ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.01.2024
Просмотров: 119
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
I-I (на оставленной части фермы):
Таким образом, линия влияния усилия S36 может быть построена с помощью линии влияния опорной реакции RB:
груз находится слева от сечения I-I: груз находится справа от сечения I-I:
(левая ветвь) (правая ветвь)
Построение линии влияния опорной реакции – Ферму можно в данном случае представить в виде обычной балки:
1. Отбрасываем связи и заменяем реакциями:
2. Составляем моментное уравнение равновесия и находим величину реакции в функции от координаты положения груза :
3. Подставляя значения x = 0 и x = l
строим график изменения значения опорной реакции (линию влияния):
Построение линии влияния усилия в стержне S36:
A
B
h
l
d
1
2
3
4
5
6
8
I
7
1. Строим левую ветвь л.в. усилия (груз находится слева) используя соответствующее выражение :
2. Строим правую ветвь л.в. усилия (груз находится справа) используя соответствующее выражение :
3. Строим передаточную прямую, учитывающую узловую передачу нагрузки :
Построенная линия влияния позволяет легко найти величину усилия от любой статической (постоянной) вертикальной нагрузки как сумму произведений величин сил на значения ординат линии влияния:
I
12
Лекция 4 (продолжение – 4.4)
■ Равновесие сочлененных тел. Железнодорожные и строительные конструкции могут состоять из сочлененных между собой тел (балок, ферм).
Количество наложенных связей может превышать число независимых уравнений равновесия, которые можно составить для рассматриваемой конструкции. Такие задачи являются статически неопределимыми. Степень статической неопределимости для плоских систем равна:
где Д – число жестких дисков, Ж – число жестких заделок,
Ш – число неподвижных шарниров (опорных и соединяющих диски между собой,
С – число шарнирных стержней (опорных или соединяющих диски между собой) или подвижных шарниров
A
B
1. Выберем в качестве объекта всю конструкцию.
С
B
В теоретической механике возможно решение только статически определимых задач, в которых количество связей равно числу независимых уравнений равновесия (n = 0).
2. Отбросим связи и заменим их действие реакциями.
3. Число неизвестных реакций – 4, а количество независимых уравнений - 3.
Это означает, что необходимо расчленить конструкцию – отбросить шарнир C
и заменить его действие на каждую из частей реакциями.
4. Число неизвестных реакций – 8, а количество независимых уравнений равновесия для обоих частей - 3·2 = 6.
С использованием аксиомы действия и противодействия для каждой пары реакций шарнира C общее число неизвестных реакций уменьшается до 6
и равно общему числу уравнений равновесия:
5. Решение полученной системы уравнений не представляет особых затруднений в указанном порядке: от вспомогательной балки CB (не может оставаться в равновесии без балки AC) к основной балке AC (может находиться в равновесии без балки CB).
■ Равновесие рычага. Рычаг – твердое тело, имеющее одну неподвижную точку.
Рычаг имеет одну степень кинематической подвижности (w = – n = 3Д – 3Ж – 2Ш – С =
= 3·1 – 3·0 – 2·1 – 0 = 1) и в равновесии может быть лишь при определенном соотношении активных сил, действующих на рычаг.
A
■ Уравнения равновесия рычага. Применяя общий подход составления уравнений равновесия к рычагу получаем:
Во многих случаях значением опорных реакций не интересуются и искомое соотношение сил определяют из последнего моментного уравнения, которое и принимается за уравнение равновесия рычага.
Уравнение равновесия рычага используется при расчете подпорной стенки или груза на опрокидывание:
A
Условие устойчивости на опрокидывание: Удерживающий момент относительно неподвижной точки (от F1)
должен быть больше опрокидывающего момента (от F2) относительно этой же точки.
13
Балка неподвижна и не имеет ни возможных, ни действительных перемещений.
Отбросим связь, реакция которой отыскивается, и заменим ее реакцией:
Без правой опоры балка может поворачиваться под действием активных сил, реакцию RB причисляем к активным силам. Зададим малое возможное перемещение:
Лекция 4 (продолжение – 4.5 – дополнительный материал)
■ Кинематический способ определения реакций и усилий. Способ основывается на принципе возможных перемещений:
14
Принцип возможных перемещений – Для равновесия материальной системы, подчиненной стационарным,
двухсторонним и идеальным связям, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех
активных сил на любом возможном перемещении из предполагаемого положения равновесия равнялось нулю:
Стационарные связи – не зависящие от времени.
Двухсторонние связи – препятствующие перемещениям в обоих противоположных направлениях (жесткая заделка, шарнир, стержень являются двухсторонними связями, нить, гладкая поверхность – односторонние связи).
Если связь односторонняя, то достаточно просто не рассматривать в качестве возможных перемещений перемещения, соответствующие тому направлению, в котором связь не может удерживать объект, например, в направлении отрыва объекта от гладкой поверхности.
Идеальные связи – работа которых на любом возможном перемещении равна нулю.
Если связь не идеальная, то реакция такой связи должна быть причислена к действующим (активным) силам, например, сила трения шероховатой поверхности добавляется к активным силам.
■ Возможные перемещения –
бесконечно малые перемещения, допускаемые наложенными на систему связями. Возможные перемещения не зависят от приложенных к системе сил.
■ Вычисление возможных перемещений: - в силу малости возможных перемещений при повороте твердого тела любая его точка может рассматриваться движущейся не по дуге, а по перпендикуляру к радиусу вращения в сторону угла поворота:
x
A
O
бxA
бyA=бsA
Для малых углов
cos ≈ 1, sin ≈ , тогда:
■ Возможная работа силы – элементарная работа силы на том или ином возможном перемещении:
■ Примеры использования принципа возможных перемещений для определения реакций связей:
Пример 1. Определить реакцию балки в правой опоре:
A
B
a
l
б
бsP
бsB
Запишем сумму работ:
Вычислим возможные перемещения:
Пример 2. Определить опорный момент многопролетной составной балке в левой опоре:
б
бsP
бsB
Отбросим в жесткой заделке связь, препятствующую повороту балки, и заменим ее парой сил MA:
MA
A
B
a
l
l
C
D
E
b
b
бsD
Вычислим возможные перемещения:
Запишем сумму работ:
Заметим, что
1. для нахождения опорного момента MA
из уравнений статики потребовалось бы решить как минимум три уравнения равновесия;
2. эпюра возможных перемещений пропорциональна линии влияния усилия;
3. если задать возможное перемещение для искомой реакции равным 1, например, б =1, то эпюра перемещений будет полностью тождественна линии влияния поскольку
Лекция 5
■ Трение скольжения. При действии сдвигающей силы, приложенной к телу, покоящемуся на шероховатой поверхности, возникает сила, противодействующая возможному смещению тела (сила трения сцепления) из равновесного положения или его действительному перемещению (сила трения скольжения) при его движении.
Основные законы трения (Амонтона - Кулона):
1. Сила трения лежит в касательной плоскости к соприкасающимся поверхностям и направлена в сторону противоположную направлению
, в котором приложенные к телу силы стремятся его сдвинуть или сдвигают в действительности (реактивный характер).
2. Сила трения изменяется от нуля до своего максимального значения Максимальная сила трения пропорциональна коэффициенту трения и силе нормального давления
3. Коэффициент трения есть величина постоянная для данного вида и состояния соприкасающихся поверхностей (f = const).
4. Сила трения в широких пределах не зависит от площади соприкасающихся поверхностей.
■ Способы определения коэффициента трения.
1. Сдвигающая сила изменяется от нуля до своего максимального значения – 0 ≤ T ≤ Tmax, (0 ≤ P ≤ Pmax).
2. Сила нормального давления изменяется от некоторого начального значения до минимального значения – N0 ≥ N ≥ Nmin (G0 ≥ G ≥ Gmin).
3. Сдвигающая сила и сила нормального давления изменяются при изменении угла наклона плоскости скольжения от нуля до максимального значения – 0 ≥ φ ≥ φmax .
■ Угол трения.
С учетом силы трения, возникающей при контакте с шероховатой поверхностью полная реакция такой поверхности может рассматриваться как геометрическая сумма нормальной реакции абсолютно гладкой поверхности и силы трения:
Угол отклонения полной реакции шероховатой поверхности – угол
трения, равный:
При изменении направления сдвигающей силы T на опорной поверхности ее поворотом относительно нормали к плоскости полная максимальная реакция шероховатой поверхности описывает конус трения.
Активные силы (G, T и др.) можно заменить равнодействующей силой P, имеющей угол отклонения от вертикали α. Можно показать, что равновесие возможно лишь в том случае, когда эта сила остается внутри пространства конуса трения:
Условие равновесия по оси x: Psinα ≤ Fтрmax.
Из уравнения равновесия по оси у: N = Pcosα.
Максимальная сила трения Fтрmax = fN = tgφN = tgφPcosα.
Тогда Psinα ≤ tgφPcosα, откуда tgα ≤ tgφ и α ≤ φ.
15
Лекция 5 (продолжение – 5.2)
■ Учет сил трения при решении задач на равновесие. При наличии сил трения:
К действующим на объект активным силам и реакциям абсолютно гладких поверхностей добавляются соответствующие силы трения, направленные по общей касательной к контактным поверхностям в сторону, противоположную возможному смещению точки касания объекта относительно опорной шероховатой плоскости.
Таким образом, линия влияния усилия S36 может быть построена с помощью линии влияния опорной реакции RB:
груз находится слева от сечения I-I: груз находится справа от сечения I-I:
(левая ветвь) (правая ветвь)
Построение линии влияния опорной реакции – Ферму можно в данном случае представить в виде обычной балки:
1. Отбрасываем связи и заменяем реакциями:
2. Составляем моментное уравнение равновесия и находим величину реакции в функции от координаты положения груза :
3. Подставляя значения x = 0 и x = l
строим график изменения значения опорной реакции (линию влияния):
Построение линии влияния усилия в стержне S36:
A
B
h
l
d
1
2
3
4
5
6
8
I
7
1. Строим левую ветвь л.в. усилия (груз находится слева) используя соответствующее выражение :
2. Строим правую ветвь л.в. усилия (груз находится справа) используя соответствующее выражение :
3. Строим передаточную прямую, учитывающую узловую передачу нагрузки :
Построенная линия влияния позволяет легко найти величину усилия от любой статической (постоянной) вертикальной нагрузки как сумму произведений величин сил на значения ординат линии влияния:
I
12
Лекция 4 (продолжение – 4.4)
■ Равновесие сочлененных тел. Железнодорожные и строительные конструкции могут состоять из сочлененных между собой тел (балок, ферм).
Количество наложенных связей может превышать число независимых уравнений равновесия, которые можно составить для рассматриваемой конструкции. Такие задачи являются статически неопределимыми. Степень статической неопределимости для плоских систем равна:
где Д – число жестких дисков, Ж – число жестких заделок,
Ш – число неподвижных шарниров (опорных и соединяющих диски между собой,
С – число шарнирных стержней (опорных или соединяющих диски между собой) или подвижных шарниров
A
B
1. Выберем в качестве объекта всю конструкцию.
С
B
В теоретической механике возможно решение только статически определимых задач, в которых количество связей равно числу независимых уравнений равновесия (n = 0).
2. Отбросим связи и заменим их действие реакциями.
3. Число неизвестных реакций – 4, а количество независимых уравнений - 3.
Это означает, что необходимо расчленить конструкцию – отбросить шарнир C
и заменить его действие на каждую из частей реакциями.
4. Число неизвестных реакций – 8, а количество независимых уравнений равновесия для обоих частей - 3·2 = 6.
С использованием аксиомы действия и противодействия для каждой пары реакций шарнира C общее число неизвестных реакций уменьшается до 6
и равно общему числу уравнений равновесия:
5. Решение полученной системы уравнений не представляет особых затруднений в указанном порядке: от вспомогательной балки CB (не может оставаться в равновесии без балки AC) к основной балке AC (может находиться в равновесии без балки CB).
■ Равновесие рычага. Рычаг – твердое тело, имеющее одну неподвижную точку.
Рычаг имеет одну степень кинематической подвижности (w = – n = 3Д – 3Ж – 2Ш – С =
= 3·1 – 3·0 – 2·1 – 0 = 1) и в равновесии может быть лишь при определенном соотношении активных сил, действующих на рычаг.
A
■ Уравнения равновесия рычага. Применяя общий подход составления уравнений равновесия к рычагу получаем:
Во многих случаях значением опорных реакций не интересуются и искомое соотношение сил определяют из последнего моментного уравнения, которое и принимается за уравнение равновесия рычага.
Уравнение равновесия рычага используется при расчете подпорной стенки или груза на опрокидывание:
A
Условие устойчивости на опрокидывание: Удерживающий момент относительно неподвижной точки (от F1)
должен быть больше опрокидывающего момента (от F2) относительно этой же точки.
13
Балка неподвижна и не имеет ни возможных, ни действительных перемещений.
Отбросим связь, реакция которой отыскивается, и заменим ее реакцией:
Без правой опоры балка может поворачиваться под действием активных сил, реакцию RB причисляем к активным силам. Зададим малое возможное перемещение:
Лекция 4 (продолжение – 4.5 – дополнительный материал)
■ Кинематический способ определения реакций и усилий. Способ основывается на принципе возможных перемещений:
14
Принцип возможных перемещений – Для равновесия материальной системы, подчиненной стационарным,
двухсторонним и идеальным связям, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех
активных сил на любом возможном перемещении из предполагаемого положения равновесия равнялось нулю:
Стационарные связи – не зависящие от времени.
Двухсторонние связи – препятствующие перемещениям в обоих противоположных направлениях (жесткая заделка, шарнир, стержень являются двухсторонними связями, нить, гладкая поверхность – односторонние связи).
Если связь односторонняя, то достаточно просто не рассматривать в качестве возможных перемещений перемещения, соответствующие тому направлению, в котором связь не может удерживать объект, например, в направлении отрыва объекта от гладкой поверхности.
Идеальные связи – работа которых на любом возможном перемещении равна нулю.
Если связь не идеальная, то реакция такой связи должна быть причислена к действующим (активным) силам, например, сила трения шероховатой поверхности добавляется к активным силам.
■ Возможные перемещения –
бесконечно малые перемещения, допускаемые наложенными на систему связями. Возможные перемещения не зависят от приложенных к системе сил.
■ Вычисление возможных перемещений: - в силу малости возможных перемещений при повороте твердого тела любая его точка может рассматриваться движущейся не по дуге, а по перпендикуляру к радиусу вращения в сторону угла поворота:
x
A
O
бxA
бyA=бsA
Для малых углов
cos ≈ 1, sin ≈ , тогда:
■ Возможная работа силы – элементарная работа силы на том или ином возможном перемещении:
■ Примеры использования принципа возможных перемещений для определения реакций связей:
Пример 1. Определить реакцию балки в правой опоре:
A
B
a
l
б
бsP
бsB
Запишем сумму работ:
Вычислим возможные перемещения:
Пример 2. Определить опорный момент многопролетной составной балке в левой опоре:
б
бsP
бsB
Отбросим в жесткой заделке связь, препятствующую повороту балки, и заменим ее парой сил MA:
MA
A
B
a
l
l
C
D
E
b
b
бsD
Вычислим возможные перемещения:
Запишем сумму работ:
Заметим, что
1. для нахождения опорного момента MA
из уравнений статики потребовалось бы решить как минимум три уравнения равновесия;
2. эпюра возможных перемещений пропорциональна линии влияния усилия;
3. если задать возможное перемещение для искомой реакции равным 1, например, б =1, то эпюра перемещений будет полностью тождественна линии влияния поскольку
Лекция 5
■ Трение скольжения. При действии сдвигающей силы, приложенной к телу, покоящемуся на шероховатой поверхности, возникает сила, противодействующая возможному смещению тела (сила трения сцепления) из равновесного положения или его действительному перемещению (сила трения скольжения) при его движении.
Основные законы трения (Амонтона - Кулона):
1. Сила трения лежит в касательной плоскости к соприкасающимся поверхностям и направлена в сторону противоположную направлению
, в котором приложенные к телу силы стремятся его сдвинуть или сдвигают в действительности (реактивный характер).
2. Сила трения изменяется от нуля до своего максимального значения Максимальная сила трения пропорциональна коэффициенту трения и силе нормального давления
3. Коэффициент трения есть величина постоянная для данного вида и состояния соприкасающихся поверхностей (f = const).
4. Сила трения в широких пределах не зависит от площади соприкасающихся поверхностей.
■ Способы определения коэффициента трения.
1. Сдвигающая сила изменяется от нуля до своего максимального значения – 0 ≤ T ≤ Tmax, (0 ≤ P ≤ Pmax).
2. Сила нормального давления изменяется от некоторого начального значения до минимального значения – N0 ≥ N ≥ Nmin (G0 ≥ G ≥ Gmin).
3. Сдвигающая сила и сила нормального давления изменяются при изменении угла наклона плоскости скольжения от нуля до максимального значения – 0 ≥ φ ≥ φmax .
■ Угол трения.
С учетом силы трения, возникающей при контакте с шероховатой поверхностью полная реакция такой поверхности может рассматриваться как геометрическая сумма нормальной реакции абсолютно гладкой поверхности и силы трения:
Угол отклонения полной реакции шероховатой поверхности – угол
трения, равный:
При изменении направления сдвигающей силы T на опорной поверхности ее поворотом относительно нормали к плоскости полная максимальная реакция шероховатой поверхности описывает конус трения.
Активные силы (G, T и др.) можно заменить равнодействующей силой P, имеющей угол отклонения от вертикали α. Можно показать, что равновесие возможно лишь в том случае, когда эта сила остается внутри пространства конуса трения:
Условие равновесия по оси x: Psinα ≤ Fтрmax.
Из уравнения равновесия по оси у: N = Pcosα.
Максимальная сила трения Fтрmax = fN = tgφN = tgφPcosα.
Тогда Psinα ≤ tgφPcosα, откуда tgα ≤ tgφ и α ≤ φ.
15
Лекция 5 (продолжение – 5.2)
■ Учет сил трения при решении задач на равновесие. При наличии сил трения:
К действующим на объект активным силам и реакциям абсолютно гладких поверхностей добавляются соответствующие силы трения, направленные по общей касательной к контактным поверхностям в сторону, противоположную возможному смещению точки касания объекта относительно опорной шероховатой плоскости.