Файл: Методические указания по выполнению лабораторных работ для студентов специальности 5В070200 Автоматизация и управление.pdf

Некоммерческое
акционерное общество
Кафедра автоматизация и управление
АВТОМАТИЗАЦИЯ ОБЪЕКТОВ АВТОМАТИЗАЦИИ
Методические указания по выполнению лабораторных работ для студентов специальности 5В070200 – Автоматизация и управление
Алматы 2023
АЛМАТИНСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ
ИМЕНИ ГУМАРБЕКА
ДАУКЕЕВА

Лабораторная работа №3
Определение настроек регулятора методом расширенных частотных
характеристик
2.1. Цель работы –рассчитать оптимальные настройки регуляторав системах автоматического управления методом расширенных частотных характеристик.
2.2. Теоретические сведения
Практическое требование к автоматическим системам управления технологическими процессами, диктуемое свойствами реальных объектов, заключается в том, что автоматическая система регулирования должна обладать определенным запасом устойчивости. Запас устойчивости гарантирует работоспособность системы при отклонениях в некоторых пределах ее параметров и изменении ее характеристик со временем или при изменении режима работы. Требование запаса устойчивости вводит ограничение на область расположения корней характеристического уравнения замкнутой системы.
Условие устойчивости линейной САУ формулируется следующим образом: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми (т.е. находились в левой комплексной полуплоскости). Если хотя бы один корень правый, то система неустойчива. Если один из корней равен нулю, а остальные левые, то система находится на границе апериодической устойчивости. Если равны нулю вещественные части одной или нескольких пар комплексно- сопряженных корней, то система находится на границе колебательной устойчивости (рис.3.1.).
α
ξ
α
η
????
1
????
1
????
2 2
????
2
????
4
????
3
????
3
????
5
????
4
????
5
????
6
2
φ
2
φ
????
6
ξ

Рисунок 3.1 - Распределение корней характеристического уравнения, ближайших к мнимой оси: а – комплексно-сопряженных; б – вещественных.
Все звенья систем автоматического регулирования подразделяются на устойчивые и неустойчивые. Так, элементарные звенья, как уже отмечалось, являются устойчивыми, исключение составляет интегрирующее звено, относящееся к группе нейтральных звеньев. На устойчивость систем оказывают влияние параметры регулируемого объекта. Для того, чтобы система была стабильной, необходимо обеспечить требуемый запас устойчивости, причем, если параметры определены приближенно или могут изменяться в процессе эксплуатации системы, то запас устойчивости следует задать большим, чем при точно установленных и неизменных параметрах.
Достижение устойчивости возможно осуществить также выбором соответствующих элементов системы регулирования. В частности, следует выбирать такие настройки регуляторов, чтобы система была устойчивой.Чаще всего определяют настройки регуляторов, при которых корни характеристического уравнения замкнутой системы находятся на мнимой оси
(АСР находится на границе устойчивости) для того, чтобы затем по известным методикам создать устойчивую АСР с заданными свойствами.
Наибольшее применение при автоматизации технологических процессов находят одноконтурные системы автоматического управления
(САУ) с типовыми линейными законами регулирования. Структурная схема такой САУ показана на рисунке 1, где
)
(s
W
р
– передаточная функция регулятора;
)
(s
W
оу
– передаточная функция объекта регулирования (ОР);
y
y
y
зад
−
=

– рассогласование регулируемой величины;
х
– регулирующее воздействие. В разомкнутой цепи такой системы находятся последовательно соединенные регулятор и объект регулирования с передаточными функциями
W(s) и Wp(s) соответственно [1]. В отличие от большинства существующих методов расчета настроек регуляторов [2–4], в которых показателем качества являются интегральные критерии, метод расширенных частотных характеристик (РЧХ) обеспечивает определение множества настроек регулятора (линии равного затухания (ЛРЗ)), обеспечивающих заданную степень колебательности m переходного процесса замкнутой системы [5].
Рисунок 3.2 - Структурная схема САР с типовым линейным регулятором

Известны пять типовых законов регулирования: пропорциональный (П), интегральный (И), пропорционально-интегральный (ПИ), пропорционально- дифференциальный
(ПД) и пропорционально-интегрально- дифференциальный (ПИД) [1].
Для расчета настроек регуляторов в САУ с вышеуказанными линейными законами регулирования можно использовать частотные характеристики объекта регулирования [2].
Метод расширенных частотных характеристик (РЧХ) полностью основан на использовании модифицированного критерия Найквиста
(критерий Е. Дудникова), который гласит: если разомкнутая система устойчива и ее расширенная амплитудно-фазовая характеристика проходит через точку с координатами
(-1, i0)
, то замкнутая система будет не только устойчива, но и будет обладать некоторым запасом устойчивости, определяемым степенью колебательности.
В то же время на комплексной плоскости корней характеристического уравнения замкнутой системы границей устойчивости является мнимая ось. Для обеспечения запаса устойчивости комплексные корни должны находиться левее мнимой оси, а сам запас будет определяться отношением действительной α и мнимой β-частей ближайшей к мнимой оси пары корней, называемым степенью колебательности m=α/β [3].
Для обеспечения необходимого качества переходного процесса в замкнутой САУ нужно обеспечить заданную степень колебательности. В этом случае вместо обычных частотных характеристик можно использовать расширенные частотные характеристики (РЧХ). При выводе основных расчетных соотношений метода РЧХ делается допущение о том, что вид кривой переходного процесса, в основном, определяется ближайшей к мнимой оси парой комплексных корней, а влиянием остальных корней можно пренебречь [3]. Наиболее употребительными при расчетах являются значения m=0,221-0.336.
Таким образом, критерий Найквиста для РЧХ можно сформулировать следующим образом: годограф расширенной АФХ разомкнутой системы должен проходить через точку (1,i0). Тогда выражение для РЧХ разомкнутой системы на границе устойчивости с заданным запасом:
1
)
(
)
(
)
(
−
=

=
s
W
s
W
s
W
рег
оу
рс
(1)
Функция регулятора с учетом критерия Найквиста будет иметь вид: где
)
,
(
)
,
(
1
)
(
1
)
(
w
m
Q
w
m
P
id
c
ib
a
id
c
ib
a
s
W
s
W
рег
рег
рег
рег
рег
рег
оу
оу
оу
оу
оу
рег
+
=
+
+
=
+
+
−
=
−
=
, (2)

оу
рег
оу
рег
оу
рег
оу
рег
b
d
a
c
d
b
c
a
=
=
−
=
−
=
Значение действительной и мнимой части регулятора определяется по формулам (1)
Для нахождения коэффициентов регулятора рассмотрим наиболее общий случай ПИД-регулятора в системе управления. Его расширенная частотная характеристика будет выглядеть следующим образом:
w
m
j
K
w
m
j
K
K
jw
mw
W
рег

−

+

−
+
=
+
−
)
(
)
(
)
(
2 0
1
Избавляясь от комплексности в знаменателе при И-составляющей, получим расширенную частотную характеристику регулятора в виде:
w
jK
w
m
jK
w
K
m
w
m
mK
K
w
m
W
рег
2 2
0 2
2 0
1
)
1
(
)
1
(
)
,
(
+

+
−


−

+
−
=
Тогда из (1):






+

+
−
=


−

+
−
=
w
K
w
m
K
w
m
Q
w
K
m
w
m
mK
K
w
m
P
рег
рег
2 2
0 2
2 0
1
)
1
(
)
,
(
)
1
(
)
,
(
(3)
Разрешая систему уравнений (3) относительно настроечных параметров регулятора, можно получить их параметрические зависимости от частоты в виде:
w
m
K
w
m
w
m
Q
K
mw
K
w
m
mQ
w
m
P
K
рег
рег
рег

+
−

+

−
=
+
−
=
)
1
(
)
1
(
)
,
(
2
)
,
(
)
,
(
2 2
2 0
2 1
Зависимость между пропорциональной (K1) и интегральной (K0) составляющими регулятора в параметрическом виде называется линией равного затухания (ЛРЗ), а принадлежащие ей точки (настройки регулятора) обеспечивают переходный процесс замкнутой системы с заданной степенью колебательности m. Для ПИ–регулятора дифференциальная составляющая K
2=0, поэтому





+

−
=
−
=
w
m
w
m
Q
K
w
m
mQ
w
m
P
K
рег
рег
рег
)
1
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2 0
1
Пример:

Рисунок 3.3 - ЛРЗ регулятора
На рис. 3.3 показаны полученная ЛРЗ и значения оптимальных настроек
ПИ-регулятора
????
1
= 0,51125,
????
0
= 0,73937
Передаточная функция ПИ регулятора
s
s
s
s
K
K
s
W
рег
73937 0
51125 0
73937 0
51125 0
)
(
0 1
+
=
+
=
+
=
Для проверки настроек ПИ-регулятора сравним переходную функцию объекта и замкнутой системы с найденным регулятором.
2.3. Пример построения переходных характеристик объекта и системы
Передаточная функция объекта
2 2
2
)
(
2
+
+
=
s
s
s
W
оу
Передаточная функция замкнутой системы
4787 1
0255 3
2 4787 1
0225
,
1
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
2 3
+
+
+
+
=

+

=
s
s
s
s
s
W
s
W
s
W
s
W
s
W
оу
рег
оу
рег
зам
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
-1,5
-1
-0,5 0
0,5 1
1,5 2
K0
K1
ЛРЗ

Рисунок 3.4 - Проверка системы
Рисунок 3.5 - Графики переходных процессов объекта и замкнутой системы
2.4. Порядок выполнения работы
Варианты заданий согласно 2 лабораторной работе ;
Найти функцию регулятора с учетом критерия Найквиста;
Рассчитать значения действительной
)
,
(
w
m
P
р
и мнимой части
)
,
(
w
m
Q
р
регулятора;
Определить значения коэффициентов П и И регуляторов;
Найти оптимальное значение регулятора и проверить на Simulink.
2.5. Cодержание отчета
Отчет должен содержать цель, и задание по варианту, расчеты и графики согласно заданию в MS Excel и Matlab, а также выводы по переходным характеристикам: перерегулирование, время переходного процесса.
2.6. Вопросы
1) Определение модифицированного критерия Найквиста (критерий Е.
Дудникова).
2) Определение передаточной функций ПИД – регулятора.
3) Как определить ЛРЗ?
4) Как найти оптимальные значения коэффициентов П и И регулятора?