Файл: 3727.pdf

6 КРИВІ ЛІНІЇ ТА ПОВЕРХНІ

6.1 Криві лінії

У нарисній геометрії криві лінії важливо розглядати як твірні кривих поверхонь. Крива лінія може бути утворена переміщенням точки у просторі, перетином кривих поверхонь площиною, взаємним перетином двох поверхонь. Криві лінії бувають плоскими і просторовими.

Плоскими називаються криві лінії, всі точки яких лежать в одній площині (рис. 6.1), просторовими – криві лінії, всі точки яких не належать одній площині (рис. 6.2).

Циліндрична гвинтова лінія – просторова крива лінія, яка утворюється рухом точки на поверхні прямого кругового циліндра, що обертається навколо своєї осі. Побудову проекцій циліндричної гвинтової лінії показано на рисунку 6.3, де R – радіус циліндра, h – крок гвинтової лінії.

Рисунок 6.3

66

Зміщення точки вздовж твірної за один оберт циліндра називається кроком циліндричної гвинтової лінії. Якщо крок h постійний, тоді гвинтова лінія перетинає всі твірні циліндра під одним і тим же кутом. Гвинтова лінія буває права і ліва. На рисунку 6.3 напрям гвинтової лінії – правий. Висота циліндра, яка дорівнює кроку гвинтової лінії h розділена на 12 рівних частин: n = 12. При повороті точки на 360◦/n, вона повинна переміститися паралельно осі циліндра на 1/ n кроку.

При розгортці циліндричної поверхні на площину гвинтова лінія перетворюється в пряму. Кут підйому гвинтової лінії j залежить від радіуса циліндра R і кроку h: h = 2pR tgj.

Конічна гвинтова лінія – просторова крива лінія, яка утворюється рухом точки на поверхні прямого кругового конуса, що обертається навколо своєї осі. Побудову проекцій конічної гвинтової лінії показано на рису-

нку 6.4.

Рисунок 6.4

67

6.2 Класифікація кривих поверхонь

Поверхнею називають геометричне місце послідовних положень лінії (твірних), що переміщаються у просторі за якимось законом (напрямною).

Способи задання поверхонь:

1. Аналітичний 2. Каркасом 3. Кінематичний 4. Визначником. Аналітичний спосіб задання поверхні – це задання поверхонь рів-

нянням. Цей спосіб вивчається в аналітичній геометрії.

Задання поверхні каркасом – це задання поверхні достатньо щільною мережею точок чи ліній, що належать цим поверхням (рис. 6.6).

Якщо каркас поверхні заданий точками, він називається точковим, якщо лініями, - лінійним. На рисунку 6.7 показано лінійний каркас, що складається з двох сімей ліній: n1, п2, n3, ni…,nn і m1, m2, m3, mi,…, mn.

Кінематичний спосіб задання поверхонь в основному вивчається в курсі нарисної геометрії.

Поверхня утворюється безупинним переміщенням твірної лінії в просторі.

Твірна лінія може бути: пряма і крива; плоска і просторова; закономірна і незакономірна. Твірна в процесі переміщення може зберігати чи змінювати свою форму. У залежності від виду твірної і характеру її переміщення всі поверхні поділяються на класи.

За виглядом твірної поверхні поділяються на два класи: прямолінійчаті – де твірною є пряма лінія; криволінійчаті – де твірною є крива лінія.

За ознакою розгортання поверхні поділяються також на два класи: розгортні – поверхні, що можуть бути точно сумісні з однією площиною без складок і розривів (конічні, циліндричні й інші); розгортними можуть бути тільки ті поверхні, в яких два безкінечно близьких положення твірних або паралельні між собою, або перетинаються.

нерозгортні – поверхні, які можна сумістити з однією площиною приблизно (сфера, еліпсоїд і т.д.).

68

За законами утворення:

закономірні – поверхні, які можна задати рівнянням; незакономірні – поверхні, які точним рівнянням описати не можна.

За способом утворення: поверхні переносу; поверхні обертання; гвинтові поверхні.

Крім графічного способу поверхню можна задати визначником. Визначником називається сукупність параметрів, що відрізняють

дану поверхню від усіх інших. Визначник має геометричну й алгоритмічну частини Ф[(Г),(А)].

Геометричною частиною визначника поверхні є геометричні фігури, за допомогою яких зв’язуються параметри множини ліній простору. Алгоритмічна частина характеризує закон руху твірної.

Для більшої наочності ряд поверхонь звичайно задаються обрисом. Обрис поверхні – це проекція контурної лінії поверхні, тобто лінія,

що обмежує дану поверхню на кресленні і розділяє видиму її частину від невидимої.

Класифікацію поверхонь показано на рис. 6.5.

Рисунок 6.5

69

6.3 Циліндрична поверхня

Циліндричною поверхнею називається поверхня, яка утворена переміщенням прямої твірної по кривій напрямній (рис. 6.8). Всі твірні паралельні між собою.

Визначник циліндричної поверхні: Ф = [(l,m) ( l m; lk || l1)], де: l – твірна, пряма лінія,

m – напрямна, крива просторова лінія, S – невласна точка.

6.4 Конічна поверхня

Конічна поверхня утворюється шляхом переміщення прямої твірної лінії по кривій напрямній (рис. 6.9). Всі твірні перетинаються в одній точці. Ця точка називається вершиною конічної поверхні (власна точка).

Визначник конічної поверхні: Ф = [(l,m,S)( l m; l S )], де: l – твірна, пряма лінія,

m – напрямна, крива лінія, S – вершина (власна точка).

6.5 Поверхня з ребром звороту

Поверхня з ребром звороту (торс) утворюється переміщенням твірної, яка у всіх своїх положеннях є дотичною до напрямної (просторової кривої лінії). Визначник торсової поверхні: Ф = [(l,m) ( l m)],

де: l – твірна, пряма лінія, m – напрямна, крива лінія.

70

Крива напрямна називається ребром звороту. Приклад поверхні показано на рисунку 6.10.

Рисунок 6.10

6.6 Поверхні з двома напрямними лініями

Ця група поверхонь має дві напрямні. Твірна (пряма лінія) безперервно переміщується по двох напрямних і залишається паралельною до площини, яка називається площиною паралелізму. Площиною паралелізму може бути проекціювальна площина, або площина рівня, а також площина проекції. Ця група поверхонь називається “Поверхні з площиною паралелізму”. Їх ще називають поверхнями Каталана.

Єтри поверхні Каталана:

-коса площина (гіперболічний параболоїд),

-коноїд,

-циліндроїд.

Визначник поверхонь Каталана: Ф = [(l,m,n, ) ( l m,n; l || )], де: l – твірна, пряма лінія,

m, n – напрямні, криві або прямі лінії,– площина паралелізму.

6.6.1 Гіперболічний параболоїд

Гіперболічний параболоїд відноситься до групи поверхонь з площиною паралелізму. У цієї поверхні обидві напрямні m і n мимобіжні прямі лінії (рис. 6.11).

71

6.6.3 Циліндроїд

Циліндроїд відноситься до групи поверхонь з площиною паралелізму. У циліндроїда обидві напрямні – криві лінії (рис. 6.13).

Рисунок 6.13

6.7 Поверхні обертання

6.7.1 Прямолінійчаті поверхні обертання.

Прямолінійчатою поверхнею обертання називається поверхня утворена обертанням твірної (прямої лінії) навколо нерухомої осі.

і – однополосний гіперболоїд обертання (рис.6.15).

73

Рисунок 6.14

Рисунок 6.15

74

6.7.2 Криволінійчаті поверхні обертання

У криволінійчатих поверхонь твірна – крива лінія.

Поверхні, які утворені обертанням твірної лінії навколо нерухомої осі, називають поверхнями обертання. Твірна може бути кривою як плоскою, так і просторовою.

Визначник поверхонь обертання: Ф = [(l,i) (li)] де: l – твірна (пряма або крива лінія),

i – вісь обертання

До поверхонь обертання відносяться:

1.Сфера.

2.Тор.

3.Еліпсоїд обертання.

4.Параболоїд обертання.

5.Гіперболоїд обертання.

Кола на поверхні обертання називаються паралелями (рис.6.16, 6.17). Паралель утворюється площиною, яка перетинає поверхню перпендикулярно до осі обертання. При обертанні твірної кожна точка на ній описує коло з центром на осі обертання і.

Паралель, діаметр якої більший за діаметр інших паралелей назива-

ється екватором (рис.6.16, 6.17).

Паралель, діаметр якої менший за діаметри інших паралелей назива-

ється горлом (рис.6.16, 6.17).

У загальному випадку поверхня обертання може мати кілька екваторів і горловин. Площини, що проходять через вісь обертання, називаються меридіональними, а лінії, по яких вони перетинають поверхню – меридіа-

нами .

Меридіональна площина Σ, паралельна площині проекцій, називається головною меридіональною площиною, а лінія її перетину з поверх-

нею обертання – головним меридіаном (рис.6.16, 6.17).

На рисунку 6.17 наведено приклад поверхні обертання загального вигляду, де побудовані ці лінії, а також побудована крива лінія l на цієї поверхні. Окремі точки А, E, B, N, C, D, що належать поверхні, будують за допомогою паралелей, з’єднують і отримують криву лінію l.

75