ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.01.2024
Просмотров: 69
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Глава ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ, РЕКОМЕНДУЕМЫХ К ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ ЦЕЛЕЙ ОБУЧЕНИЯ ПРОГРАММЫ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ
28
Математика
Цель обучения «5.1.2.21 выполнять умножение обыкновенных дробей, смешанных чисел».
Задание.
Найдите площадь прямоугольника со сторонами
3 5
дм и
3 дм (см. рисунок 5 дм дм дм 5
дм
Прямоугольник нужной площади изображен на рисунке как часть квадрата со стороной 1 дм. Попросите учащихся найти площадь закрашенного прямоугольника как часть площади квадрата. Таким образом, площадь закрашенной части составляет
9 20
площади квадрата, те дм
2
С другой стороны, площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину, те дм. Предложите учащимся составить равенство
3 5
3 4
9 20
. Попросите учащихся в парах обсудить и сформулировать правило умножения обыкновенных дробей.
Цель обучения находить часть числа и число по его части».
Задания
1.
Папа решил сделать ремонт ванной комнаты и коридора, выложив пол плиткой. Задень он выложил плитку только в ванной комнате, что составило
7 15
от всей запланированной площади.
Найдите площадь коридора, если вся запланированная для ремонта площадь равна 1200 дм
2
Решение:
1)
1 7
15 8
15
;
2)
8 15 1200
⋅
дм
= 640 дм
2
или 1)
7 15 дм
= 560 дм 2) 1200 дм
–
560 дм = 640 дм
2
Таким образом, площадь коридора составляет 560 дм.
Бабушка подарила всем своим внукам по несколько яблоки груш, причем каждому досталось равное количество фруктов. Внуку Марату досталась пятая часть всех розданных яблоки седьмая часть всех груш. Сколько внуков у бабушки?
Решение: Пусть бабушка всего раздала внукам a яблоки груш. Из неравенств
7 7
5
b
a
b
a
+
>
+
и
30
Математика
Получаем:
20 30 100
x
. Отсюда находим x =
20 30 100 Аналогично найдем количество саксофонистов, которое составляет 10% от общего количества музыкантов — х — 10%
20 100 10
y
=
. Отсюда находим y =
20 10 100 2
�
=
. Количество саксофонистов в три раза меньше количества трубачей или количество процентов трубачей в три раза больше количества процентов саксофонистов.
Первая бригада за 2 часа выполнила 35% плана, что составило 140 деталей. Сколько деталей изготовила вторая бригада за эти же два часа, если она выполнила 20% плана. Решение Вычислим общее количество деталей, которое бригада должна изготовить по плану. Общее количество обозначим через х. Тогда поданным первой бригады составим следующую конструкцию — 140 100% — х 100 Отсюда находим x =
100 140 35 Итак, общее количество деталей, которое должна была изготовить бригада за рабочую смену, составляет 400 штук. Теперь посчитаем, сколько деталей изготовила вторая бригада за эти же два часа. Нам известно, что вторая бригада за 2 часа может изготовить 20% деталей из 400 штук.
400 — х — 20%
400 100 Отсюда находим x =
400 20 100 80
. Итак, вторая бригада за 2 часа изготовила 80 деталей.
Мама купила фрукты в магазине, причем 20% покупки составили яблоки, 15% — груши,
30% — сливы. Какую сумму заплатила мама за яблоки и груши, если сливы стоили 750 тенге.
Решение: яблоки + груши = 20%+15% = 35%, пусть x — сумма, которую мама заплатила за яблоки и груши.
35% — x тг
30% — 750 тг
35 30 750
= Отсюда x = 875 тг.
31
Математика
Цели обучения
«5.5.2.9 строить плоские фигуры и развертки пространственных геометрических фигур (куба и прямоугольного параллелепипеда, «6.3.2.4 распознавать фигуру по ее изображению и изображать плоские и пространственные фигуры».
Задания
1.
Предложите учащимся провести эксперимент сконструировать коробку для подарка. Попросите учащихся проанализировать Из каких частей была собрана коробка Можно ли соединить отдельные грани коробки в плоскую фигуру Подведите к пониманию понятия развертки. Предложите найти площадь поверхности, созданной ими коробки, и объем коробки. Для наглядности используйте возможности программы «GeoGebra», позволяющей продемонстрировать в 3D формате развертку куба или параллелепипеда.
2. Выберите кубик, соответствующий данной развертке.
Из фигур на рисунке выберите те, которые являются развертками куба. Вырежьте их и покажите, как из них склеить куб) Из какой развертки можно собрать данную фигуру а
б)
в)
г)
Ответ: б
Задания
1.
Покажите учащимся шахматную доску с несколькими фигурами, попросите объяснить, где расположены фигуры. Например:
Конь — Е, белая пешка — Аи т.д.
Обсудите с учащимися принцип указания места фигуры на шахматной доске (клетка по горизонтали клетка по вертикали.
2.
Поставьте в центре кабинета стул и попросите учащихся описать расположение других предметов в кабинете (количество шагов влево/вправо от стула количество шагов вперед/назад от стула. Обсудите, что в обоих случаях положение определяется упорядоченной парой чисел. Подведите учащихся к пониманию того, что расположение точки на плоскости также можно описать упорядоченной парой чисел, если нанести на данную плоскость систему координат
38
Математика
Цели обучения
«6.4.3.2 вычислять статистические числовые характеристики, «7.3.3.7 анализировать статистическую информацию, представленную в виде таблицы или полигона частот».
Задания
1.
В течение четверти Оля получила по математике пять двоек, четыре четверки и две пятерки. Ее мама считает, что за четверть Оле надо ставить двойку, папа считает, что надо ставить тройку, а сама Оля считает, что надо ставить четверку. Попробуйте привести аргументы в пользу каждой точки зрения (какие статистические характеристики вычисляет каждый член семьи. Какую бы оценку вы поставили Оле Решение Составим числовой ряд оценок Оли 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 5, Найдем среднее арифметическое данного ряда
2 2
2 2
2 4
4 4
4 5
5 11 36 11 3 3
Папа Оли считает, что ей нужно ставить тройку, т. к. среднее арифметическое всех ее оценок за четверть приблизительно равно Мода числового ряда 2. Мама Оли считает, что ей надо ставить двойку, т.к. двойка встречается чаще остальных оценок за четверть. Медиана 4. Сама Оля считает, что ей надо ставить четверку, т.к. в упорядоченном числовом ряде оценок за четверть посередине находится оценка 4.
2.
В таблице приведены данные по температуре в городе N в июне 2018 г. ив июне 2019 г. В ней отражена информация об ежедневных наблюдениях.
Температурные интервалы, о
С
Июнь 2018 г.
Июнь 2019 г 2
1 18-22 9
6 22-26 12 15 26-30 6
3 30-34 В каком году было больше дней, когда температура превышала 26
o
С?
Решение. Данные представлены в интервальной таблице частот. Чтобы определить, сколько дней температура превышала Св и 2019 годах, просуммируем данные таблицы по столбцам, соответствующим интервалами Температурные интервалы, o
С
Июнь, 2018г.
Июнь, 2019 г 6
3 30-34 1
5 Итак, в 2019 году было больше дней, когда температура превышала С
40
Математика
Цель обучения
«6.5.2.10 находить и исследовать зависимости между величинами, используя графики реальных процессов».
Задание: На рисунке изображены графики полета двух самолетов, вылетевших из аэропорта г. Нур-Султан водном направлении 2000 1600 9
00 10 00 11 00 12 00 13 00 14 00 15 00 16 00 17 00 18 00
t ч км 400 а) В какое время самолеты вылетели с аэродрома и вернулись обратно?
б) Сколько промежуточных посадок сделал в пути каждый из них Чему равна продолжительность этих остановок?
в) С какой скоростью летели самолеты на всех участках пути?
г) На каком расстоянии от Нур-Султана были они в 12 часов, в 14 ч 20 мин, в 16 ч 40 мин Где были самолеты в это время — на земле или в воздухе?
д) В какое время они находились на расстоянии 400 км от Нур-Султана?
Решение:
Пусть график полета первого самолета указан черным, второго самолета — красным.
а) первый самолет вылетел с аэродрома в 9.00 и вернулся в 18.00, второй самолет вылетел в
10.40 и вернулся в б) Первый самолет сделал 3 промежуточные посадки, первая остановка составила 1 час, вторая остановка составила 1 час 20 минут, третья остановка составила 1 час. Второй самолет сделал 2 промежуточные посадки, первая остановка составила 1 час, вторая остановка составила 1 час 40 минут.
в) Первый самолет на первом участке пути летел 1 час со скоростью 800 км/час, на втором участке пути летел 2 часа со скоростью 800 км/час, на третьем участке пути летел 40 минут со скоростью 1200 км/час, на четвертом участке пути летел 2 часа со скоростью 800 км/час. Второй самолет на первом участке пути летел 2 часа 40 минут со скоростью 600 км/час, на втором участке пути летел 1 час 20 минут со скоростью 600 км/час, на третьем участке пути летел 1 час 20 минут со скоростью 600 км/час.
г) На каком расстоянии от Нур-Султана были они в 12 часов, в 14 ч 20 мин, в 16 ч 40 мин Где были самолеты в это время — на земле или в воздухе?
Первый самолет в 12 часов находился в воздухе на расстоянии 1600 км, в 14 ч 20 мин находился на расстоянии 2400 км и вылетел обратно в Нур-Султан, в 16 ч 40 мин находился в воздухе на расстоянии 1000 км.
Второй самолет в 12 часов находился в воздухе на расстоянии 800 км, в 14 ч 20 мин находился на расстоянии 1600 км и вылетел обратно в Нур-Султан, в 16 ч 40 мин находился на земле на расстоянии 800 км
41
Математика
Цель обучения
«7.1.2.5 применять свойства степеней для упрощения алгебраических выражений .bЗадание:bДано выражение
a
a
a b
6 7
3 Ученик выполнил преобразование выражения, используя следующие шаги:
Шаг 1.
1 3
2
a
a b
; Шаг 2.
a
a b
1 3
2 Шаг 3.
a a b
4 Шаг 4.
a
a b
2 Укажите шаги, на которых ученик допустил ошибки, и исправьте их.
Ответ: На шаге 2 при раскрытии скобки
a b
2
. На шаге 3 ученик допустил ошибку, т.к. по свойству возведения степени в степень
a
a
m n
mn
он должен получить
a
a
1 Цель обучения
«7.4.2.3 оценивать, как изменяются площадь квадрата и объем куба при изменении их линейных размеров».
Задания
1.
Во сколько раз изменены линейные размеры куба на рисунке Во сколько раз изменился его объем?
Решение: Если ребро исходного куба будет х, то его объем х. Ребро куба увеличилось в 2 раза, тогда его объем (х
= х. Таким образом, объем куба увеличилось вили раз.
Квадрат со стороной а) 3 см б) 1 м разрезали на квадраты со стороной 1 см. Сколько квадратов получилось Решение а) если разделить каждую сторону квадрата на 3 части по 1 см, то получим 9 квадратов.
б) если сторона квадратам, то при разделении одной стороны по 1 см получим, 100 делений, соответственно на второй стороне также будет 100 делений. Таким образом, количество полученных квадратов
100 100 10000
3.
Куб со стороной а) 3 см б) 1 м распилили на кубики со стороной 1 см. Сколько кубиков получилось
42
Математика
Решение:
а) Объем куба с длиной ребра 3 см – 27 см. Если распилить его на кубики с длиной ребра 1 см, то соответственно получится 27 кубиков.
б) Длина ребра кубам или 100 см. Его объем 1000000 см. Соответственно при распилена кубики с длиной ребра 1 см, получится 1000000 кубиков.
Елдос и Айдар построили по башне из кубиков, имеющих одни и те же размеры. Обе башни имеют квадратное основание. Башни составлены из одинакового числа кубиков. а) Сторона основания башни Айдара в четыре раза больше, чему Елдоса. Во сколько раз башня Елдоса выше б) Башня Елдоса в четыре раза выше, чем башни Айдара. Во сколько разу башни
Айдара больше сторона основания
Решение:
а) Пусть общее количество кубиков у каждого мальчика по N штуку Айдара в основании башни квадрат со стороной из х кубиков, то есть всего в основании х кубиков. Тогда по условию задачи у Елдоса в основании башни квадрат со стороной из
1 4
x
кубиков, то есть всего
1 16 2
x
кубиков. Теперь определим высоту каждой башни.
Высота башни у Айдара
N
x
2
, у Елдоса
N
x
N
x
1 16 16 Если сравнить эти высоты, то башня у Елдоса враз выше, чему Айдара.
б) Пусть у Елдоса в основании башни квадрат со стороной из х кубиков. Тогда высота его башни
N
x
2
. Тогда по условию задачи высота башни Айдара
N
x
4 2
, отсюда видно, что в основании башни у Айдара х кубиков. А это будет квадрат со стороной из х кубиков. Итак, сторона основания у Айдара в 2 раза больше, чему Елдоса.
Задания_1.'>Цель обучения
«7.1.2.9 сравнивать числа, записанные в стандартном виде».
Задания
1.
Посмотрите на данные в таблице. Как выдумаете, какая из планет самая тяжелая Самая легкая Расположите названия планет в порядке убывания их масс.
Планета
Венера
Земля
Марс
Меркурий
Нептун
Сатурн
Уран
Юпитер
Масса, кг 4,869 · 10 24 5,974 · 10 24 6,419 · 10 24 3,302 · 10 23 1,024 · 10 26 5,885 · 10 26 8,685 · 10 25 1,899 · 10 27
2.
Масса частицы пыли приблизительно равна
7 5 10 10
,
килограмма, а масса электрона прои- близительно равна
9 1 10 килограмма. Приблизительно какое количество электронов имеют одинаковую с частицей пыли массу?
а)
1 21 10 20
,
⋅
; б)
1 21 10 21
,
⋅
; в)
8 24 10 20
,
⋅
; г)
8 24 10 Ответ в
43
Математика
Цели обучения
«7.4.1.1 усвоить понятия функции и графика функции, «7.4.1.5 знать определение линейной функции y = kx + b, строить ее графики устанавливать его расположение в зависимости от значений k и b», «7.4.1.7 определять знаки k и b линейной функции y = kx + b, заданной графиком».
Задания
1.
Раздать каждому учащемуся набор карточек, на которых изображены графики на координатной плоскости, и предложить выбрать карточки, на которых изображены графики функций. Затем учащиеся в парах обсуждают свой выбор. Например 0
1 1
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
2 2
3 3
4 4
5 5
y
x
x
y
а)
б)
в)
г)
0 0
1 1
y
y
x
x
2.
Масса пустого бидона вместимостью 45 л равна 5 кг, а масса одного литра жидкости равна
0,9 кг. Задайте зависимость массы m бидона с жидкостью от количества литров жидкости формулой. Тогда масса m (в килограммах) бидона, в котором содержится р литров жидкости, равна m = р + 5. Таким образом, по описанию функции учащиеся составят ее формулу. Обратите внимание учащихся на вид формулы. Поясните, что правая часть является линейным выражением с независимой переменной р.
Дополните чертеж изображением оси Оу, так чтобы получился график указанной функции единичный отрезок — одна клетка. Используя данные чертежа, найдите координаты точки В y = x Цель обучения
«7.4.3.1 составлять математическую модель по условию задачи».
Задания
1.
Составьте выражение для вычисления площади закрашенной фигуры и разложить это выражение на множители
44
Математика
Решение:
На стороне прямоугольника расположены два полукруга с радиусом r, значит сторона равна
4r. Другая сторона больше, чем 2r, пусть будет 2r + n. Площадь квадрата кв 2
8 4
2
r r n
r
rn
. Незакрашенную область составляют 4 полукруга, или 2 круга, тогда площадь незакрашенной области будет S
незакр
2 2
r
. Теперь можем найти площадь закрашенной области S
незакр
= кв – S
незакр
8 4
2 2
4 4
2 Составьте многочлены, выражающие площади закрашенных фигур
а
а
3а
+ 5 5b
+ а + 3
b + а + 5
б)
а)
b
b
Решение:
а) площадь большого прямоугольника
S
a
a
1 2
3 3
5
, площадь маленького незакрашен- ного прямоугольника
S
a
2 3
5
. Чтобы найти площадь закрашенной области, отнимем площадь маленького незакрашенного прямоугольника от площади большого прямоугольника S
a
a
a
a
a
a
a
a
1 2
2 2
2 3
3 5
3 5
6 19 15 3
15 6
16
б) Фигура состоит из двух прямоугольников со сторонами b и b+c, и b и Тогда площадь данной фигуры есть сумма площадей двух прямоугольников:
S
фигура
S S
b b c b b c
b
bc
1 2
2 4
5 2
.
3.
Отрезок длиной 20 см разделен на две части, и на каждой из них построен квадрат. Найдите стороны квадратов, если разность их площадей равна 40 см
2
Решение. Пусть x — сторона меньшего из квадратов. Тогда сторона второго квадрата равна
20 – x. Из уравнения
20 40 2
2
x
x
найдем Ответ
9 см и 11 см.
Если сторону квадрата увеличить на 4 см, то его площадь увеличится на 32 см. Какова сторона квадрата?
Ответ:
2 см.
Два фирмы, предоставляющие услуги такси, используют разные тарифные планы оплаты своих услуг. Приведенный ниже график показывает расценки фирмы А. Приведенная ниже таблица соответствует расценкам фирмы Б. Каждая из фирм берет фиксированную плату за посадку в такси и плату за каждый километр проезда.
46
Математика
Тогда:
3 7
7 3 100 10 7
7 100 10 17
ab
ab
a
b
a b
300 30 21 700 10 290 29 679 17
a
b
a b
a
b
290 29 696
a
b
10 24
a b
, отсюда
a
b
=
=
2 Итак,
ab7 247
=
5.
В течение нескольких лет цену на некоторый товар постепенно повышали сначала на 10%, затем на 3000 тг., затем еще на 25%. В результате цена на товар повысилась на 75% по сравнению с первоначальной. Сколько стоил товар до повышения цен.
Турист идет от деревни к железнодорожной станции. Пройдя за час 3 км, он понял, что, продолжая движение с этой скоростью, он опоздает на поезд на 40 минут, и пошел со скоростью
4 км/ч. На станцию турист пришел за 45 минут до отправления поезда. Чему равно расстояние от деревни до станции.
Смешали некоторое количество 40% иго растворов кислоты и получили 800 граммов го раствора кислоты. Сколько граммов каждого раствора было взято.
В 500 кг руды имеется некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5% железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на
20%. Сколько железа осталось в руде
9.
Сколько нужно взять го иго растворов марганцовки, чтобы смешав их получить г го раствора марганцовки?
Цель обучения
«7.1.1.16 доказывать теорему о сумме внутренних углов треугольника и следствия из нее».
Задания
1.
Раздайте учащимся картонные модели треугольников, чтобы демонстрировать теорему о сумме внутренних углов треугольника.
Способ 1: Отрезать углы треугольника и сложить их так, чтобы вершины были водной точке и стороны одного угла совместились со сторонами других углов.
Способ 2: Сложить углы перегибанием.
Задайте вопрос Какой вы можете сделать вывод 2
2 Ответ сумма углов треугольника равна 180 0
2. Попросите учащихся провести исследование суммы внутренних углов треугольника.
1. Построить треугольник. Измерить углы треугольника. Найти сумму внутренних углов треугольника
Цель обучения
«9.1.4.14 знать и применять признаки подобия треугольников, «9.1.4.15 знать и применять подобие прямоугольных треугольников».
Задания
1.
Изображение на фотопленке имеет высоту 10 мм. Найдите высоту дерева, если расстояния от объектива аппарата до изображения и до дерева равны соответственно 50 мм им. Рисунок а).
Ответ:
18 м.
Столб высотой 15 м закрывается монетой диаметром 2 см, если ее держать на расстоянии 60 см от глаза. Найдите расстояние (в мот наблюдателя до столба. Рисунок б. Ответ 450 м.
Используя данные, приведенные на рисунке, найдите расстояние АВ от лодки А до берега b. Рисунок в).
Ответ:
100 м.
Короткое плечо шлагбаума имеет длину 1 м, а длинное плечом. На какую высоту поднимается конец длинного плеча, когда конец короткого плеча опускается нам Рисунок г).
Ответ:
2 мам мм б)
2 см см м в)
A
B
C
D
E
?
b
1 мм мг мм м
Цель обучения
«9.1.3.6 знать и применять теорему косинусов, «9.1.3.10 применять теоремы синусов и косинусов для решения треугольников и прикладных задач. Задания
1.
Макушка дерева видна под углом 65 0
, а после приближения к дереву нам макушка дерева стала видна под углом 71 0
Определите высоту дерева. Рисунок а.
Для определения ширины непроходимого болота с вершины вертолета, находящегося на высоте h измерили углы
α
и β. Найти ширину болота
AB
. Рисунок б.
Чтобы найти расстояние до недоступной точки Вот доступной точки, выполнили измерениям, АО, С = 68
O
. Найдите расстояние AB. Рисунок в
57
Математика
а)
72
о
65
о
100 м б) Св) Цель обучения
«9.1.1.1 выводить и применять формулу длины дуги, «9.1.1.2 выводить и применять формулу площади сектора, сегмента. Задания
1.
Тепловоз прошел 1413 м. Найдите диаметр колеса тепловоза, если известно, что оно сделало
300 оборотов. Ответ округлите до десятых. Рисунок а).
Ответ:
1,5 м.
Вычислите длину дуги круговой орбиты искусственного спутника Земли, если градусная мера этой дуги составляет О, спутник вращается на расстоянии 320 км от Земли и радиус Земли равен 6370 км. Ответ округлите до сотен километров. Рисунок б).
Ответ:
3500 м.
Лассо изготовлено из веревки длиной 10 м. Круглая петля лассо имеет радиус 0,6 м. Найдите длину каната, который не является частью петли. Ответ округлить до десятых. Рисунок в. Ответ
6,2 м.
На рисунке изображена схема полигона, на котором проводятся соревнования по метанию копья. Он имеет форму кругового сектора радиусом 100 м. Линия для броска находится в 5 мот центра и окрашена белой линией. Вторая белая линия окрашивается на расстоянии метров от первой дуги, место между двумя белыми линиями является посадочной площадкой для копья. Рисунок га) Найдите общую длину окрашенных белых линий.
б) Если посадочная площадка засеяна травой, какова общая площадь посева Для соединения семи пластиковых труб используется тонкая пластиковая лента. Если лента имеет длину 50 см, каков радиус каждой трубы Рисунок да) б) в)
95 мм 40Оцентр линия для броска г)
д)
58
Математика
Список использованной литературы.
Рослова Л. О, Краснянская КА, Квитко Е. С. Концептуальные основы формирования и оценки математической грамотности Отечественная и зарубежная педагогика. 2019. Т, № 4 (61). С. 58–79.
2.
OECD Governing Board PISA 2021 Mathematics Framework (First Draft), April 2018 [For
Official Use], p. 8, 21-22.
3.
PISA 2021 Mathematics: A Broadened Perspective.
4.
PISA 2021 Mathematics/An analysis of the Center for curriculum redesign (CCR), January
2016, С. 27-32.
5.
New Mathematics, 2
nd edition, P2, Marshall Cavendish International (Singapore), 2008.
6.
Математика, 8 класс, АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы, 2019.
7.
Рязановский АР, Мухин Д.Г., Всероссийская проверочная работа, 7, 8 класс, Изд. Экзамен Сборник по материалам участников телекоммуникационного обучающего проекта-кон- курса «Компетентностно-ориентированный урок, Омск, 2012.
10.
Шарыгин И.Ф., Наглядная геометрия 5-6 классы, М Изд.Дрофа, 2007.
11. Материалы конкурса Кенгуру https://russian-kenguru.ru/konkursy/kenguru.
12.
Белос А, Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры, Изд.
«Манн, Иванов и Фербер», 2015.
13.
Основные результаты международного исследования PISA-2015, АО «Информацион- но-аналитический центр, Нур-Султан, 2017 http://iac.kz/sites/default/files/nac_otchet_pisa-
2015_final.pdf.
Учебно-методическое издание
Развитие функциональной грамотности учащихся
на уроках математики
Редактор: Н.Д. Токтыбаев
Технический редактор СМ. Жапарова
Дизайнер-верстальщик: С.К. Аманова
ИБ Подписано в печать 24.07.2020 г. Формат 60х84/16.
Бумага 80 г. Гарнитура «Times New Roman». Цифровая печать.
Усл,п.л. 6.97. Усл.кр.-отт. 27,88. Уч. изд. л. Тираж ____ экз. Заказ №___
010000. г. Нур-Султан, Хусейн бен Талал, здание 12/1,
АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы»
По вопросам приобретения и доставки обращаться по телефонам (7172) 235-235; +7 701 0235 или в интернет-магазин: store@nis.edu.kz, @NIS_OQŶLYQ, NISoqylyq
28
Математика
Цель обучения «5.1.2.21 выполнять умножение обыкновенных дробей, смешанных чисел».
Задание.
Найдите площадь прямоугольника со сторонами
3 5
дм и
3 дм (см. рисунок 5 дм дм дм 5
дм
Прямоугольник нужной площади изображен на рисунке как часть квадрата со стороной 1 дм. Попросите учащихся найти площадь закрашенного прямоугольника как часть площади квадрата. Таким образом, площадь закрашенной части составляет
9 20
площади квадрата, те дм
2
С другой стороны, площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину, те дм. Предложите учащимся составить равенство
3 5
3 4
9 20
. Попросите учащихся в парах обсудить и сформулировать правило умножения обыкновенных дробей.
Цель обучения находить часть числа и число по его части».
Задания
1.
Папа решил сделать ремонт ванной комнаты и коридора, выложив пол плиткой. Задень он выложил плитку только в ванной комнате, что составило
7 15
от всей запланированной площади.
Найдите площадь коридора, если вся запланированная для ремонта площадь равна 1200 дм
2
Решение:
1)
1 7
15 8
15
;
2)
8 15 1200
⋅
дм
= 640 дм
2
или 1)
7 15 дм
= 560 дм 2) 1200 дм
–
560 дм = 640 дм
2
Таким образом, площадь коридора составляет 560 дм.
Бабушка подарила всем своим внукам по несколько яблоки груш, причем каждому досталось равное количество фруктов. Внуку Марату досталась пятая часть всех розданных яблоки седьмая часть всех груш. Сколько внуков у бабушки?
Решение: Пусть бабушка всего раздала внукам a яблоки груш. Из неравенств
7 7
5
b
a
b
a
+
>
+
и
Математика 7
5
b
a
b
a
+
<
+
следует, что Марату досталось больше седьмой части, но меньше пятой части всех фруктов. Следовательно, внуков у бабушки меньше семи и больше пяти. Ответ
6 внуков.
3.
Покажите, что площадь квадрата равна 13 клеткам Решение Площадь большого квадрата равна
S
1 5 5 25
клеткам.
В незакрашенных областях видим прямоугольные треугольники с катетами, состоящими из сторон 2 и 3 клеток. Площадь одного треугольника треугольник 3 2
3 клетки.
Так как таких треугольников 4, получим площадь незакрашенной области квадрата:
S
треугольник
· 4 = 3 · 4 = 12 клеток.
Тогда площадь закрашенной области S – треугольник = 25 – 12 = 13 клеток.
Цели обучения «5.5.1.6 решать текстовые задачи на проценты, «6.5.1.2 решать задачи на проценты с помощью пропорции».
Задания
1.
Жандос хочет купить телевизор стоимостью 200 тыс.тг. Чтобы заплатить за телевизор, он воспользуется планом оплаты, согласно которому он должен внести начальный платеж в размере
50 тыс.тг и затем платить по 29 тыс. тг каждый месяц в течение 6 месяцев. Насколько процентов стоимость телевизора при таком плане оплаты будет выше первоначальной стоимости?
Решение: Согласно плану Жандос оплачивает покупку телевизора следующим образом
50 тыс + 29 тыс · 6 месяцев = 224 тыс. тг.
Так как стоимость телевизора 200 тыс, Жандос переплачивает 224 – 200 = 24 тыс.тг. Посчитаем насколько процентов стоимость телевизора будет выше первоначальной стоимости
24 100 200 12
%
%
тыс.
тыс.
Ответ:
12%.
2.
В духовом оркестре 20 музыкантов. Из них 30% трубачи и 10% играют на саксофоне. Найдите количество трубачей и саксофонистов. Сравните их количество (враз больше/меньше) и количество процентов, которое они составляют от общего числа музыкантов (враз больше/
меньше). Сделайте выводы о прямой пропорциональности количества музыкантов и числа процентов, которое они составляют.
Решение:
Всего в духовом оркестре 20 музыкантов — это 100%. Из них 30% составляют трубачи, их количество обозначим х. Найдем х
20 — х — 30%
20 100 30
x
=
5
b
a
b
a
+
<
+
следует, что Марату досталось больше седьмой части, но меньше пятой части всех фруктов. Следовательно, внуков у бабушки меньше семи и больше пяти. Ответ
6 внуков.
3.
Покажите, что площадь квадрата равна 13 клеткам Решение Площадь большого квадрата равна
S
1 5 5 25
клеткам.
В незакрашенных областях видим прямоугольные треугольники с катетами, состоящими из сторон 2 и 3 клеток. Площадь одного треугольника треугольник 3 2
3 клетки.
Так как таких треугольников 4, получим площадь незакрашенной области квадрата:
S
треугольник
· 4 = 3 · 4 = 12 клеток.
Тогда площадь закрашенной области S – треугольник = 25 – 12 = 13 клеток.
Цели обучения «5.5.1.6 решать текстовые задачи на проценты, «6.5.1.2 решать задачи на проценты с помощью пропорции».
Задания
1.
Жандос хочет купить телевизор стоимостью 200 тыс.тг. Чтобы заплатить за телевизор, он воспользуется планом оплаты, согласно которому он должен внести начальный платеж в размере
50 тыс.тг и затем платить по 29 тыс. тг каждый месяц в течение 6 месяцев. Насколько процентов стоимость телевизора при таком плане оплаты будет выше первоначальной стоимости?
Решение: Согласно плану Жандос оплачивает покупку телевизора следующим образом
50 тыс + 29 тыс · 6 месяцев = 224 тыс. тг.
Так как стоимость телевизора 200 тыс, Жандос переплачивает 224 – 200 = 24 тыс.тг. Посчитаем насколько процентов стоимость телевизора будет выше первоначальной стоимости
24 100 200 12
%
%
тыс.
тыс.
Ответ:
12%.
2.
В духовом оркестре 20 музыкантов. Из них 30% трубачи и 10% играют на саксофоне. Найдите количество трубачей и саксофонистов. Сравните их количество (враз больше/меньше) и количество процентов, которое они составляют от общего числа музыкантов (враз больше/
меньше). Сделайте выводы о прямой пропорциональности количества музыкантов и числа процентов, которое они составляют.
Решение:
Всего в духовом оркестре 20 музыкантов — это 100%. Из них 30% составляют трубачи, их количество обозначим х. Найдем х
20 — х — 30%
20 100 30
x
=
30
Математика
Получаем:
20 30 100
x
. Отсюда находим x =
20 30 100 Аналогично найдем количество саксофонистов, которое составляет 10% от общего количества музыкантов — х — 10%
20 100 10
y
=
. Отсюда находим y =
20 10 100 2
�
=
. Количество саксофонистов в три раза меньше количества трубачей или количество процентов трубачей в три раза больше количества процентов саксофонистов.
Первая бригада за 2 часа выполнила 35% плана, что составило 140 деталей. Сколько деталей изготовила вторая бригада за эти же два часа, если она выполнила 20% плана. Решение Вычислим общее количество деталей, которое бригада должна изготовить по плану. Общее количество обозначим через х. Тогда поданным первой бригады составим следующую конструкцию — 140 100% — х 100 Отсюда находим x =
100 140 35 Итак, общее количество деталей, которое должна была изготовить бригада за рабочую смену, составляет 400 штук. Теперь посчитаем, сколько деталей изготовила вторая бригада за эти же два часа. Нам известно, что вторая бригада за 2 часа может изготовить 20% деталей из 400 штук.
400 — х — 20%
400 100 Отсюда находим x =
400 20 100 80
. Итак, вторая бригада за 2 часа изготовила 80 деталей.
Мама купила фрукты в магазине, причем 20% покупки составили яблоки, 15% — груши,
30% — сливы. Какую сумму заплатила мама за яблоки и груши, если сливы стоили 750 тенге.
Решение: яблоки + груши = 20%+15% = 35%, пусть x — сумма, которую мама заплатила за яблоки и груши.
35% — x тг
30% — 750 тг
35 30 750
= Отсюда x = 875 тг.
31
Математика
Цели обучения
«5.5.2.9 строить плоские фигуры и развертки пространственных геометрических фигур (куба и прямоугольного параллелепипеда, «6.3.2.4 распознавать фигуру по ее изображению и изображать плоские и пространственные фигуры».
Задания
1.
Предложите учащимся провести эксперимент сконструировать коробку для подарка. Попросите учащихся проанализировать Из каких частей была собрана коробка Можно ли соединить отдельные грани коробки в плоскую фигуру Подведите к пониманию понятия развертки. Предложите найти площадь поверхности, созданной ими коробки, и объем коробки. Для наглядности используйте возможности программы «GeoGebra», позволяющей продемонстрировать в 3D формате развертку куба или параллелепипеда.
2. Выберите кубик, соответствующий данной развертке.
Из фигур на рисунке выберите те, которые являются развертками куба. Вырежьте их и покажите, как из них склеить куб) Из какой развертки можно собрать данную фигуру а
б)
в)
г)
Ответ: б
Математика) На рисунке показана развертка прямоугольной коробки. Чему равен объем этой коробки
10 см см см
Решение:
Чтобы найти объем коробки, нужно умножить длину, ширину и высоту коробки. Обозначим длину, ширину и высоту коробки соответственно x, y, z. Укажем эти величины на рисунке см см см
x
x
z
z
x
x
y
y
Отсюда получим систему линейных уравнений y
y
z
x z
x
y
z
10 2
2 26 7
2 8
5
Теперь найдем объем коробки
V
2 5 8 80
3.
Объедините учащихся в пары. Учащиеся в парах получают задания, противоположного содержания. Например Учащийся 1: Начертить проекции ломаной линии, проходящей по поверхности стеклянного куба, изображенного на рисунке.
Учащийся 2: Потрем проекциям ломаной линии изобрази ее на поверхности стеклянного куба
Каждый учащийся выполняет свое задание, а затем сверяет свои результаты с работой напарника (условие одного должно совпадать с решением другого).
вид спереди вид сверху вид слева
10 см см см
Решение:
Чтобы найти объем коробки, нужно умножить длину, ширину и высоту коробки. Обозначим длину, ширину и высоту коробки соответственно x, y, z. Укажем эти величины на рисунке см см см
x
x
z
z
x
x
y
y
Отсюда получим систему линейных уравнений y
y
z
x z
x
y
z
10 2
2 26 7
2 8
5
Теперь найдем объем коробки
V
2 5 8 80
3.
Объедините учащихся в пары. Учащиеся в парах получают задания, противоположного содержания. Например Учащийся 1: Начертить проекции ломаной линии, проходящей по поверхности стеклянного куба, изображенного на рисунке.
Учащийся 2: Потрем проекциям ломаной линии изобрази ее на поверхности стеклянного куба
Каждый учащийся выполняет свое задание, а затем сверяет свои результаты с работой напарника (условие одного должно совпадать с решением другого).
вид спереди вид сверху вид слева
Математика.
Определите на каких рисунках, обозначенных буквами от А до Е, изображен блок, взятый за образец в уголке и повернутый в пространстве.
Ответ:
А.
Цель обучения
«6.1.2.6 делить величины в заданном отношении».
Задания
1.
В ателье поступил заказ на пошив 120 школьных форм. Заказ надо распределить поровну между членами двух бригад, водной из которых 8 человека в другой — 7. Сколько школьных форм должна сшить каждая бригада Решение Всего в двух бригадах 15 человек. Так как впервой бригаде 8 человека в другой — 7, то для пошива на первую бригаду приходится
8 15
частей форм, на вторую бригаду приходится
7 частей форм. Теперь умножив 120 форм на
8 15
и
7 15
, находим, сколько школьных форм должна сшить каждая бригада первая бригада должна сшить 64, вторая бригада 56 форм.
На приготовление печенья взяли 450 г сухих продуктов (мука, дрожжи, сахар) в отношении
37:1:7. Сколько грамм каждого продукта взяли?
Решение: Всего частей 37 + 1 + 7 = 45 1 часть 450 : 45 = 10 г
Ответ: муки взяли 37 · 10 г = 370 г, дрожжей 1 · 10 г = 10 г, сахара 7 · 10 г = 70 г.
Брусок изготовлен из сплава трех металлов свинца, олова и железа. Масса бруска 700 грамм. Найдите массу каждого металла в бруске, имея следующие данные а) отношение масс металлов б) отношение масс свинца и олова 3:5, а железа в бруске в два раза больше, чем свинца и олова вместе;
в) олова вдвое больше, чем свинца, а олова вместе с железом вдвое больше, чем свинца с оловом.
Ответ:
свинец — 140 грамм, олово — 210 грамм, железо — 350 грамм;
свинец — 87,5 грамм, олово —
145 5
6
грамм, железо —
466 2
3
грамм;
олово — 200 грамм, свинец — 100 грамм, железо — 400 грамм
34
Математика
Цели обучения
«6.1.1.5 усвоить понятие масштаба, «6.5.1.3 применять масштаб при работе с картой, планом, чертежом».
Задания
1.
Предложите учащимся географические карты, атласы, интернет ресурсы с разным масштабом или презентацию для рассмотрения масштаба, устанавливая отношение или пропорциональность. Например, найти расстояние между городами Нур-Султан и Кокшетау, измерив длину отрезка на картах с разным масштабом. Предложите учащимся составить алгоритмы решения задача) найти масштаб, если известно расстояние на карте и на местности б) найти расстояние на карте, если известно расстояние на местности и масштаб.
Объедините учащихся в группы. Раздайте каждой группе карту (атлас) и предложите решить задачи типа
Нур-Султан
Караганда
а) Пользуясь картой масштабом 1:25 000 000, найдите расстояние (по прямой) между г. Нур-Султан и г. Шымкентом на местности б) Определить размеры оригинала по чертежу детали, где указано соотношение между оригиналом и чертежом, например, Цели обучения
«6.3.3.2 знать, что отношение длины окружности к ее диаметру есть число постоянное, «6.3.3.4 знать и применять формулу площади круга».
Задания
1.
Проведите практическую работу. Начертить на картоне сначала окружность, радиус которой
15 мм, затем окружность, радиус которой вдвое больше — 30 мм. Вырезать начерченные фигуры. Плотно охватить полученные круги бумажной полоской каждый. Сняв и развернув бумажные полоски, измерить их длины при помощи линейки, с точностью до 1 мм измерения нужно провести несколько рази записать в таблицу среднее арифметическое результатов вычисления Диаметр (D) в мм
Длина окружности Св мм
Отношение Среднее значение
C
D
30 60
35
Математика
После проведения всех измерений вычисляется отношение
C
D
. Сделать вывод, что отношение всегда является одними тем же числом и равно π, приближенно оно равно 3,14 или в обыкновенных дробях
C
D
. Зная отношение
C
D
вывести формулу длины окружности.
Проведите такую практическую работу начертить окружность с радиусом в см вырезать начерченный круг, перегнуть его по диаметру и разрезать, затем каждый полученный полукруг снова согнуть вдвое полученную фигуру снова согнуть вдвое и еще раз вдвое. Каждый полукруг разделится на 8 частей, всего будет 16 частей. Если разрезать полученные фигуры по сгибам на эти 16 частей и расположить эти фигуры на столе, то круг превратится в фигуру, похожую на прямоугольник 8
2 15 16 14 13 12 10 11 7
9 3
6 4
1 8
2 15 16 14 13 12 10 11 7
9 3
6 4 5 5
1 8
2 15 16 14 13 12 10 11 7
9 3
6 4 Попросите учащихся найти площадь полученного прямоугольника. Учащиеся могут увидеть такую закономерности, что площадь круга равна половине длины окружности, умноженной на радиус или наполовину диаметра. Затем учащиеся сами или под руководством учителя выводят формулу площади круга S = πR
2
3.
Дан квадрат MNOP со стороной 20. Дуги внутри квадрата MNOP являются
1 4
частями окружностей с центрами в точках M и O. Найдите площадь области, обозначенной II. Выразите ответ через Решение. Найдем площадь квадрата кв 20 400
. Найдем площадь круга с центром О, радиус которого равен 20: S
откр (О)
20 400 2
. Площадь круга с центром М будет такой же:
S
откр (МВ данный квадрат входят только
1 4
часть круга с центром О и
1 4
часть круга с центром М. Значит
1 4
S
откр (О +
1 4
S
откр (М
= S
кв
Подставим значения площадей в данное выражение
1 4
400 1
4 400 400
Найдем площадь области, обозначенной II:
S
II
1 4
400 1
4 400 400 200 400 200 2
36
Математика
Цели обучения
«6.2.1.4 понимать, при каких значениях переменной алгебраическое выражение имеет смысл в контексте практических задач, «6.3.3.4 знать и применять формулу площади круга».
Задания Предложить учащимся для коллективного обсуждения задачи, например.
Из одного пункта одновременно водном и том же направлении отправляется пешеход со скоростью x км/ч и велосипедист со скоростью 12 км/ч. Через 3 часа расстояние между ними будет равно 45 км. Какова скорость пешехода, если такая ситуация возможна.
Первая труба заполняет бассейн за 6 часов, а вторая — за 4 часа. Могут ли они заполнить бассейн за 2 часа, если они работают вместе без остановок За какое время заполнится бассейн?
После выполнения задания учащиеся сделают вывод о возможных значениях переменной, при которых алгебраическое выражение имеет смысл в контексте практических задач.
Цель обучения
«6.2.2.6 понимать и применять сложение, вычитание, умножение и деление неравенств».
Задания
1.
Турист вышел с турбазы по направлению к станции, расположенной на расстоянии 30 км. Если турист увеличит скорость на 1 км/ч, то за 5 часов он пройдет расстояние, большее 30 км. Если он уменьшит скорость на 1 км/ч, то даже за 6 часовне успеет дойти до станции. Какова скорость туриста?
Решение. Скорость туриста обозначим х км/ч. Тогда по условию задачи
1 5
30
км
ч
ч
км и
x
1 6
30
км
ч
ч
км.
Составим и решим систему неравенств 5
1 6
5 5
30 6
6 30 5
25 6
36
xx
x
Скорость туриста
5 6
< <
x
2.
Первую половину пути поезд прошел со скоростью 60 км/ч, а затем увеличил скорость. Какой могла быть скорость поезда во второй половине пути, если известно, что его средняя скорость на всем путине превышала 72 км/ч?
Решение: Обозначим скорость поезда во второй половине пути за х км/ч, половину пути за S, время, потраченное на прохождение первой половины за
t
1
, время, потраченное на прохождение первой половины за
t
2
. Тогда по формуле средней скорости движения
S S
t t
1 Из условия 1
60
=
=
и
V
x S
t
2 2
= =
или
t
S
1 60
=
,
t
S
x
2
=
. Подставив в неравенство,
2 60 72
S
S
S
x
. Отсюда получим оценку 60
x 90
Определите на каких рисунках, обозначенных буквами от А до Е, изображен блок, взятый за образец в уголке и повернутый в пространстве.
Ответ:
А.
Цель обучения
«6.1.2.6 делить величины в заданном отношении».
Задания
1.
В ателье поступил заказ на пошив 120 школьных форм. Заказ надо распределить поровну между членами двух бригад, водной из которых 8 человека в другой — 7. Сколько школьных форм должна сшить каждая бригада Решение Всего в двух бригадах 15 человек. Так как впервой бригаде 8 человека в другой — 7, то для пошива на первую бригаду приходится
8 15
частей форм, на вторую бригаду приходится
7 частей форм. Теперь умножив 120 форм на
8 15
и
7 15
, находим, сколько школьных форм должна сшить каждая бригада первая бригада должна сшить 64, вторая бригада 56 форм.
На приготовление печенья взяли 450 г сухих продуктов (мука, дрожжи, сахар) в отношении
37:1:7. Сколько грамм каждого продукта взяли?
Решение: Всего частей 37 + 1 + 7 = 45 1 часть 450 : 45 = 10 г
Ответ: муки взяли 37 · 10 г = 370 г, дрожжей 1 · 10 г = 10 г, сахара 7 · 10 г = 70 г.
Брусок изготовлен из сплава трех металлов свинца, олова и железа. Масса бруска 700 грамм. Найдите массу каждого металла в бруске, имея следующие данные а) отношение масс металлов б) отношение масс свинца и олова 3:5, а железа в бруске в два раза больше, чем свинца и олова вместе;
в) олова вдвое больше, чем свинца, а олова вместе с железом вдвое больше, чем свинца с оловом.
Ответ:
свинец — 140 грамм, олово — 210 грамм, железо — 350 грамм;
свинец — 87,5 грамм, олово —
145 5
6
грамм, железо —
466 2
3
грамм;
олово — 200 грамм, свинец — 100 грамм, железо — 400 грамм
34
Математика
Цели обучения
«6.1.1.5 усвоить понятие масштаба, «6.5.1.3 применять масштаб при работе с картой, планом, чертежом».
Задания
1.
Предложите учащимся географические карты, атласы, интернет ресурсы с разным масштабом или презентацию для рассмотрения масштаба, устанавливая отношение или пропорциональность. Например, найти расстояние между городами Нур-Султан и Кокшетау, измерив длину отрезка на картах с разным масштабом. Предложите учащимся составить алгоритмы решения задача) найти масштаб, если известно расстояние на карте и на местности б) найти расстояние на карте, если известно расстояние на местности и масштаб.
Объедините учащихся в группы. Раздайте каждой группе карту (атлас) и предложите решить задачи типа
Нур-Султан
Караганда
а) Пользуясь картой масштабом 1:25 000 000, найдите расстояние (по прямой) между г. Нур-Султан и г. Шымкентом на местности б) Определить размеры оригинала по чертежу детали, где указано соотношение между оригиналом и чертежом, например, Цели обучения
«6.3.3.2 знать, что отношение длины окружности к ее диаметру есть число постоянное, «6.3.3.4 знать и применять формулу площади круга».
Задания
1.
Проведите практическую работу. Начертить на картоне сначала окружность, радиус которой
15 мм, затем окружность, радиус которой вдвое больше — 30 мм. Вырезать начерченные фигуры. Плотно охватить полученные круги бумажной полоской каждый. Сняв и развернув бумажные полоски, измерить их длины при помощи линейки, с точностью до 1 мм измерения нужно провести несколько рази записать в таблицу среднее арифметическое результатов вычисления Диаметр (D) в мм
Длина окружности Св мм
Отношение Среднее значение
C
D
30 60
35
Математика
После проведения всех измерений вычисляется отношение
C
D
. Сделать вывод, что отношение всегда является одними тем же числом и равно π, приближенно оно равно 3,14 или в обыкновенных дробях
C
D
. Зная отношение
C
D
вывести формулу длины окружности.
Проведите такую практическую работу начертить окружность с радиусом в см вырезать начерченный круг, перегнуть его по диаметру и разрезать, затем каждый полученный полукруг снова согнуть вдвое полученную фигуру снова согнуть вдвое и еще раз вдвое. Каждый полукруг разделится на 8 частей, всего будет 16 частей. Если разрезать полученные фигуры по сгибам на эти 16 частей и расположить эти фигуры на столе, то круг превратится в фигуру, похожую на прямоугольник 8
2 15 16 14 13 12 10 11 7
9 3
6 4
1 8
2 15 16 14 13 12 10 11 7
9 3
6 4 5 5
1 8
2 15 16 14 13 12 10 11 7
9 3
6 4 Попросите учащихся найти площадь полученного прямоугольника. Учащиеся могут увидеть такую закономерности, что площадь круга равна половине длины окружности, умноженной на радиус или наполовину диаметра. Затем учащиеся сами или под руководством учителя выводят формулу площади круга S = πR
2
3.
Дан квадрат MNOP со стороной 20. Дуги внутри квадрата MNOP являются
1 4
частями окружностей с центрами в точках M и O. Найдите площадь области, обозначенной II. Выразите ответ через Решение. Найдем площадь квадрата кв 20 400
. Найдем площадь круга с центром О, радиус которого равен 20: S
откр (О)
20 400 2
. Площадь круга с центром М будет такой же:
S
откр (МВ данный квадрат входят только
1 4
часть круга с центром О и
1 4
часть круга с центром М. Значит
1 4
S
откр (О +
1 4
S
откр (М
= S
кв
Подставим значения площадей в данное выражение
1 4
400 1
4 400 400
Найдем площадь области, обозначенной II:
S
II
1 4
400 1
4 400 400 200 400 200 2
36
Математика
Цели обучения
«6.2.1.4 понимать, при каких значениях переменной алгебраическое выражение имеет смысл в контексте практических задач, «6.3.3.4 знать и применять формулу площади круга».
Задания Предложить учащимся для коллективного обсуждения задачи, например.
Из одного пункта одновременно водном и том же направлении отправляется пешеход со скоростью x км/ч и велосипедист со скоростью 12 км/ч. Через 3 часа расстояние между ними будет равно 45 км. Какова скорость пешехода, если такая ситуация возможна.
Первая труба заполняет бассейн за 6 часов, а вторая — за 4 часа. Могут ли они заполнить бассейн за 2 часа, если они работают вместе без остановок За какое время заполнится бассейн?
После выполнения задания учащиеся сделают вывод о возможных значениях переменной, при которых алгебраическое выражение имеет смысл в контексте практических задач.
Цель обучения
«6.2.2.6 понимать и применять сложение, вычитание, умножение и деление неравенств».
Задания
1.
Турист вышел с турбазы по направлению к станции, расположенной на расстоянии 30 км. Если турист увеличит скорость на 1 км/ч, то за 5 часов он пройдет расстояние, большее 30 км. Если он уменьшит скорость на 1 км/ч, то даже за 6 часовне успеет дойти до станции. Какова скорость туриста?
Решение. Скорость туриста обозначим х км/ч. Тогда по условию задачи
1 5
30
км
ч
ч
км и
x
1 6
30
км
ч
ч
км.
Составим и решим систему неравенств 5
1 6
5 5
30 6
6 30 5
25 6
36
xx
x
Скорость туриста
5 6
< <
x
2.
Первую половину пути поезд прошел со скоростью 60 км/ч, а затем увеличил скорость. Какой могла быть скорость поезда во второй половине пути, если известно, что его средняя скорость на всем путине превышала 72 км/ч?
Решение: Обозначим скорость поезда во второй половине пути за х км/ч, половину пути за S, время, потраченное на прохождение первой половины за
t
1
, время, потраченное на прохождение первой половины за
t
2
. Тогда по формуле средней скорости движения
S S
t t
1 Из условия 1
60
=
=
и
V
x S
t
2 2
= =
или
t
S
1 60
=
,
t
S
x
2
=
. Подставив в неравенство,
2 60 72
S
S
S
x
. Отсюда получим оценку 60
x 90
Математика.
В каком случае катер затратит больше времени если он пройдет 20 км по течению реки и
20 км против течения реки или если пройдет 40 км в стоячей воде (собственная скорость катера постоянна).
Решение: Пусть х – собственная скорость катера, у – скорость течения 20
x y x y
– время в первом случае,
40
x
— во втором случае. Упростив первое выражение, получим
40 2
2
x
x
y
−
или
40 2
x y
x
−
. Это выражение больше чем
40
x
. Значит, в первом случае больше.
Какой может быть длина проволоки для изготовления прямоугольника, если его длина не меньше 10 метров и не больше 15 метров, ширина не меньше 5 метров и не больше 7 метров?
Решение: Обозначим длину прямоугольниках, ширину прямоугольника y. Тогда по условию задачи
10 15 5
7
x
y
. Чтобы изготовить прямоугольник из проволоки, ее длина должна быть не меньше периметра прямоугольника. Формула периметра
P
x Сложим наши неравенства и умножим на 2:
10 5
15 7
x y
2 10 5
2 2 15 7
x y
30 2
44
x Итак, длина проволоки должна быть не меньше 30 и не больше Цель обучения
«6.3.1.3 понимать, что упорядоченная пара чисел (х у) задает точку в прямоугольной системе координат и каждой точке соответствует единственная упорядоченная пара чисел, называемая координатами точки».
В каком случае катер затратит больше времени если он пройдет 20 км по течению реки и
20 км против течения реки или если пройдет 40 км в стоячей воде (собственная скорость катера постоянна).
Решение: Пусть х – собственная скорость катера, у – скорость течения 20
x y x y
– время в первом случае,
40
x
— во втором случае. Упростив первое выражение, получим
40 2
2
x
x
y
−
или
40 2
x y
x
−
. Это выражение больше чем
40
x
. Значит, в первом случае больше.
Какой может быть длина проволоки для изготовления прямоугольника, если его длина не меньше 10 метров и не больше 15 метров, ширина не меньше 5 метров и не больше 7 метров?
Решение: Обозначим длину прямоугольниках, ширину прямоугольника y. Тогда по условию задачи
10 15 5
7
x
y
. Чтобы изготовить прямоугольник из проволоки, ее длина должна быть не меньше периметра прямоугольника. Формула периметра
P
x Сложим наши неравенства и умножим на 2:
10 5
15 7
x y
2 10 5
2 2 15 7
x y
30 2
44
x Итак, длина проволоки должна быть не меньше 30 и не больше Цель обучения
«6.3.1.3 понимать, что упорядоченная пара чисел (х у) задает точку в прямоугольной системе координат и каждой точке соответствует единственная упорядоченная пара чисел, называемая координатами точки».
Задания
1.
Покажите учащимся шахматную доску с несколькими фигурами, попросите объяснить, где расположены фигуры. Например:
Конь — Е, белая пешка — Аи т.д.
Обсудите с учащимися принцип указания места фигуры на шахматной доске (клетка по горизонтали клетка по вертикали.
2.
Поставьте в центре кабинета стул и попросите учащихся описать расположение других предметов в кабинете (количество шагов влево/вправо от стула количество шагов вперед/назад от стула. Обсудите, что в обоих случаях положение определяется упорядоченной парой чисел. Подведите учащихся к пониманию того, что расположение точки на плоскости также можно описать упорядоченной парой чисел, если нанести на данную плоскость систему координат
38
Математика
Цели обучения
«6.4.3.2 вычислять статистические числовые характеристики, «7.3.3.7 анализировать статистическую информацию, представленную в виде таблицы или полигона частот».
Задания
1.
В течение четверти Оля получила по математике пять двоек, четыре четверки и две пятерки. Ее мама считает, что за четверть Оле надо ставить двойку, папа считает, что надо ставить тройку, а сама Оля считает, что надо ставить четверку. Попробуйте привести аргументы в пользу каждой точки зрения (какие статистические характеристики вычисляет каждый член семьи. Какую бы оценку вы поставили Оле Решение Составим числовой ряд оценок Оли 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 5, Найдем среднее арифметическое данного ряда
2 2
2 2
2 4
4 4
4 5
5 11 36 11 3 3
Папа Оли считает, что ей нужно ставить тройку, т. к. среднее арифметическое всех ее оценок за четверть приблизительно равно Мода числового ряда 2. Мама Оли считает, что ей надо ставить двойку, т.к. двойка встречается чаще остальных оценок за четверть. Медиана 4. Сама Оля считает, что ей надо ставить четверку, т.к. в упорядоченном числовом ряде оценок за четверть посередине находится оценка 4.
2.
В таблице приведены данные по температуре в городе N в июне 2018 г. ив июне 2019 г. В ней отражена информация об ежедневных наблюдениях.
Температурные интервалы, о
С
Июнь 2018 г.
Июнь 2019 г 2
1 18-22 9
6 22-26 12 15 26-30 6
3 30-34 В каком году было больше дней, когда температура превышала 26
o
С?
Решение. Данные представлены в интервальной таблице частот. Чтобы определить, сколько дней температура превышала Св и 2019 годах, просуммируем данные таблицы по столбцам, соответствующим интервалами Температурные интервалы, o
С
Июнь, 2018г.
Июнь, 2019 г 6
3 30-34 1
5 Итак, в 2019 году было больше дней, когда температура превышала С
Математика.
Семиклассники отгадывали кроссворд (каждый самостоятельно. После этого они сравнили число неразгаданных слов. Данные представлены в таблице в %:
40 1 слово 2 слово 3 слово 4 слово 30 25 20 15 10 ряд Сколько % учащихся не разгадали более двух слов?
Решение: Составим таблицу поданным из графика:
Количество неразгаданных слов учащихся слово 2 слова 3 слова 4 слова 3 слова не разгадали 35% учащихся и 4 слова не разгадали 10% учащихся. Значит, процент учащихся, не разгадавших более двух слов — 45%.
4.
Поданному полигону частот определите, сколько времени в среднем, затратили учащиеся
8 А класса на дорогу от дома до школы.
Частота
0 0
3 2
4 5
6 7
1 5
10 15 20 25 30 35 40 Время в минутах
Решение: x
1 2 5 5 2 7 5 10 6 15 5 20 1 25 1 35 2 40 1
5 2
5 6
5 1
1
2 15
Семиклассники отгадывали кроссворд (каждый самостоятельно. После этого они сравнили число неразгаданных слов. Данные представлены в таблице в %:
40 1 слово 2 слово 3 слово 4 слово 30 25 20 15 10 ряд Сколько % учащихся не разгадали более двух слов?
Решение: Составим таблицу поданным из графика:
Количество неразгаданных слов учащихся слово 2 слова 3 слова 4 слова 3 слова не разгадали 35% учащихся и 4 слова не разгадали 10% учащихся. Значит, процент учащихся, не разгадавших более двух слов — 45%.
4.
Поданному полигону частот определите, сколько времени в среднем, затратили учащиеся
8 А класса на дорогу от дома до школы.
Частота
0 0
3 2
4 5
6 7
1 5
10 15 20 25 30 35 40 Время в минутах
Решение: x
1 2 5 5 2 7 5 10 6 15 5 20 1 25 1 35 2 40 1
5 2
5 6
5 1
1
2 15
40
Математика
Цель обучения
«6.5.2.10 находить и исследовать зависимости между величинами, используя графики реальных процессов».
Задание: На рисунке изображены графики полета двух самолетов, вылетевших из аэропорта г. Нур-Султан водном направлении 2000 1600 9
00 10 00 11 00 12 00 13 00 14 00 15 00 16 00 17 00 18 00
t ч км 400 а) В какое время самолеты вылетели с аэродрома и вернулись обратно?
б) Сколько промежуточных посадок сделал в пути каждый из них Чему равна продолжительность этих остановок?
в) С какой скоростью летели самолеты на всех участках пути?
г) На каком расстоянии от Нур-Султана были они в 12 часов, в 14 ч 20 мин, в 16 ч 40 мин Где были самолеты в это время — на земле или в воздухе?
д) В какое время они находились на расстоянии 400 км от Нур-Султана?
Решение:
Пусть график полета первого самолета указан черным, второго самолета — красным.
а) первый самолет вылетел с аэродрома в 9.00 и вернулся в 18.00, второй самолет вылетел в
10.40 и вернулся в б) Первый самолет сделал 3 промежуточные посадки, первая остановка составила 1 час, вторая остановка составила 1 час 20 минут, третья остановка составила 1 час. Второй самолет сделал 2 промежуточные посадки, первая остановка составила 1 час, вторая остановка составила 1 час 40 минут.
в) Первый самолет на первом участке пути летел 1 час со скоростью 800 км/час, на втором участке пути летел 2 часа со скоростью 800 км/час, на третьем участке пути летел 40 минут со скоростью 1200 км/час, на четвертом участке пути летел 2 часа со скоростью 800 км/час. Второй самолет на первом участке пути летел 2 часа 40 минут со скоростью 600 км/час, на втором участке пути летел 1 час 20 минут со скоростью 600 км/час, на третьем участке пути летел 1 час 20 минут со скоростью 600 км/час.
г) На каком расстоянии от Нур-Султана были они в 12 часов, в 14 ч 20 мин, в 16 ч 40 мин Где были самолеты в это время — на земле или в воздухе?
Первый самолет в 12 часов находился в воздухе на расстоянии 1600 км, в 14 ч 20 мин находился на расстоянии 2400 км и вылетел обратно в Нур-Султан, в 16 ч 40 мин находился в воздухе на расстоянии 1000 км.
Второй самолет в 12 часов находился в воздухе на расстоянии 800 км, в 14 ч 20 мин находился на расстоянии 1600 км и вылетел обратно в Нур-Султан, в 16 ч 40 мин находился на земле на расстоянии 800 км
41
Математика
Цель обучения
«7.1.2.5 применять свойства степеней для упрощения алгебраических выражений .bЗадание:bДано выражение
a
a
a b
6 7
3 Ученик выполнил преобразование выражения, используя следующие шаги:
Шаг 1.
1 3
2
a
a b
; Шаг 2.
a
a b
1 3
2 Шаг 3.
a a b
4 Шаг 4.
a
a b
2 Укажите шаги, на которых ученик допустил ошибки, и исправьте их.
Ответ: На шаге 2 при раскрытии скобки
a b
2
. На шаге 3 ученик допустил ошибку, т.к. по свойству возведения степени в степень
a
a
m n
mn
он должен получить
a
a
1 Цель обучения
«7.4.2.3 оценивать, как изменяются площадь квадрата и объем куба при изменении их линейных размеров».
Задания
1.
Во сколько раз изменены линейные размеры куба на рисунке Во сколько раз изменился его объем?
Решение: Если ребро исходного куба будет х, то его объем х. Ребро куба увеличилось в 2 раза, тогда его объем (х
= х. Таким образом, объем куба увеличилось вили раз.
Квадрат со стороной а) 3 см б) 1 м разрезали на квадраты со стороной 1 см. Сколько квадратов получилось Решение а) если разделить каждую сторону квадрата на 3 части по 1 см, то получим 9 квадратов.
б) если сторона квадратам, то при разделении одной стороны по 1 см получим, 100 делений, соответственно на второй стороне также будет 100 делений. Таким образом, количество полученных квадратов
100 100 10000
3.
Куб со стороной а) 3 см б) 1 м распилили на кубики со стороной 1 см. Сколько кубиков получилось
42
Математика
Решение:
а) Объем куба с длиной ребра 3 см – 27 см. Если распилить его на кубики с длиной ребра 1 см, то соответственно получится 27 кубиков.
б) Длина ребра кубам или 100 см. Его объем 1000000 см. Соответственно при распилена кубики с длиной ребра 1 см, получится 1000000 кубиков.
Елдос и Айдар построили по башне из кубиков, имеющих одни и те же размеры. Обе башни имеют квадратное основание. Башни составлены из одинакового числа кубиков. а) Сторона основания башни Айдара в четыре раза больше, чему Елдоса. Во сколько раз башня Елдоса выше б) Башня Елдоса в четыре раза выше, чем башни Айдара. Во сколько разу башни
Айдара больше сторона основания
Решение:
а) Пусть общее количество кубиков у каждого мальчика по N штуку Айдара в основании башни квадрат со стороной из х кубиков, то есть всего в основании х кубиков. Тогда по условию задачи у Елдоса в основании башни квадрат со стороной из
1 4
x
кубиков, то есть всего
1 16 2
x
кубиков. Теперь определим высоту каждой башни.
Высота башни у Айдара
N
x
2
, у Елдоса
N
x
N
x
1 16 16 Если сравнить эти высоты, то башня у Елдоса враз выше, чему Айдара.
б) Пусть у Елдоса в основании башни квадрат со стороной из х кубиков. Тогда высота его башни
N
x
2
. Тогда по условию задачи высота башни Айдара
N
x
4 2
, отсюда видно, что в основании башни у Айдара х кубиков. А это будет квадрат со стороной из х кубиков. Итак, сторона основания у Айдара в 2 раза больше, чему Елдоса.
Задания_1.'>Цель обучения
«7.1.2.9 сравнивать числа, записанные в стандартном виде».
Задания
1.
Посмотрите на данные в таблице. Как выдумаете, какая из планет самая тяжелая Самая легкая Расположите названия планет в порядке убывания их масс.
Планета
Венера
Земля
Марс
Меркурий
Нептун
Сатурн
Уран
Юпитер
Масса, кг 4,869 · 10 24 5,974 · 10 24 6,419 · 10 24 3,302 · 10 23 1,024 · 10 26 5,885 · 10 26 8,685 · 10 25 1,899 · 10 27
2.
Масса частицы пыли приблизительно равна
7 5 10 10
,
килограмма, а масса электрона прои- близительно равна
9 1 10 килограмма. Приблизительно какое количество электронов имеют одинаковую с частицей пыли массу?
а)
1 21 10 20
,
⋅
; б)
1 21 10 21
,
⋅
; в)
8 24 10 20
,
⋅
; г)
8 24 10 Ответ в
43
Математика
Цели обучения
«7.4.1.1 усвоить понятия функции и графика функции, «7.4.1.5 знать определение линейной функции y = kx + b, строить ее графики устанавливать его расположение в зависимости от значений k и b», «7.4.1.7 определять знаки k и b линейной функции y = kx + b, заданной графиком».
Задания
1.
Раздать каждому учащемуся набор карточек, на которых изображены графики на координатной плоскости, и предложить выбрать карточки, на которых изображены графики функций. Затем учащиеся в парах обсуждают свой выбор. Например 0
1 1
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
2 2
3 3
4 4
5 5
y
x
x
y
а)
б)
в)
г)
0 0
1 1
y
y
x
x
2.
Масса пустого бидона вместимостью 45 л равна 5 кг, а масса одного литра жидкости равна
0,9 кг. Задайте зависимость массы m бидона с жидкостью от количества литров жидкости формулой. Тогда масса m (в килограммах) бидона, в котором содержится р литров жидкости, равна m = р + 5. Таким образом, по описанию функции учащиеся составят ее формулу. Обратите внимание учащихся на вид формулы. Поясните, что правая часть является линейным выражением с независимой переменной р.
Дополните чертеж изображением оси Оу, так чтобы получился график указанной функции единичный отрезок — одна клетка. Используя данные чертежа, найдите координаты точки В y = x Цель обучения
«7.4.3.1 составлять математическую модель по условию задачи».
Задания
1.
Составьте выражение для вычисления площади закрашенной фигуры и разложить это выражение на множители
44
Математика
Решение:
На стороне прямоугольника расположены два полукруга с радиусом r, значит сторона равна
4r. Другая сторона больше, чем 2r, пусть будет 2r + n. Площадь квадрата кв 2
8 4
2
r r n
r
rn
. Незакрашенную область составляют 4 полукруга, или 2 круга, тогда площадь незакрашенной области будет S
незакр
2 2
r
. Теперь можем найти площадь закрашенной области S
незакр
= кв – S
незакр
8 4
2 2
4 4
2 Составьте многочлены, выражающие площади закрашенных фигур
а
а
3а
+ 5 5b
+ а + 3
b + а + 5
б)
а)
b
b
Решение:
а) площадь большого прямоугольника
S
a
a
1 2
3 3
5
, площадь маленького незакрашен- ного прямоугольника
S
a
2 3
5
. Чтобы найти площадь закрашенной области, отнимем площадь маленького незакрашенного прямоугольника от площади большого прямоугольника S
a
a
a
a
a
a
a
a
1 2
2 2
2 3
3 5
3 5
6 19 15 3
15 6
16
б) Фигура состоит из двух прямоугольников со сторонами b и b+c, и b и Тогда площадь данной фигуры есть сумма площадей двух прямоугольников:
S
фигура
S S
b b c b b c
b
bc
1 2
2 4
5 2
.
3.
Отрезок длиной 20 см разделен на две части, и на каждой из них построен квадрат. Найдите стороны квадратов, если разность их площадей равна 40 см
2
Решение. Пусть x — сторона меньшего из квадратов. Тогда сторона второго квадрата равна
20 – x. Из уравнения
20 40 2
2
x
x
найдем Ответ
9 см и 11 см.
Если сторону квадрата увеличить на 4 см, то его площадь увеличится на 32 см. Какова сторона квадрата?
Ответ:
2 см.
Два фирмы, предоставляющие услуги такси, используют разные тарифные планы оплаты своих услуг. Приведенный ниже график показывает расценки фирмы А. Приведенная ниже таблица соответствует расценкам фирмы Б. Каждая из фирм берет фиксированную плату за посадку в такси и плату за каждый километр проезда.
Математика 300 450 600 750 900 1050 1200 1350 1500
тг км 2 3 4 5 6 7 8 9
Фирма
Расстояние, км Стоимость проезда 600 тг
900 тг
Сравните тарифные планы. Услугами какой фирмы выгоднее воспользоваться в зависимости от дальности поездки?
Решение: Пусть x — плата за посадку и y — плата за каждый километр по тарифам фирмы Б. Из двух уравнений x + 2y = 600, x + 5y = 900 найдем хи Ответ если дальность поездки меньше 5 км выгоднее использовать такси фирмы А. Если дальность поездки больше 5 км, то выгоднее использовать такси фирмы Б.
Цель обучения
«7.4.2.2 решать текстовые задачи, с помощью составления уравнений и неравенств Задания
1.
Периметр прямоугольника равен 28 см. Если его длину уменьшить на 3 см, а ширину увеличить на 2 см, то его площадь уменьшится на 8 см. Какова площадь прямоугольника?
Решение: Пусть длина прямоугольниках, ширина у. Тогда периметр будет
2 28
x y
. По условию задачи размеры прямоугольника изменились следующим образом длинах) см, ширина (у + 2) см, тогда по условию
xy
x
y
3 2
8
. Решим систему уравнений 28 3
2 8
x y
xy
x
y
,
Решением системы будет х =8, у =6. Тогда площадь исходного прямоугольника см.
Расстояние между городами Тараз и Шымкент менее 210 км. Из города Тараз выехал грузовик со скоростью 60 км/ч, одновременно с ним из города Шымкент навстречу выехал автобус. Оцените с какой скоростью должен ехать автобус, чтобы они могли встретиться через 2 часа.
Пассажир, сидящий в поезде, который едет со скоростью 40 км/ч, заметил, что в противоположном направлении в течение 3 секунд прошел встречный поезд, длина которого 75 м. Какова скорость встречного поезда.
Трехзначное число оканчивается цифрой 7. Если эту цифру перенести на первое место, то полученное число будет на 17 меньше утроенного первоначального числа. Найдите данное трехзначное число. Решение Трехзначное число с последней цифрой 7 обозначим
ab7
. Тогда по условию задачи
3 7
7 17
�
ab
ab
. Трехзначное число
ab7
можно разложить следующим образом
100 10 7
a
b
+
+
тг км 2 3 4 5 6 7 8 9
Фирма
Расстояние, км Стоимость проезда 600 тг
900 тг
Сравните тарифные планы. Услугами какой фирмы выгоднее воспользоваться в зависимости от дальности поездки?
Решение: Пусть x — плата за посадку и y — плата за каждый километр по тарифам фирмы Б. Из двух уравнений x + 2y = 600, x + 5y = 900 найдем хи Ответ если дальность поездки меньше 5 км выгоднее использовать такси фирмы А. Если дальность поездки больше 5 км, то выгоднее использовать такси фирмы Б.
Цель обучения
«7.4.2.2 решать текстовые задачи, с помощью составления уравнений и неравенств Задания
1.
Периметр прямоугольника равен 28 см. Если его длину уменьшить на 3 см, а ширину увеличить на 2 см, то его площадь уменьшится на 8 см. Какова площадь прямоугольника?
Решение: Пусть длина прямоугольниках, ширина у. Тогда периметр будет
2 28
x y
. По условию задачи размеры прямоугольника изменились следующим образом длинах) см, ширина (у + 2) см, тогда по условию
xy
x
y
3 2
8
. Решим систему уравнений 28 3
2 8
x y
xy
x
y
,
Решением системы будет х =8, у =6. Тогда площадь исходного прямоугольника см.
Расстояние между городами Тараз и Шымкент менее 210 км. Из города Тараз выехал грузовик со скоростью 60 км/ч, одновременно с ним из города Шымкент навстречу выехал автобус. Оцените с какой скоростью должен ехать автобус, чтобы они могли встретиться через 2 часа.
Пассажир, сидящий в поезде, который едет со скоростью 40 км/ч, заметил, что в противоположном направлении в течение 3 секунд прошел встречный поезд, длина которого 75 м. Какова скорость встречного поезда.
Трехзначное число оканчивается цифрой 7. Если эту цифру перенести на первое место, то полученное число будет на 17 меньше утроенного первоначального числа. Найдите данное трехзначное число. Решение Трехзначное число с последней цифрой 7 обозначим
ab7
. Тогда по условию задачи
3 7
7 17
�
ab
ab
. Трехзначное число
ab7
можно разложить следующим образом
100 10 7
a
b
+
+
46
Математика
Тогда:
3 7
7 3 100 10 7
7 100 10 17
ab
ab
a
b
a b
300 30 21 700 10 290 29 679 17
a
b
a b
a
b
290 29 696
a
b
10 24
a b
, отсюда
a
b
=
=
2 Итак,
ab7 247
=
5.
В течение нескольких лет цену на некоторый товар постепенно повышали сначала на 10%, затем на 3000 тг., затем еще на 25%. В результате цена на товар повысилась на 75% по сравнению с первоначальной. Сколько стоил товар до повышения цен.
Турист идет от деревни к железнодорожной станции. Пройдя за час 3 км, он понял, что, продолжая движение с этой скоростью, он опоздает на поезд на 40 минут, и пошел со скоростью
4 км/ч. На станцию турист пришел за 45 минут до отправления поезда. Чему равно расстояние от деревни до станции.
Смешали некоторое количество 40% иго растворов кислоты и получили 800 граммов го раствора кислоты. Сколько граммов каждого раствора было взято.
В 500 кг руды имеется некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5% железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на
20%. Сколько железа осталось в руде
1 2 3 4 5 6
9.
Сколько нужно взять го иго растворов марганцовки, чтобы смешав их получить г го раствора марганцовки?
Цель обучения
«7.1.1.16 доказывать теорему о сумме внутренних углов треугольника и следствия из нее».
Задания
1.
Раздайте учащимся картонные модели треугольников, чтобы демонстрировать теорему о сумме внутренних углов треугольника.
Способ 1: Отрезать углы треугольника и сложить их так, чтобы вершины были водной точке и стороны одного угла совместились со сторонами других углов.
Способ 2: Сложить углы перегибанием.
Задайте вопрос Какой вы можете сделать вывод 2
2 Ответ сумма углов треугольника равна 180 0
2. Попросите учащихся провести исследование суммы внутренних углов треугольника.
1. Построить треугольник. Измерить углы треугольника. Найти сумму внутренних углов треугольника
Математика. Выполнить эти же измерения для любого другого треугольника.
Заполнить таблицу ∠2 ∠3
∠
1 + ∠2 + ∠3 После обсуждения результатов предложите учащимся выдвинуть гипотезу о сумме внутренних углов в любом треугольнике.
3.
Эмблемой школы Пифагора была звезда. Докажите, что для любой звезды сумма углов
5 4
3 2
1
∠
+
∠
+
∠
+
∠
+
∠
равна 180 0
1 3
2 Решение. Соединим две соседние вершины, например, C и D. Рассмотрим треугольники CKD и BKE. Углы при вершине K этих треугольников равны, поэтому
Тогда сумма всех пяти острых углов звезды равна сумме углов треугольника ACD, те. 180
о
Цели обучения
«8.4.1.4 находить значения функции по заданным значениям аргумента и находить значение аргумента по заданным значениям функции, «8.4.2.3 использовать квадратичную функцию для решения прикладных задач, «8.4.3.1 составлять математическую модель по условию задачи».
Задания
1. Проанализируйте данные чертежа и найдите координаты обозначенных точек
||
0x
t
||
0x
y
C
D
x = 144
x
y
=√ Ответ АС Решение Найдем координаты точек. Координаты точки А Точка В находится на пересечении графика функции
y
x
=
и прямой
x =144
. Тогда координаты точки В 12). Точка С находится на пересечении графика функции
y
x
=
и прямой
x t
=
. Тогда координаты точки
C t t
;�
. В условии видим, что ордината точки С равна 14, то есть
t =14
. Отсюда
t =196
. Тогда координаты точки C(196; 14). Точка D находится на пересечении прямых
x t
=
и прямой l. Тогда координаты точки
D t;12
. Здесь
t =196
, а прямая проходит через точку В и параллельна оси Ох. Так как ордината точки В равна 12, то уравнение прямой l: y=12. Таким образом, координата точки D(196; 12).
Заполнить таблицу ∠2 ∠3
∠
1 + ∠2 + ∠3 После обсуждения результатов предложите учащимся выдвинуть гипотезу о сумме внутренних углов в любом треугольнике.
3.
Эмблемой школы Пифагора была звезда. Докажите, что для любой звезды сумма углов
5 4
3 2
1
∠
+
∠
+
∠
+
∠
+
∠
равна 180 0
1 3
2 Решение. Соединим две соседние вершины, например, C и D. Рассмотрим треугольники CKD и BKE. Углы при вершине K этих треугольников равны, поэтому
Тогда сумма всех пяти острых углов звезды равна сумме углов треугольника ACD, те. 180
о
Цели обучения
«8.4.1.4 находить значения функции по заданным значениям аргумента и находить значение аргумента по заданным значениям функции, «8.4.2.3 использовать квадратичную функцию для решения прикладных задач, «8.4.3.1 составлять математическую модель по условию задачи».
Задания
1. Проанализируйте данные чертежа и найдите координаты обозначенных точек
||
0x
t
||
0x
y
C
D
x = 144
x
y
=√ Ответ АС Решение Найдем координаты точек. Координаты точки А Точка В находится на пересечении графика функции
y
x
=
и прямой
x =144
. Тогда координаты точки В 12). Точка С находится на пересечении графика функции
y
x
=
и прямой
x t
=
. Тогда координаты точки
C t t
;�
. В условии видим, что ордината точки С равна 14, то есть
t =14
. Отсюда
t =196
. Тогда координаты точки C(196; 14). Точка D находится на пересечении прямых
x t
=
и прямой l. Тогда координаты точки
D t;12
. Здесь
t =196
, а прямая проходит через точку В и параллельна оси Ох. Так как ордината точки В равна 12, то уравнение прямой l: y=12. Таким образом, координата точки D(196; 12).
Математика.
Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v
0
(мс) с высоты h
0
(м. Высотам) в зависимости от времени t (с) выражается формулой h = – 0,5gt
2
+ v
0
t + h
0
. Постройте график зависимости h от t для случая, когда h
0
= 20, v
0
= 15, g ≈ 10 м/с
2
Используя график, ответьте на вопросы а) Сколько времени тело поднималось вверх б) Сколько времени оно опускалось в) На какую максимальную высоту поднимется тело г) Через сколько секунд оно упало на землю?
д) В течении какого времени тело находилось на отметке выше 20 метров
3.
Длина квадратного основания призмы, обозначенная через l, может меняться. При этом высота призмы постоянна и равна 12 см. Объем призмы при одном значении l представлен в таблице см
l
l
Какой из графиков представляет зависимость между длиной l и объемом данной призмы 0
0 Решение. V
l
= 12 2
— это есть квадратичная функция.
Ответ:
с.
4.
На рисунке дан прямоугольник с фиксированной шириной и длиной равной x. Подумай, как будет меняться площадь прямоугольника при увеличении Сдвиг правой стороны прямоугольника
Найди эскиз графика, показывающего функциональную зависимость между длиной x и площадью прямоугольника а) б) в) г)
Ответ: б
49
Математика
Цель обучения
«8.1.3.7 применять значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов
30 0
, 45 0
, 60 0 для нахождения элементов прямоугольного треугольника. Задания
1.
Маятник в виде груза, подвешенного на нитке, отклонили от положения равновесия на угол 60 Длина АС маятника 20 см. Насколько изменилась высота груза по сравнению с положением равновесия?
Решение: AD
cos
20 60 10 Высота груза изменилась на 20 –10 = 10 (см).
Ответ: на 10 см.
Из некоторой точки вершина горы видна под углом 30 При приближении к горе нам вершина стала видна под углом 45 0
Найдите приближенную высоту горы. В ответе укажите целое число метров.
Решение:
BD CD x
=
=
, так как треугольник BCD – прямоугольный и равнобедренный.
Тогда,
AD
x
1000
Из треугольника ACD: tg30 1000 Следовательно,
x ≈1366
м.
Цель обучения
«8.1.3.8 находить стороны и углы прямоугольного треугольника по двум заданным элементам».
Задания
1.
Футбольный мяч помещен на расстоянии 10 метров отворот, высота которых равна 2,5 м. Футболист произвел удар поворотами мяч попал в перекладину. Под каким углом полетел мяч Рисунок а)
Решение: tg
2 5 10
,
,
26 6 0
,
2.
Вы хотите построить горку для скейтборда длиной 4,5 метра и углом подъема о. Найдите высоту и длину основания такой горки. Рисунок б.
Соль, которую добывают, хранится в конусообразной куче, как показано на рисунке. Радиус основания конуса имеет длину 5 метров. Угол наклона образующей конуса равен 30 0
. Найдите высоту h конуса. Затем найдите длину s образующей конуса. Рисунок в)
а) б)
14 ft
26
o
y ft
x ft
в)
h
S
32
o
A
B
C
D
?
45º
30º
1000 м см
50
Математика
Цели обучения
«8.1.3.11 выводить и применять формулы площади параллелограмма, ромба,
«8.1.3.13 выводить и применять формулы площади трапеции. Задания.
Раздайте картонную модель произвольного параллелограмма. Попросите разрезать и сложить из параллелограмма прямоугольник = a Задайте вопросы:
а) Являются ли параллелограмм и прямоугольник равновеликими Почему?
б) Изменилась ли длина основания Обозначьте ее в) Чем является ширина прямоугольника для параллелограмма (высотой параллелограмма Обозначьте ее г) Найдите площадь прямоугольника.
д) Сделайте вывод о площади параллелограмма. Запишите полученную формулу.
2.
Раздайте картонную модель произвольного ромба. Попросите, разрезать и сложить из ромба прямоугольник или прямоугольный треугольник.Сделайте вывод о площади ромба. Запишите полученную формулу.
Можно провести проверочную работу «Верно/Неверно» и установить, верны ли данные утверждения, обосновывая свой ответ.
Пусть ABCD — трапеция с основаниями AD и BC, M — точка пересечения прямых AB и CD, а O — точка пересечения диагоналей AC и Верно ли, что равновелики: а) треугольники ABD и ACD; б) треугольники ABO ив) треугольники AOD и BOC; г) треугольники ABC и ABD; д) треугольники AMC и BMD? Раздайте картонную модель произвольной трапеции. Попросите разрезать трапецию и собрать прямоугольник. Сделайте вывод о площади трапеции. Запишите полученную формулу. Рисунок а).
Для изготовления костюма военной маскировки пользуются выкройкой, указанной на рисунке внизу размеры даны в сантиметрах. Найдите площадь выкройки. Рисунок б).
На клетчатой бумаге изображен голубь. Его границу составляют отрезки прямых и дуги окружностей. Площадь голубя равна 192 см. Каковы размеры бумаги Рисунок в) Решение 4 6 4 4 4 12
Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v
0
(мс) с высоты h
0
(м. Высотам) в зависимости от времени t (с) выражается формулой h = – 0,5gt
2
+ v
0
t + h
0
. Постройте график зависимости h от t для случая, когда h
0
= 20, v
0
= 15, g ≈ 10 м/с
2
Используя график, ответьте на вопросы а) Сколько времени тело поднималось вверх б) Сколько времени оно опускалось в) На какую максимальную высоту поднимется тело г) Через сколько секунд оно упало на землю?
д) В течении какого времени тело находилось на отметке выше 20 метров
3.
Длина квадратного основания призмы, обозначенная через l, может меняться. При этом высота призмы постоянна и равна 12 см. Объем призмы при одном значении l представлен в таблице см
l
l
Какой из графиков представляет зависимость между длиной l и объемом данной призмы 0
0 Решение. V
l
= 12 2
— это есть квадратичная функция.
Ответ:
с.
4.
На рисунке дан прямоугольник с фиксированной шириной и длиной равной x. Подумай, как будет меняться площадь прямоугольника при увеличении Сдвиг правой стороны прямоугольника
Найди эскиз графика, показывающего функциональную зависимость между длиной x и площадью прямоугольника а) б) в) г)
Ответ: б
49
Математика
Цель обучения
«8.1.3.7 применять значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов
30 0
, 45 0
, 60 0 для нахождения элементов прямоугольного треугольника. Задания
1.
Маятник в виде груза, подвешенного на нитке, отклонили от положения равновесия на угол 60 Длина АС маятника 20 см. Насколько изменилась высота груза по сравнению с положением равновесия?
Решение: AD
cos
20 60 10 Высота груза изменилась на 20 –10 = 10 (см).
Ответ: на 10 см.
Из некоторой точки вершина горы видна под углом 30 При приближении к горе нам вершина стала видна под углом 45 0
Найдите приближенную высоту горы. В ответе укажите целое число метров.
Решение:
BD CD x
=
=
, так как треугольник BCD – прямоугольный и равнобедренный.
Тогда,
AD
x
1000
Из треугольника ACD: tg30 1000 Следовательно,
x ≈1366
м.
Цель обучения
«8.1.3.8 находить стороны и углы прямоугольного треугольника по двум заданным элементам».
Задания
1.
Футбольный мяч помещен на расстоянии 10 метров отворот, высота которых равна 2,5 м. Футболист произвел удар поворотами мяч попал в перекладину. Под каким углом полетел мяч Рисунок а)
Решение: tg
2 5 10
,
,
26 6 0
,
2.
Вы хотите построить горку для скейтборда длиной 4,5 метра и углом подъема о. Найдите высоту и длину основания такой горки. Рисунок б.
Соль, которую добывают, хранится в конусообразной куче, как показано на рисунке. Радиус основания конуса имеет длину 5 метров. Угол наклона образующей конуса равен 30 0
. Найдите высоту h конуса. Затем найдите длину s образующей конуса. Рисунок в)
а) б)
14 ft
26
o
y ft
x ft
в)
h
S
32
o
A
B
C
D
?
45º
30º
1000 м см
50
Математика
Цели обучения
«8.1.3.11 выводить и применять формулы площади параллелограмма, ромба,
«8.1.3.13 выводить и применять формулы площади трапеции. Задания.
Раздайте картонную модель произвольного параллелограмма. Попросите разрезать и сложить из параллелограмма прямоугольник = a Задайте вопросы:
а) Являются ли параллелограмм и прямоугольник равновеликими Почему?
б) Изменилась ли длина основания Обозначьте ее в) Чем является ширина прямоугольника для параллелограмма (высотой параллелограмма Обозначьте ее г) Найдите площадь прямоугольника.
д) Сделайте вывод о площади параллелограмма. Запишите полученную формулу.
2.
Раздайте картонную модель произвольного ромба. Попросите, разрезать и сложить из ромба прямоугольник или прямоугольный треугольник.Сделайте вывод о площади ромба. Запишите полученную формулу.
Можно провести проверочную работу «Верно/Неверно» и установить, верны ли данные утверждения, обосновывая свой ответ.
Пусть ABCD — трапеция с основаниями AD и BC, M — точка пересечения прямых AB и CD, а O — точка пересечения диагоналей AC и Верно ли, что равновелики: а) треугольники ABD и ACD; б) треугольники ABO ив) треугольники AOD и BOC; г) треугольники ABC и ABD; д) треугольники AMC и BMD? Раздайте картонную модель произвольной трапеции. Попросите разрезать трапецию и собрать прямоугольник. Сделайте вывод о площади трапеции. Запишите полученную формулу. Рисунок а).
Для изготовления костюма военной маскировки пользуются выкройкой, указанной на рисунке внизу размеры даны в сантиметрах. Найдите площадь выкройки. Рисунок б).
На клетчатой бумаге изображен голубь. Его границу составляют отрезки прямых и дуги окружностей. Площадь голубя равна 192 см. Каковы размеры бумаги Рисунок в) Решение 4 6 4 4 4 12
Математика 2
3 б) а) в) Цель обучения составлять математическую модель по условию задачи».
Задания
1.
Два цеха на заводе изготавливают одинаковые станки. По плану вместе они должны выпускать станков в год. Однако первый цех перевыполнил план на 12%, а второй — на 15%. Известно, что оба завода выпустили сверх плана 48 станков. Сколько станков изготовили в первом и втором цехах по отдельности
2.
Бассейн может наполниться водой из двух кранов. Если первый кран открыть на 10 минута второй на 20 минут, то бассейн будет наполнен. Если первый кран открыть на 5 минута второй — на 15 минут, то заполнится 60% бассейна. За какое время из каждого крана вот- дельности может заполниться весь бассейн.
3.
Два крана, включенные одновременно, могут заполнить бассейн за 2 часа. За сколько часов каждый кран в отдельности может заполнить бассейн, если после того, как первый кран проработал 2 часа, а второй — 1 час, бассейн был заполнен на 5/6 своего объема.
4.
Из одного города одновременно вышли две группы туристов. Одна группа направилась на севера другая на восток. Спустя 4 часа расстояние между ними было равно 24 км, причем первая группа прошла на 4,2 км больше. С какой скоростью шла каждая группа.
Расстояние между двумя пристанями 60 км. Теплоход проходит это расстояние по течению и против течения за 5,5 часов. Найдите скорость теплохода в стоячей воде и скорость течения, если одна из них больше другой на 20 км/ч.
6.
По окружности длиной 60 м равномерно водном направлении движутся две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 секунд быстрее другой. При этом совпадение точек происходит каждый раз через 1 минуту. Определите скорости движения точек.
7.
Найдите трехзначное число, если известно, что сумма его цифр равна 17, а сумма квадратов его цифр равна 109. Если из этого числа вычесть 495, то получится число, записанное теми же цифрами, нов обратном порядке
52
Математика
Цель обучения
«9.2.3.2 находить й член последовательности, например
;
6 5
1
;
5 4
1
;
4 3
1
;
3 Задания.
Одной из популярных головоломок XIX века была Ханойская башня. Даны три стержня, на один из которых нанизаны восемь колец, причем кольца отличаются размером и лежат меньшее на большем. Задача состоит в том, чтобы перенести пирамиду из восьми колец за наименьшее число ходов на другой стержень. За один раз разрешается переносить только одно кольцо, причем нельзя класть большее кольцо на меньшее. Если поменять количество колец на стержне, то изменится и количество минимальных ходов.
Заполнив таблицу, определите закономерность, показывающую зависимость количестве ходов от количества колец. Количество колец 2
3 Количество ходов Ответ a
n
n
2 1
2.
Исследуйте фигуры, составленные из спичек.
а) Нарисуйте две следующие фигуры.
б) Для ой фигуры выразите количество спичек через Ответ a
n
n
4 1.
3.
Фермер на садовом участке высаживает яблони в форме квадрата, как показано на рисунке Для защиты яблонь от ветра он сажает по краям участка хвойные деревья. Ниже на рисунке изображены схемы посадки яблонь и хвойных деревьев для нескольких значений n, где n – количество рядов высаженных яблонь. Эту последовательность можно продолжить для любого числа n.
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
- хвойное дерево- яблоня а) Заполните таблицу
n
Количество яблонь
Количество хвойных деревьев 1
8 2
4 3
4 5
53
Математика
б) Для какого значения п число яблонь будет равно числу посаженных вокруг них хвойных деревьев?
в) Предположим, что фермер решил постепенно увеличивать число рядов яблонь на своем участке. Что при этом будет увеличиваться быстрее количество высаживаемых яблонь или количество хвойных деревьев?
Решение:
а)
n
Количество яблонь Количество хвойных деревьев 1
8 2
4 16 3
9 24 4
16 32 5
25 б)
n
n
2 8
=
,
n = врастет быстрее чем 8n. Количество высаживаемых яблонь будет быстрее увеличиваться. Цели обучения
«9.2.3.7 решать задачи, связанные с арифметической и/или геометрической прогрессиями, «9.2.3.9 применять формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии к решению задач».
Задания
1.
Для хранения бревна уложили так, что в каждом верхнем ряду их оказалось на одно бревно меньше, чем в нижнем ряду. Как учетчику быстро узнать, сколько бревен находится водной кладке?
Решение: пусть в нижнем ряду кладки n бревен. Тогда общее число бревен вкладке будет равна
S
n n
n
n
1 2
3 1
2
2.
Во времена правителя Индии раджи Схерама, один мудрец Сесса придумал игру в шахматы и решил показать ее радже. После нескольких сеансов игры, она так понравилась радже, что он позволил мудрецу просить все, что тот пожелает. И тот скромно попросил Подарите мне столько риса, чтобы на первой клетке шахматной доски было одно зернышко, на второй два, а на каждой следующей вдвое больше, чем на предыдущей. Сколько зерен риса должен раджа мудрецу
3.
При свободном падении тело проходит в первую секунду 5 м, а в каждую следующую нам больше, чем в предыдущую. Найдите глубину шахты, если свободнопадающее тело достигло ее дна через 7 с после начала падения.
Бактерия за 1 секунду делится натри. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд, через 60 секунд?
Решение: n
t
=
3
, t — время. Через 5 секунд будет
3 5
бактерий, а через 60 секунд —
3 60
3 б) а) в) Цель обучения составлять математическую модель по условию задачи».
Задания
1.
Два цеха на заводе изготавливают одинаковые станки. По плану вместе они должны выпускать станков в год. Однако первый цех перевыполнил план на 12%, а второй — на 15%. Известно, что оба завода выпустили сверх плана 48 станков. Сколько станков изготовили в первом и втором цехах по отдельности
2.
Бассейн может наполниться водой из двух кранов. Если первый кран открыть на 10 минута второй на 20 минут, то бассейн будет наполнен. Если первый кран открыть на 5 минута второй — на 15 минут, то заполнится 60% бассейна. За какое время из каждого крана вот- дельности может заполниться весь бассейн.
3.
Два крана, включенные одновременно, могут заполнить бассейн за 2 часа. За сколько часов каждый кран в отдельности может заполнить бассейн, если после того, как первый кран проработал 2 часа, а второй — 1 час, бассейн был заполнен на 5/6 своего объема.
4.
Из одного города одновременно вышли две группы туристов. Одна группа направилась на севера другая на восток. Спустя 4 часа расстояние между ними было равно 24 км, причем первая группа прошла на 4,2 км больше. С какой скоростью шла каждая группа.
Расстояние между двумя пристанями 60 км. Теплоход проходит это расстояние по течению и против течения за 5,5 часов. Найдите скорость теплохода в стоячей воде и скорость течения, если одна из них больше другой на 20 км/ч.
6.
По окружности длиной 60 м равномерно водном направлении движутся две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 секунд быстрее другой. При этом совпадение точек происходит каждый раз через 1 минуту. Определите скорости движения точек.
7.
Найдите трехзначное число, если известно, что сумма его цифр равна 17, а сумма квадратов его цифр равна 109. Если из этого числа вычесть 495, то получится число, записанное теми же цифрами, нов обратном порядке
52
Математика
Цель обучения
«9.2.3.2 находить й член последовательности, например
;
6 5
1
;
5 4
1
;
4 3
1
;
3 Задания.
Одной из популярных головоломок XIX века была Ханойская башня. Даны три стержня, на один из которых нанизаны восемь колец, причем кольца отличаются размером и лежат меньшее на большем. Задача состоит в том, чтобы перенести пирамиду из восьми колец за наименьшее число ходов на другой стержень. За один раз разрешается переносить только одно кольцо, причем нельзя класть большее кольцо на меньшее. Если поменять количество колец на стержне, то изменится и количество минимальных ходов.
Заполнив таблицу, определите закономерность, показывающую зависимость количестве ходов от количества колец. Количество колец 2
3 Количество ходов Ответ a
n
n
2 1
2.
Исследуйте фигуры, составленные из спичек.
а) Нарисуйте две следующие фигуры.
б) Для ой фигуры выразите количество спичек через Ответ a
n
n
4 1.
3.
Фермер на садовом участке высаживает яблони в форме квадрата, как показано на рисунке Для защиты яблонь от ветра он сажает по краям участка хвойные деревья. Ниже на рисунке изображены схемы посадки яблонь и хвойных деревьев для нескольких значений n, где n – количество рядов высаженных яблонь. Эту последовательность можно продолжить для любого числа n.
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
- хвойное дерево- яблоня а) Заполните таблицу
n
Количество яблонь
Количество хвойных деревьев 1
8 2
4 3
4 5
53
Математика
б) Для какого значения п число яблонь будет равно числу посаженных вокруг них хвойных деревьев?
в) Предположим, что фермер решил постепенно увеличивать число рядов яблонь на своем участке. Что при этом будет увеличиваться быстрее количество высаживаемых яблонь или количество хвойных деревьев?
Решение:
а)
n
Количество яблонь Количество хвойных деревьев 1
8 2
4 16 3
9 24 4
16 32 5
25 б)
n
n
2 8
=
,
n = врастет быстрее чем 8n. Количество высаживаемых яблонь будет быстрее увеличиваться. Цели обучения
«9.2.3.7 решать задачи, связанные с арифметической и/или геометрической прогрессиями, «9.2.3.9 применять формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии к решению задач».
Задания
1.
Для хранения бревна уложили так, что в каждом верхнем ряду их оказалось на одно бревно меньше, чем в нижнем ряду. Как учетчику быстро узнать, сколько бревен находится водной кладке?
Решение: пусть в нижнем ряду кладки n бревен. Тогда общее число бревен вкладке будет равна
S
n n
n
n
1 2
3 1
2
2.
Во времена правителя Индии раджи Схерама, один мудрец Сесса придумал игру в шахматы и решил показать ее радже. После нескольких сеансов игры, она так понравилась радже, что он позволил мудрецу просить все, что тот пожелает. И тот скромно попросил Подарите мне столько риса, чтобы на первой клетке шахматной доски было одно зернышко, на второй два, а на каждой следующей вдвое больше, чем на предыдущей. Сколько зерен риса должен раджа мудрецу
3.
При свободном падении тело проходит в первую секунду 5 м, а в каждую следующую нам больше, чем в предыдущую. Найдите глубину шахты, если свободнопадающее тело достигло ее дна через 7 с после начала падения.
Бактерия за 1 секунду делится натри. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд, через 60 секунд?
Решение: n
t
=
3
, t — время. Через 5 секунд будет
3 5
бактерий, а через 60 секунд —
3 60
Математика.
На опытном лесном участке ежегодный прирост древесины составляет 10%. Какое количество древесины будет на участке через 6 лет, если ее первоначальное количество былом Имеется радиоактивное вещество массой 256 г, вес которого за сутки уменьшается вдвое. Какова будет масса вещества на третьи сутки, на тридцатые сутки?
Решение: m
n
256 1
2
, где n — количество суток.Через 3 дня
m
256 1
2 32 3
, а на тридцатые сутки
m
256 1
2 30
7.
Водной из секций Центрального Концертного зала Казахстан длина третьего рядам, длина последнего рядам, сиденья имеют ширину 0,45 м, количество мест в первом и втором ряду 6 и 7 соответственно, а начиная с третьего ряда, количество мест растет в арифметической прогрессии. Найдите сколько всего мест в данной секции, если ширина секции
7 метров (ширина ряда не болеем Ответ можно сверить по рисунку.
Дан квадрат со стороной 4 см. Середины его сторон являются вершинами второго квадрата, середины сторон второго квадрата являются вершинами третьего квадрата и т.д. Найдите сумму площадей всех квадратов.
Решение. Заметим, что площадь каждого следующего квадрата в 2 раза меньше предыдущего
16 8
4 16 1 1
2 1
4 16 1
1 0 5 Цель обучения
«9.3.2.5 применять геометрическую вероятность при решении задач».
Задания
1.
Метровую ленту разрезают на две части случайным образом. Найти вероятность того, что длина одной из получившихся частей ленты составит не менее 80 см.
Решение: Длина одной из частей будет не менее 80 см, если разрез будет сделан не далее 20 см от одного из двух краев ленты. Поэтому Р =
40 100 0 4
= , .
2.
Вкруг радиуса 5 см вписан прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен
6 см. Вкруг наудачу ставится точка. Найдите вероятность того, что точка не попадет в данный треугольник
56
Математика
На опытном лесном участке ежегодный прирост древесины составляет 10%. Какое количество древесины будет на участке через 6 лет, если ее первоначальное количество былом Имеется радиоактивное вещество массой 256 г, вес которого за сутки уменьшается вдвое. Какова будет масса вещества на третьи сутки, на тридцатые сутки?
Решение: m
n
256 1
2
, где n — количество суток.Через 3 дня
m
256 1
2 32 3
, а на тридцатые сутки
m
256 1
2 30
7.
Водной из секций Центрального Концертного зала Казахстан длина третьего рядам, длина последнего рядам, сиденья имеют ширину 0,45 м, количество мест в первом и втором ряду 6 и 7 соответственно, а начиная с третьего ряда, количество мест растет в арифметической прогрессии. Найдите сколько всего мест в данной секции, если ширина секции
7 метров (ширина ряда не болеем Ответ можно сверить по рисунку.
Дан квадрат со стороной 4 см. Середины его сторон являются вершинами второго квадрата, середины сторон второго квадрата являются вершинами третьего квадрата и т.д. Найдите сумму площадей всех квадратов.
Решение. Заметим, что площадь каждого следующего квадрата в 2 раза меньше предыдущего
16 8
4 16 1 1
2 1
4 16 1
1 0 5 Цель обучения
«9.3.2.5 применять геометрическую вероятность при решении задач».
Задания
1.
Метровую ленту разрезают на две части случайным образом. Найти вероятность того, что длина одной из получившихся частей ленты составит не менее 80 см.
Решение: Длина одной из частей будет не менее 80 см, если разрез будет сделан не далее 20 см от одного из двух краев ленты. Поэтому Р =
40 100 0 4
= , .
2.
Вкруг радиуса 5 см вписан прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен
6 см. Вкруг наудачу ставится точка. Найдите вероятность того, что точка не попадет в данный треугольник
Математика.
В круге случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того что эта точка принадлежит вписанному вкруг квадрату.
Две грузовые машины могут подойти на погрузку в промежуток времени от 15 до 16 часов. Погрузка первой машины длится 15 минут, второй — 20 минут. Какова вероятность того, что одной машине придется ждать окончания погрузки другой Цель обучения
«9.1.4.19 применять векторы к решению задач».
Задания
1.
Груз весом 3 H находится на гладкой поверхности, наклонной к горизонту под углом 30 0
. С какой силой надо его удерживать, чтобы он находился в покое.
Силы P = 2 H и F приложены к некоторой материальной точке
O
. Угол между векторами, изображающие эти силы, равен 60 0
. Найдите равнодействующую сил
P
и
F
3.
На рисунке показаны силы, действующие на самолет, и направление вектора скорости вне- который момент времени. Рисунок а — сила тяги,
F
с
— сила лобового сопротивления,
F
т
— сила тяжести,
F
п
— подъемная сила.
В каком направлении движется самолет, если:
а) т = п, F = F
с.
б) т > п
, F = св) т < пс Катер, переправляясь через реку, движется перпендикулярно течению реки со скоростью 4 мс в системе отсчета, связанной с водой. Насколько метров будет снесен катер течением, если ширина реки 800 м, а скорость течения 1 мс Рисунок б.
Мальчик прошел от палатки, разбитой в лагерем на юг, 120 м на восток, еще 100 м на север и дошел до озера. Каково наименьшее расстояние от палатки до озера Рисунок в мм с мс мм мм м
d
C
Ю
З
В
а)
б)
в)
В круге случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того что эта точка принадлежит вписанному вкруг квадрату.
Две грузовые машины могут подойти на погрузку в промежуток времени от 15 до 16 часов. Погрузка первой машины длится 15 минут, второй — 20 минут. Какова вероятность того, что одной машине придется ждать окончания погрузки другой Цель обучения
«9.1.4.19 применять векторы к решению задач».
Задания
1.
Груз весом 3 H находится на гладкой поверхности, наклонной к горизонту под углом 30 0
. С какой силой надо его удерживать, чтобы он находился в покое.
Силы P = 2 H и F приложены к некоторой материальной точке
O
. Угол между векторами, изображающие эти силы, равен 60 0
. Найдите равнодействующую сил
P
и
F
3.
На рисунке показаны силы, действующие на самолет, и направление вектора скорости вне- который момент времени. Рисунок а — сила тяги,
F
с
— сила лобового сопротивления,
F
т
— сила тяжести,
F
п
— подъемная сила.
В каком направлении движется самолет, если:
а) т = п, F = F
с.
б) т > п
, F = св) т < пс Катер, переправляясь через реку, движется перпендикулярно течению реки со скоростью 4 мс в системе отсчета, связанной с водой. Насколько метров будет снесен катер течением, если ширина реки 800 м, а скорость течения 1 мс Рисунок б.
Мальчик прошел от палатки, разбитой в лагерем на юг, 120 м на восток, еще 100 м на север и дошел до озера. Каково наименьшее расстояние от палатки до озера Рисунок в мм с мс мм мм м
d
C
Ю
З
В
а)
б)
в)
56
Математика
1 2 3 4 5 6
Цель обучения
«9.1.4.14 знать и применять признаки подобия треугольников, «9.1.4.15 знать и применять подобие прямоугольных треугольников».
Задания
1.
Изображение на фотопленке имеет высоту 10 мм. Найдите высоту дерева, если расстояния от объектива аппарата до изображения и до дерева равны соответственно 50 мм им. Рисунок а).
Ответ:
18 м.
Столб высотой 15 м закрывается монетой диаметром 2 см, если ее держать на расстоянии 60 см от глаза. Найдите расстояние (в мот наблюдателя до столба. Рисунок б. Ответ 450 м.
Используя данные, приведенные на рисунке, найдите расстояние АВ от лодки А до берега b. Рисунок в).
Ответ:
100 м.
Короткое плечо шлагбаума имеет длину 1 м, а длинное плечом. На какую высоту поднимается конец длинного плеча, когда конец короткого плеча опускается нам Рисунок г).
Ответ:
2 мам мм б)
2 см см м в)
A
B
C
D
E
?
b
1 мм мг мм м
Цель обучения
«9.1.3.6 знать и применять теорему косинусов, «9.1.3.10 применять теоремы синусов и косинусов для решения треугольников и прикладных задач. Задания
1.
Макушка дерева видна под углом 65 0
, а после приближения к дереву нам макушка дерева стала видна под углом 71 0
Определите высоту дерева. Рисунок а.
Для определения ширины непроходимого болота с вершины вертолета, находящегося на высоте h измерили углы
α
и β. Найти ширину болота
AB
. Рисунок б.
Чтобы найти расстояние до недоступной точки Вот доступной точки, выполнили измерениям, АО, С = 68
O
. Найдите расстояние AB. Рисунок в
57
Математика
а)
72
о
65
о
100 м б) Св) Цель обучения
«9.1.1.1 выводить и применять формулу длины дуги, «9.1.1.2 выводить и применять формулу площади сектора, сегмента. Задания
1.
Тепловоз прошел 1413 м. Найдите диаметр колеса тепловоза, если известно, что оно сделало
300 оборотов. Ответ округлите до десятых. Рисунок а).
Ответ:
1,5 м.
Вычислите длину дуги круговой орбиты искусственного спутника Земли, если градусная мера этой дуги составляет О, спутник вращается на расстоянии 320 км от Земли и радиус Земли равен 6370 км. Ответ округлите до сотен километров. Рисунок б).
Ответ:
3500 м.
Лассо изготовлено из веревки длиной 10 м. Круглая петля лассо имеет радиус 0,6 м. Найдите длину каната, который не является частью петли. Ответ округлить до десятых. Рисунок в. Ответ
6,2 м.
На рисунке изображена схема полигона, на котором проводятся соревнования по метанию копья. Он имеет форму кругового сектора радиусом 100 м. Линия для броска находится в 5 мот центра и окрашена белой линией. Вторая белая линия окрашивается на расстоянии метров от первой дуги, место между двумя белыми линиями является посадочной площадкой для копья. Рисунок га) Найдите общую длину окрашенных белых линий.
б) Если посадочная площадка засеяна травой, какова общая площадь посева Для соединения семи пластиковых труб используется тонкая пластиковая лента. Если лента имеет длину 50 см, каков радиус каждой трубы Рисунок да) б) в)
95 мм 40Оцентр линия для броска г)
д)
58
Математика
Список использованной литературы.
Рослова Л. О, Краснянская КА, Квитко Е. С. Концептуальные основы формирования и оценки математической грамотности Отечественная и зарубежная педагогика. 2019. Т, № 4 (61). С. 58–79.
2.
OECD Governing Board PISA 2021 Mathematics Framework (First Draft), April 2018 [For
Official Use], p. 8, 21-22.
3.
PISA 2021 Mathematics: A Broadened Perspective.
4.
PISA 2021 Mathematics/An analysis of the Center for curriculum redesign (CCR), January
2016, С. 27-32.
5.
New Mathematics, 2
nd edition, P2, Marshall Cavendish International (Singapore), 2008.
6.
Математика, 8 класс, АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы, 2019.
7.
Рязановский АР, Мухин Д.Г., Всероссийская проверочная работа, 7, 8 класс, Изд. Экзамен Сборник по материалам участников телекоммуникационного обучающего проекта-кон- курса «Компетентностно-ориентированный урок, Омск, 2012.
10.
Шарыгин И.Ф., Наглядная геометрия 5-6 классы, М Изд.Дрофа, 2007.
11. Материалы конкурса Кенгуру https://russian-kenguru.ru/konkursy/kenguru.
12.
Белос А, Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры, Изд.
«Манн, Иванов и Фербер», 2015.
13.
Основные результаты международного исследования PISA-2015, АО «Информацион- но-аналитический центр, Нур-Султан, 2017 http://iac.kz/sites/default/files/nac_otchet_pisa-
2015_final.pdf.
Учебно-методическое издание
Развитие функциональной грамотности учащихся
на уроках математики
Редактор: Н.Д. Токтыбаев
Технический редактор СМ. Жапарова
Дизайнер-верстальщик: С.К. Аманова
ИБ Подписано в печать 24.07.2020 г. Формат 60х84/16.
Бумага 80 г. Гарнитура «Times New Roman». Цифровая печать.
Усл,п.л. 6.97. Усл.кр.-отт. 27,88. Уч. изд. л. Тираж ____ экз. Заказ №___
010000. г. Нур-Султан, Хусейн бен Талал, здание 12/1,
АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы»
По вопросам приобретения и доставки обращаться по телефонам (7172) 235-235; +7 701 0235 или в интернет-магазин: store@nis.edu.kz, @NIS_OQŶLYQ, NISoqylyq
1 2 3 4 5 6