Файл: PГЗ.docx

Розвязком не виродженої системи лінійних рівнянь записаної у вигляді матричної рівності знаходять за формулою:

Приклад 2

Розв’язати систему рівнянь

методом оберненої матриці.

Розвязок

Запишемо систему в матричному вигляді де

, ,.

Для матриці А обернену ми побудували в попередньому прикладі, тому маємо:

.

Отже, x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = –1 — розв’язок системи.

Завдання 2

1. Рoзв'язати системи лінійних рівнянь методом Крамера.

2. Рoзв'язати системи лінійних рівнянь матричним методом.

3. Рoзв'язати системи лінійних рівнянь методом Гаусса.

Розділ 2 Аналітична геометрія

2.1. Вектори, типи добутків векторів та методи їх розв’язування.

До лінійних належать такі операції над векторами:

• множення вектора на скаляр . При цьому одержаний век­торгеометрично, залежно від величини і знака, розтягується, стискається, змінює напрям ;

• додавання векторів. Дія виконується за правилом паралело- грама або трикутника.

Якщо вектор задано в координатній формі, то у разі множення його на скаляр всі координати треба помножити на цей скаляр, а в разі додавання — додати відповідні його координати.

_Cкалярного добутку векторів: ;

,

Кут  між векторами: ,

умови паралельності та перпендикулярностідвох векторів.

За використання векторного добутку слід пам’ятати, що він некомутативний, а його модуль дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах-множниках. Знаходять векторний добуток за формулою:

.

Геометричний зміст мішаного добутку полягає в тому, що його модуль дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах добутку.

.

У зв’язку з цим його часто використовують для знаходження об’єму і перевірки компланарності трьох векторів

Приклад 1.

Обчислити довжини діагоналей паралелограма, побудованого на векторах і, якщо відомо, що.

Розвязок.

З визначення операції додавання векторів відомо, що одна діагональ паралелограма ,а друга . Довжина довільного вектора визначається за формулою: . Тоді:

Приклад 2.

 Дано три послідовні вершини паралелограма: . Знайти його четверту вершинуі кут між діагоналями.

Розвязок.

Нехай шукана вершина має координати . З умови колінеарності векторіві маємо: , або. Згідно з властивостями паралелограмаабо. Діагоналі паралелограма дорівнюють відповідно сумі і різниці векторів-сторін;. Кут між діагоналями знайдемо за формулою:

соs   отже,.

Приклад 3.

Знайти площу паралелограма, діагоналями якого є вектори і, деі— одиничні вектори, а кут між ними дорівнює 45.

Розвязок.

Позначимо через сторони паралелограма, тоді, звідки. Площу паралелограма знайдемо як модуль векторного добутку. Отже,.

Приклад 4.

Знайти площу і висоту трикутника, вершинами якого є:_{Розвязок}

Знайдемо вектори і. Модуль їх векторного добутку буде дорівнювати подвоєній площі трикутника:звідки.

Знайдемо висоту трикутника: .

Приклад 5.

Для піраміди з вершинами ,обчислити об’єм, площу граніАВС і висоту, опущену на цю грань.

Розвязок.

Знайдемо вектори .Модуль мішаного добутку у шість разів більший за об’єм піраміди, побудованої на векторах, тобтоДля обчислення площі гра- ніАВС знайдемо . Тоді, а висота піраміди .

2.2 Пряма на площині

Пряма лінія на площині ХОУ - множника точок М (х;у), що задовольняють рівняння , де А, В,D – задані коефіцієнти прямої, причому

Рівняння прямої, що проходить через точку Мо (х_о; у_о) і має вектор нормалі має вигляд:

А(х—х_о)+В(у—у_о) = 0 (1)

Рівняння прямої, що проходить через дві різні точки М₁(х₁;у₁) i М₂(х₂;y₂) таке:

(2)

Piвняння прямої, що проходить через данy точку М₀(х_о;у_о) y зaданомy напрямку

y - y_o = k(x—x_o) (3)

де k = tgα — кутовий коефіцієнт прямої, α — кут між прямою i віссю ОХ.

Якщо прямої i задані рівняннями з кутовим коефіцієнтамиі, то кутміж ними обчиcлюється по формулі:

Умова паралельності прямих i має видk₁ = k₂ , a yмoвa їх перпендикулярності Якщо прямі₁ і ₂ задані загальними рівняннями A₁х+ В₁y+C₁ =0 і A ₂x+В₂y+C₂=0 , то величина кута між ними обчислюється по формyлі

умова їх паралельності

умова їх перпендикулярності A₁A₂+B₁B₂=0.

Відстань d від точки M₀(x_0;y₀) до прямої A_x+B_y+C=0 обчислюється по формулі

Приклад 1.

Дано трикутник із вершинами A(1,-2), В(5;4) i С(-2;0). Скласти рівняння медіани СМ, висоти BN та бісектриси AP.

Разв'язок. Якщо М(х₁;у₁) — середина сторони АB, то ізвідси М(3;1).

Тeпер рівняння медіани CM знайдемо як рівняння прямої, що проходить через дві точки С(-2;0) i М(3;1). Маємо за формулою (2):

Оскільки висoта BN проходить через точку B i має вектор нормaлі то за формулою (1) дістанемо рівняння прямоїBN:

- 3(х- 5) + 2(y-4)=0 aбo Зх-2y-7=0.

Для визначення рівняння прямої AP скористаємося властивістю бісектриси :

Маємо тому

.

Оскільки точка P(x;y) ділить відрізок ВС y відношенні то за формулами , дістанемоітоді,

Отже, рівняння бісектриси AP, знайдемо як рівняння прямої, що проходить

через дві точки A(1;-2) i (формула 2).

Маємо

або або

Завдання4

Знайти рівняння висоти, медіани i бісектриси тpикутника зі сторонами

2.3. Пряма та площина у просторі

Будь-яке рівняння першого степеня відносно координат точки простору відображає площину. Коефіцієнти при зміннихА, В, С є компонентами вектора, перпендикулярного до площини.

Кут між двома площинами івизначається за формулою:

.

Умовою їх паралельності є: , а перпендикулярності —.

Відстань від точки до площини можна знайти за формулою: .

Пряма у просторі може бути визначена як перетин двох площин:

або канонічним рівнянням:

,

де — напрямний вектор прямої,— точка, що лежить на прямій.