ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.01.2024
Просмотров: 293
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
РОЗДІЛ 5
РІЗНОВИДИ
МОДЕЛЮВАННЯ
ТА
ЇХНЄ
ЗАСТОСУВАННЯ В ГНУЧКИХ ТЕХНОЛОГІЯХ БРИКЕТУВАННЯ
ПОДРІБНЕНИХ РОСЛИННИХ ВІДХОДІВ
5.1 Форма і зміст процесів моделювання
Побудова будь-якої моделі передбачає наявність комплексу питань, повʼязаних як зі змістом, так і з формою процесів моделювання.
Формально умови під час створення моделей повинні бути обовʼязково дотримані, оскільки вони обумовлюються вірогідністю результатів моделювання.
Традиційні визначення категорій: «зміст» як сукупність елементів і
їхня взаємодія; «форма» як внутрішня організація і структура змісту прийняті не всіма оскільки відомо, що структура є важливим елементом змісту і однакові об’єкти, пов’язані різним чином тому, що не однакові за змістом.
Зміст відображає процес взаємодії елементів чи явища об’єкта і визначається як самими елементами, так і їхнього структурою. Найчастіше це твердження відбиває така винахідницька категорія, «Обʼєкт винаходу» –
«Пристрій».
Форма обумовлюється способом існування, вираження, прояву змісту, що відбито у такій винахідницькій категорії, як «Обʼєкт винаходу» –
«Спосіб».
Пізнання обʼєкта здійснюють зазвичай поетапно:
1) пошук елементів, що визначають властивості усього обʼєкта. На цьому етапі структуру обʼєкта розглядають тільки як його будову;
2) пояснення властивостей обʼєкта (шляхом його фіксування і теоретичного відокремлення від усього іншого). На цьому етапі структура
є інваріантним аспектом обʼєкта;
3) більш високий рівень пізнання: структура обумовлює особливості зв’язків між частинами.
Стан обʼєкта виражається математичним поняттям «функції», тобто форма є функційною.
Форма по-різному обумовлюється зміною змісту. Найпоширенішою є така схема послідовного змінювання і взаємодії зазначених категорій:
1. Відповідність за особливими → 2. Невідповідність за рівнем змісту
і форми в період утворення нової форми → 3. Зміст досягає рівня форми →
73 4. Зміст випереджає її рівень → 5. Невідповідність за рівнем призводить до невідповідності за особливостями → 6. «Скидання» форми.
Взаємодія старих і нових форм виявляється в тому, що в змісті завжди присутня і підпорядковується йому попередня форма, але це стосується тільки нової, співвідносної
із ним форми, оскільки внаслідок неодночасного розвитку зміст і нова форма не співпадають повністю, а попередня форма при цьому еволюціонує.
Критеріями складності системи є такі: багатокомпонентність, неоднорідність, відмінність елементів відповідно до їхніх функцій, неможливість використання поза системою, наявність великої кількості
ієрархічних рівнів, різноманітність звʼязків, складність їхнього визначення, неоднозначність залежності структури й функції системи, здатність до самоорганізації, саморозвитку.
5.2
Теоретичні
основи
створення
засобів
математичного,
аналогового й фізичного моделювання
Моделлю називається спеціально створений обʼєкт, що відображає деякі властивості іншого, досліджуваного обʼєкта. Моделювання перебуває дослідженням складних процесів на моделях шляхом застосування методів теорії подібності (що вивчає умови подібності фізичних явищ) під час постановки й обробки результатів експерименту. Два явища називаються подібними, якщо всі кількісні характеристики одного з них співвідносяться з їхніми кількісними характеристиками, іншими словами: якщо намножити
їх на постійні числа (константи подібності, або «масштаби моделювання»), однакові для всіх однорідних величин, то вони будуть однаковими й характеризуватимуться тими самими значеннями деяких безрозмірних параметрів (визначальних критеріїв подібності), складених з відповідних фізичних і геометричних величин, що характеризують ці явища.
Основною умовою вірогідності є так званий ідентифікатор подібності натурних явищ і явищ, що моделюються: фізичні явища, процеси чи системи подібні, якщо в подібних точках простору, у подібні моменти часу окремі величини, що характеризують стан системи, пропорційні відповідним величинам іншої системи. Під час побудови моделей використовують критерії подібності, або безрозмірні числа, що складаються з розмірних фізичних параметрів, які визначають розглянуті фізичні явища (див. вище). Найпростішим, відомим усім прикладом
74
критерію подібності є, зокрема, масштаб географічної карти чи плану – дріб, чисельник якого дорівнює одиниці, а знаменник – числу, що відтворює зменшення зображення (моделі) відповідно до його натурних розмірів. Вимоги теорії подібності потрібно належним чином ураховувати під час побудови будь-якої модельної системи.
Вивчення будь-якого процесу методом аналогії здійснюють шляхом експериментального дослідження іншого якісного фізичного процесу, описуваного такими самим за формою математичними рівняннями (так зване «математичне моделювання», за якого, на відміну від «фізичного», фізичні процеси однакові). Передбачається, що всі процеси (повна подібність) чи найбільш істотні (локальна подібність) у будь-який момент часу дослідження й у будь-якій точці відрізняються від відповідних параметрів натурного явища у декілька раз. Як зрозуміло з наведеної схеми на рисунку 5.1, моделі посідають проміжне місце між діаметрально протилежними один до одного експериментальними й теоретичними способами досліджень.
Рисунок 5.1 – Моделі як метод наукового пізнання
Серед вчених теоретиків і експериментаторів: перші досліджують процеси, абстрактно домислюючи їх й роблячи невідоме предметом загального надбання; другі по змозі, а також відповідно до стану свого матеріально-технічного забезпечення (що неабияк важливо) завзято працюють, забезпечуючи теоретиків набором незвичайних фактів, які раніше біли невідомі змушуючи детально й науково їх обґрунтовувати.
Моделювання поєднує тих і інших, слугує «містком» між двома протилежними способами дослідження. Розглянемо відомі різновиди моделювання, які застосовують у науці й техніці.
75
5.2.1 Натурне й напівнатурне вимірювання.
Найбільш точну й достовірну (хоча, безумовно, не зовсім повну)
інформацію про досліджуваний процес або явище можна одержати тільки шляхом проведення натурних вимірювань. Їх, на жаль, не можна застосовувати під час дослідження більшості неіснуючих (наприклад проектованих) обʼєктів. Апроксимація даних натурного вимірювання характеристик одного обʼєкта до характеристик іншого, подібного до нього обʼєкта, також можлива тільки в окремих випадках.
Деколи найбільш складну й громіздку частину системи, яку вважають непотрібною під час проведення аналізу, замінюють моделлю; іншу частину, що вивчається, використовують безпосередньо. Прикладом проведення таких напівнатурних вимірювань є стендові випробування двигунів літака: сам літальний апарат ще не існує; випробовують тільки його енергетичну установку (готову, уже зібрану); фюзеляж, крила та інші елементи, дуже важливі для конструкції готового виробу (літака) загалом, прийнято вважати несуттєвими, замінено під час експерименту на частини конструкції самого стенду.
5.2.2 Фізичне моделювання
Таке моделювання здійснюють за допомогою моделей, подібних до натуральних, тобто: подібні величини моделі й натури однакові за фізичною природою й однаково математично описуються. У такому разі зберігаються особливості натурного експерименту, полегшується одержання результатів, тому що з самого початку обрано зручні діапазони вимірювання фізичного поля.
Однак такі фізичні моделі, побудовані з дотриманням критеріїв теорії подібності, займають великі площі, тому що без порушення подібності
їхній масштаб не можна зменшити, а результати можна одержати тільки після ретельного оброблення всіх даних.
Модель прямої аналогії.Така модель за аналогією імітує натурну фізичну систему її елементів таким чином, щоб кожен фізичний елемент натури співпадав із певним зображенням його еквівалента. Отже, головною перевагою моделі прямої аналогії є наочність. При цьому два явища вважаються подібними, якщо за відомими характеристиками одного з них одержують характеристики іншого шляхом зміни масштабу, тобто
76
одна система одиниць вимірювання замінюються іншою.
В основу аналогового моделювання покладено подібність математичного опису, хоча схожі величини моделі й натури різняться.
Одночасно система розчленовується на її складники – фізичні елементи.
Залежно від ступеня ідентичності математичних описів моделі й натури, окрім «чисто аналогового», відокремлюють ще й такий різновид, як квазіаналогове моделювання, особливістю якого є менший ступінь аналогії.
У моделі прямої аналогії використано принципи імітації на основі аналогій натурної або фізичної системи за її елементами таким чином, щоб кожному фізичному елементові натури в моделі відповідало певне зображення її еквівалента. Якість моделі прямої аналогії обумовлюється повнотою і чіткістю виявлення представлених у ній елементів досліджуваної фізичної системи.
Зазначене особливо стосується моделювання систем, у яких параметри й фізичні поля не співпадають
(наприклад звукові поля промислових підприємств).
Модель прямої аналогії використовують для наочності. Під час проведення таких досліджень використовують для впливу зміни окремо узятого фізичного елемента чи фактора на всю систему загалом, тому що кожен елемент відповідно відображається. У моделях крайових задач зберігається геометрична подібність форми областей, що дає змогу швидко впливати на ту чи іншу ділянку області. Модель можна аналізувати й коректувати шляхом підстановки даних проведення експериментів та натурних вимірів, використовувати її для перевірки теоретичних пропозицій. Щоб забезпечити оптимальні витрати устаткування, (а отже, й вартість моделі), модель потрібно спростити, що в разі використання моделі прямої аналогії зробити набагато легше, ніж наприклад, при фізичному моделюванні.
Аналогове й квазіаналогове моделювання не можна використовувати щодо будь-якої запропонованої фізичної задачі. Цим пояснюється обмеження сфери їхнього застосування. Необхідно виявити аналогію
(якщо вона взагалі існує) і тільки тоді будувати модель, ураховуючи спрощення її елементів.
Останнім часом прослідковується тенденція до поєднання аналогового і комп’ютерного моделювання. Досліджувану систему розчленовують на окремі фізичні елементи і вводять у електронні обчислювальні машини їхні моделі, не поєднуючи їх. При цьому
77
математичний опис досліджуваної системи розподіляють на окремі операції відповідно до класу електронної обчислювальної машини.
5.2.3 Математичні моделі
Такі моделі створюють, використовуючи математичні поняття й відношення: геометричні фігури, числа, вирази тощо. Математичними моделями здебільшого є функції, рівняння, нерівності, їхні системи.
Розв’язання задачі за допомогою математичних методів розподіляють на три етапи:
1. Створення математичної моделі задачі.
2. Розв’язання певної відповідної математичної задачі
3. Аналіз обʼєкта.
Щоб створити відповідну модель, потрібно знати не тільки математику, але й ту галузь науки і виробництва, з якою ця прикладна задача повʼязана. Якщо модель складена неправильно, неправильними будуть і рішення задачі, і відповідь.
Етапи розвʼязання прикладної задачі за допомогою математичних методів:
– прикладна задача в моделюванні;
↓
– її математична модель;
↓
– відповідь для моделі;
↓
– відповідь для цієї прикладної задачі.
Важливим є також останній етап розвʼяання прикладної задачі – аналіз відповіді. Відповідь С для абстрактної задачі В може не задовольняти задачу А чи задовольняти її неповністю. Відповідь С може бути точною для задачі В, відповідь для прикладної задачі А майже завжди приблизна. Отже, їх потрібно записувати відповідно до правил наближених обчислень.
78
5.3
Математичне
моделювання
брикетування
подрібнених
рослинних відходів
Для обґрунтованого розрахування технологічних процесів брикетування подрібнених відходів необхідно створити математичну модель, у якій враховано найбільш важливі фактори, що впливають на роботу устаткування та якість отриманої продукції.
Проблему ущільнення відходів вивчало багато вчених, зокрема
П. Н. Хухрянський, Н. А. Модін та інші.
Для опису пружних властивостей ущільнення матеріалу доцільно скористатися методами осереднення, тобто технічним наближеним розвʼязком. Це виправдано головним чином тим, що такий матеріал не має стабільних механічних властивостей, а точні методи розвʼязання, що значно ускладнюють обчислення, не покращують результатів.
Припустимо, що деревні частинки в межах деяких кутів розподіляються рівномірно. Усереднене значення модулів пружності A
jk
конгломерату деревних частинок можна визначити за відомими формулами як математичні очікування величин (змінними φ
0
, θ
0
, ψ
0
позначені кути розкидування частинок, рис. 5.2)
A
jk = <
A
i
jk> =
2 2
2 2
2 2
0 0
0 0
0 0
0 0
0 1
А
i
jk
d
d
d
,
(5.1) де
i
jk
А
– коефіцієнти пропорційності між напругою
i
jk
і співвідносними із ними деформаціями для i-тій деревної частинки у фіксованій системі координат, повʼязаній з пресформою.
Усереднені коефіцієнти піддатливості
jk
a
конгломерату визначаються як математичні очікування в разі допущення про рівномірність розкидування частинок:
α
jk
= < α
i
jk
> =
2 2
2 2
2 2
0 0
0 0
0 0
0 0
0 1
a
i
jk
d
d
d
,
(5.2) де
i
jk
a
– коефіцієнти пропорційності між деформаціями
i
jk
і співвідносними із ними напруженнями для i-тій деревної частинки у фіксованій системі координат.
79
Вважаючи розташування деревних частинок у площині, відповідно до напряму осі навантаження z (рис. 5.3) хаотичним (тобто кути θ і ψ приймають значення від 0 до π), обчислимо значення усереднених модулів пружності й усереднених коефіцієнтів піддатливості (за формулами (5.1)),
(5.2) залежно від кута розкидування часток φ щодо осі z. Розрахунки показали, що максимальне значення модуля пружності Е
3
конгломерату частинок у напрямі осі z отримуємо, якщо розташування частинок в просторі пресформи (φ
0
= π) є хаотичним і становить 1311,6 і 1950,7 МПа для соснових і березових частинок відповідно і до того ж значення коефіцієнта поперечного розширення в площині, відповідно до осі навантаження, становить 0,24 і 0,25 МПа. Мінімальне значення модуля
– 902,6 МПа для березових частинок і 478,6 МПа – для соснових частинок, якщо всі деревні частинки знаходяться в площині, що відповідає осі навантаження (φ
0
= 0); коефіцієнти Пуассона при цьому дорівнюють 0,66 для сосни і 0,58 – для берези.
5.3.1 Побудова математичної моделі формування брикетів
з подрібненої деревини під дією ударного навантаження
Оскільки при осьовому пресуванні діючі напруги зазвичай нормальні, як модель обирають стрижневу систему (рис. 5.4, 5.5).
Розв’язування задач динаміки стрижневих систем з кінцевим числом ступенів свободи можна звести до розв’язання матричного рівняння:
Kῡ+Гῡ
̇
+mῡ
̈
=P
̅
(t),
(5.3)
де K – матриця жорсткості системи;
Г – диссипативна матриця;
m – матриця мас;
P
– вектор зовнішніх навантажень;
v – вектор узагальнених переміщень.
Матриця жорсткості формується в разі використання параметрів, що залежать від пружних властивостей матеріалу й геометричних параметрів системи. Введення в рівняння (5.3) дисипативної матриці обумовлено необхідністю врахувати вплив на процес ущільнення сил тертя
(зовнішнього і внутрішнього). Матриця мас при цьому відображає вплив сил, що виникають у системі внаслідок додаткового ударного навантаження сил інерції.
80
Риcунок 5.2 – Схема переходу до фіксованої системи координат
Рисунок 5.3 – Схема навантаження
80
81
100
80
75
70
65
0
20
40
60
80
100
120
1
2
3
4
5
σ
n
m
ax
, %
Рисунок 5.4 – Модель середовища у вигляді стрижневої системи
Рисунок 5.5 – Розподіл внутрішніх напружень за висотою брикета
81
РІЗНОВИДИ
МОДЕЛЮВАННЯ
ТА
ЇХНЄ
ЗАСТОСУВАННЯ В ГНУЧКИХ ТЕХНОЛОГІЯХ БРИКЕТУВАННЯ
ПОДРІБНЕНИХ РОСЛИННИХ ВІДХОДІВ
5.1 Форма і зміст процесів моделювання
Побудова будь-якої моделі передбачає наявність комплексу питань, повʼязаних як зі змістом, так і з формою процесів моделювання.
Формально умови під час створення моделей повинні бути обовʼязково дотримані, оскільки вони обумовлюються вірогідністю результатів моделювання.
Традиційні визначення категорій: «зміст» як сукупність елементів і
їхня взаємодія; «форма» як внутрішня організація і структура змісту прийняті не всіма оскільки відомо, що структура є важливим елементом змісту і однакові об’єкти, пов’язані різним чином тому, що не однакові за змістом.
Зміст відображає процес взаємодії елементів чи явища об’єкта і визначається як самими елементами, так і їхнього структурою. Найчастіше це твердження відбиває така винахідницька категорія, «Обʼєкт винаходу» –
«Пристрій».
Форма обумовлюється способом існування, вираження, прояву змісту, що відбито у такій винахідницькій категорії, як «Обʼєкт винаходу» –
«Спосіб».
Пізнання обʼєкта здійснюють зазвичай поетапно:
1) пошук елементів, що визначають властивості усього обʼєкта. На цьому етапі структуру обʼєкта розглядають тільки як його будову;
2) пояснення властивостей обʼєкта (шляхом його фіксування і теоретичного відокремлення від усього іншого). На цьому етапі структура
є інваріантним аспектом обʼєкта;
3) більш високий рівень пізнання: структура обумовлює особливості зв’язків між частинами.
Стан обʼєкта виражається математичним поняттям «функції», тобто форма є функційною.
Форма по-різному обумовлюється зміною змісту. Найпоширенішою є така схема послідовного змінювання і взаємодії зазначених категорій:
1. Відповідність за особливими → 2. Невідповідність за рівнем змісту
і форми в період утворення нової форми → 3. Зміст досягає рівня форми →
73 4. Зміст випереджає її рівень → 5. Невідповідність за рівнем призводить до невідповідності за особливостями → 6. «Скидання» форми.
Взаємодія старих і нових форм виявляється в тому, що в змісті завжди присутня і підпорядковується йому попередня форма, але це стосується тільки нової, співвідносної
із ним форми, оскільки внаслідок неодночасного розвитку зміст і нова форма не співпадають повністю, а попередня форма при цьому еволюціонує.
Критеріями складності системи є такі: багатокомпонентність, неоднорідність, відмінність елементів відповідно до їхніх функцій, неможливість використання поза системою, наявність великої кількості
ієрархічних рівнів, різноманітність звʼязків, складність їхнього визначення, неоднозначність залежності структури й функції системи, здатність до самоорганізації, саморозвитку.
5.2
Теоретичні
основи
створення
засобів
математичного,
аналогового й фізичного моделювання
Моделлю називається спеціально створений обʼєкт, що відображає деякі властивості іншого, досліджуваного обʼєкта. Моделювання перебуває дослідженням складних процесів на моделях шляхом застосування методів теорії подібності (що вивчає умови подібності фізичних явищ) під час постановки й обробки результатів експерименту. Два явища називаються подібними, якщо всі кількісні характеристики одного з них співвідносяться з їхніми кількісними характеристиками, іншими словами: якщо намножити
їх на постійні числа (константи подібності, або «масштаби моделювання»), однакові для всіх однорідних величин, то вони будуть однаковими й характеризуватимуться тими самими значеннями деяких безрозмірних параметрів (визначальних критеріїв подібності), складених з відповідних фізичних і геометричних величин, що характеризують ці явища.
Основною умовою вірогідності є так званий ідентифікатор подібності натурних явищ і явищ, що моделюються: фізичні явища, процеси чи системи подібні, якщо в подібних точках простору, у подібні моменти часу окремі величини, що характеризують стан системи, пропорційні відповідним величинам іншої системи. Під час побудови моделей використовують критерії подібності, або безрозмірні числа, що складаються з розмірних фізичних параметрів, які визначають розглянуті фізичні явища (див. вище). Найпростішим, відомим усім прикладом
74
критерію подібності є, зокрема, масштаб географічної карти чи плану – дріб, чисельник якого дорівнює одиниці, а знаменник – числу, що відтворює зменшення зображення (моделі) відповідно до його натурних розмірів. Вимоги теорії подібності потрібно належним чином ураховувати під час побудови будь-якої модельної системи.
Вивчення будь-якого процесу методом аналогії здійснюють шляхом експериментального дослідження іншого якісного фізичного процесу, описуваного такими самим за формою математичними рівняннями (так зване «математичне моделювання», за якого, на відміну від «фізичного», фізичні процеси однакові). Передбачається, що всі процеси (повна подібність) чи найбільш істотні (локальна подібність) у будь-який момент часу дослідження й у будь-якій точці відрізняються від відповідних параметрів натурного явища у декілька раз. Як зрозуміло з наведеної схеми на рисунку 5.1, моделі посідають проміжне місце між діаметрально протилежними один до одного експериментальними й теоретичними способами досліджень.
Рисунок 5.1 – Моделі як метод наукового пізнання
Серед вчених теоретиків і експериментаторів: перші досліджують процеси, абстрактно домислюючи їх й роблячи невідоме предметом загального надбання; другі по змозі, а також відповідно до стану свого матеріально-технічного забезпечення (що неабияк важливо) завзято працюють, забезпечуючи теоретиків набором незвичайних фактів, які раніше біли невідомі змушуючи детально й науково їх обґрунтовувати.
Моделювання поєднує тих і інших, слугує «містком» між двома протилежними способами дослідження. Розглянемо відомі різновиди моделювання, які застосовують у науці й техніці.
75
5.2.1 Натурне й напівнатурне вимірювання.
Найбільш точну й достовірну (хоча, безумовно, не зовсім повну)
інформацію про досліджуваний процес або явище можна одержати тільки шляхом проведення натурних вимірювань. Їх, на жаль, не можна застосовувати під час дослідження більшості неіснуючих (наприклад проектованих) обʼєктів. Апроксимація даних натурного вимірювання характеристик одного обʼєкта до характеристик іншого, подібного до нього обʼєкта, також можлива тільки в окремих випадках.
Деколи найбільш складну й громіздку частину системи, яку вважають непотрібною під час проведення аналізу, замінюють моделлю; іншу частину, що вивчається, використовують безпосередньо. Прикладом проведення таких напівнатурних вимірювань є стендові випробування двигунів літака: сам літальний апарат ще не існує; випробовують тільки його енергетичну установку (готову, уже зібрану); фюзеляж, крила та інші елементи, дуже важливі для конструкції готового виробу (літака) загалом, прийнято вважати несуттєвими, замінено під час експерименту на частини конструкції самого стенду.
5.2.2 Фізичне моделювання
Таке моделювання здійснюють за допомогою моделей, подібних до натуральних, тобто: подібні величини моделі й натури однакові за фізичною природою й однаково математично описуються. У такому разі зберігаються особливості натурного експерименту, полегшується одержання результатів, тому що з самого початку обрано зручні діапазони вимірювання фізичного поля.
Однак такі фізичні моделі, побудовані з дотриманням критеріїв теорії подібності, займають великі площі, тому що без порушення подібності
їхній масштаб не можна зменшити, а результати можна одержати тільки після ретельного оброблення всіх даних.
Модель прямої аналогії.Така модель за аналогією імітує натурну фізичну систему її елементів таким чином, щоб кожен фізичний елемент натури співпадав із певним зображенням його еквівалента. Отже, головною перевагою моделі прямої аналогії є наочність. При цьому два явища вважаються подібними, якщо за відомими характеристиками одного з них одержують характеристики іншого шляхом зміни масштабу, тобто
76
одна система одиниць вимірювання замінюються іншою.
В основу аналогового моделювання покладено подібність математичного опису, хоча схожі величини моделі й натури різняться.
Одночасно система розчленовується на її складники – фізичні елементи.
Залежно від ступеня ідентичності математичних описів моделі й натури, окрім «чисто аналогового», відокремлюють ще й такий різновид, як квазіаналогове моделювання, особливістю якого є менший ступінь аналогії.
У моделі прямої аналогії використано принципи імітації на основі аналогій натурної або фізичної системи за її елементами таким чином, щоб кожному фізичному елементові натури в моделі відповідало певне зображення її еквівалента. Якість моделі прямої аналогії обумовлюється повнотою і чіткістю виявлення представлених у ній елементів досліджуваної фізичної системи.
Зазначене особливо стосується моделювання систем, у яких параметри й фізичні поля не співпадають
(наприклад звукові поля промислових підприємств).
Модель прямої аналогії використовують для наочності. Під час проведення таких досліджень використовують для впливу зміни окремо узятого фізичного елемента чи фактора на всю систему загалом, тому що кожен елемент відповідно відображається. У моделях крайових задач зберігається геометрична подібність форми областей, що дає змогу швидко впливати на ту чи іншу ділянку області. Модель можна аналізувати й коректувати шляхом підстановки даних проведення експериментів та натурних вимірів, використовувати її для перевірки теоретичних пропозицій. Щоб забезпечити оптимальні витрати устаткування, (а отже, й вартість моделі), модель потрібно спростити, що в разі використання моделі прямої аналогії зробити набагато легше, ніж наприклад, при фізичному моделюванні.
Аналогове й квазіаналогове моделювання не можна використовувати щодо будь-якої запропонованої фізичної задачі. Цим пояснюється обмеження сфери їхнього застосування. Необхідно виявити аналогію
(якщо вона взагалі існує) і тільки тоді будувати модель, ураховуючи спрощення її елементів.
Останнім часом прослідковується тенденція до поєднання аналогового і комп’ютерного моделювання. Досліджувану систему розчленовують на окремі фізичні елементи і вводять у електронні обчислювальні машини їхні моделі, не поєднуючи їх. При цьому
77
математичний опис досліджуваної системи розподіляють на окремі операції відповідно до класу електронної обчислювальної машини.
5.2.3 Математичні моделі
Такі моделі створюють, використовуючи математичні поняття й відношення: геометричні фігури, числа, вирази тощо. Математичними моделями здебільшого є функції, рівняння, нерівності, їхні системи.
Розв’язання задачі за допомогою математичних методів розподіляють на три етапи:
1. Створення математичної моделі задачі.
2. Розв’язання певної відповідної математичної задачі
3. Аналіз обʼєкта.
Щоб створити відповідну модель, потрібно знати не тільки математику, але й ту галузь науки і виробництва, з якою ця прикладна задача повʼязана. Якщо модель складена неправильно, неправильними будуть і рішення задачі, і відповідь.
Етапи розвʼязання прикладної задачі за допомогою математичних методів:
– прикладна задача в моделюванні;
↓
– її математична модель;
↓
– відповідь для моделі;
↓
– відповідь для цієї прикладної задачі.
Важливим є також останній етап розвʼяання прикладної задачі – аналіз відповіді. Відповідь С для абстрактної задачі В може не задовольняти задачу А чи задовольняти її неповністю. Відповідь С може бути точною для задачі В, відповідь для прикладної задачі А майже завжди приблизна. Отже, їх потрібно записувати відповідно до правил наближених обчислень.
78
5.3
Математичне
моделювання
брикетування
подрібнених
рослинних відходів
Для обґрунтованого розрахування технологічних процесів брикетування подрібнених відходів необхідно створити математичну модель, у якій враховано найбільш важливі фактори, що впливають на роботу устаткування та якість отриманої продукції.
Проблему ущільнення відходів вивчало багато вчених, зокрема
П. Н. Хухрянський, Н. А. Модін та інші.
Для опису пружних властивостей ущільнення матеріалу доцільно скористатися методами осереднення, тобто технічним наближеним розвʼязком. Це виправдано головним чином тим, що такий матеріал не має стабільних механічних властивостей, а точні методи розвʼязання, що значно ускладнюють обчислення, не покращують результатів.
Припустимо, що деревні частинки в межах деяких кутів розподіляються рівномірно. Усереднене значення модулів пружності A
jk
конгломерату деревних частинок можна визначити за відомими формулами як математичні очікування величин (змінними φ
0
, θ
0
, ψ
0
позначені кути розкидування частинок, рис. 5.2)
A
jk = <
A
i
jk> =
2 2
2 2
2 2
0 0
0 0
0 0
0 0
0 1
А
i
jk
d
d
d
,
(5.1) де
i
jk
А
– коефіцієнти пропорційності між напругою
i
jk
і співвідносними із ними деформаціями для i-тій деревної частинки у фіксованій системі координат, повʼязаній з пресформою.
Усереднені коефіцієнти піддатливості
jk
a
конгломерату визначаються як математичні очікування в разі допущення про рівномірність розкидування частинок:
α
jk
= < α
i
jk
> =
2 2
2 2
2 2
0 0
0 0
0 0
0 0
0 1
a
i
jk
d
d
d
,
(5.2) де
i
jk
a
– коефіцієнти пропорційності між деформаціями
i
jk
і співвідносними із ними напруженнями для i-тій деревної частинки у фіксованій системі координат.
79
Вважаючи розташування деревних частинок у площині, відповідно до напряму осі навантаження z (рис. 5.3) хаотичним (тобто кути θ і ψ приймають значення від 0 до π), обчислимо значення усереднених модулів пружності й усереднених коефіцієнтів піддатливості (за формулами (5.1)),
(5.2) залежно від кута розкидування часток φ щодо осі z. Розрахунки показали, що максимальне значення модуля пружності Е
3
конгломерату частинок у напрямі осі z отримуємо, якщо розташування частинок в просторі пресформи (φ
0
= π) є хаотичним і становить 1311,6 і 1950,7 МПа для соснових і березових частинок відповідно і до того ж значення коефіцієнта поперечного розширення в площині, відповідно до осі навантаження, становить 0,24 і 0,25 МПа. Мінімальне значення модуля
– 902,6 МПа для березових частинок і 478,6 МПа – для соснових частинок, якщо всі деревні частинки знаходяться в площині, що відповідає осі навантаження (φ
0
= 0); коефіцієнти Пуассона при цьому дорівнюють 0,66 для сосни і 0,58 – для берези.
5.3.1 Побудова математичної моделі формування брикетів
з подрібненої деревини під дією ударного навантаження
Оскільки при осьовому пресуванні діючі напруги зазвичай нормальні, як модель обирають стрижневу систему (рис. 5.4, 5.5).
Розв’язування задач динаміки стрижневих систем з кінцевим числом ступенів свободи можна звести до розв’язання матричного рівняння:
Kῡ+Гῡ
̇
+mῡ
̈
=P
̅
(t),
(5.3)
де K – матриця жорсткості системи;
Г – диссипативна матриця;
m – матриця мас;
P
– вектор зовнішніх навантажень;
v – вектор узагальнених переміщень.
Матриця жорсткості формується в разі використання параметрів, що залежать від пружних властивостей матеріалу й геометричних параметрів системи. Введення в рівняння (5.3) дисипативної матриці обумовлено необхідністю врахувати вплив на процес ущільнення сил тертя
(зовнішнього і внутрішнього). Матриця мас при цьому відображає вплив сил, що виникають у системі внаслідок додаткового ударного навантаження сил інерції.
80
Риcунок 5.2 – Схема переходу до фіксованої системи координат
Рисунок 5.3 – Схема навантаження
80
81
100
80
75
70
65
0
20
40
60
80
100
120
1
2
3
4
5
σ
n
m
ax
, %
Рисунок 5.4 – Модель середовища у вигляді стрижневої системи
Рисунок 5.5 – Розподіл внутрішніх напружень за висотою брикета
81