Файл: Теория систем2.pdf

10

Определение. Если изменения системы во времени приводят к постепенному переходу от обособленности к целостности, то это означает,

что система подвержена прогрессирующей систематизации.

Процесс изменения системы в отношении увеличения ее целостности может состоять в усилении ранее существовавших отношений между частями; развитии отношений между частями, ранее не связанными между собой; постепенном добавлении частей и отношений в систему или в комбинации этих изменений. Рассмотрим в качестве примера развитие телефонной сети, действующей на большие расстояния. На начальном этапе по всей стране появляются местные телефонные коммутаторы. Затем коммутаторы соединяются междугородними линиями. С усовершенствованием методов передачи прибавляются новые коммутаторы, действующие на все большие расстояния. Далее создается автоматический набор телефонного номера, что отдает сеть в распоряжение операторов и в конечном счете в распоряжение клиентов.

Определение. Централизованная система – это такая система, в

которой один элемент или одна подсистема играет главную роль в функционировании всей системы. Эта часть называется ведущей частью системы или ее центром.

Малые изменения в ведущей части отражаются на всей системе, вызывая значительные изменения в ней. Прогрессирующая изоляция и прогрессирующая систематизация могут сопровождаться прогрессирующей централизацией. В этом случае система эволюционирует так, что одна ее часть берет на себя функции центрального и управляющего органа.

Предположим, что система полностью определяется переменными x1 ,x2 ,...,xn . Тогда состояние системы можно описать множеством n чисел.

Множество всех точек n-мерного пространства, включающие возможные состояния системы, называется множеством состояний системы. Чтобы описать поведение системы рассматриваемого типа, достаточно определить возможные траектории в множестве состояний для данной системы, или,

11

другими словами, последовательность состояний, через которые проходит система в процессе эволюции. Если для простоты предположить, что систему определяют две переменные, то множеством состояний будет обычная евклидова плоскость, а возможными траекториями – кривые на плоскости.

Определение. Если систем обладает свойством, что при данном начальном состоянии однозначно определяется траектория ее эволюции, то такая система называется системой, определяемой состоянием.

Подобные системы обладают важным математическим свойством, которое приведем без доказательства.

Для того, чтобы система являлась системой, определяемой состоянием, необходимо и достаточно, чтобы ее переменные удовлетворяли следующей систем уравнений:

dxdt1 = f1 (x1 ,...,xn ),

M

dxdtn = fn (x1 ,...,xn ).

где f1 ,...,fn суть однозначные функции.

Рассмотрим в качестве примера систему, частями которой являются пружина, груз определенной массы и твердая поверхность, скажем, потолок. Вообще говоря, эти объекты не связаны друг с другом. Но если прикрепить пружину к потолку и подвесить к ней груз, то между ними появятся особые отношения, свойственные созданной таким образом системе. Длина пружины, расстояние груза от потолка, упругие свойства пружины и размер груза – все это находится в некоторых отношениях друг с другом. Определенная таким образом система есть статическая система, так как ее свойства не изменяются со временем. Задав начальное отклонение от положения равновесия, получим для груза определенное значение скорости движения, зависящее от массы груза и упругих свойств пружины. Положение груза будет изменяться во времени, и в таком случае система является

динамической системой.

12

Примером системы, не имеющей физической природы, является система уравнений действительных переменных. Наиболее очевидным атрибутом действительной переменной является ее числовое значение. Отношения между переменными обычно формулируются в виде уравнений. Для примера возьмем две переменные x1 и x2 , удовлетворяющие двум линейным уравнениям

Отношения между переменными определяются константами и ограничениями, наложенными одновременно на все данные величины. Эта система может рассматриваться как статическая по аналогии со статической системой «пружина-груз». Эта аналогия определяется тем, что числа, которые удовлетворяют уравнениям, фиксированы, точно так же как, например, была вполне определенной длина пружины в механическом примере.

С другой стороны, введение времени t дает, например, систему следующего вида:

Эта система может быть названа динамической. В этом случае решение уравнений является функцией времени, точно так же как длина пружины в динамической системе оказывается функцией времени.

Термины «статический» и «динамический» всегда относятся к системам уравнений, которые представляют собой абстрактные модели физических систем.

13

1.3. Абстрактные системы как модели

Две рассмотренные системы являются примером использования одного из самых плодотворных путей анализа физических систем – метода абстракции.

Возвращаясь к простейшему примеру соединения груза и пружины, получим иллюстрацию этого метода. В статическом случае интересующие нас атрибуты объектов системы таковы: постоянная K, определяющая свойства пружины, перемещение x и вес груза W. Они связаны в рамках закона упругости Гука линейным уравнением

чтобы изучить физическую систему, она заменяется абстрактной системой с теми же отношениями, и тогда задача становится чисто математической. Такого рода аналогия имеет место и в динамическом случае; только в этом случае физическая система представляется системой дифференциальных, а не линейных алгебраических уравнений. В этом случае говорят о создании математической модели системы. Степень, с которой модель согласуется с реальным поведением системы, является мерой применимости модели для изучения данной системы.

Для того чтобы систему можно было достаточно успешно изучать с помощью математических методов, должны быть выполнены следующие условия:

1)должны быть хорошо известны имеющиеся в системе отношения между объектами;

2)должны быть определены количественные значения существенных для системы атрибутов объектов (причем число этих атрибутов не должно быть столь большим, при котором анализ системы становится невозможным);

14

3)при заданном множестве отношений должны быть известны формы поведения системы (они определяются, например, физическими

законами).

Термин «исследование операций» был введен в послевоенные годы, когда стало очевидно, что задачи широкого класса, возникающие в самых различных сферах человеческой деятельности, имеют, несмотря на их качественное различие, одно общее – они сводятся к выбору способа действия, варианта плана, параметров конструкции, т.е. к принятию решений и этого общего достаточно для построения единой теории и единой системы методов. В этих условиях и возник термин «операция», который означает любое целенаправленное действие. Цель операции считается заданной. Кроме субъекта, т.е. оперирующей стороны, в операции всегда участвует исследователь операции. Он действует в интересах оперирующей стороны, и его задача состоит в том, чтобы найти оптимальный способ использования ресурсов оперирующей стороны, обеспечивающий достижение заданной цели. Научная дисциплина, называемая исследованием операций, наблюдает реальные явления, связанные с функциональными системами, разрабатывает модели, предназначенные для объяснения этих явлений, использует эти модели для изучения того, что произойдет при изменении условий, и проверяет предсказания новыми наблюдениями.

Исследование операций – это применение научного метода комплексными научными коллективами для решения задач, связанных с управлением организованными (человеко-машинными) системами с целью получения решений, которые наилучшим образом отвечают целям всей организации.

Отличительными особенностями исследования операций являются:

1)системный подход;

2)использование комплексных научных коллективов;

3)применение научного метода к задачам управления.

Системный подход основан на том, что в организационных системах

15

поведение любой части в конечном счете некоторым образом влияет на все остальные части. Не все такие влияния существенны, а часть из них даже невозможно обнаружить. Поэтому суть этого подхода заключается в систематическом поиске существенных взаимодействий при оценке деятельности или стратегии любой части организации.

В исследовании операций предпринимается попытка учесть все существенные факторы, установить между ними связь и оценить их в целом.

При изложении сущности научного метода утверждается, что его отличительной особенностью является эксперимент. Но, когда речь идет о государственных, военных или промышленных организациях, эксперимент в узком смысле слова, т.е. физическое изменение значений переменных, часто бывает невозможен.

Эксперимент иногда возможен, особенно на уровне подсистем. Тем не менее, как правило, вся система, являющаяся объектом изучения, не может быть подвергнута эксперименту.

Например, астроном имеет возможность наблюдать систему, которую он изучает, но не может изменить ее.

Поэтому он строит модели системы и механизмов ее функционирования, т.е. модели, на которых и проводит свои исследования.

Модели для системного анализа имеют форму уравнений, которые хотя и могут быть сложными с математической точки зрения, отличаются простой структурой.

U = f (Xi ,Yj ) ,

Где U – полезность или значение критерия, характеризующего качество функционирования системы;

Xi – переменные, которыми можно управлять;

Yj – переменные (и постоянные), не поддающиеся управлению, но влияющие на U;

f – функция, задающая соотношение между U, Xi , Yj .

16

Кроме того, одно или несколько уравнений или неравенств часто требуются для выражения того факта, что некоторые из управляемых переменных могут изменяться в определенных пределах.

Например, сумма ассигнований, направляемых в различные подразделения фирмы, не может превышать общего количества наличных денег.

Уравнение, выражающее целевую функцию, совместно с ограничениями образуют модель системы или задачи, которую надо решить. Следовательно, речь идет как о модели принятия решения, так и модели системы.

1.4. Типы моделей

Модель является представлением действительности. Но если модели были бы столь же сложны, как реальные объекты, то не было бы никакого смысла в их использовании. Обычно можно строить гораздо более простые модели, чем объекты, которые они отображают, и тем не менее применять такие модели для прогнозирования явлений с довольно высокой точностью. Это объясняется тем, что хотя для абсолютно точного предсказания какоголибо явления может потребоваться очень большое число переменных, для определения его основных особенностей обычно достаточно лишь относительно небольшого числа переменных. Сложность состоит в том, чтобы выбрать нужные переменные и правильно определить соотношения между ними.

Используют обычно модели трех типов.

1.Изобразительные модели (или модели геометрического подобия).

Визобразительных моделях существенные свойства оригинала представлены самими этими свойствами, как правило, лишь в ином масштабе. Таким образом, изобразительные модели внешне похожи на реальный объект, но отличаются от него размерами, представляя собой копии

17

этого объекта. Примерами моделей такого типа служат фотографии, чертежи, карты и натурные "модели" самолетов, кораблей, автомобилей. Изобразительные модели солнца и его планет, которые обычно демонстрируют в планетарии, значительно уменьшены в масштабе, в то время как модель атома (модель Бора) во много раз увеличена.

2. Аналоговые модели.

Ваналоговых моделях набор одних свойств используется для отображения набора совершенно иных свойств. Например, горизонтали на карте являются аналогами высоты над уровнем моря. Графики представляют собой аналоги, в которых положение в пространстве и геометрические величины отображают самые различные переменные и соотношения между ними. В общем случае аналоговые модели менее конкретны, чем изобразительные и с ними проще оперировать.

3. Символические (математические) модели.

Символические модели имеют вид математических выражений (обычно уравнений или неравенств), описывающих структуру моделируемого объекта.

При проведении многих исследований поочередно используются модели всех трех типов. Изобразительные и аналоговые модели иногда применяют в качестве первых, приближенных описаний реального объекта, уточняемых в дальнейшем в символической модели.

Строить символические модели стремятся использовать не только в силу того, что с ними проще оперировать, но также и потому, что они обычно дают более точные результаты, чем изобразительные или аналоговые модели.

Пример.

Вкачестве примера рассмотрим случайного уличного продавца газет, которому нужно принять решение, сколько газет он должен заказывать, чтобы максимизировать математическое ожидание своей прибыли. Он покупает каждый день некоторое число газет и продает либо все газеты, либо

18

какую-то их часть. Он получает прибыль на каждой проданной газете и может вернуть непроданные газеты, но при этом понесет убыток. Число людей, покупающих газеты, меняется изо дня в день. Но вероятность того, что определенное число газет будет продано в определенный день недели, можно определить путем анализа статистических данных.

Введем обозначения:

n – число заказываемых в день газет;

a – прибыть на каждую проданную газету; b – убыток на каждую возвращенную газету;

d – спрос, то есть число газет, которое можно продать в день при n ≥ d ,

p(d) – вероятность того, что спрос равен d в случайно выбранный

день;

P – чистая прибыль в день (отрицательное значение P есть убыток). Рассмотрим два случая. Во-первых, если спрос в некоторый день превышает число заказанных газет, то есть d > n , то прибыль продавца

P(d > n) = n a .

Во-вторых, если спрос не превышает числа заказанных газет, то есть n ≥ d , то прибыль составит P(n ≥ d) = da − (n − d)b .

Тогда математическое ожидание чистой прибыли P можно выразить уравнением:

Таким образом, получена модель принятия решения в условиях неопределенности, в которой P - критерий качества функционирования, n – управляемая переменная, d – неуправляемая переменная, a, b – неуправляемые константы.

Для решения задачи, описываемой такой моделью, необходимо