Файл: Контрольная работа 2 по математике Вариант3 студент гр з512П81 Попов Николай Сергеевич нсо, снт Заря д. 164.rtf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.01.2024
Просмотров: 96
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Министерство образования РФ.Томский Государственный УниверситетСистем управления и радиоэлектроники(ТУСУР)Контрольная работа № 2
Площадь треугольника, образованного данной прямой и осями координат
, где 
- отрезок, отсекаемый на оси OX;
- отрезок, отсекаемый на оси OY;
(кв.ед).
Ответ:
; 
(кв.ед.)
Задание№2.
Записать общее уравнение прямой, проходящей через точку М(-2; 2)и отсекающей от первого координатного угла треугольник площадью S=4,5 кв.ед.
Решение:
(1)
Уравнение прямой в отрезках :
(2)
С учетом данных, подставив в (1) значение S, а в (2) значения координат точки M, получим систему уравнений, относительно aи b.
По условию задачи, прямая распологается в первом координатном углу, следовательно, принимаем
Уравнение прямой:
Ответ:
- общее уравнение прямой.
Задание№3.
Даны вершины треугольника А(2, 1, 0), В(3, -1, 1) и С(1, 2, -4). Записать общее уравнение плоскости, проходящей через сторону АВ перпендикулярно плоскости треугольника АВС.
Решение:
Составляем уравнение плоскости, проходящей через плоскость треугольника:
Составляем уравнение прямой АВ:
,
Составляем уравнение плоскости, проходящей через сторону АВ и перпендикулярно плоскости АВС:
Ответ:
- общее уравнение плоскости, проходящей через сторону АВ перпендикулярно к плоскости треугольника АВС.
Задание№4
Найти расстояние от точки Р(1, 2, 0) до прямой
Решение:
Расстояние от точки до прямой в пространстве определяется по формуле:
Ответ: d=5
Задание№5
Найти длину отрезка, отсекаемого от оси ординат плоскостью, которая проходит через точку А(1, 1, 6), перпендикулярно вектору АВ, где В – точка пересечения медиан треугольника, вершины которого совпадают с точками пересечения осей координат с плоскостью
Решение:
Находим вершины треугольника с осью OX:
y=0; z=0; 12x-24=0 => x=2 C (2; 0; 0)
с осью OY:
x=0; z=0; 6y-24=0 => y=4 D (0; 4; 0)
с осью OZ:
x=0; y=0; z-24=0 =>z=24 E (0; 0; 24)
Находим уравнения медиан этого треугольника , чтобы найти координаты точки В.
Точка F – середина стороны, противоположная вершине С.
Точка F(0; 2; 12) – середина отрезка DE.
Ищем середину отрезка CD – точку G.
; 
; 
Точка G(1; 2; 0).
Координаты середины CE – точка K.
; 
; 
Точка K(1; 0; 12).
Уравнение медиан:
CF:
;
DK:
;
EG:
Точка пересечения медиан:
Можно взять любую пару уравнений медиан, таким образом точка пересечения медиан
Координаты вектора
Ищем уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно вектору АВ:
, получим:
Длина отрезка, отсекаемого этой плоскостью от оси ординат:
Ответ:
Задание№6
Две прямые параллельны плоскости
Первая прямая проходит через точку P(1, 2, 3) и пересекает ось абсцисс, а вторая – проходит через точку Q(3, 0, 0) и пересекает ось ординат. Найти косинус острого угла между направляющими векторами этих прямых.
Решение:
Косинус угла между прямыми:
(1)
Условие параллельности прямой и плоскости:
(2)
Каноническое уравнение для первой прямой (используем точки Р и (x0, 0, 0):
; 
; 
Чтобы найти
воспользуемся (2)
, тогда
Каноническое уравнение для второй прямой (используем точки Q и (0, y0, 0):
Чтобы найти
воспользуемся (2):
, тогда =4
Найденные значения направляющих коэффицентов подставляем в (1):
Ответ:
= 0,749
Задание№7
Найти координаты центра С(x0, y0) окружности радиусом 5, касающейся прямой
в точке М(2, 0), если известно, что точка С расположена в первой четверти.
Решение:
Точка С
лежит на перпендикуляре к прямой , так как эта прямая является касательной.
Предварительно перепишем уравнение заданной прямой в каноническом виде:
Тогда уравнение перпендикуляра:
Расстояние от точки
до прямой :
Получим систему уравнений относительно
:
;
Ответ:
Задание№8
Дана кривая
Решение:
1.
Положим
, тогда 
Данная кривая – гипербола.
2.
Координаты центра:
Центр гиперболы: С(1; 7)
3.
Действительная полуось a =2; мнимая полуось b=3.
4.
Фокальные оси
5.
Построение гиперболы:
а). Отмечаем центр гиперболы.
б). Отмечаем полуоси.
в). На основе полуосей строим прямоугольник.
г). Асимптоты проходят через диагонали этого прямоугольника.
Задание№9
Дана кривая
Решение:
1.
Введем замену
, получим 
это каноническое уравнение параболы вида 
, здесь 
2. Координаты вершины параболы:
Точка А(-1; 2) – вершина параболы.
3. Параметр параболы: р = 1
4. Ось симметрии:
5. Построение:
а). отмечаем вершину;
б). ветви параболы направлены вверх.
Задание№10
Дана кривая
3. Найти его большую и малую полуоси.
4. Записать общее уравнение фокальной оси.
5. Построить данную кривую.
Решение:
Квадратичная форма
Приводим ее к главным осям; ее матрица
;
Записываем характеристическое уравнение этой матрицы:
Корни
являются собственными числами.
Так как
, то кривая является
эллипсом.
Для
новый базисный вектор 
для базисный вектор 
Записываем матрицу Q перехода от базиса
к 
:
, 
Выражаем новые координаты
и 
через старые:
Записываем исходное уравнение в новой системе координат:
Выделяем полные квадраты:
Перейдем к новой системе координат
по формулам:
Получим:
Решаем систему:
Нвое начало
Новые оси направлены по прямым
(ось 
) и
(ось 
)
- большая полуось;
- малая полуось.
по математике
Вариант№3Выполнил: студент гр з-512П8-1Попов Николай Сергеевич
НСО, снт Заря д. 164 630554Проверил: кандидат физико - механических наук, доцент кафедры математикиВасильева Оксана ВладимировнаТомск 2023 гЗадание№1.Записать общее уравнение прямой, проходящей через точку М(-2; 4) перпендикулярно прямой x+2y+5=0. Найти площадь треугольника, образованную данной прямой и осями координат.Решение:Запишем уравнение прямой x+2y+5=0 в виде , Прямая, перпендикулярная ей имеет угловой коэффициент Ищем уравнение новой прямой: Площадь треугольника, образованного данной прямой и осями координат
, где - отрезок, отсекаемый на оси OX; - отрезок, отсекаемый на оси OY; (кв.ед).Ответ:
; (кв.ед.)Задание№2.
Записать общее уравнение прямой, проходящей через точку М(-2; 2)и отсекающей от первого координатного угла треугольник площадью S=4,5 кв.ед.
Решение:
(1)Уравнение прямой в отрезках :
(2)С учетом данных, подставив в (1) значение S, а в (2) значения координат точки M, получим систему уравнений, относительно aи b.
По условию задачи, прямая распологается в первом координатном углу, следовательно, принимаем
Уравнение прямой:
Ответ:
- общее уравнение прямой.Задание№3.
Даны вершины треугольника А(2, 1, 0), В(3, -1, 1) и С(1, 2, -4). Записать общее уравнение плоскости, проходящей через сторону АВ перпендикулярно плоскости треугольника АВС.
Решение:
Составляем уравнение плоскости, проходящей через плоскость треугольника:
Составляем уравнение прямой АВ:
, Составляем уравнение плоскости, проходящей через сторону АВ и перпендикулярно плоскости АВС:
Ответ:
- общее уравнение плоскости, проходящей через сторону АВ перпендикулярно к плоскости треугольника АВС. Задание№4
Найти расстояние от точки Р(1, 2, 0) до прямой
Решение:
Расстояние от точки до прямой в пространстве определяется по формуле:
Ответ: d=5
Задание№5
Найти длину отрезка, отсекаемого от оси ординат плоскостью, которая проходит через точку А(1, 1, 6), перпендикулярно вектору АВ, где В – точка пересечения медиан треугольника, вершины которого совпадают с точками пересечения осей координат с плоскостью
Решение:
Находим вершины треугольника с осью OX:
y=0; z=0; 12x-24=0 => x=2 C (2; 0; 0)
с осью OY:
x=0; z=0; 6y-24=0 => y=4 D (0; 4; 0)
с осью OZ:
x=0; y=0; z-24=0 =>z=24 E (0; 0; 24)
Находим уравнения медиан этого треугольника , чтобы найти координаты точки В.
Точка F – середина стороны, противоположная вершине С.
Точка F(0; 2; 12) – середина отрезка DE.
Ищем середину отрезка CD – точку G.
; ; Точка G(1; 2; 0).
Координаты середины CE – точка K.
; ; Точка K(1; 0; 12).
Уравнение медиан:
CF:
;DK:
;EG:
Точка пересечения медиан:
Можно взять любую пару уравнений медиан, таким образом точка пересечения медиан
Координаты вектора
Ищем уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно вектору АВ:
, получим: Длина отрезка, отсекаемого этой плоскостью от оси ординат:
Ответ:
Задание№6
Две прямые параллельны плоскости
Первая прямая проходит через точку P(1, 2, 3) и пересекает ось абсцисс, а вторая – проходит через точку Q(3, 0, 0) и пересекает ось ординат. Найти косинус острого угла между направляющими векторами этих прямых. Решение:
Косинус угла между прямыми:
(1)Условие параллельности прямой и плоскости:
(2)Каноническое уравнение для первой прямой (используем точки Р и (x0, 0, 0):
; ; Чтобы найти
воспользуемся (2) , тогда Каноническое уравнение для второй прямой (используем точки Q и (0, y0, 0):
Чтобы найти
воспользуемся (2): , тогда =4Найденные значения направляющих коэффицентов подставляем в (1):
Ответ:
= 0,749Задание№7
Найти координаты центра С(x0, y0) окружности радиусом 5, касающейся прямой
в точке М(2, 0), если известно, что точка С расположена в первой четверти.Решение:
Точка С
лежит на перпендикуляре к прямой , так как эта прямая является касательной.Предварительно перепишем уравнение заданной прямой в каноническом виде:
Тогда уравнение перпендикуляра:
Расстояние от точки
до прямой : Получим систему уравнений относительно
: ; Ответ:
Задание№8
Дана кривая
-
Доказать, что эта кривая – гипербола. -
Найти координаты ее центра симметрии. -
Найти действительную и мнимую полуоси. -
Записать уравнение фокальной оси. -
Построить данную гиперболу.
Решение:
1.
Положим
, тогда Данная кривая – гипербола.
2.
Координаты центра:
Центр гиперболы: С(1; 7)
3.
Действительная полуось a =2; мнимая полуось b=3.
4.
Фокальные оси
5.
Построение гиперболы:
а). Отмечаем центр гиперболы.
б). Отмечаем полуоси.
в). На основе полуосей строим прямоугольник.
г). Асимптоты проходят через диагонали этого прямоугольника.
Задание№9
Дана кривая
-
Доказать, что данная кривая – парабола. -
Найти координаты ее вершины. -
Найти значение ее параметра p. -
Записать уравнение ее оси симметрии. -
Построить данную параболу.
Решение:
1.
Введем замену
, получим это каноническое уравнение параболы вида , здесь 2. Координаты вершины параболы:
Точка А(-1; 2) – вершина параболы.
3. Параметр параболы: р = 1
4. Ось симметрии:
5. Построение:
а). отмечаем вершину;
б). ветви параболы направлены вверх.
Задание№10
Дана кривая
-
Доказать, что эта кривая – эллипс. -
Найти координаты центра его симметрии.
3. Найти его большую и малую полуоси.
4. Записать общее уравнение фокальной оси.
5. Построить данную кривую.
Решение:
Квадратичная форма
Приводим ее к главным осям; ее матрица
;Записываем характеристическое уравнение этой матрицы:
Корни
являются собственными числами.Так как
, то кривая являетсяэллипсом.
Для
новый базисный вектор для базисный вектор Записываем матрицу Q перехода от базиса
к : , Выражаем новые координаты
и через старые: Записываем исходное уравнение в новой системе координат:
Выделяем полные квадраты:
Перейдем к новой системе координат
по формулам: Получим:
Решаем систему:
Нвое начало
Новые оси направлены по прямым
(ось ) и (ось ) - большая полуось; - малая полуось.