Файл: ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.pdf

Задача Д5

Применение общего уравнения динамики или уравнений Лагранжа

кисследованию движения механической системы

содной степенью свободы

Для заданной механической системы определить величину ускорения точки или углового ускорения тела, заданного в табл. Д4.

Варианты механических систем показаны на рис. Д 2.0…Д 2.9 к заданию 2, необходимые данные для решения приведены в табл. Д 2 к тому же заданию.

Считать силу F постоянной и равной 10 Н. Трение качения, скольжения и силы сопротивления в подшипниках качения не учитывать.

Блоки и катки, для которых радиусы инерции не заданы, считать сплошными однородными цилиндрами. Катки катятся по поверхностям без проскальзывания.

Пример выполнения задачи Д5

Дано:

Механическая система (рис. Д5) приводится в движение постоянной

r3 = 12 R3 (см. рис. Д5).

Каток 2 – сплошной однородный цилиндр. Определить ускорение первого тела W1.

Рис. Д5

Ре ш е н и е

1.Решение задачи с помощью общего уравнения динамики Построим расчетную схему (рис. Д5а), где покажем задаваемые си-

лы: F , P1 – сила тяжести первого груза, P2 – сила тяжести второго груза,

138

P3 – сила тяжести третьего груза; реакции внешних связей N1, N2 , Fтр , R0 ; приложим приведенные силы инерции: Rин1 = −m1W1, R / ин2 = −m2W 2 ;

Mинс = − Jсε , Mин = − Jсε .

2 0 3

Приведенные силы инерции тел зависят от вида их движения тела (см. принцип Даламбера).

Рис. Д5а

Выразим скорости, ускорения, перемещения всех тел через скорость, ускорение и перемещение тела 1.

139

где ε2 – угловое ускорение второго тела.

Определим возможное перемещение δSc центра масс и возможное перемещение δφ2 катка 2 через возможное перемещение δS1 первого тела

−Mинc δφ2 − P2δS2 sin 45o = 0.

Подставив числовые значения заданных сил и сил инерции, а также значения перемещений, выраженных через δS1, получим,

W1 = 1,655 см/с2.

Ответ: W1 = 1,655 см/с2.

140

2. Решение задачи с помощью уравнения Лагранжа Данная система имеет одну степень свободы. Поэтому выберем одну

обобщенную координату. Так как по условию требуется определить ускорение первого тела, которое совершает поступательное прямолинейное движение, выберем линейную обобщенную координату х, следящую за перемещением центра масс этого тела (рис. Д5б).

Рис. Д5б

Запишем уравнение Лагранжа для данной системы

где Т – кинетическая энергия системы; x – обобщённая координата;

x& – обобщённая скорость ( x& = v1 );

Qx = ∑δAie – обобщённая сила;

δx

∑δAie – сумма элементарных работ внешних сил на приращении δх

заданной обобщённой координаты.

Определяем кинетическую энергию системы, выразив её через обобщенную скорость x&:

Т = Т1 + Т 2 + Т3 ,

141

где Т1, Т2, Т3 – соответственно кинетические энергии первого, второго и третьего тел.

Первое тело совершает поступательное движение, его кинетическая энергия определяется по формуле

Т1 = 12 m1v12 = 12 m1x&2;

T2 = 3x&2 .

Третье тело совершает вращательное движение

T3 = 12 J0ω32;

J0 = m3ρ32 = 2 0,12 = 0,02;

ω3 = v1 = x& = 5x&; r3 r3

142