Файл: Кафедра сау отчет по лабораторной работе 4 по дисциплине Математические пакеты в инженернотехнических расчетах тема основы символьных вычислений и операций над полиномами Вариант 8 Студент гр. 9498 Тао Сяовэй.docx

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«ЛЭТИ» ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА)

Кафедра САУ

ОТЧЕТ

по лабораторной работе № 4

по дисциплине «Математические пакеты в инженерно-технических расчетах»

ТЕМА: основы символьных вычислений и операций над полиномами

Вариант 8

Студент гр. 9498 Тао Сяовэй

Преподаватель Илатовская Екатерина Вадимовна.
Санкт-Петербург

2023 г.

Цель работы: получение навыков работы с символьными вычислениями и операциями с полиномами в MATLAB.

4.1. Основные сведения

Symbolic Math Toolbox позволяет пользоваться символьной математикой и вычислениями с плавающей точкой в MATLAB. Пакет включает вычислительное ядро пакета Maple V, разработанного фирмой «Waterloo Maple Software». Extended Symbolic Math Toolbox предоставляет пользователю дополнительную возможность программирования на Maple и обеспечивает доступ к специализированным библиотекам Maple.

4.2. Программа работы

4.2.1. Символьные вычисления

1. Создание символьных переменных и массивов возможно двумя способами: c помощью команды sym (x = sym('x');  y = sym('y');  z = sym('z')) и с помощью команды syms (syms  a  b  c). Создайте символьную матрицу 3 × 3 и вычислите ее определитель. Создайте символьную диагональную матрицу и вычислите ее след.

Код:

clc

syms a b c d

A=[1 a b 4;d c 12 3;a 3 5 6;b 3 4 5]

det(A)
Результаты бега:

A =

[1, a, b, 4]

[d, c, 12, 3]

[a, 3, 5, 6]

[b, 3, 4, 5]

ans =

144*b - 144*a + c + 12*d - 48*a*b + 16*a*c - a*d - 20*b*c - 3*b*d + 6*b^2*c + 48*a^2 - 9*b^2 - 5*a*b*c + 27

2. Существует возможность графического построения символьных функций – команда ezplot. Пример:

% Область определения по умолчанию от –2*pi до 2*pi

>> syms t % определение символьной переменной

>> f1= sin(t);

>> ezplot(f1), grid

Код:

syms x;

X=1:0.05:10;

y=sin(x);

ezplot(y),grid
Результаты бега:



Рис 1 Результаты
3. Для решения символьных конечных уравнений предназначена функция

---

solve. Пример:

>> syms x % задание символьной переменной х

>> solve('x^2+2*x–8=0') % решение квадратного уравнения

>> solve('x–sin(x)–0.25=0') % решение нелинейного уравнения

При решении системы уравнений аргументы функции solve увеличиваются в соответствии с числом этих уравнений. Например:

>> syms x1, x 2

>> [X1,X2]=solve('x1+3*log(x1)-x2^2=0,2*x1-x1*x2-5*x1+1=0');

>> simplify([X2,X1]) % для упрощения результата

Код:

syms x0;

solve(7*x0^3+x0^2-28*x0-4==0,x0)

syms x y;

[x,y]=solve(x^2+y^2-17==0,x*y+4==0);

simplify([x,y])
Результаты бега:

ans =

-2

-1/7

2

ans =

[ 1, -4]

[ 4, -1]

[-4, 1]

[-1, 4]

4. Другими типовыми функциями вычислений над символьными переменными являются:

• 
  вычисления предела – функция limit (табл. 4.1);
  
• 
  дифференцирование функций одной переменной — функция diff;
  
• 
  интегрирование функции одной переменной — функция int.
  

Таблица 4.1

Традиционное математическое действие	Команда MATLAB
	limit(f(x))
	limit(f(x),a)
	limit(f(x),a,’left’)
	limit(f(x),a,’right’)
	limit(f(x),inf)

Вычислите

Для нахождения n-й производной функции f(x) по переменной h необходимо записать: diff(f(x),h,n). Вычислите

---

.

Вычисление неопределенного интеграла функции f(x) по переменной h: int(f(x),h). Вычисление определенного интеграла функции f(x) по переменной h в пределах от a до b: int(f(x),h,a,b). Вычислите .

Код:

syms x;

y=(x+3)^2/x;

int(y,x)

int(y,x,1,8)
Результаты бега:

ans =

6*x + 9*log(x) + x^2/2

ans =

27*log(2) + 147/2

4.2.2. Операции с полиномами

1. Представление полинома р(х) = а_n хⁿ + a_n−1 xⁿ⁻¹+ ... + а₂ x² + а₁ х + а₀ в MATLAB осуществляется следующим образом: p=[ а_n a_n-1... а₂ а₁ а₀]. Также возможно построение многочлена по заданным корням (при помощи функции poly). Создайте два полинома пятой степени двумя способами.

Для символьного отображения полинома по вектору заданных коэффициентов служит команда poly2sym:

>> c=[1 2 3 4 5];

>> poly2sym(c) % вектор коэффициентов может быть непосредственно введен в poly2sym:

ans = 1*x^4+2*x^3+3*x^2+4*x+5.

Код:

p=[2 3 0 16 24];

poly2sym(p)
Результаты бега:

ans =

2*x^4 + 3*x^3 + 16*x + 24

2. 
   Умножение и деление полиномов осуществляются при помощи функций conv и dconv соответственно. Произведите обе эти операции над созданными полиномами. Для помощи по синтаксису функций используйте команду help.
   

Код:

p=[2 3 0 16 24];

roots(p)

q=[2 0 1];

conv(p,q)

deconv(p,q)
Результаты бега:

ans =
1.0000 + 1.7321i

1.0000 - 1.7321i

-2.0000 + 0.0000i

-1.5000 + 0.0000i

ans =
4 6 2 35 48 16 24

ans =
1.0000 1.5000 -0.5000

3. Приближение данных полиномом осуществляется с использованием функции polyfit(x, y, n), где x и y – это заданные значения аргумента и функции, n – порядок полинома. Выполните приведенный пример приближения данных полиномом третьего порядка:

>> x=1:7; % заданный аргумент

>> y=[15, 10, 2, 47, 23, 78, 10]; % заданная функция

>> p=polyfit(x,y,3); % формирование полинома

>> x2=1:0.1:7; % точки для построения полинома

>> y2=polyval(p,x2); % вычисление значений функции

>> plot(x,y,x2,y2) % построение результата

Код:

x=1:7;

y=[15, 10, 2, 47, 23, 78, 10];

p=polyfit(x,y,3);

---

x2=1:0.1:7;

y2=polyval(p,x2);

plot(x,y,x2,y2)
Результаты бега:



Рис 2 Результаты

4.2.3. Задание на самостоятельную работу

1. Вычислите в соответствии с вариантом:

1)		6)
2)		7)
3)	)	8)
4)	)	9)
5)		10)	)

Код:

syms y x

a=6^2*sqrt(1+4*x*y+x^2+3*y^2)

int(a,y)

Результаты бега:

a =

36*(x^2 + 4*x*y + 3*y^2 + 1)^(1/2)

ans =

36*(x/3 + y/2)*(x^2 + 4*x*y + 3*y^2 + 1)^(1/2) - 2*3^(1/2)*log((x^2 + 4*x*y + 3*y^2 + 1)^(1/2) + (3^(1/2)*(2*x + 3*y))/3)*(x^2 - 3)

>>

2. Аппроксимируйте с наименьшей среднеквадратической ошибкой полиномом произвольного порядка зависимость a sin(kx)+bcos(lx) y на интервале от 0 до 2π. Значения коэффициентов возьмите из табл. 4.2.

Таблица 4.2

Коэффициенты	Номер варианта
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	1	3	2	8	5	10	9	4	6	7
b	2	4	3.5	15	3	25	1.4	7	13	29
k	1	2	3.1	2.2	0.7	2.3	4.5	2	1	0.8
l	0.5	0.6	5	8	1.5	0.2	3	1.6	5	3

---

Формула для вычисления среднеквадратической ошибки для двух векторов x₁ и x₂ длиной n:



Код:

syms x1 y1

y1=4*sin(2*x)+7*cos(1.6*x)
x=1:0.1:6

y=4*sin(2*x)+7*cos(1.6*x)

o=polyfit(x,y,8)

x2=1:0.1:6

y2=polyval(o,x2)

plot(x,y,x2,y2)
y3=y-y2

frms=rms(y3)

Результаты бега:


Рис 3 Результаты

frms =
0.0304


Вывод: Научитесь использовать команду sym для вычисления различных функций и создания соответствующих изображений для получения результатов

---