Файл: Элементы математического моделирования в программных средах MATLAB 5 и Scilab (Андриевский Фрадков).pdf

Входы (входные сигналы) формализуют воздействия, которые можно прикладывать к системе, а выходы (выходные сигналы) - это совокупность всех данных (величин), доступных наблюдению или измерению. Например, при построении математической модели участка электрической цепи можно в качестве множеств U, Y входных и выходных сигналов взять множество непрерывных вещественнозначных функций, заданных на числовой оси TZ1. Тогда в качестве отношения 5 будет выступать отношение линейной связи между числовыми значениями силы тока и разности потенциалов:

функций также можно взять множество непрерывных функций на TV, но тогда в качестве выходного множества Y следует брать множество дважды непрерывно дифференцируемых функций, а отношение 5 устанавливает линейную связь между входной функцией и второй производной от выходной функции по времени.

такое что [ui}y2) £ 5, если существуют ух 6 Y1} и2 € U2, удовлетворяющие условиям {и^уг) £ S b (у\,и2) Е Л, {и2)у2) € S2, где R С Yi х U2 - отношение, определяющее связь между 1 у\ и и2. Таким образом можно определять сколь угодно сложные системы, исходя из простых, которые становятся частями (подсистемами) составной системы.

Приведенное определение отражает в абстрактном виде особенности, присущие нашему интуитивному представлению о системе: целостность и структурированность [76].

Целостность (единство) означает, что система отделена от внешней среды; среда может оказывать на нее действие (акцию) через входы и воспринимать отклик (реакцию) на

14

разделена внутри на несколько подсистем, связанных и взаимодействующих между собой так же, как целая система вза-

требует задания некоторой цели, достижение которой говорит о правильной работе системы. Цель также задается некоторым отношением, которое иногда включают в математическую модель реальной системы, а иногда - нет в зависимости от удобства для решения конкретной задачи.

Рис. 1.1.

Приведенное выше формальное определение весьма общо; под него подпадают практически все виды математических моделей систем: дифференциальные и разностные уравнения, регрессионные модели, системы массового обслуживания, конечные и стохастические автоматы, дедуктивные системы (исчисления) и т.д. Можно трактовать как систему любой преобразователь входных данных в выходные (рис. 1.1, а). Например, системой можно назвать процесс решения любой задачи. При этом входами будут являться исходные

15

данные, выходами - результаты, а целью - правильное решение (рис. 1.1, б). Такой подход к системе подчеркивает ее целенаправленность и ведет свое происхождение от исследования операций [18] - научной дисциплины, занимающейся разработкой количественных методов обоснования решений. Основное понятие здесь - операция, т.е. действие, которое подвергается исследованию (проектирование, конструирование, управление, экономическая деятельность и т.д.). Операция соответствует некоторой системе. Входами этой системы являются элементы принимаемого решения о проводимой операции, выходами - результаты проведения операции (показатели ее эффективности (рис. 1.1, в).

В дальнейшем будем рассматривать так называемые временные системы, функционирование которых - это процесс, разворачивающийся во времени, т.е. множества возможных входов и выходов U, Y - это множества функций времени со значениями соответственно во множествах [/, У:

и = {и : Г —• U},Y = {у :Т У},

где Т— множество моментов времени, на котором рассматривается система.

Система называется функциональной (определенной), если каждой входной функции u(t) соответствует единственная выходная функция y(t). В противном случае система называется неопределенной. Неопределенность обычно возникает из-за неполноты информации о внешних условиях работы системы. Важным свойством, присущим реальным системам, является причинность. Она означает, что если входные функции U\(s) и u2(s) совпадают при s < t, т.е. Ui(s) = u2(s) при s < t, то соответствующие выходные функции удовлетворяют условию 2/i(0 = т-е- "настоящее не зависит от будущего при заданном прошлом".

Числовые величины, связанные с системой, делятся на переменные и параметры. Параметры - это величины, которые можно считать постоянными в промежутке времени рассмотрения системы. Остальные числовые величины являются переменными. Значения переменных и параметров определяют количественную информацию о системе. Оставшаяся информация, качественная, определяет структуру системы. Различие между переменными и параметрами, а также ме-

16

жду параметрами и структурой может быть условным, однако знание о нем может быть полезным в методическом отношении. Так, типовым приемом построения математической модели системы является параметризация - выбор в качестве математической модели семейства соотношений, зависящих от конечного (обычно небольшого) количества чисел - параметров.

На ранних этапах развития теории систем и кибернетики, в 60-70-х гг. XX в., был популярен подход к рассмотрению системы как "черного ящика" ( "black box"), когда существующая внутренняя структура системы игнорировалась, а структура и соответствующие параметры ее математической модели выбирались по результатам экспериментов с этой системой, исходя из наилучшей точности описания ее поведения. При отсутствии априорной 1 информации о системе такой подход является единственно возможным. Однако при наличии априорной информации более предпочтителен и современен подход "серого ящика" {"grey box"), при котором структура модели задается из физических соображений, а цель экспериментов с объектом состоит в определении параметров модели.

Для простых систем, подобных уже упоминавшимся в примерах о материальной точке и участке электрической цепи, выбор структуры (например, в виде (1.1)) обычно не вызывает сомнений (если, конечно, нет необходимости учитывать дополнительные факторы, например распределенность массы и заряда, квантовые и релятивистские эффекты) и построение математической модели конкретной системы состоит в оценке единственного параметра к по результатам эксперимента.

Однако, если количество соотношений, описывающих систему, велико, может оказаться разумным учесть только небольшое число основных из них, а остальные задать в упрощенном виде или вообще пренебречь ими. При этом из эксперимента будут определены как параметры, так и (частично) структура, т.е. будет использовано сочетание подходов "серого ящика" и "черного ящика".

Что касается определенности (детерминизма) системы, то может оказаться, что ее нет даже после определения всех параметров математической модели, но неопределенность

1 a priori - до опыта (лат.).

17

устраняется, если ввести в математическую модель системы некоторые дополнительные скрытые (латентные) параметры а ь а2 ,... , ауу. Например, закон Ньютона не определяет однозначно движения точки: для этого требуется задать дополнительно два параметра - положение и скорость точки в

какой-либо момент времени, например а0 = у(0),аг = ^ ( 0 ) . В общем случае формально это означает, что выход модели задается некоторой функцией от входа системы и от набора скрытых параметров а = {ai,a2 ) ... , адг}, т.е.

В теории систем доказывается [62], что представление (1.2) всегда существует, если не накладывать ограничений на функцию реакции R. Однако для временных систем в этом результате мало смысла, так как представление (1.2) должно согласовываться с временной структурой системы, в частности сохранять ее причинность. Обеспечить нужное согласование при фиксированных параметрах а часто не представляется возможным. Например, если рассмотреть движение материальной точки со сдвигом по времени на величину г, то дифференциальное уравнение движения не изменится, а выбор в

Однако ничего страшного не произойдет, если разрешить скрытым параметрам изменяться во времени, т.е. стать переменными. Нужно только, чтобы зависимость скрытых параметров от времени поддавалась описанию, т.е. включалась в математическую модель системы. Таким образом, мы приходим к понятиям переменных состояния и моделей состояния,

играющих важную роль в естествознании и технике. Системы, допускающие описание в пространстве состоя-

В заключение параграфа отметим, что иногда при исследовании системы не удается однозначно определить, какие из переменных, связывающих систему с внешним миром, являются входными, а какие - выходными. Например, если участок цепи рассматривается как часть сложной электрической

18

или электронной схемы, то исследователь не может произвольно, по своему усмотрению, менять напряжение на участке. Эксперимент со схемой может состоять лишь в подаче и измерении сигналов на некоторых узлах схемы (так называемые "порты", или "терминалы"), причем входные и выходные порты могут меняться от эксперимента к эксперименту. Эти и другие соображения мотивировали появление более общего, так называемого бихевиористского подхода в теории систем [147], особенно удобного для изучения взаимосвязанных систем. Бихевиористская модель системы имеет вид гаарного отношения

wm, среди которых могут быть как входные, так и выходные сигналы. Разумеется, в системе могут быть и латентные (скрытые) переменные.

Бихевиористские модели являются более общими, чем модели состояния [116, 147].

1.3.Математическое моделирование и системный анализ

Системный анализ в широком смысле - это методология (совокупность методических приемов) постановки и решения задач построения и исследования систем, тесно связанная с математическим моделированием. В более узком смысле системный анализ - методология формализации сложных (трудно формализуемых, плохо структурированных) задач. Системный анализ возник как обобщение приемов, накопленных в задачах исследования операций и управления в технике, экономике, военном деле. Соответствующие модели и методы заимствовались из математической статистики, математического программирования, теории игр, теории массового обслуживания, теории автоматического управления. Фундаментом перечисленных дисциплин является теория систем [62].

Остановимся на различии в употреблении терминов "системный анализ" и "системный подход". Системный анализ - это целенаправленная творческая деятельность человека,

19

на основе которой составляется представление исследуемого объекта в виде системы. Системный анализ характеризуется упорядоченным составом методических приемов исследования. Что касается термина "системный подход" , то традиция его применения связана с исследованиями, проводимыми многоаспектно, комплексно, при изучении с разных сторон предмета или явления. Этот подход предполагает, что все частные задачи, решаемые на уровне подсистем, должны быть увязаны между собой и решаться с позиции целого (принцип системности). Системный анализ - более конструктивное направление, содержащее методику разделения процессов на этапы и подэтапы, систем на подсистемы, целей на подцели и т.д.

В обширной литературе по системному анализу содержится большое число рекомендаций и методических приемов построения математических моделей и принятия решений на их основе. Выделяя общие части различных приемов и рассматривая их во взаимодействии, можно сформулировать последовательность действий (этапов) при постановке и решении задач, которую будем называть методикой математического моделирования. В упрощенном виде один из возможных вариантов такой методики представлен на схеме рис. 1.2. Эта методика помогает более осмысленно и грамотно ставить и решать прикладные задачи. Опыт показал, что она полезна и в преподавании предмета, легко воспринимается обучающимися с различной степенью подготовки. Если на каком-то этапе возникают затруднения, то нужно вернуться на один из предыдущих этапов и изменить (модифицировать) его. Если и это не помогает, то, значит, задача оказалась слишком сложной и ее нужно разбить на несколько более простых подзадач, т.е. провести декомпозицию (см. п. 1.4). Каждую из полученных подзадач решают по той же методике. Лля иллюстрации применения методики математического моделирования приведем пример [67].

Пример 1.3.1. Рассмотрим автомобиль, находящийся перед гаражом на некотором расстоянии от него (рис. 1.3, а). Требуется поставить автомобиль в гараж и сделать это по возможности наилучшим образом. При решении попытаемся руководствоваться алгоритмом системного анализа (см. рис.

1.2).

20