Файл: ЛЕКЦИЯ 3 - 2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 2.1 Основные понятия теории систем управления.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 05.04.2024

Просмотров: 48

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

редуктора угловые скорости 1 входного и 2 выходного вала связаны

соотношением

2

n1

1 K (t) 1 ,

K (t)

n1 , где n1, n2

соответствующие

 

 

n2

 

 

n2

 

количества зубьев шестерен.

 

 

 

А)

 

 

 

 

Б)

В)

 

 

 

 

 

 

2

 

x(t)

 

 

 

n2

 

UВ Х

 

UВ Ы Х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n1

 

 

 

 

 

 

1

Рис. 2.8. Общая схема усилительного звена (а), трансформатор как усилительное звено (б), редуктор – пример усилительного звена (в).

А)

Б)

В)

n2

x(t)

 

 

 

x(t)

 

 

 

 

 

M (t)

Рис. 2.9. Дифференцирующее звено (а), интегрирующее звено (б), вращение диска под действием крутящего момента M(t) – пример

интегрирующего звена (в).

2) Дифференцирующее звено вырабатывает выходной сигнал, равный производной по времени от входного сигнала и описывается следующим уравнением:

x(t)

dg(t)

,

(2.12)

dt

 

 

 

или в операторной форме (см. рис. 1.9а):

 

 

 

 

 

 

 

pg(t) x(t) ,

 

 

 

 

(2.13)

3)

 

Интегрирующее звено вырабатывает выходной

сигнал, который является результатом интегрирования

входного сигнала. Оно описывается уравнением:

 

 

 

 

 

dx(t)

g(t) ,

 

 

 

 

(2.14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или в операторной форме (см. рис. 2.9б):

 

 

 

 

 

g(t)

px(t), x t

1

g(t) ,

 

 

(2.15)

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

Примером может служить вращение из состояния покоя диска

 

 

 

 

 

R

1

 

 

m

 

радиуса R и массой m с моментом инерции J r 2 (2 hr dr)

( hR2

)R2

R2

 

 

 

 

 

 

0

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

относительно центральной оси под действием крутящего момента внешних

сил M (рис.

2.9.в). Уравнение

вращательного

движения имеет вид

J

d

 

M ,

(t0 )

0 . Отсюда

следует,

 

что

d

 

M

,

и если

ввести новые

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

J

 

 

обозначения переменных x(t)

,

g(t)

 

M

, то получим уравнение вида (2.16),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

(2.15)

 

dx(t)

g(t), x(t)

 

1

g(t) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

 

 

Звено чистого запаздывания:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(t)

g(t ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.16)

 

 

 

где

-

постоянная запаздывания выходного сигнала относительно

входного.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

 

Апериодическое

 

 

 

звено

описывается

 

 

 

 

 

 

 

уравнением:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

dx(t)

 

x(t)

 

g(t) ,

 

 

 

 

 

(2.17)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где T – положительная действительная константа, которую называют

постоянной времени. В операторной форме это уравнение имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Tp

1)x(t)

g(t) ,

 

 

 

 

 

(2.18)

На структурных схемах апериодическое звено изображается так, как показано на рис. 2.10а.

Примером апериодического звена может служить электрическая схема с последовательным соединением резистора с сопротивлением R и конденсатора емкости C, приведенная на рис. 2.10б. Будем считать, что в начальный момент времени конденсатор не заряжен.

Составим дифференциальное уравнение, которое описывает зависимость напряжения Uвых на выходе от времени и параметров схемы при условии подачи на вход управляющего сигнала Uвх, который описывается ступенчатой единичной функцией времени.

А) Б) В)

 

 

 

 

 

Uвх(t)= (t)

 

x(t)

UВ Х

R

U

 

 

 

 

 

 

 

 

i C

В Ы Х

Uвых(t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T=RC

t

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.10. Структурная схема апериодического звена (а), пример апериодического звена (б) в виде простейшей электрической схемы,

качественная зависимость выходного напряжения апериодического звена от времени при постоянном единичном входном сигнале (б).

На основании второго закона Кирхгофа (падение напряжения в цепи равно сумме падений напряжения в последовательно соединенных элементах цепи) и определения силы тока при разрядке конденсатора, имеем следующие уравнения и начальные условия, описывающие поведение системы:

Uвых(t) I (t)R Uвх(t),

 

I (t) C

dUвых(t)

,

Uвых(t0 ) Uвых( 0 ) 0, Uвх(t) (t t0 ) (t) ,

dt

 

 

 

(2.19)

Эти соотношения приводят к дифференциальному уравнению первого порядка:

RC

dUвых(t)

Uвых(t) Uвх(t),

Uвых( 0 ) 0, Uвх(t) (t t0 ) (t) ,

dt

 

 

 

(2.20)

Введем следующие обозначения: T

RC, x(t)

Uвых(t), g(t) Uвх(t) . В

итоге получаем уравнение вида (2.17)

 

 

T

dx(t)

x(t)

g(t), T RC, g(t)

(t) ,

 

dt

 

 

 

 

 

 

При ступенчатом единичном внешнем воздействии решением этого

уравнения является функция

 

 

x(t) Uвых(t)

1 e t / T , T RC, t

0 .

(2.21)

График выходного сигнала приведен на рис. 2.10в. Видим, что выходной сигнал действительно описывается непериодической функцией,

отсюда и название звена.

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

 

Колебательное

звено

описывается

 

дифференциальным уравнением

 

 

T 2

d 2 x(t)

 

2

T

dx(t)

x(t) g(t) ,

 

(2.22)

dt2

dt

 

 

 

 

 

 

 

где T – положительная действительная константа, которая называется

постоянной времени, а

 

- коэффициент демпфирования,

<1.

В операторной форме это уравнение имеет вид:

 

(T 2 p2 2 Tp

1)x(t)

g(t) ,

 

(2.23)

На структурных схемах апериодическое звено изображается так, как показано на рис. 2.11а.

Примером колебательного звена является схема с последовательным соединением катушки с известной индуктивностью L, резистора с сопротивлением R и конденсатора емкости C, приведенная на рис. 2.11б. Пусть в начальный момент времени конденсатор не заряжен и тока в цепи нет.

А)

Б)

В)

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

Uвх(t)= (t)

x(t)

UВ Х

L

R

U

 

 

 

 

 

i

C

В Ы Х

 

 

Uвых(t)

t

Рис. 1.11. Колебательное звено (а), пример колебательного звена (б), пример выходного сигнала колебательного звена при постоянном единичном входном сигнале (в).

Смотрите также файлы