L
W s
L
k При этом дискретная (решетчатая) весовая функция представляет собой ступенчатый дискретный сигнал ( )
[
]
w t
k nT
=
с амплитудой, равной k. Тогда, имея ввиду, что (в соответствии данными табл. 16.1): имеем
(
)
[
]
( ).
1
kz
Z k Это выражение представляет собой передаточную функцию импульсного фильтра, которая является дискретным оператором преобразования двух последовательно включенных элементов импульсного элемента (ИЭ) и непрерывной части системы (НЧ) рис. Рис. 16.3. Схема импульсного фильтра
x(t)
y НЧ
y*
x(nT)
ИФ ф)
ИЭ

183 Ответ
( Заметим, что дискретная передаточная функция последовательно включенных непрерывных звеньев неравна произведению дискретных передаточных функций этих звеньев, т. к. для этого требовалось бы иметь импульсные элементы перед каждым непрерывным звеном. Поэтому для нахождения передаточной функции сложной дискретной системы необходимо свести всю непрерывную часть водно непрерывное звено, на входе которого стоит один импульсный элемент (рис. 16.5). Пример Передаточная функция непрерывной части системы имеет вид
( )
(
1)
k
W s
s Найти дискретную передаточную функцию
( ).
W
z
∗
Решение.Для нахождения искомой дискретной передаточной функции воспользуемся формулой (16.16). Найдем переходную характеристику. Изображение выходного сигнала находится из выражения ( ) / .
W s
s Разложим дробь
( ) /
W s
s на простейшие дроби (см Тема 2. Краткие теоретические сведения, получим
2 2
( )
1
(
1)
1 /
W s
k
T
T
k
s
s Тогда
(
)
1
/
( )
( )
t T
W s
h t
L
k
T
t
T e
s
−
−


=
= − + + С помощью изображений для типовых функций (см. табл. 16.1) найдем
( )
(
)
/
0 2
( )
(
)
,
1
(
1)
t T
Tz
T z
Tz
Z h t
Z k
T
t Te
k
z
z
z
d
−


−
=
− + +где
0
/
T T
d
e
−
=

184 Окончательно по формуле (16.16) получим
0 0
0 0
/
/
2 1
(
1)
( )
1
(
1)
1
T T
T T
z
Tz
T z
Tz
T
T z
W
z
k
k
T
z
z
z
z
e
z
z
e
∗
−
−


−
−
−


=
+
+
=
− +Ответ
0 0
/
(
1)
( )
1
T T
T
T z
W
z
k
T
z
z
e
∗
−
−


=
− +Пример Исследовать устойчивость дискретной системы с характеристическим полиномом
2
( )
0, 4 0,5.
A z
z
z
= Решение Корни заданного полинома, очевидно, равны
1,2 0, 2 0, 46.
z
j
=
±
Их модули –
2 1,2 0, 2 0, 46 0,707 1.
z
=
+
=
<
Следовательно, заданная дискретная система является устойчивой.
Ответ:дискретная система устойчива. Пример 16.5. Определить устойчивость дискретной системы с передаточной функцией
(
)(
)
*
3 3
( )
3 4
3 4
W
z
z
j
z
j
=
+ −
+ +Решение Характеристическое уравнение имеет вид
(
)(
)
3 4
3 4
0.
z
j
z
j
+ −
+ +Определим корни характеристического уравнения
1 3
4,
z
j
= − +
2 3
4.
z
j
= − Определим модуль корней
2 2
2 2
1
σ
ω
3 Система неустойчива, так как модуль корней ее характеристического уравнения не меньше единицы.
Ответ:дискретная система неустойчива. Пример Определить устойчивость дискретной системы, если передаточная функция разомкнутой системы в форме преобразования имеет вид

185
P
( )
(
1)(
1)
kz
W Решение Передаточная функция замкнутой дискретной системы в форме преобразования
3
( )
(
1)(
1)
kz
W z
z
z
kz
=
−
+ +Характеристическое уравнение имеет вид
2 1 0.
z
kz
+ − Применим критерий Гурвица. Выполним билинейное преобразование по формуле (16.17):
2 1
1 1 0.
1 1
w
w
k
w
w
+
+




+
− Получим
2 4
0.
kw
w k
+
− Имеем
0 0,
a
k
′ = >
составим определитель Гурвица:
2 4
0
k
k
∆ Выполним проверку
1 4
0,
∆ = >
2 4
0 4
0 4
0.
k
k
k
k
k
∆ =
= − − ⋅ = − Таким образом, по критерию Гурвица получаем, что заданная дискретная система неустойчива. Ответ дискретная система неустойчива. Пример 16.7. Исследовать устойчивость дискретной системы с характеристическим полиномом
2
( )
0, 4 0,5.
A z
z
z
= −
+

186 Решение Применим критерий Гурвица. Выполняя замену согласно формуле (16.18), получим
2 2
(1
)
1
( )
0, 4 0,5 0.
(1
)
1
w
w
A Отсюда
2 2
2 2
( ) 1 2 0, 4 0, 4 0,5 0,5 1,9 1,1.
A w
w w
w
w
w
w
w
= +
+
−
+
+
− +
=
+ +Характеристическое уравнение имеет вид
2 1,9 1,1 0.
w
w
+ +Имеем
0 1,9 0,
a
′ =
>
составим определитель Гурвица:
2 1
0 1,9 1,1
∆ Выполним проверку
1 1
0,
∆ = >
2 1
0 1 1,1 0 1,9 1,1 0.
1,9 1,1
∆ =
= ⋅ − Получаем, что заданная дискретная система устойчива.
Ответ:дискретная система устойчива. Задания для самостоятельного решения Задание 16.1. Вычислить дискретную передаточную функцию звена W(z): ас использованием формулы (16.14); б с использованием формулы (16.15). Данные по вариантам (непрерывная передаточная функция W(s) и такт квантования T
0
) приведены в табл. 16.2. Задание 16.2. Определить устойчивость дискретной линейной системы с передаточной функцией W(z) (табл. 16.3): а) применив условие устойчивости дискретных систем в форме преобразования (формула (16.16)); б с использованием критерия Гурвица для дискретных систем в форме преобразования.

187 Таблица 16.2 Исходные данные для задания 16.1 Вариант
W(s)
T
0
, с Вариант
W(s)
T
0
, с Вариант 1 1
( )
10 1
W s
s
=
+
1 Вариант 11 2
( )
4 1
W s
s
=
+
0,2 Вариант 2 3
( )
(2 1)
W s
s
s
=
+
0,1 Вариант 12 4
( )
(3 2)
W s
s s
=
+
0,1 Вариант 3 2
5
( )
(2 1)
W s
s
s
=
+
0,1 Вариант 13 10
( )
20 1
W s
s
=
+
1 Вариант 4 1
( )
(4 1)(3 1)
W s
s
s
=
+
+
0,2 Вариант 14 3
( )
2 1
W s
s
=
+
1 Вариант 5 2
10
( )
(0, 2 1)
W s
s
s
=
+
0,4 Вариант 15 5
( )
0,1 2
W s
s
=
+
1 Вариант 6 2
( )
(2 1)(0,5 1)
W s
s
s
=
+
+
1 Вариант 16 4
( )
(2 1)(0,3 1)
W s
s
s
=
+
+
0,4 Вариант 7 10
( )
(4 1)
W s
s
s
=
+
0,3 Вариант 17 4
( )
(2 3)
W s
s
s
=
+
1 Вариант 8 1
( )
(0,1 1)(0, 2 1)
W s
s
s
s
=
+
+
0,1 Вариант 18 2
10
( )
(2 0,1)
W s
s
s
=
+
1 187

188 Окончание таблицы 16.2 Вариант
W(s)
T
0
, с Вариант
W(s)
T
0
, с Вариант 9 5
( )
2 1
W s
s
=
+
1 Вариант 19 10
( )
2 4
W s
s
=
+
0,2 Вариант 10 3
( )
(4 0,1)
W s
s
s
=
+
0,5 Вариант 20 1
( )
(2 1)(5 3)
W s
s
s
=
+
+
1 188

189 Таблица 16.3 Исходные данные для задания 16.2 Вариант
W(z) Вариант
W(z) Вариант 1
W(z) =
1 Вариант 11
W(z) =
2 1
5 Вариант 2
W(z) =
2 1
0, 4 0, 4 0, Вариант 12
W(z) =
2 1
9 5
3
z
z
+ +Вариант 3
W(z) =
2 1
0, 2 0, 4 0, Вариант 13
W(z) =
2 1
9 5
1
z
z
+ +Вариант 4
W(z) =
1 Вариант 14
W(z) =
1 Вариант 5
W(z) =
2 1
8 15 Вариант 15
W(z) =
2 1
0,1 Вариант 6
W(z) =
2 1
8 15 0, Вариант 16
W(z) =
4
(2 1)(3 Вариант 7
W(z) =
1 0, 4 0, Вариант 17
W(z) =
10 Вариант 8
W(z) =
1 Вариант 18
W(z) =
2 4
3
z
z
+ +
189

190 Окончание таблицы 16.3 Вариант
W(z) Вариант
W(z) Вариант 9
W(z) =
1 0,34 0, Вариант 19
W(z) = Вариант 10
W(z) =
2 1
5 Вариант 20
W(z) =
0,05
(
1)(
1,1)(
2)
z
z
z
z
+
−
−
−
190

191 Тема 17. ИССЛЕДОВАНИЕ РОБАСТНОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Цель занятия:научиться оценивать робастность систем автоматического управления. Вопросы и задания для подготовки к занятию
1. Приведите определение робастной системы автоматического управления.
2. Приведите определение робастной устойчивости.
3. Сформулируйте критерий Харитонова робастной устойчивости.
4. Как оценить робастную устойчивость системы по критерию Ха- ритонова? Краткие теоретические сведения
Робастная система управления обладает требуемым качеством, несмотря на существенную неопределенность характеристик объекта управления (при изменении или неточности модели.
Робастные системыв достаточно большом диапазоне изменения параметров
– обладают низкой чувствительностью,
– сохраняют устойчивость,
– удовлетворяют требованиям к качеству.
Робастная система на выбранный входной сигнал должна обладать реакцией, достаточно близкой (в пределах допусков) к той, которая соответствует номинальному значению параметра. Различного рода погрешности в изготовлении деталей, ошибки измерительных приборов, износ деталей в процессе эксплуатации приводят к неопределенностям в значениях параметров линейных звеньев системы. В результате в отношении, например, коэффициентов характеристического полинома и других параметров различных моделей замкнутой системы управления известными оказываются лишь интервалы, в которых лежат их значения. Другими словами, коэффициенты a
i
характеристического полинома линейной системы с неопределенностями могут быть заданы соотношениями, или
[ ,
].
i
i
i
a
a a
∈
(17.2) Заданные таким способом коэффициенты a
i
называются интервальными разность
i
i
a
a
−
– интервалом полином (17.1) с коэффициентами, удовлетворяющими соотношениям (17.2), – интервальным. Обычно интервальный полином ( )
A s го порядка записывается следующим образом
1 0
1 1
0 1
1
( )
[
,
]
[ ,
]
[
,
]
[
,
].
n
n
n
n
n
n
A s
a a s
a a s
a
a
s
a
a
−
−
−
=
+
+ +
+
K
(17.3) В технических приложениях различные погрешности, неопределенности чаще всего характеризуются относительной погрешностью. Поэтому и коэффициенты характеристического полинома часто задаются своими расчетными значениями
,
i
a
o найденными с некоторой относительной погрешностью
i
∆
%, те При таком задании коэффициентов a
i
их верхние
i
a
и нижние
i
a
значения определяются очевидными соотношениями
(1
/ 100) ,
i
i
i
a
a
= − ∆
o
(1
/ 100) .
i
i
i
a
a
= + ∆
o
(17.4) В связи с этим в дальнейшем будем считать, что заданы верхние
i
a
и нижние
i
a
значения коэффициентов a
i
характеристического полинома) исследуемой системы управления. Относительные погрешности
i
∆
% могут быть и одинаковыми для всех коэффициентов, те, Динамическая система с характеристическим полиномом (17.3) обладает робастной устойчивостью, если она асимптотически устойчива в целом при любых значениях постоянных коэффициентов ,
i
a
0,
i
n
=
из интервалов [ , ].
i
i
a Для оценки робастной устойчивости линейных систем с интервальными параметрами обычно используется критерий, предложенный В. Л. Харитоновым. Сначала составляются четыре полинома
Харитонова:

193 1
2 3
4 5
0 1
4 5
2 3
1
( )
n
n
n
n
n
n
A s
a s
a s
a s
a s
a s
a s
−
−
−
−
−
=
+
+
+
+
+
+
K
1 2
3 4
5 2
3 0
1 4
5 2
( )
n
n
n
n
n
n
A s
a s
a s
a s
a s
a s
a s
−
−
−
−
−
=
+
+
+
+
+
+
K
1 2
3 4
5 0
3 4
1 2
5 3
( )
n
n
n
n
n
n
A s
a s
a s
a s
a s
a s
a s
−
−
−
−
−
=
+
+
+
+
+
+
K
1 2
3 4
5 1
2 5
0 3
4 4
( )
n
n
n
n
n
n
A s
a s
a s
a s
a s
a s
a s
−
−
−
−
−
=
+
+
+
+
+
+
K (17.5) Все эти полиномы имеют степень, равную степени исходного интервального полинома (формула (17.3)), их коэффициенты равны граничным значениям интервальных коэффициентов этого полинома. Теорема 17.1. Критерий Харитонова робастной устойчивости Линейная непрерывная система с интервальным характеристическим полиномом (формула (17.3)) является робастно устойчивой тогда и только тогда, когда все четыре полинома Харитонова (формула (17.5)) удовлетворяют критерию Гурвица. Таким образом, для исследования робастной устойчивости некоторой системы с интервальными параметрами необходимо найти интервальный характеристический полином этой системы по формуле (17.3), затем составить четыре полинома Харитонова (формула (17.5)) и проверить, удовлетворяют ли они критерию Гурвица. Отметим, что если
3
n
=
и
(1
/ 100) ,
i
i
a
a
∈ ± ∆
o то система с полиномом (формула (17.3)) будет робастно устойчивой при следующих условиях) где
1 2
0 3
γ
a a
a a
=
o o Пример решения задачи Пример Оценить робастную устойчивость системы с характеристическим полиномом
3 2
( )
8 3
62 20
A s
s
s
s
=
+
+
+
(17.7) при 5 % и 2 % погрешности реализации его коэффициентов

194 Решение Приточных (расчетных) значениях коэффициентов данная система является асимптотически устойчивой. Действительно, все коэффициенты полинома (формула (17.7)) больше нуля, те. необходимое условие устойчивости выполняется. Составим определитель Гурвица для системы третьего порядка
3 3
20 0
8 62 0 .
0 3
20
∆ Найдем значения всех диагональных миноров полученного определителя
1 3
0,
∆ = >
2 3
20 3 62 8 20 186 160 26 0,
8 62
∆ =
= ⋅ − ⋅
=
−
=
>
3 20 26 520 0.
∆ По критерию Гурвица, система является асимптотически устойчивой. При реализации коэффициентов
i
a
с погрешностью 5 %, согласно формуле (17.4), граничные значения интервалов равны
3
(1 5 / 100) 20 19;
a
= −
⋅
=
3
(1 5 / 100) 20 21;
a
= +
⋅
=
2
(1 5 / 100) 62 58,9;
a
= −
⋅
=
2
(1 5 / 100) 62 65,1;
a
= +
⋅
=
1
(1 5 / 100) 3 2,85;
a
= −
⋅ =
1
(1 5 / 100) 3 3,15;
a
= +
⋅ =
0
(1 5 / 100) 8 7, 6;
a
= −
⋅ =
0
(1 5 / 100) 8 8, 4.
a
= +
⋅ Следовательно, интервальный полином рассматриваемой системы в данном случае имеет вид
3 2
( )
[7,6, 8, 4]
[2,85, 3,15]
[58,9, 65,1]
[19, 21],
A соответствующие полиномы Харитонова:
3 2
1
( )
8, 4 3,15 58,9 19;
A s
s
s
s
=
+
+
+
3 2
2
( )
7,6 2,85 65,1 21;
A s
s
s
s
=
+
+
+

195 3
2 3
( )
8, 4 2,85 58,9 21;
A s
s
s
s
=
+
+
+
3 2
4
( )
7,6 3,15 65,1 19.
A В данном случае первый, второй и четвертый полиномы, по критерию Гурвица, являются устойчивыми, третий – не является. Действительно, коэффициенты являются положительными у всех полиномов, те. необходимое условие устойчивости выполняется. Для первого полинома имеем
3 3,15 19 0
8, 4 58,9 0 .
0 3,15 19
∆ Найдем значения всех диагональных миноров полученного определителя
1 3,15 0,
∆ =
>
2 3,15 19 3,15 58,9 8, 4 19 185,535 159,6 0,
8, 4 58,9
∆ =
=
⋅
−
⋅ тогда и
3 0.
∆ По критерию Гурвица, полином является асимптотически устойчивым. Для второго полинома имеем
3 2,85 21 0
7,6 65,1 0 .
0 2,85 21
∆ Найдем значения всех диагональных миноров полученного определителя
1 2,85 0,
∆ =
>
2 2,85 21 2,85 65,1 7,6 21 185,535 159, 6 0,
7,6 65,1
∆ =
=
⋅
−
⋅ тогда и
3 0.
∆ По критерию Гурвица, полином является асимптотически устойчивым.

196 Однако для третьего полинома А определитель Гурвица имеет вид
3 2,85 21 0
8, 4 58,9 0 .
0 2,85 21
∆ Найдем значения всех диагональных миноров полученного определителя
1 2,85 0,
∆ =
>
2 2,85 21 2,85 58,9 8, 4 21 167,865 176, 4 8,535 0,
8, 4 58,9
∆ =
=
⋅
−
⋅ =
−
= по критерию Гурвица, полином является неустойчивым. Для четвертого полинома имеем
3 3,15 19 0
7,6 65,1 0 .
0 3,15 19
∆ Найдем значения всех диагональных миноров полученного определителя
1 3,15 0,
∆ =
>
2 3,15 19 3,15 65,1 7,6 19 205,065 144, 4 0,
7,6 65,1
∆ =
=
⋅
−
⋅ тогда и
3 0.
∆ По критерию Гурвица, полином является асимптотически устойчивым. Таким образом, при реализации коэффициентов
i
a
характеристического полинома (формула (17.7)) с погрешностью 5 %, по критерию
Харитонова, рассматриваемая система не является робастно устойчивой. Заметим, что проверку четвертого полинома можно было не проводить, т. к. уже после проверки третьего полинома можно сделать вывод о робастной неустойчивости рассматриваемой системы.

197 При реализации коэффициентов
i
a
с погрешностью 2 % граничные значения интервалов равны
3 0,98 20 19, 6;
a
=
⋅
=
3 1,02 20 20, 4;
a
=
⋅
=
2 0,98 62 60, 76;
a
=
⋅
=
2 1,02 62 63, 24;
a
=
⋅
=
1 0,98 3 2,94;
a
=
⋅ =
1 1,02 3 3, 06;
a
=
⋅ =
0 0,98 8 7,84;
a
=
⋅ =
0 1,02 8 8,16,
a
=
⋅ соответствующие полиномы Харитонова равны
3 2
1
( )
8,16 3, 06 60, 76 19,6;
A s
s
s
s
=
+
+
+
3 2
2
( )
7,84 2,94 63, 24 20, 4;
A s
s
s
s
=
+
+
+
3 2
3
( )
8,16 2,94 60, 76 20, 4;
A s
s
s
s
=
+
+
+
3 2
4
( )
7,84 3,06 63, 24 19,6.
A Для первого полинома имеем
3 3, 06 19,6 0
8,16 60,76 0 .
0 3, 06 19,6
∆ Найдем значения всех диагональных миноров полученного определителя 3, 06 0,
∆ =
>
2 3, 06 19, 6 3,06 60,76 8,16 19,6 185,93 159,94 0,
8,16 60,76
∆ тогда и
3 0.
∆ По критерию Гурвица, полином является асимптотически устойчивым. Для второго полинома имеем
3 2,94 20, 4 0
7,84 63, 24 0 .
0 2,94 20, 4
∆ =

198 Найдем значения всех диагональных миноров полученного определителя
1 2,94 0,
∆ =
>
2 2,94 20, 4 2,94 63, 24 7,84 20, 4 185,93 159,94 0,
7,84 63, 24
∆ тогда и
3 0.
∆ По критерию Гурвица, полином является асимптотически устойчивым. Для третьего полинома имеем
3 2,94 20, 4 0
8,16 60,76 0 .
0 2,94 20, 4
∆ Найдем значения всех диагональных миноров полученного определителя
1 2,94 0,
∆ =
>
2 2,94 20, 4 2,94 60,76 8,16 20, 4 178,63 166, 46 0,
8,16 60, 76
∆ тогда и
3 0.
∆ По критерию Гурвица, полином является асимптотически устойчивым. Для четвертого полинома имеем
3 3,06 19,6 0
7,84 63, 24 0 .
0 3, 06 19,6
∆ Найдем значения всех диагональных миноров полученного определителя
1 3, 06 0,
∆ =
>

199 2
3,06 19,6 3,06 63, 24 7,84 19,6 193,15 153,64 0,
7,84 63, 24
∆ тогда и
3 0.
∆ По критерию Гурвица, полином является асимптотически устойчивым. Таким образом, при реализации коэффициентов
i
a
характеристического полинома (формула) с погрешностью 2 % все четыре полинома Харитонова удовлетворяют критерию Гурвица, те. при указанной, более точной реализации параметров рассматриваемая система является робастно устойчивой. В соответствии с неравенством (17.6) найдем допустимую погрешность настройки
1 2
0 3
3 62
γ
1, 077,
8 20
a a
a a
⋅
=
=
=
⋅
o o o
o тогда
γ 1 1, 077 1 0, 077 100 %
100 %
100 %
3, 76 %.
γ 1 1, 077 1 2, 077
−
−
∆ Окончательно получаем допустимую погрешность настройки доп %.
∆ Ответ рассматриваемая система является робастно устойчивой при ной погрешности реализации коэффициентов характеристического полинома и робастно неустойчивой при ной погрешности реализации его коэффициентов допустимая погрешность настройки составляет доп %.
∆ Задания для самостоятельного решения Задание Оценить робастную устойчивость системы с заданным характеристическим полиномом при погрешности реализации его коэффициентов, равной Δ %. Определить допустимую погрешность настройки. Данные по вариантам приведены в таблице. Задание 17.2.* Оценить робастную устойчивость системы, рассмотренной при выполнении задания 8.1. Погрешность реализации коэффициентов Δ взять равной 5 %.

200 Таблица Исходные данные для задания 17.1 Вариант Характеристический полином
Δ, % Вариант Характеристический полином
Δ, % Вариант 1 3
2
( )
9 2
42 2
A s
s
s
s
=
+
+
+
2 Вариант 11 3
2
( )
0,8 0, 2 0,1
A s
s
s
s
= +
+
+
10 Вариант 2 3
2
( )
7 8
58 11
A s
s
s
s
=
+
+
+
4 Вариант 12 3
2
( )
24 13 25 3
A s
s
s
s
=
+
+
+
6 Вариант 3 3
2
( )
6 2
89 6
A s
s
s
s
=
+
+
+
5 Вариант 13 3
2
( ) 19 21 12 2
A s
s
s
s
=
+
+
+
2 Вариант 4 3
2
( )
4 5
9 3
A s
s
s
s
=
+
+ +
10 Вариант 14 3
2
( )
6 12 34 25
A s
s
s
s
=
+
+
+
5 Вариант 5 3
2
( )
3 3
5 2
A s
s
s
s
=
+
+ +
6 Вариант 15 3
2
( ) 18 6
34 2
A s
s
s
s
=
+
+
+
2 Вариант 6 3
2
( )
4 5
6 3
A s
s
s
s
=
+
+ +
2 Вариант 16 3
2
( ) 11 22 44 33
A s
s
s
s
=
+
+
+
4 Вариант 7 3
2
( )
3 5
6 2
A s
s
s
s
=
+
+ +
5 Вариант 17 3
2
( )
9 2
42 8
A s
s
s
s
=
+
+
+
5 Вариант 8 3
2
( )
4 3
5 3
A s
s
s
s
=
+
+ +
2 Вариант 18 3
2
( )
90 20 50 10
A s
s
s
s
=
+
+
+
2 Вариант 9 3
2
( )
5 9
10
A s
s
s
s
= +
+ +
4 Вариант 19 3
2
( )
0, 6 0,9 0, 2
A s
s
s
s
= +
+
+
10 Вариант 10 3
2
( ) 14 13 15 3
A s
s
s
s
=
+
+
+
5 Вариант 20 3
2
( ) 14 32 14 9
A s
s
s
s
=
+
+
+
5 200

201 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Анхимюк, В. Л. Теория автоматического управления / В. Л. Анхимюк, О. Ф. Олейко, Н. Н. Михеев. – Минск : Дизайн ПРО, 2000. – 352 с.
2. Власов, К. П. Теория автоматического управления. Основные положения. Примеры расчета : учебное пособие / К. П. Власов. – е изд, испр. и доп. – Харьков : Гуманитарный центр, 2013. – 540 с.
3. Власов, К. П. Теория автоматического управления : учебное пособие К. П. Власов. – Харьков : Гуманитарный центр, 2007. – 528 с.
4. Гайдук, АР. Теория автоматического управления в примерах и задачах с решениями в MATLAB : учебное пособие / АР. Гайдук, В. Е. Беляев, ТА. Пьявченко. – е изд, испр. – СПб : Лань, 2011. – 464 с.
5. Ерофеев, А. А. Теория автоматического управления : учебник
/ А. А. Ерофеев. – е изд, перераб. и. доп. – СПб. : Политехника,
2003. – 302 с.
6. Коновалов, Б. М. Теория автоматического управления : учебное пособие / Б. М. Коновалов, Ю. М. Лебедев. – е изд, перераб. и доп. – СПб : Лань, 2015. – 220 с.
7. Кочетков, В. П. Основы теории управления : учебное пособие / В. П. Кочетков. – Ростов-на/Д : Феникс, 2012. – 412 с.
8. Ощепков, А. Ю. Системы автоматического управления теория, управление, моделирование в MATLAB : учебное пособие / А. Ю. Ощепков. – е изд, испр. и доп. – СПб : Лань, 2013. – 208 с.
9. Ротач, В. Я. Теория автоматического управления : учебник для вузов / В. Я. Ротач. – е изд, перераб. и доп. – М. : МЭИ, 2004. – 400 с.
10. Сидоренко, Ю. А. Теория автоматического управления / Ю. А. Сидоренко. – Минск : БГАТУ, 2007. – 124 с.
11. Теория автоматического управления : учебник / В. Н. Брюханов и др под ред. Ю. М. Соломенцева. – е изд, стереотип. – М. : Высшая школа, 2003. – 272 с.

202 ПРИЛОЖЕНИЯ

203 ПРИЛОЖЕНИЕ А Схемы для выполнения задания 5.1. Схема А Схема А

204 Схема А Схема А

205 Схема А Схема АСА Д
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   15
R
4 В
СИФУ

206 Схема А Схема А
R
θ
U
R
1
R
3
М
горячая вода
U
<
R
2
R
2
U
R
1
R
3
М
горячая вода
U
R
θ
<

207 Схема А Схема А
R
1
U МС В
А
R
2
R
6
R
5
R
7
СИФУ

208 Схема А

209 Схема А М
U
2
1
U
U
209

210 Схема А М
U
2
1
U
U
210

211 Схема А Схема А
зерно
R
2
R
3
R
θ
Q
г
Q
a
Q
г зерно Схема А Схема А Из котельной В котельную
R
θ
1 1

213 Схема А Схема А 1
1 1

214 Схема А

215 ПРИЛОЖЕНИЕ Б Исходные данные для задания 10.1 Вариант График переходной функции по задающему воздействию
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
1.2 Продолжение приложения Б График переходной функции по возмущающему воздействию
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
-0.2
-0.1 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
t
Y
1,4 1,2 1
0,8 0,6 0,4 0,2 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
–0,1
–0,2
t
Y

216 Продолжение приложения Б Вариант График переходной функции по задающему воздействию
0 50 100 150 200 250 300 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
1.2 Продолжение приложения Б График переходной функции по возмущающему воздействию
0 50 100 150 200 250 300
-0.18
-0.16
-0.14
-0.12
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02 0
F03 1,4 1,2 1
0,8 0,6 0,4 0,2
Y
t
0
–0,02
–0,04
–0,06
–0,08
–0,1
–0,12
–0,14
–0,16
–0,18
t
Y

217 Продолжение приложения Б Вариант График переходной функции по задающему воздействию
0 5
10 15 20 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Продолжение приложения Б График переходной функции по возмущающему воздействию
0 5
10 15 20
-0.14
-0.12
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02 0
F04 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
0 5 10 15 20
t
Y
0
–0,02
–0,04
–0,06
–0,08
–0,1
–0,12
–0,14
t
Y

218 Продолжение приложения Б Вариант График переходной функции по задающему воздействию
0 20 40 60 80 100 120 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Продолжение приложения Б График переходной функции по возмущающему воздействию
0 20 40 60 80 100 120
-0.14
-0.12
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02 0
0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
t
Y
0
–0,02
–0,04
–0,06
–0,08
–0,1
–0,12
–0,14
Y
t

219 Продолжение приложения Б Вариант График переходной функции по задающему воздействию
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0
0.5 0,4 0,6 0,8 1
1,2 1,4 Продолжение приложения Б График переходной функции по возмущающему воздействию
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
-0.2
-0.1 0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
F06
t
Y
0,2 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
–0,1
–0,2
t
Y

Смотрите также файлы