является подразбиением как разбиения , так и . Поэтому для произвольного наперёд заданного мы можем выбрать число , такое что для любого , будет иметь место неравенство







Далее, рассмотрим . Ясно, что









Так как



то сумма первого и третьего слагаемых в правой части при достаточно больших может быть сделана меньше Учитывая получим

(15.16)

Левая часть неравенства (15.16) не зависит от Поэтому в силу произвольности и, учитывая (15.9), приходим к выводу о том, что



Итак, нами доказано, что какой бы ни была пара монотонных последовательностей разбиений, мелкость которых стремится к нулю при возрастании пределы интегральных сумм Римана со специальным выбором промежуточных точек совпадают между собой.

Лемма доказана.

Из лемм 15.5, 15.6, 15.15 следует, что какой бы ни была монотонная последовательность разбиений пределы интегральных

---

сумм Римана первого и второго типа существуют, совпадают между собой и не зависят от выбора монотонной последовательности.

Основываясь на этих свойствах монотонных последовательностей , покажем , что какой бы ни была последовательность разбиений , мелкость которых стремится к нулю , пределы интегральных сумм Римана первого и второго типа существуют , совпадают между собой и не зависят от выбора последовательности.

Лемма 15.18.Пусть произвольная последовательность разбиений, мелкость которых стремится к нулю. Тогда пределы интегральных сумм существуют и совпадают между собой,



При этом пределы для различных последовательностей совпадают между собой.

Доказательство. Прежде всего покажем, что последовательности , являются фундаментальными . Рассмотрим, например, разность



Разбиения в общем случае не сравнимы между собой по включению. Однако, как и при доказательстве (15.7) мы можем сравнить суммы Римана прибегая к подразбиению каждого из них. Таким образом для произвольного наперёд заданного мы получаем , что для достаточно больших имеет место неравенство

+

+

---

Итак, фундаментальность, а, следовательно, и сходимость последовательности доказаны. Аналогично доказывается сходимость

Как и случае последовательностей последовательных разбиений , доказывается равенство пределов



Пусть



Доказательство независимости от выбора последовательности разбиений, мелкость которых стремится к нулю, производится по той же схеме, что и в случае монотонных последовательностей разбиений.

Лемма доказана.

Для завершения доказательства теоремы заметим , что для произвольной последовательности разбиений для сумм Римана имеет место оценка

(15.20)

Из оценки (15.20) следует сходимость последовательности к пределу, не зависящему от выбора последовательности и промежуточных точек на участках разбиения.

Теорема доказана.

Упражнение 15.21. Доказать сходимости последовательностей к одному и тому же пределу.

Указание. Пусть и отрезок разбиения . Так как подразбиение разбиения то этот отрезок может быть представлен в виде



Для того, чтобы подчеркнуть , что точки избранные для заданного

---

, принадлежат этому отрезку введём дополнительный индекс для их обозначения. Положим также . В этих обозначениях формула (15.21) перепишется в виде



Слагаемому из суммы поставим в соответствие сумму



из суммы ,

Рассмотрим разность







Точки , принадлежат одному и тому же отрезку разбиения

В силу непрерывности на мы можем подобрать столь большим, что для всех будет иметь место неравенство



Поэтому из (15.22), 15.23) получаем



Так как



nо с учётом оценки мы получаем, что



Аналогичную оценку можно получить для



Используя эти результаты, завершить доказательство того, что последовательности сходятся к одному и тому же пределу.

Упражнение 15.25. Доказать совпадение пределов последовательностей

---

Лекция 17.

Итак, нами доказана интегрируемость по Риману непрерывной функции, заданной на отрезке. Этот результат в случае функции непрерывной на даёт возможность определить функцию представляющую собой интеграл



с переменным верхним пределом .

Докажем, что функция является первообразной функции .

Теорема 17.2. Пусть непрерывная функция. Тогда функция из (17.1) представляет собой первообразную функции .

Доказательство. Рассмотрим разностное отношение









Заметим теперь, что







Функция непрерывна на , поэтому стремится к нулю , когда стремится к нулю.

В соответствии с (17.3), (17.4) мы получаем, что существует предел



Итак, мы получаем, что .

Теорема доказана.

Перейдём теперь к исследованию необходимых и достаточных условий интегрируемости функций на отрезке. Напомню, что сходимость сумм Римана

---

Смотрите также файлы

• Определите обозначенные периоды, относящиеся ко времени отдыха.doc

• Локальные компьютерные сети Компьютерная сеть.docx

• В принадлежности лица к категории вероятных объектов преступного посягательства в в чем проявляется ролевая виктимность в принадлежности.docx

• There is an even greater in light of all the things.docx

• Внешнее строение корневища, клубня и луковицы.docx