Файл: Учебнометодическое пособие по курсу высшая математика часть 1 для студентов Центра заочного образования по программе.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.01.2024
Просмотров: 216
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
3. По получении из института прорецензированной работы студент обязан выполнить указания, сделанные рецензентом. В случае, если контрольная работа не зачтена, студент обязан в этой же тетради (после заключения рецензента) внести все исправления, решить заново задачи, указанные рецензентом, и представить работу на повторную рецензию.
4. Контрольная работа выполняется самостоятельно.
5. В конце работы указывается использованная литература.
6. Контрольная работа подписывается с указанием даты выполнения.
7. Контрольные работы, выполненные без соблюдения изложенных выше правил или по чужому варианту, не зачитываются и возвращаются.
5. Сдача экзаменов
К сдаче экзаменов допускаются студенты, имеющие выполненную и зачтенную контрольную работу. Экзамен сдается устно.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РАЗДЕЛАМ КУРСА
Внимание!
Данные методические указания предназначены для краткого ознакомления с дисциплиной «Высшая математика». В них приведены теоретические результаты без доказательства и рассмотрены примеры решения задач, подобных задачам, содержащихся в контрольной работе. При изучения дисциплины «Высшая математика» кроме данного пособия необходимо использовать для самостоятельной работы литературу из списка, приведенного на стр. 5-6.
Раздел 1 Теория пределов, непрерывность функций
Не касаясь строгого определения предела, приведем здесь лишь смысл этого понятия.
Пусть задана некоторая функция
, определенная в окрестности точки 
, кроме, быть может, самой точки. Пределом функции 
при 
называется число 
, к которому стремится функция, при приближении аргумента 
к числу 
:
.
.
При вычислении предела первое, что надо сделать – подставить
в выражение функции. Если указанное значение аргумента функции принадлежит области ее определения, то в результате получится некое число 
, которое и является пределом функции при 
.
Однако, в некоторых случаях при подстановке в формулу появляется так называемая неопределенность, которая символически записывается в одном из следующих видов: 
или 
. В этом случае необходимо применять специальные методы вычисления пределов, называемые методами раскрытия неопределенностей. Также необходимо рассмотреть методы вычисления пределов функций при 
Задача 1.1. Найти предел:
Решение. Убеждаемся, что при
числитель и знаменатель выражения стремятся к бесконечности, и получаем неопределенность вида 
. Делим числитель и знаменатель рациональной дроби на переменную в наивысшей степени, то есть, в данном случае, на 
. Учитывая, что
и 
, а также используя ряд свойств пределов, получаем:
.
Задача 1.2. Найти предел:
Решение. В первую очередь подставим в выражение функции
и убедимся, что данном случае мы имеем дело с неопределенностью вида 
. Далее используем метод разложения трехчлена на множители, а именно:
, где
- корни квадратного трехчлена. Учитывая, что корни знаменателя 
, а корни знаменателя 
, представим исходный предел в виде:
.
Заметим, что вместе с сокращением в числителе и знаменателе множителя
, из выражения уходит неопределенность. Теперь в выражение под знаком предела можно подставить 
и получить, что данный предел равен 
.
Ответ: .
Задача 1.3. Найти предел:
.
Решение. Подставляем данное выражение
и получаем неопределенность вида 
Выражения
называется для выражения 
сопряженным, а его умножение на сопряженное позволяет избавиться в этом выражении от радикалов:
( )
(
-
Таким образом, домножая числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю, получим:
=
.
Ответ:
.
Важное место в теории пределов занимают первый и второй замечательные пределы.
Первый замечательный предел имеет вид:
.
Задача 1.4. Найти предел:
.
Решение .
.
Ответ: 3.
Второй замечательный предел представляет собой неопределенность вида
и записывается одним из нижеследующих способов:
или 
Задача 1.5. Найти функции:
.
Решение: Убедимся сначала, что данное выражение представляет собой неопределенность вида . Далее вычислим указанный предел, приводя его ко второму замечательному пределу, записанному в виде:
.
Ответ:
.
Раздел 2. Производная функции и ее приложения
Пусть функция
определена в некоторой точке 
и в окрестности этой точки, а 
– приращение аргумента, такое, что 
принадлежит указанной окрестности. Тогда 
называется приращением данной функции. Если существует
,
то этот предел называется производной функции
в точке и обозначается 
или 
, а функция называется дифференцируемой в точке .
Функция
, определенная во всех точках, в которых существует указанный предел, называется производной функции .
Рассмотрим технику вычисления производных или, другими словами, технику дифференцирования.
Таблица производных элементарных функций:
1.
9. 
1*
10. 
1**.
11. 
2.
4. Контрольная работа выполняется самостоятельно.
5. В конце работы указывается использованная литература.
6. Контрольная работа подписывается с указанием даты выполнения.
7. Контрольные работы, выполненные без соблюдения изложенных выше правил или по чужому варианту, не зачитываются и возвращаются.
5. Сдача экзаменов
К сдаче экзаменов допускаются студенты, имеющие выполненную и зачтенную контрольную работу. Экзамен сдается устно.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РАЗДЕЛАМ КУРСА
Внимание!
Данные методические указания предназначены для краткого ознакомления с дисциплиной «Высшая математика». В них приведены теоретические результаты без доказательства и рассмотрены примеры решения задач, подобных задачам, содержащихся в контрольной работе. При изучения дисциплины «Высшая математика» кроме данного пособия необходимо использовать для самостоятельной работы литературу из списка, приведенного на стр. 5-6.
Раздел 1 Теория пределов, непрерывность функций
Не касаясь строгого определения предела, приведем здесь лишь смысл этого понятия.
Пусть задана некоторая функция
, определенная в окрестности точки , кроме, быть может, самой точки. Пределом функции при называется число , к которому стремится функция, при приближении аргумента к числу :.
.
При вычислении предела первое, что надо сделать – подставить
в выражение функции. Если указанное значение аргумента функции принадлежит области ее определения, то в результате получится некое число , которое и является пределом функции при . Однако, в некоторых случаях при подстановке
в формулу появляется так называемая неопределенность, которая символически записывается в одном из следующих видов: или . В этом случае необходимо применять специальные методы вычисления пределов, называемые методами раскрытия неопределенностей. Также необходимо рассмотреть методы вычисления пределов функций при Задача 1.1. Найти предел:
Решение. Убеждаемся, что при
числитель и знаменатель выражения стремятся к бесконечности, и получаем неопределенность вида . Делим числитель и знаменатель рациональной дроби на переменную в наивысшей степени, то есть, в данном случае, на . Учитывая, что и , а также используя ряд свойств пределов, получаем: .Задача 1.2. Найти предел:
Решение. В первую очередь подставим в выражение функции
и убедимся, что данном случае мы имеем дело с неопределенностью вида . Далее используем метод разложения трехчлена на множители, а именно:
, где
- корни квадратного трехчлена. Учитывая, что корни знаменателя , а корни знаменателя , представим исходный предел в виде: .Заметим, что вместе с сокращением в числителе и знаменателе множителя
, из выражения уходит неопределенность. Теперь в выражение под знаком предела можно подставить и получить, что данный предел равен .Ответ:
.Задача 1.3. Найти предел:
.Решение. Подставляем данное выражение
и получаем неопределенность вида Выражения
называется для выражения сопряженным, а его умножение на сопряженное позволяет избавиться в этом выражении от радикалов: (
) ( - Таким образом, домножая числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю, получим:
= .Ответ:
.Важное место в теории пределов занимают первый и второй замечательные пределы.
Первый замечательный предел имеет вид:
.Задача 1.4. Найти предел:
.
Решение .
.Ответ: 3.
Второй замечательный предел представляет собой неопределенность вида
и записывается одним из нижеследующих способов: или Задача 1.5. Найти функции:
.Решение: Убедимся сначала, что данное выражение представляет собой неопределенность вида
. Далее вычислим указанный предел, приводя его ко второму замечательному пределу, записанному в виде: .Ответ:
.Раздел 2. Производная функции и ее приложения
Пусть функция
определена в некоторой точке и в окрестности этой точки, а – приращение аргумента, такое, что принадлежит указанной окрестности. Тогда называется приращением данной функции. Если существует ,то этот предел называется производной функции
в точке и обозначается или , а функция называется дифференцируемой в точке .Функция
, определенная во всех точках, в которых существует указанный предел, называется производной функции .Рассмотрим технику вычисления производных или, другими словами, технику дифференцирования.
Таблица производных элементарных функций:
1.
9. 1*
10. 1**.
11. 2.