Файл: Протокол 1 от 28 августа 2020 г. Конспект лекций содержание введение Краткая характеристика дисциплины.doc

Логическая функция f_1­­­­­­­­­­ связана с логической функцией f₂ инверсией: f₂ = и f₁ = .

Логическая функция f₀ связана с логической функцией f₃ инверсией: f₀ = и f₃ = .

Связь между указанными функциями доказывается с помощью подстановки их значений в соответствующую запись.
Докажем это: f₂ =

Согласно таблице 1 f₂ = , f₁ = x. Подставляем в формулу (3) вместо f₁ ее значение. Получаем f₂ = , что соответствует значению f₂ из таблицы 1.
f₁ =
Вместо функции f₂ в формулу (4) подставили ее значение
f₁ = = x
Значение функции f₁ совпадает со значением функции в таблице 1.

Из последнего доказательства вытекает один из важнейших законов алгебры логики – закон двойного отрицания, который гласит:

Двойное отрицание аргумента есть сам аргумент.
f₀ =

Согласно таблице 1 f₀ = 0, f₃ = 1. Подставляем исходные данные в формулу.
f

---

₀ = = 0

f₃ =

Т.к. f₀ = 0, то
Что и требовалось доказать.

Наибольший практический интерес из ЛФ 1-ого аргумента представляет логический элемент “инвертор”.

* Логические функции двух аргументов

От двух аргументов можно образовать 16 логических функций.

N =

Логические функции двух аргументов заданы таблицей 3. Логические функции в таблице размещаются таким образом, что их номер соответствует значению двоичной комбинации в таблице истинности, задающей данную логическую функцию.

Из таблицы 8 логические функции f₀, f₃, f₅, f₁₀ ,f₁₂ ,f₁₅ не представляют практического интереса, так как совпадают по значению (логическому и смысловому) с соответствующими функциями одного аргумента, рассмотренными выше.

f₀ = 0 – генератор “нуля”
Таблица 9

Функция	Другие способы записи	Название функции	Чтение обозначения функции
f0 = 0	0	Константа нуль	Всегда ложно X1 и X2
f1 = X1  X2	X1 ^ X2,X1 & X2	Конъюнкция	X1 и X2
f2 =X1  X2	X1X2, X1  2	Запрет по X2	X1, но не X2
f3 = X1	X1	Аргумент X1	Не зависит от X2
F4 = X2  X1	X2X1, 1  X2	Запрет по X1	X2, но не X1
f5 = X2	X2	Аргумент X2	Не зависит от X1
F6 = X1 X2	X1 X2, X1 2  1X2	Неравнозначность или сумма по mod2	X1 неравнозначно X2
F7 = X1  X2	X1 + X2	Дизъюнкция	X1 или X2
f8 = X1  X2		Функция ИЛИ-НЕ, стрелка Пирса	Ни X1, ни X2
f9 =X1∞X2	X1 X2	Равнозначность	X1 равнозначно X2
F10 = 2	2	Инверсия	Не X2
f11=X1X2	2 X1	Импликация	Если X2, то X1
f12 = 1	1	Инверсия	Не X1
f13=X1X2	1 X2	Импликация	Если X1, то X2
f14=X1  X2		Функция И-НЕ, штрих Шеффера	X1 несовместимо с X2
f15 = 1	1	Константа единица	Всегда истинно

---

f₃ = X1 – аргумент X1

f₅ = X2 – аргумент X2

f₁₀ = - инверсия X2

f₁₂ = - инверсия X1

f₁₅ = 1 – генератор “единицы”

.

В таблице 9 приведены их таблицы истинности под соответствующим номером.

Большое значение в алгебре логики имеют функции f₁ и f₇, а также обратные им f₁₄ и f₈.

Логическая функция f₁= X1X2 носит название “конъюнкция” и выполняет логическую операцию “умножение”.

Логическая функция на выходе логического элемента будет равна “1” только в том случае, когда оба аргумента X (X1 = X2 = 1) будут равны “1”. В противном случае функция равна “0”(таблица 10).

Обратная ей логическая функция носит название “Функция Шеффера” (по фамилии ученого Шеффера) и выполняет функцию логического отрицания конъюнкции. Доказательство этого утверждения приведено в таблице 10.
Таблица 10

X2	X1
0	0	0	1
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	0

---

Логическая функция f₇ = X1X2 называется дизъюнкция и выполняет действия логического сложения аргументов. Элемент, реализующий данную функцию, называется “дизъюнктор”. Логическая функция принимает значение “0” только в тех случаях, когда все аргументы “X”, реализующие функцию, равны “0” (X1 = X2 = 0). Иначе, логическая функция f₇ принимает значение “1”.

Обратная ей функция называется “функцией Пирса” и выполняет действие логического отрицания сложения (дизъюнкции). Связь между функциями f₇ и f₈ пиведена в таблице 11.
Таблица 11

X2	X1
0	0	0	1
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	1	0

Кроме элементарных функций f₁ и f₁₄, f₇ и f₈ существует функции двух аргументов:

равнозначность f₉

неравнозначность f₆

импликация f₁₁, f₁₃

запрет f₂, f₄
Рассмотрим подробно каждую из этих функций.

Логическая функция f₉ – является функцией равнозначности (эквивалентности). Она принимает значение “1” в том случае, когда оба аргумента “X” равны (истинны) по значению (X1 = X2 = 0 либо X1 = X2 = 1). Для ее обозначения используется знаки f₉ = X1 X2 либо f₉ = X1 

---

X2.

Логическая функция f₆ является обратной по значению для функции f₉ ( ) и носит название “логическая неравнозначность” или “сумма по модулю 2”.

В этом случае функция будет равна “1” (истинной) если составляющие ее аргументы неравнозначны по значению (неравноценны). Иначе – функция равна “0”.

Другими словами, значение логической функции образуется путем арифметического сложения значений аргументов “X” без учета “1” переноса в следующий разряд.

Принцип действия функции f₉ и связь с f₆ задан таблицей 12. Для обозначения функции используются знаки
f₆ = X1  X2 = X1  X2 = .
Таблица 12

X1		X2		f6 = X1  X2	f9 = X1  X2
0	1	0	1	0	1
0	0	1	1	1	0
1	1	0	0	1	0
1	0	1	0	0	1

Логическая функция “импликация” от X1 к X2 f₁₃ задается формулой

f₁₃ = X1  X2

и определяется ее значение как

f₁₃ =
Таким образом, функция равна “0”, (ложна) только в том случае, когда X1 = 1, X

---