.

где  – исправленная дисперсия.
Для оценки среднего квадратического отклонения  используется величина S, равная квадратному корню из исправленной дисперсии, которая называется исправленным средним квадратическим отклонением.
Рассмотренные оценки характеризуются одним числом и называются точечными.
Пример 1. По заданному статистическому ряду (табл. 1) требуется:

а) построить гистограмму относительных частот;

б) перейти к вариантам и построить полигон относительных частот;

в) построить эмпирическую функцию распределения.

Таблица 1

	12 –15	15 – 18	18 – 21	21 – 24	24 – 27	27 – 30
	2	6	12	19	7	4

Решение

а) Объем выборки .

Определяем относительные частоты и составляем табл. 2 с относительными частотами:

Таблица 2

	12 –15	15 – 18	18 – 21	21 – 24	24 – 27	27 – 30
	0,04	0,12	0,24	0,38	0,14	0,08

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладываются частичные интервалы длины , а над ними проводятся горизонтальные отрезки на расстоянии (рис. 1).

---

б) Перейдем к вариантам, положив их равными серединам частичных интервалов , где , – концы интервалов. Тогда табл. 2 превратится в табл. 3:

Таблица 3

	13,5	16,5	19,5	22,5	25,5	28,5
	0,04	0,12	0,24	0,38	0,14	0,08

Отметим на плоскости точки и, соединив соседние точки, получим полигон относительных частот (рис. 2).



в) Эмпирическая функция распределения строится по закону:



В нашем случае получаем:



График функции представлен на рис. 3.

Пример 2.В условиях примера 1 найти статистические оценки.

Решение Обратимся к табл. 3: ; ; .
Контрольные вопросы:

1. 
   Что такое выборка?
   
2. 
   Что такое варианта выборки и частота?
   
3. 
   Как графически изображается выборка?
   
4. 
   Точечные оценки выборки.
   

Задачи на закрепление материала
Статистический ряд задан таблицей. Требуется:

а) построить гистограмму относительных частот;

б) перейти к вариантам и построить полигон относительных частот;

в) записать эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

г) найти точечные оценки

---

, , ;

1.	(–6; –4) (–4; –2) (–2; 0) (0; 2) (2; 4) (4; 6) 2 6 17 18 4 3
2.	(0; 2) (2; 4) (4; 6) (6; 8) (8; 10) (10; 12) 1 3 19 21 4 2
3.	(–4; –2) (–2; 0) (0; 2) (2; 4) (4; 6) (6; 8) 3 8 14 15 9 1
4.	(–2; 0) (0; 2) (2; 4) (4; 6) (6; 8) (8; 10) 1 4 20 19 4 2

Тема лекции: Интервальные оценки параметров распределения
План:

1. 
   Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения.
   
2. 
   Интервальная оценка среднего квадратического отклонения нормального распределения.
   
3. 
   Интервальная оценка вероятности события
   

---

Определение: Интервальнойназывают оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала.

Так как любая оценка есть некоторое приближение оцениваемой величины a, то возникает вопрос об оценке точности данного приближения, т. е. можно ли утверждать, что для некоторого .

Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка удовлетворяет неравенству . Можно лишь говорить о вероятности  наступления события, заключающегося в том, что мы получили оценку с точностью : . Эта вероятность называется доверительной вероятностью (или надежностью), а интервал – доверительным интервалом. Вероятность того, что интервал заключает в себе неизвестный параметр a, равна . Обычно надежность выбирают близкой к единице (0,95; 0,99; 0,999).

1. 
   Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения
   

Если случайная величина распределена нормально и среднее квадратическое отклонение  известно, то доверительный интервал для оценки математического ожидания a

, (1)

где n – объем выборки, t находится из равенства по таблице значений функции Лапласа .
Если  неизвестно, то в формуле (1) оно заменяется на исправленное среднее квадратическое отклонение S, t заменяется на  , которое находится по таблице (приложение )

. (2)

2. 
   Интервальная оценка среднего квадратического отклонения нормального распределения
   

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения

---

 нормального распределения с заданной надежностью  находится по формуле

, (3)

где находится по таблице (приложение ).
Пример 1. Дано распределение частот выборки (табл. 1). Найти доверительные интервалы для математического ожидания a и среднего квадратического отклонения  с доверительной вероятностью  = 0,95, если известно, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону
Таблица 1

	12 –15	15 – 18	18 – 21	21 – 24	24 – 27	27 – 30
	2	6	12	19	7	4

Решение

Имеем: , , . Так как объем выборки , то находим

.

По таблице приложения  находим

.

Подставляя полученные значения S и t_ в формулу (2), получим



или

.

По таблице приложения  найдем .

Подставляя значения S и q в формулу (3), получим



или

.
3.Интервальная оценка вероятности события
Интервальной оценкой (с надежностью ) неизвестной вероятности р биномиального распределения по относительной частоте

---

Смотрите также файлы

• Справка о наличии основных средств по состоянию на 13. 03. 2023 год Государственное бюджетное учреждение здравоохранения Московской области.docx

• Общие условия договора потребительского займа с лимитом кредитования.pdf

• Отчет по учебной практике уп. 04 Выполнение работ по профессии рабочего.docx

• Арман Марлен тмо 212 Психология сро10 Восприятие окружающих в процессе общения.docx

• Программа среднего профессионального образования 44. 02. 02 Преподавание в начальных классах Дисциплина Теоретические и прикладные аспекты методической работы учителя начальных классов Практическое занятие 2.pdf