ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.03.2024
Просмотров: 145
Скачиваний: 0
ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ
Розділ 6. ВИБІРКОВИЙ МЕТОД
§ 6.1 Статистичний розподіл вибірки
Теоретичні відомості.
Нехай для вивчення кількісної (дискретної чи неперервної)
ознаки X |
з генеральної сукупності |
вилучено вибірку |
x1, x2 , ..., xk |
об’єму n. Значення xi , |
що спостерігались, |
називають варіантами, а послідовність варіант, що записані у зростаючому порядку – варіаційним рядом.
Статистичним розподілом вибірки називають перелік варіант xi варіаційного ряду і відповідних їм частот ni або відносних частот i (сума усіх частот дорівнює об’єму вибірки n, сума усіх відносних частот дорівнює одиниці).
Статистичний розподіл вибірки можна задати також у вигляді послідовності інтервалів та відповідних їм частот (за частоту інтервалу приймають суму усіх частот варіант, що потрапили в цей інтервал).
Практичні завдання.
Варіант 1.
1. |
Вибірку задано у вигляді розподілу частот. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
2 |
5 |
|
7 |
9 |
|
|
ni |
|
1 |
3 |
|
5 |
1 |
|
Знайти розподіл відносних частот. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Варіант 2. |
|
|
|
1. |
Вибірку задано у вигляді розподілу частот. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
4 |
7 |
|
8 |
12 |
|
|
ni |
|
5 |
2 |
|
3 |
10 |
Знайти розподіл відносних частот.
§ 6.2 Емпірична функція розподілу
Теоретичні відомості.
Емпіричною функцією розподілу (функцією розподілу вибірки) називають функцію F x , що визначає для кожного значення x відносну частоту події X x :
F x nx , n
де nx – кількість варіант менших за x; n – об’єм вибірки. Емпірична функція має такі властивості:
1.Значення емпіричної функції належать відрізку 0 ; 1 .
2.F x – неспадна функція.
3. Якщо x1 |
– найменша варіанта, а xk |
– найбільша, то |
||
F x 0 |
при x x |
та F x 1 при x x |
k |
. |
|
1 |
|
|
|
Практичні завдання.
Варіант 1.
1.Знайти емпіричну функцію за даним розподілом вибірки, та побудувати її графік.
xi |
|
2 |
5 |
7 |
8 |
ni |
|
1 |
3 |
2 |
4 |
Варіант 2.
1.Знайти емпіричну функцію за даним розподілом вибірки, та побудувати її графік.
xi |
|
3 |
7 |
8 |
10 |
ni |
|
4 |
2 |
3 |
1 |
§ 6.3 Полігон та гістограма
Теоретичні відомості.
Полігоном частот називають ламану, відрізки якої з’єднують точки x1, n1 , x2 , n2 , …, xk , nk , де xi – варіанти вибірки, а ni – відповідні їм частоти.
Полігоном відносних частот називають ламану, відрізки
якої з’єднують точки |
x1, 1 , x2 , 2 , |
…, xk , k |
, |
де xi – |
варіанти вибірки, а i |
– відповідні їм відносні частоти. |
|
||
При неперервному розподілі весь |
інтервал, |
в |
якому |
|
знаходяться всі значення, що спостерігаються, розбивають на ряд підінтервалів довжиною h та знаходять ni – суму частот варіант, що попали в i -ий підінтервал. Гістограмою частот називають сходинкоподібну фігуру, що складається з прямокутників, основами яких є частинні підінтервали
довжиною h, а висоти дорівнюють відношенню |
ni |
( |
ni |
– |
|
h |
h |
||||
|
|
|
густина частоти).
Гістограмою відносних частот називають сходинкоподібну фігуру, що складається з прямокутників, основами яких є частинні підінтервали довжиною h, а висоти
дорівнюють відношенню |
i |
( |
i |
– густина відносної частоти). |
h |
|
|||
|
|
h |
||
Практичні завдання.
Варіант 1.
1. Побудувати полігон частот за даним розподілом вибірки:
xi |
|
2 |
3 |
5 |
6 |
ni |
|
10 |
15 |
5 |
20 |
2. Побудувати полігон відносних частот за даним розподілом вибірки:
xi |
|
2 |
4 |
5 |
7 |
10 |
ni |
|
10 |
15 |
45 |
5 |
25 |
3. Побудувати гістограму частот за даним розподілом вибірки:
Номер |
Підінтервал |
Сума частот |
Густина |
||
інтервалу |
варіант інтервалу |
частоти |
|||
xi |
xi 1 |
||||
i |
ni |
ni /h |
|||
|
|
||||
1 |
2 |
– 7 |
5 |
|
|
2 |
7 – 12 |
10 |
|
||
3 |
12 |
– 17 |
25 |
|
|
4 |
17 |
– 22 |
6 |
|
|
5 |
22 |
– 27 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант 2.
1. Побудувати полігон частот за даним розподілом вибірки:
xi |
|
1 |
4 |
5 |
9 |
ni |
|
5 |
15 |
5 |
20 |
2. Побудувати полігон відносних частот за даним розподілом вибірки:
xi |
|
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
ni |
|
10 |
30 |
15 |
5 |
40 |
3. Побудувати гістограму частот за даним розподілом вибірки:
Номер |
Підінтервал |
Сума частот |
Густина |
||
інтервалу |
варіант інтервалу |
частоти |
|||
xi |
xi 1 |
||||
i |
ni |
ni /h |
|||
|
|
||||
1 |
3 |
– 5 |
4 |
|
|
2 |
5 |
– 7 |
6 |
|
|
3 |
7 |
– 9 |
20 |
|
|
4 |
9 – 11 |
40 |
|
||
5 |
11 |
– 13 |
20 |
|
|
6 |
13 |
– 15 |
4 |
|
|
7 |
15 |
– 17 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|