Файл: ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.pdf

В уравнение работ (3.46) добавится еще сумма работ сил инерции точек на их возможных перемещениях. При этом получим

11

5.Обобщенные координаты и обобщенные скорости

Обобщенные координаты – это независимые параметры, заданием которых однозначно определяется положение всех точек механической системы в любой момент времени. У механических систем с голономными (геометрическими) связями число обобщенных координат равно числу степеней свободы. Обобщенные координаты обозначаются буквами

где S – число степеней свободы системы.

Обобщенные координаты могут иметь любой физический смысл и любую размерность. В механике они могут иметь размерность длины, угла, площади, объема и т. д.

Пример.

Плоский математический маятник имеет одну степень свободы S = 1. В качестве обобщенной координаты q можно

принять: угол ϕ, длину S дуги AM , площадь σ сектора OAM (рис. 3.11).

Малые положительные приращения обобщенных координат называются обоб-

Рис. 3.11 щенными возможными перемещениями

и обозначаются символами

δq1,δq2 ,...,δqs .

133

При движении системы ее обобщенные координаты будут с течением времени непрерывно изменяться и закон этого движения определится уравнениями

где q = dt . Размерность зависит от размерности соответствующей обоб-

щенной координаты.

6. Обобщенные силы

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек, движущуюся под действием сил F 1 , F 2 ,..., F n.

Пусть система имеет S степеней свободы и ее положение определяется координатами (3.50). Сообщим системе такое независимое перемещение, при котором координата q1 получит приращение δq1, а остальные ко-

ординаты не изменяются. Тогда радиус-вектор r i (r i = r i (q1,q2 ,...,qs )) каждой точки системы получит элементарное приращение (δri ). Так как при рассматриваемом перемещении изменяется только координата q1`(остальные сохранят постоянные значения), то (δri )1 вычисляется как частный дифференциал

134

Таким образом, сообщая системе независимое возможное перемещение по каждой обобщенной координате, мы сможем определить обобщенные силы Q1,Q2 ,...,Qs , соответствующие этим обобщенным координатам.

Если системе сообщить такое возможное перемещение, при котором изменяются все обобщенные координаты, то получим

Уравнение (3.52) дает выражение полной элементарной работы всех действующих на систему сил в обобщенных координатах.

Значит, обобщенные силы – это величины, равные коэффициентам при приращениях обобщенных координат в выражении полной элементарной работы действующих на систему сил. Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты и равна размерности работы, деленной на размерность соответствующей обобщенной координаты.

7. Дифференциальные уравнения Лагранжа второго рода

Для вывода уравнений Лагранжа воспользуемся общим уравнением динамики (3.49)

∑δAi + ∑δAiин = 0 .

Пусть система имеет S степеней свободы и её положение определяется обобщёнными координатами (3.50). Тогда по формуле (3.52) имеем

Аналогично можно получить выражение полной элементарной работы сил инерции Fiuн. При этом получим

135

Так как ∂q1 ,∂q 2 ,...,∂qs между собой независимы, то полученное равенство может выполняться лишь при условии, когда каждый из коэффи-

Условия (3.56) называются уравнениями Лагранжа первого рода. Выразим все входящие в уравнения (3.56) обобщённые силы инер-

ции через кинетическую энергию системы. Поскольку сила инерции любой из точек системы равна

Преобразуем правую часть равенства (3.57) так, чтобы она содержала скорости Vi точек системы.

В справедливости этого результата легко убедиться, продифференцировав первое слагаемое, стоящее в правой части равенства. Дальнейшее преобразование осуществляется на основании следующих двух условий:

1) Операции полного дифференцирования по t и частного дифференцирования по q1 переместительны, что даёт

136

2) Частная производная от ri по q1 есть предел отношения частного