ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.02.2024
Просмотров: 367
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
114 28. Докажите, что из всех прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет квадрат.
115
5. Окружность и круг
Уровень А
1. Докажите, что если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то эти прямая и окружность не имеют общих точек.
2. Докажите, что если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то эта прямая является касательной к окружности.
3. Докажите, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу этой окружности, проведенному в точку касания.
116 4. Докажите, что если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их радиусов, то эти окружности не имеют общих точек (одна находится вне другой).
5. Докажите, что если расстояние между центрами двух окружностей меньше разности их радиусов, то эти окружности не имеют общих точек (одна находится внутри другой).
6. Докажите, что если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их радиусов, то эти окружности касаются (внешним образом).
117 7. Докажите, что если расстояние между центрами двух окружностей равно разности их радиусов, то эти окружности касаются (внутренним образом).
8. Докажите, что вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности.
9. Докажите, что диаметр, перпендикулярный хорде той же окружности, делит эту хорду пополам.
118
Уровень В
1. Докажите, что диаметр, проведенный через середину хорды той же окружности, отличной от диаметра, перпендикулярен этой хорде.
2. Докажите, что если две хорды окружности перпендикулярны и одна из них в точке пересечения делится пополам, то другая является диаметром.
3. Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от центра окружности.
119 4. Докажите, что если хорды окружности равноудаленыот ее центра, то они равны.
5. Докажите, что равные хорды окружности стягивают равные дуги.
6. Докажите, что равные дуги окружности стягивают равные хорды.
120 7. Две окружности имеют общий центр. Докажите, что хорды большей окружности, касающиеся меньшей окружности, равны между собой.
8. Докажите, что отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.
9. Докажите, что отрезки общих внешних касательных к двум окружностям равны.
121 10. Докажите, что отрезки общих внутренних касательных к двум окружностям равны.
11. Докажите, что отрезки общих внутренних касательных к двум окружностям одинакового радиуса в точке пересечения делятся пополам.
12. Две окружности касаются внутренним образом, причем меньшая окружность проходит через центр большей. Докажите, что всякая хорда большей окружности, проходящая через точку касания, делится меньшей окружностью пополам.
122 13. Из концов диаметра AB окружности опущены перпендикуляры
AA
1
и BB
1
на касательную. Докажите, что точка касания C
является серединой отрезка A
1
B
1 14. К окружности проведены две параллельные касательные.
Докажите, что отрезок любой касательной, заключенный между двумя данными параллельными касательными, виден из центра окружности под прямым углом.
15. Из точки пересечения двух окружностей проведены их диаметры. Докажите, что другие концы диаметров и вторая точка пересечения окружностей принадлежат одной прямой.
123 16. К двум окружностям c центрами в точках O
1
, O
2
, касающимся внешним образом в точке A, проведена общая касательная BC (B
и C – точки касания). Докажите, что угол BAC – прямой.
17. Докажите, что если две окружности имеют общую хорду, то прямая, проходящая через центры этих окружностей, перпендикулярна данной хорде и делит ее пополам.
18. Докажите, что если три окружности имеют общую хорду, то их центры расположены на одной прямой.
124 19. Докажите, что угол с вершиной внутри окружности измеряется полусуммой дуг, на которые опираются данный угол и вертикальный с ним угол.
20. Докажите, что угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги окружности, заключенной внутри этого угла.
21. Докажите, что угол с вершиной вне окружности, стороны которого пересекают окружность, измеряется полуразностью дуг окружности, заключенных внутри этого угла.
125 22. Докажите, что угол между касательной и секущей к окружности измеряется полуразностью дуг окружности, заключенных внутри этого угла и разделяемых точкой касания.
23. Докажите, что угол между двумя касательными к окружности измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.
126 24. Три окружности одинакового радиуса попарно касаются друг друга. Докажите, что их центры являются вершинами равностороннего треугольника.
25. Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей полукру- гов, построенных на катетах.
127
Уровень С
1. Докажите, что если две точки принадлежат кругу, то отрезок, их соединяющий, содержится в данном круге.
2. Точка A лежит внутри круга с центром O и радиусом R.
Расстояние AO равно a. Докажите, что круг с центром A и радиусом R – a содержится в исходном круге.
3. Докажите, что из всех хорд, проходящих через данную точку, взятую внутри круга, наименьшей является та, которая перпендикулярна диаметру, проходящему через эту точку.
128 4. Через точку диаметра окружности, отличную от центра, проведены две равные хорды. Докажите, что они одинаково наклонены к диаметру.
5. Через точку диаметра окружности проведены две хорды, одинаково наклоненные к нему. Докажите равенство этих хорд.
6. Докажите, что все равные хорды, проведенные в данной окружности, касаются некоторой другой окружности.
129 7. Две окружности касаются внешним образом. Через точку касания проведена секущая, которая делит эти окружности на четыре дуги. Докажите, что пары дуг, расположенные по разные стороны секущей и лежащие в разных окружностях, имеют одинаковые градусные величины.
8. Две окружности касаются внешним образом. Через точку их касания проведена к ним общая касательная и, кроме того, проведена общая внешняя касательная. Докажите, что отрезок этой второй касательной между точками касания точкой пересечения с первой касательной делится пополам.
9. Две окружности касаются внешним образом. Через точку их касания проведена секущая. Докажите, что касательные к этим окружностям, проведенные через точки их пересечения с секущей, параллельны.
130 10. Докажите, что всякая хорда, проведенная через внутреннюю точку круга, делится этой точкой на два отрезка, произведение которых постоянно и равно произведению отрезков диаметра, проведенного через ту же точку.
11. Докажите, что если из точки вне окружности проведены секущая и касательная, то произведение отрезка этой секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной.
12. Даны две концентрические окружности. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки одной из них до концов какого- нибудь данного диаметра другой есть величина постоянная.
131 13. Две окружности пересекаются. Через одну из точек пересечения проведены касательные к каждой окружности. Докажите, что отрезки этих касательных, лежащие внутри окружностей, видны из другой точки пересечения под равными углами.
14. Диаметр AB окружности продолжен за точку B. Через точку C этого продолжения проведена прямая c, перпендикулярная AB.
Для произвольной точки X прямой c обозначим X’ точку пересечения прямой AX с данной окружностью. Докажите, что произведение AX и AX’ постоянно и не зависит от выбора точки X
на прямой c.
15. В круге с центром O проведена хорда AB. На радиусе OA, как на диаметре, описана окружность. Докажите, что площади двух сегментов, отсекаемых хордой AB от обоих кругов, относятся как
4:1.
132 16. Вершины ломаной ABCDE принадлежат окружности. Углы B, C и D равны 45
о
. Докажите, что площадь заштрихованной части круга равна половине площади круга.
133
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6. Вписанные и описанные многоугольники
Уровень А
1. Докажите, что около всякого треугольника можно описать единственную окружность.
2. Докажите, что радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной a, равен
3 3
a
3. Докажите, что в любой треугольник можно вписать единственную окружность.
134 4. Докажите, что радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной a, равен
3 6
a
135
Уровень В
1. Докажите, что если центр описанной окружности треугольника совпадает с точкой пересечения его высот, то треугольник – равносторонний.
2. Докажите, что если центр описанной окружности треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан, то треугольник – равносторонний.
3. Докажите, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, принадлежит его стороне.
136 4. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его стороне, то этот треугольник – прямоугольный.
5. Докажите, что центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, лежит вне этого треугольника.
6. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, лежит вне этого треугольника, то данный треугольник – тупоугольный.
137 7. Докажите, что центр окружности, описанной около остроугольного треугольника, лежит внутри этого треугольника.
8. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, лежит внутри этого треугольника, то данный треугольник - остроугольный.
9. Докажите, что если центр вписанной окружности треугольника совпадает с точкой пересечения его высот, то треугольник – равносторонний.
138 10. Докажите, что если центр вписанной окружности треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан, то треугольник – равносторонний.
11. Докажите, что если центры вписанной и описанной окружностей треугольника совпадают, то этот треугольник – равносторонний.
12. На стороне равностороннего треугольника, как на диаметре, построена полуокружность. Докажите, что она делится на три равные части точками ее пересечения с двумя другими сторонами треугольника.
139 13. Докажите, что диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен разности суммы катетов и гипотенузы.
14. Докажите, что сумма диаметров окружностей, вписанной в прямоугольный треугольник и описанной около него, равна сумме его катетов.
15. Докажите, что радиус r окружности, вписанной в треугольник, выражается формулой
2S
r
a
b c
, где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.