Файл: Линейная алгебра, Коллоквиум i бобень Вячеслав.pdf

Следствие.
Всякая ОСЛУ либо имеет ровно 1 решение (нулевое), либо бесконечно много решений.
18. Свойство однородной системы линейных уравнений, у которой число неизвестных больше числа уравнений
Следствие.
Всякая ОСЛУ, у которой число неизвестных больше числа уравнений, имеет ненулевое решение
(бесконечно много ненулевых решений).
19. Связь между множеством решений совместной системы линейных уравнений и множеством ре- шений соответствующей ей однородной системы
Утверждение. Пусть ???????? = ???? – совместная СЛУ,
????
0
– частное решение ???????? = ????,
???? ⊂ R
????
– множество решений ОСЛУ ???????? = 0,
???? ⊂ R
????
– множество решений ???????? = ????.
Тогда, ???? = ????
0
+ ????, где ????
0
+ ???? = {????
0
+ ???? | ???? ∈ ????}
20. Обратная матрица
Определение.
Матрица ???? ∈ ????
????
называется обратной, к ????, если ???????? = ???????? = ????.
Обозначение: ???? = ????
−1 21. Перестановки множества {1, 2, . . . , ????}
Определение. Перестановкой (подстановкой)
на множестве {1, 2, . . . , ????} называется всякое биективное (вза- имно однозначное) отображение множества {1, 2, . . . , ????} в себя.
???? : {1, 2, . . . , ????} → {1, 2, . . . , ????}.
????
????
– множество всех перестановок на множестве {1, 2, . . . , ????}.
Запись:
(︂
1 2
3
????
????(1)
????(2)
????(3)
????(????)
)︂
либо
(︂
????
1
????
2
????
3
????
????
????(????
1
)
????(????
2
)
????(????
3
)
????(????
????
)
)︂
Здесь, {????
1
, ????
2
, . . . , ????
????
} = {1, 2, . . . , ????}
22. Инверсия в перестановке. Знак перестановки. Чётные и нечётные перестановки
Пусть ???? ∈ ????
????
, ????, ???? ∈ {1, 2, . . . , ????}, ???? ̸= ????
Определение.
Пара {????, ????} (неупорядоченная) образует инверсию в ????, если числа ????−???? и ????(????)−????(????) имеют разный знак (то есть либо ???? < ???? и ????(????) > ????(????), либо ???? > ???? и ????(????) < ????(????)).
Определение. Знак перестановки ???? – это число sgn(????) = (−1)
<число инверсий в ????>
Определение.
Перестановка ???? называется четной, если sgn(????) = 1 (четное количество инверсий), и нечетной если sgn(????) = −1 (нечетное количество инверсий).
23. Произведение двух перестановок
Определение. Произведением
(или композицией) двух перестановок ????, ???? ∈ ????
????
называется такая перестановка
???????? ∈ ????
????
, что (????????)(????) := ????(????(????)) ∀???? ∈ {1, . . . , ????}.
24. Тождественная перестановка и её свойства. Обратная перестановка и её свойства
Определение.
Перестановка ???????? =
(︂1 2 . . .
????
1 2
????
)︂
∈ ????
????
называется тождественной перестановкой.
Свойства:
∀???? ∈ ????
????
???????? · ???? = ???? · ???????? = ????
sgn(????????) = 1
Определение. ???? ∈ ????
????
, ???? =
(︂
1 2
????
????(1)
????(2)
????(????)
)︂
=⇒
подстановка ????
−1
:=
(︂????(1) ????(2) . . .
????(????)
1 2
????
)︂
назы- вается обратной к ???? перестановкой.
7

Свойства: ???? · ????
−1
= ???????? = ????
−1
· ????
25. Теорема о знаке произведения двух перестановок
Теорема. ????, ???? ∈ ????
????
=⇒ sgn(????????) = sgn ???? · sgn ????.
26. Транспозиция. Знак транспозиции
Пусть ????, ???? ∈ {1, 2, . . . , ????}, ???? ̸= ????.
Рассмотрим перестановку ????
????????
∈ ????
????
, такую что
????
????????
(????) = ????
????
????????
(????) = ????
????
????????
(????) = ???? ∀???? ̸= ????, ????
Определение.
Перестановки вида ????
????????
называются транспозициями.
Замечание. ????
– траспозиция =⇒ ????
2
= ????????, ????
−1
= ????
Лемма. ???? ∈ ????
????
– транспозиция =⇒ sgn(????) = −1.
27. Общая формула для определителя квадратной матрицы произвольного порядка
Определение.
Определителем матрицы ???? ∈ ????
????
называется число det ???? =
∑︁
????∈????
????
sgn(????)????
1????(1)
????
2????(2)
. . . ????
????????(????)
(∑︀
????∈????
????
– сумма по всем перестановкам)
28. Определители 2-го и 3-го порядка
• ???? = 2
????
2
=
{︂(︂1 2 1
2
)︂
,
(︂1 2 2
1
)︂}︂
det ???? =
⃒
⃒
⃒
⃒
????
11
????
12
????
21
????
22
⃒
⃒
⃒
⃒
= ????
11
????
22
− ????
12
????
21
• ???? = 3
????
3
=
{︂(︂1 2 3 1
2 3
)︂
,
(︂1 2 3 2
3 1
)︂
,
(︂1 2 3 3
1 2
)︂
,
(︂1 2 3 3
2 1
)︂
,
(︂1 2 3 2
1 3
)︂
,
(︂1 2 3 1
3 2
)︂}︂
det ???? =
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
????
11
????
12
????
13
????
21
????
22
????
23
????
31
????
32
????
33
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
= ????
11
????
22
????
33
+ ????
12
????
23
????
31
+ ????
13
????
21
????
32
− ????
13
????
22
????
31
− ????
12
????
21
????
33
− ????
11
????
23
????
32 29. Поведение определителя при разложении строки (столбца) в сумму двух
Если ????
(????)
= ????
1
(????)
+ ????
2
(????)
, то det ???? = det
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
????
(1)
????
1
(????)
????
(????)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
+ det
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
????
(1)
????
2
(????)
????
(????)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Пример:
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
????
1
????
2
????
3
????
1
+ ????
1
????
2
+ ????
2
????
3
+ ????
3
????
1
????
2
????
3
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
=
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
????
1
????
2
????
3
????
1
????
2
????
3
????
1
????
2
????
3
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
+
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
????
1
????
2
????
3
????
1
????
2
????
3
????
1
????
2
????
3
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
Аналогично, если ????
(????)
= ????
(????)
1
+ ????
(????)
2
, то det ???? = det(????
(1)
· · · ????
(????)
1
· · · ????
(????)
) + det(????
(1)
· · · ????
(????)
2
· · · ????
(????)
)
30. Поведение определителя при перестановке двух строк (столбцов)
Если в ???? поменять местами две строки или два столбца, то det ???? поменяет знак.
31. Поведение определителя при прибавлении к строке (столбцу) другой, умноженной на скаляр
Если к строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на скаляр, то det ???? не изменится.
32. Верхнетреугольные и нижнетреугольные матрицы
8

Определение.
Матрица называется верхнетреугольной, если ????
????????
= 0
при ???? > ????, нижнетреугольной, если ????
????????
= 0
при ???? < ????.
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
????
11
????
12
????
13
????
1????
0
????
22
????
23
????
2????
0 0
????
33
????
3????
0 0
0
????
????????
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
– верхнетреугольная
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
????
11 0
0 0
????
21
????
22 0
· · ·
0
????
31
????
32
????
33
· · ·
0
????
????1
????
????2
????
????3
· · ·
????
????????
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
– нижнетреугольная
33. Определитель верхнетреугольной (нижнетреугольной) матрицы
Если ???? верхнетреугольная или нижнетреугольная, то det ???? = ????
11
????
22
. . . ????
????????
34. Определитель диагональной матрицы. Определитель единичной матрицы
Так как матрица диагональна, она верхнетреугольна. Тогда, её определитель равен произведению элементов на диагонали:
det ???? = ????
11
· ????
22
· · · · · ????
????????
Значит, определитель единичной матрицы – 1.
det ???? = 1 · 1 · · · · · 1 = 1 35. Матрица с углом нулей и её определитель
Предложение.
???? =
(︂
????
????
0
????
)︂
или ???? =
(︂
????
0
????
????
)︂
, ???? ∈ ????
????
, ???? ∈ ????
????−????
=⇒ det ???? = det ???? det ????.
Матрица с углом нулей:
⎛
⎜
⎜
⎝
*
*
*
*
0
*
*
*
0
*
*
*
0
*
*
*
⎞
⎟
⎟
⎠
НЕ матрица с углом нулей:
⎛
⎜
⎜
⎝
*
*
*
*
*
*
*
*
0
*
*
*
0
*
*
*
⎞
⎟
⎟
⎠
36. Определитель произведения двух матриц
Теорема. ????, ???? ∈ ????
????
=⇒ det(????????) = det ???? det ????.
37. Дополнительный минор к элементу квадратной матрицы
Определение. Дополнительным минором к элементу ????
????????
называется определитель (???? − 1) × (???? − 1) матрицы,
получающейся из ???? вычеркиванием ????-ой строки и ????-го столбца.
Обозначение: ????
????????
38. Алгебраическое дополнение к элементу квадратной матрицы
Определение. Алгебраическим дополнением к элементу ????
????????
называется число ????
????????
= (−1)
????+????
????
????????
39. Формула разложения определителя по строке (столбцу)
9

Теорема. При любом фиксированном ???? ∈ {1, 2, . . . , ????},
det ???? = ????
????1
????
????1
+ ????
????2
????
????2
+ · · · + ????
????????
????
????????
=
????
∑︁
????=1
????
????????
????
????????
– разложение по i-й строке.
Аналогично, для любого фиксированного ???? ∈ {1, 2, . . . , ????},
det ???? = ????
1????
????
1????
+ ????
2????
????
2????
+ · · · + ????
????????
????
????????
=
????
∑︁
????=1
????
????????
????
????????
– разложение по j-у столбцу.
40. Лемма о фальшивом разложении определителя
Лемма.
1. При любых ????, ???? ∈ {1, 2, . . . , ????} : ???? ̸= ???? =⇒ ∑︀
????
????=1
????
????????
????
????????
= 0
,
2. При любых ????, ???? ∈ {1, 2, . . . , ????} : ???? ̸= ???? =⇒ ∑︀
????
????=1
????
????????
????
????????
= 0 41. Невырожденная матрица
Определение.
Матрица ???? ∈ ????
????
называется невырожденной, если det ???? ̸= 0, и вырожденной иначе (то есть det ???? = 0
).
42. Присоединённая матрица
Определение. Присоединенной к А матрицей называется матрица
̂︀
???? = (????
????????
)
????
43. Критерий обратимости квадратной матрицы
Теорема. ???? обратима (то есть ∃????
−1
) ⇐⇒ ???? невырождена (det ???? ̸= 0).
44. Явная формула для обратной матрицы
????
−1
=
1
det ????
̂︀
????
45. Критерий обратимости произведения двух матриц. Матрица, обратная к произведению двух мат- риц
Следствие. ????, ???? ∈ ????
????
=⇒ ????????
обратима ⇐⇒ обе ????, ???? обратимы. При этом (????????)
−1
= ????
−1
????
−1 46. Формулы Крамера
Пусть есть СЛУ ???????? = ????(⋆), ???? ∈ ????
????
, ???? =
⎛
⎝
????
1
????
????
⎞
⎠
∈ R
????
, ???? =
⎛
⎝
????
1
????
????
⎞
⎠
∈ R
????
Также, ∀???? ∈ {1, 2, . . . , ????}, ????
????
= (????
(1)
, . . . , ????
(????−1)
, ????, ????
(????+1)
, . . . , ????
(????)
)
Теорема. Если det ???? ̸= 0, то СЛУ (⋆) имеет единственное решение и его можно найти по формулам:
????
????
=
det ????
????
det ????

47. Что такое поле?
Определение. Полем называется множество ???? , на котором заданы две операции “сложение” ((????, ????) → ???? + ????) и
“умножение” ((????, ????) → ???? · ????), причем ∀????, ????, ???? ∈ ???? выполнены следующие условия:
1. ???? + ???? = ???? + ???? (коммутативность сложения)
2. (???? + ????) + ???? = ???? + (???? + ????) (ассоциативность сложения)
3. ∃0 ∈ ???? : 0 + ???? = ???? + 0 = ???? (нулевой элемент)
4. ∃(−????) ∈ ???? : ???? + (−????) = (−????) + ???? = 0 (противоположный элемент)
↑
абелева группа ↑
5. ????(???? + ????) = ???????? + ???????? (дистрибутивность)
6. ???????? = ???????? (коммутативность умножения)
7. (????????)???? = ????(????????) (ассоциативность умножения)
8. ∃1 ∈ ???? ∖ {0} : 1???? = ????1 = ???? (единица)
9. Если ???? ̸= 0, ∃????
−1
∈ ???? : ????????
−1
= ????
−1
???? = 1
(обратный элемент)
10

48. Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме
Определение.
Представление числа ???? ∈ C в виде ???? + ????????, где ????, ???? ∈ R называется его алгебраической формой.
Число ???? называется мнимой единицей.
???? =: ????????(????)
– действительная часть числа ????.
???? =: ????????(????)
– мнимая часть числа ????.
Сложение (????
1
+ ????
1
????) + (????
2
+ ????
2
????) = (????
1
+ ????
2
) + (????
1
+ ????
2
)????
Умножение (????
1
+ ????
1
????)(????
2
+ ????
2
????) = (????
1
????
2
− ????
1
????
2
) + (????
1
????
2
+ ????
2
????
1
)????
Деление
????
1
+ ????
1
????
????
2
+ ????
2
????
=
????
1
????
2
+ ????
1
????
2
????
2 2
+ ????
2 2
+
????
2
????
1
− ????
1
????
2
????
2 2
+ ????
2 2
????
49. Комплексное сопряжение и его свойства: сопряжение суммы и произведения двух комплексных чисел
Определение.
Число ???? := ???? − ???????? называется комплексно сопряженным к числу ???? = ???? + ????????.
Операция ???? → ???? называется комплексным сопряжением.
Свойства комплексного сопряжения
• ???? = ????.
• ???? + ???? = ???? + ????.
• ???????? = ???? · ????.
50. Геометрическая модель комплексных чисел, интерпретация в ней сложения и сопряжения
Числу ???? = ???? + ???????? соответствует точка (или вектор) на плоскости R
2
с координатами (????, ????). Сумме ???? + ???? соот- ветствует сумма соответствующих векторов. Сопряжение ???? → ???? – это отражение ???? относительно действительной оси.
51. Модуль комплексного числа и его свойства: неотрицательность, неравенство треугольника, модуль произведения двух комплексных чисел
Определение.
Число |????| =
√
????
2
+ ????
2
называется модулем числа ???? = ???? + ???????? ∈ C (то есть длина соответствующего вектора).
Свойства
1. |????| > 0, причем |????| = 0 ⇐⇒ ???? = 0.
2. |???? + ????| 6 |????| + |????| (неравенство треугольника).
3. ???????? = |????|
2 4. |????????| = |????||????|.
52. Аргумент комплексного числа
Определение. Аргументом числа ???? = ???? + ???????? ∈ C ∖ {0} называется число ???? ∈ R, такое что cos ???? =
????
|????|
=
????
√
????
2
+ ????
2
sin ???? =
????
|????|
=
????
√
????
2
+ ????
2
В геометрических терминах, ???? есть угол между осью ???????? и соответствующим вектором.
53. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в три- гонометрической форме
Определение.
Представление числа ???? ∈ C в виде ???? = |????|(cos ???? + ???? sin ????) называется его тригонометрической формой
Предложение.
Пусть ????
1
= |????
1
|(cos ????
1
+ ???? sin ????
1
)
и ????
2
= |????
2
|(cos ????
2
+ ???? sin ????
2
)
, тогда
????
1
????
2
= |????
1
||????
2
|(cos(????
1
+ ????
2
) + ???? sin(????
1
+ ????
2
)).
11

Следствие.
В условиях предложения, предположим, что ????
2
̸= 0
Тогда
????
1
????
2
=
|????
1
|
|????
2
|
(cos(????
1
− ????
2
) + ???? sin(????
1
− ????
2
))
54. Формула Муавра
Пусть ???? = |????|(cos ???? + ???? sin ????). Тогда ∀???? ∈ Z,
????
????
= |????|
????
(cos(????????) + ???? sin(????????))
– формула Муавра.
55. Извлечение корней из комплексных чисел
Пусть ???? ∈ C, ???? ∈ N, ???? > 2.
Определение. Корнем степени n
(или корнем n-й степени) из числа ???? называется всякое число ???? ∈ C, что
????
????
= ????
????
√
???? = {????
0
, ????
1
, . . . , ????
????−1
}
, где ????
????
=
????
√︀|????|
(︁
cos
????+2????????
????
+ ???? sin
????+2????????
????
)︁
Замечание.
Числа ????
0
, ????
1
, . . . , ????
????−1
лежат в вершинах правильного n-угольника с центром в начале координат.
56. Основная теорема алгебры комплексных чисел
Теорема. Всякий многочлен степени > 1 с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень.
57. Теорема Безу и её следствие
Частный случай деления многочлена ????(????) на многочлен ????(????) с остатком: ????(????) = ???? − ????, deg ????(????) = 1:
???? (????) = ????(????)(???? − ????) + ????(????)
, где либо ????(????) = 0, либо deg ????(????) < ????(????) = 1
Значит, ????(????) ≡ ???? = ???????????????????? ∈ ???? .
Теорема. ???? = ???? (????).
Следствие.
Элемент ???? ∈ ???? является корнем многочлена ????(????) ∈ ???? [????] тогда и только тогда, когда ????(????) делится на (???? − ????).
58. Кратность корня многочлена
Определение. Кратностью корня ???? ∈ ???? многочлена ????(????) называется наибольшее целое ???? такое что, ????(????)
делится на (???? − ????)
????
59. Векторное пространство
Фиксируем поле ???? (можно считать, что ???? = R или C)
Определение.
Множество ???? называется векторным (линейным) пространством над полем ???? , если на ????
заданы две операции
• “сложение”: ???? × ???? → ???? , (????, ????) ↦→ ???? + ????.
• “умножение на скаляр”: ???? × ???? , (???? ∈ ????, ???? ∈ ???? ) ↦→ ????????.
а также, ∀????, ????, ???? ∈ ???? и ????, ???? ∈ ???? выполнены следующие условия (называются аксиомами векторного простран- ства
):
1. ???? + ???? = ???? + ????.
2. (???? + ????) + ???? = ???? + (???? + ????).
3. ∃
−
→
0 ∈ ???? : ???? +
−
→
0 =
−
→
0 + ???? = ????
(нулевой элемент).
4. ∃ − ???? : −???? + ???? = ???? + (−????) =
−
→
0
(противоположный элемент).
5. ????(???? + ????) = ???????? + ????????.
6. (???? + ????)???? = ???????? + ????????.
7. (????????)???? = ????(????????).
8. 1 · ???? = ????.
60. Подпространство векторного пространства
Пусть ???? – векторное пространство над ???? .
Определение.
Подмножество ???? ⊆ ???? называется подпространством (в ???? ), если
1.
−
→
0 ∈ ????
2. ????, ???? ∈ ???? =⇒ ???? + ???? ∈ ????.
3. ???? ∈ ????, ???? ∈ ???? =⇒ ???????? ∈ ????.
12