Геометрические приложения. Несобственные интегралы
Пусть на отрезке задана некоторая непрерывная функция . Криволинейная трапеция – это плоская фигура, ограниченная отрезком на оси , прямыми и графиком функции . Площадь криволинейной трапеции записывается как и называется определенным интегралом.

Основной формулой, используемой при вычислении определенного интеграла, является формула Ньютона – Лейбница, устанавливающая связь между определенным и неопределенным интегралами. Пусть есть первообразная функция для функции . Тогда:

.
Задача 4.1. Вычислить определенный интеграл: .
Решение. .

Ответ:
Задача 4.2. Вычислить определенный интеграл .
Решение. Сделаем замену Тогда = , а значит . При этом надо учитывать возможное изменение пределов интегрирования при замене переменной. В нашем случае нижний предел интегрирования =1 переходит в = , верхний предел переходит в

---

= , а интеграл в результате замены переменной интеграл принимает вид:

= = =ln .

Рассмотрим использование метода интегрирования по частям в определенном интеграле, применив формулу:

.


Задача 4. 3. Вычислить интеграл: .
Решение.



Ответ: 1.

---

Раздел 5. Определители. Матрицы. Системы линейных уравнений
Рассмотрим определители второго и третьего порядка. Определителем второго порядка называется число = . Например, определитель

Определитель третьего порядка имеет вид: . Возьмем произвольный элемент определителя и вычеркнем строку и столбец, в котором он стоит. Оставшиеся элементы образуют определитель второго порядка, который называется минором по отношению к вычеркнутому элементу. Например, для элемента минором является определитель . Тогда, для произвольного элемента алгебраическим дополнением является

.

В частности для элемента алгебраическое дополнение равно . Тогда определитель третьего (впрочем, как и любого другого ) порядка можно разложить по любой строке (столбцу) следующим образом.

Возьмем, например, первую строку. Тогда определитель

.

Например,

.

Рассмотрим на примере применение определителей для решения систем линейных уравнений.


Задача 5.1. Решить систему линейных уравнений по методу Крамера.

.

Составим определитель из коэффициентов системы и вычислим его, разложив по первой строке. Такой определитель называется главным определителем системы.



.

Далее составим так называемые вспомогательные определители. Их три.

---

Определитель получается из главного определителя путем замены первого столбца, соответствующего коэффициентам при , столбцом свободных членов. Запишем разложение этого определителя по второму столбцу.



.

Аналогично составим и вычислим два других вспомогательных определителя и .

.
Применяя метод Крамера , найдем решения системы:
Ответ:
Рассмотрим матричный метод решений системы линейных уравнений.

Прямоугольная таблица чисел, состоящая из строк и столбцов называется числовой матрицей ( далее – просто «матица»). Например, матрица


Заметим, что в отличие от определителя, в котором число строк и столбцы совпадает, матрица может содержать любое, не обязательно совпадающее, число строк и столбцов.

Рассмотрим действия (или операции) над матрицами:

1. Умножение матрицы на число. Любую матрицу можно умножить на произвольное действительное число. При этом каждый элемент матрицы умножается на это число.

2. Сумма матриц это матрица, каждый элемент которой является суммой элементов слагаемых, стоящий на одноименных местах. Сумма матриц определена только для матриц одинаковой размерности.

---

3. Произведение матриц. Произведением двух матриц и называется матрица , у которой элемент равен сумме произведений каждого элемента –ый строки матрицы на соответствующие элементы –го столбца матрицы A

.

Замечание. Умножение двух прямоугольных матриц возможно только в том случае, когда число столбцов левой матрицы равно числу строк правой матрицы, т.е.

.

Задача 5.2. Найти произведение матриц и .

Решение. Пусть .

Для вычисления берем первую строку из первого определителя и первый столбец из второго определителя:

.

Для вычисления берем первую строку из первого определителя и второй столбец из второго определителя:

.

Аналогично: ,

.

Ответ:

Рассмотрим теперь квадратные матрицы, у которых число столбцов и число строк совпадает на примере матриц третьего порядка. Приведем следующие определения:

Единичная матрица третьего порядка имеет вид: . Здесь просматривается некоторая аналогия с

---

Смотрите также файлы

• Тема 28 развитие западноевропейской культуры студент группы фи.docx

• Блімі Саталу задары Педагогты аты жні.docx

• Урок на платформе Яндекс Учебник.docx

• Подготовка к егэ задание 8 Чтобы решить задание 8 егэ по русскому языку 2023, необходимо знать следующие темы.pptx

• Работа в ааскнд с объектами надзора текущего пользователя и работа с проверками текущего пользователя.pptx